Fourmis auto-tamponneuses

Piste verte Le 20 juillet 2019  - Ecrit par  Aurélien Alvarez, Jos Leys Voir les commentaires (1)

Une colonie de fourmis tombe soudainement sur un morceau de branche abandonné par terre et se met alors en mouvement ; certaines fourmis partent vers la gauche, les autres vers la droite.

  • Lorsque deux fourmis se retrouvent nez-à-nez, elles rebondissent comme deux billes de billard et repartent en sens opposé : celle qui marchait initialement vers la droite (resp. gauche) se retrouve à marcher vers la gauche (resp. droite). L’image suivante illustre la situation.
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  • Lorsqu’une fourmi arrive à l’une des deux extrémités de la branche, elle chute de la branche.

Problème :
Combien de temps faudra-t-il au maximum pour que toute la colonie de fourmis chute de la branche ?

Réponse à l’énigme

La réponse à l’énigme devient évidente si on a l’idée de cligner des yeux à chaque fois que deux fourmis se retrouvent nez-à-nez. En effet, si on cligne des yeux pendant les quelques instants où deux fourmis rebondissent l’une sur l’autre, lorsqu’on rouvre les yeux, il est impossible de savoir ce qu’il s’est réellement passé... Les deux fourmis ont pu rebondir l’une sur l’autre comme c’était la règle mais nos fourmis imaginaires ont tout aussi bien pu passer l’une au travers de l’autre et ainsi continuer leurs trajectoires comme si de rien n’était. C’est ce qu’illustre l’animation suivante : sur la branche du bas, les fourmis avancent imperturbablement en ligne droite.

On en déduit donc que le temps mis par la colonie de fourmis pour chuter de la branche est au plus égal au temps mis par une seule fourmi pour parcourir toute la branche et ce, quel que soit le nombre de fourmis dans la colonie.

Tout simple, non ? Mais encore fallait-il y penser... [1]

Une remarque sur le temps de rebond des fourmis

On remarquera que nous avons soigneusement choisi le temps que met une fourmi pour faire demi-tour : ce temps a été choisi égal au temps mis par une fourmi pour parcourir sa propre longueur. Ainsi, dans l’animation précédente, les deux séquences se déroulant sur les deux branches sont parfaitement synchronisées. Plus les fourmis sont petites, plus leur temps de rotation sur elle-même est court : le cas limite de fourmis infiniment petites correspond à la situation de billard idéal.

Pour les amateurs de formules...

On peut, si on le souhaite, donner une formule explicite pour le temps de chute. Pour cela, notons $v$ la vitesse commune des $N$ fourmis et paramétrons par $[0,L]$ la branche. Notons enfin $x_k$ la position aléatoire de la fourmi $k$ à l’instant initial et $\epsilon_k = \pm 1$, selon que la fourmi part vers la droite ($+1$) ou vers la gauche ($-1$). Le temps de chute de la colonie de fourmis est le plus grand des deux temps suivants : le temps mis par la fourmi la plus près du bord gauche de la branche et partant vers la droite et le temps mis par la fourmi la plus près du bord droit de la branche et partant vers la gauche. C’est ce qu’exprime la formule

\[T_{\text{chute}} = \frac{1}{v}\max\left\{\max_{k | \epsilon_k = +1} \{L-x_k\},\max_{k | \epsilon_k = -1} \{x_k\}\right\}.\]

On retrouve alors immédiatement la majoration

\[T_{\text{chute}} \leq \frac{L}{v}.\]

Post-scriptum :

Merci à Serge Cantat de nous avoir fait connaître ce petit problème, ainsi qu’aux relecteurs François Guéritaud, Reynald Thelliez et Thomas Sauvaget pour leurs commentaires et remarques.

Article édité par Andrés Navas

Notes

[1Les lecteurs qui auraient du mal à cligner des yeux aux bons moments pourront imaginer que chaque fourmi porte un petit drapeau et que lorsque deux fourmis se retrouvent nez-à-nez, elles échangent leurs drapeaux. Si à présent on oublie les fourmis pour ne regarder que les drapeaux, tout se passe comme si ces derniers se déplaçaient en ligne droite indépendamment les uns des autres.

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Pour citer cet article :

Aurélien Alvarez, Jos Leys — «Fourmis auto-tamponneuses» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

  • Fourmis auto-tamponneuses

    le 22 juillet à 16:17, par Suriezmi

    Quel pourrait le nombre moyen de chocs par fourmi si l’on ne libère qu’une extrémité ? ou bien le nombre moyen de chocs (total) pour la colonie ?
    ou bien la distribution du nombre de chocs avant sortie de la branche ? (cela éepend-til de la distance à l’extrémité obstruée ?)
    (cela ressemble beaucoup à un des problème de l’OIM de cette année)
    Y-a-t-il des résultats qui existent déjà dans un cadre général ? S’agit-il d’un problème ouvert de probabilités ?
    le temps de sorti dépend-t-il de la condition initiale ? --->du nombre dyadique qu’il défini ? (cf orientation)

    Répondre à ce message

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