Galilée, mon contemporain

Piste verte Le 5 juin 2009  - Ecrit par  Charles Boubel Voir les commentaires (1)

Les articles récents d’É. Ghys et J. Leys sur Galilée me rappellent à un article sur ce personnage, que je voulais vous proposer. Cet article prend la forme d’un portrait de Galilée en physicien et mathématicien novateur, que j’ai rencontré à travers deux de ses écrits.

Note. Que la longueur de cet article ne vous décourage pas ! J’ai essayé de réaliser une piste verte : la longueur est plutôt, j’espère, signe que la pente est douce, suivant les traces de Galilée sans heurt.

En rédigeant un petit cours de géométrie il y a quelque temps, j’ai voulu insérer une note historique. Ceci m’a amené à lire Galilée — son Dialogue sur les deux grands systèmes du monde [G1] et surtout son Discours concernant deux sciences nouvelles [G2] —, ainsi qu’un peu Newton [N] et Einstein [E].

J’ai été émerveillé par Galilée, que je n’avais jamais lu, et c’est ce simple émerveillement que je voulais vous faire partager. J’ai pu admirer :

  • sa créativité parfois totalement novatrice,
  • son habileté — il est malin, parfois rusé —,
  • sa rigueur,
  • sa clarté.

Mais surtout, j’ai rencontré un véritable contemporain. Nul besoin, pour apprécier l’essentiel du texte et les quatre qualités ci-dessus énumérées, d’un « passeur », commentateur qui resituerait le texte dans le contexte de l’époque, les habitudes intellectuelles, sociales ou de langage ... Avec Galilée, c’est un contemporain scientifique qui me parle. Presque un voisin de bureau. Bien sûr, ses outils mathématiques, par exemple, sont infiniment moins développés que ceux dont je dispose, mais sa démarche est une démarche scientifique contemporaine. Et pour cause : il est sans doute l’un des créateurs de cette démarche, il y a presque quatre siècles — d’où mon émerveillement.

À vrai dire, un physicien serait probablement plus qualifié que moi pour un tel article. C’est en effet d’abord le caractère novateur de la démarche de physicien de Galilée qui m’a frappé, dans son articulation avec les mathématiques. Par ailleurs, je ne suis pas historien des sciences et peux commettre des erreurs d’appréciation, par exemple en jugeant Galilée plus novateur qu’il ne l’est, par méconnaissance du contexte etc. Ces réserves posées, je vous invite à me suivre dans ma rencontre de Galilée, « mon contemporain » :

  • mon contemporain physicien,
  • mon contemporain mathématicien,
  • mon contemporain pour une troisième raison encore.

Galilée étudie la chute des corps

Pour développer ces trois points, je dois déjà indiquer ce que j’allais chercher dans [G1] et [G2]. Ma question, en préparant la note historique de mon cours, était la suivante : comment le concept d’immobilité absolue a-t-il été abandonné, vraiment reconnu comme vide de sens ?

Je m’explique. Être immobile « absolument », c’est-à-dire sans indiquer par rapport à quoi, n’a pas de sens : on n’est immobile que par rapport à quelque chose, pris comme référence !
Pourtant, au premier regard, il est tentant de considérer la surface de la terre comme « vraiment immobile », c’est-à-dire de la considérer comme une référence naturelle pour juger si un objet bouge ou pas. C’était la conception admise jusque Galilée. Si un objet bouge par rapport à la surface de la terre, il est « vraiment » en mouvement, sinon il est « vraiment » immobile (on dit « au repos »). Bien sûr, vous pouvez choisir une autre référence, par exemple, un train qui passe devant vous : vous appellerez alors « immobile » un objet s’il l’est par rapport au train qui passe, c’est-à-dire, de votre point de vue, s’il se déplace à la même vitesse et dans le même sens que le train. Cette référence bizarre est mathématiquement possible, mais semble être une façon de se compliquer la vie, sans intérêt et bien peu naturelle (quoique : remarquez qu’elle est naturelle pour les passagers du train ... ) .
Galilée a montré qu’au contraire, prendre la terre ou le train (un bateau plutôt, pour l’époque) comme référence sont deux solutions possibles, ni plus, ni moins naturelles l’une que l’autre . En effet, les lois physiques, c’est-à-dire simplement le comportement des objets, sont identiques dans le train ou dehors, malgré le déplacement du train [1]. Galilée l’a clairement fait remarquer, alors que ce n’était pas évident à l’époque. Le livre-clé où il le montre est son Discours [G2], à travers son étude de la chute des corps. Des prémices sont déjà présentes dans son Dialogue [G1] (il y a un lien entre la célèbre défense, par Galilée, de l’idée que la terre tourne autour du soleil, et sa théorie de la chute des corps : voir le commentaire sous la référence [G1]). J’ai donc ouvert ces livres [2].

Pour les lecteurs désirant davantage de précisions : cliquer pour déplier.

En langage un brin plus technique, je cherchais comment est née une description physique du monde où l’état de mouvement ou de repos du référentiel est indifférent, ou plutôt où cette question est évacuée. Une étape importante a été l’introduction de la notion de référentiels dits « galiléens » où, dit brièvement, un objet initialement au repos, et sur lequel ne s’exerce aucune force, reste au repos. Aucun de ces référentiels n’est particulièrement privilégié par rapport aux autres, la physique y suit les mêmes lois. C’est en cela que cette notion évacue en pratique, et pas seulement philosophiquement, la notion d’immobilité absolue. J’ai donc lu, pour commencer, le précurseur Galilée, puis Newton [N] qui a tout à fait formalisé la démarche. Ensuite, la relativité générale achèvera en un sens ce processus, en dissolvant même le privilège de ces référentiels : plus aucun système de coordonnées n’est physiquement (cinématiquement et dynamiquement) privilégié, qu’un accéléromètre au repos y mesure une accélération « ambiante », ou pas. Mais c’est une autre histoire.

Je note aussi que le fait de lire animé d’un objectif précis m’a également rendu plus sensible. Je n’aurais peut-être pas remarqué les mêmes choses dans une simple lecture pour le plaisir. Je constate encore par là que je ne découvre vraiment une chose que lorsque je dois l’expliquer ou l’utiliser...

Reprenons donc les trois raisons pour lesquelles j’ai rencontré en Galilée un contemporain.

Galilée, physicien contemporain

Sa démarche physique est novatrice : il s’agit de la démarche expérimentale, que j’ai trouvée incroyablement aboutie chez lui. En voici les étapes, soigneusement enchaînées, décrites dans le Discours [G2], troisième journée (le livre prend la forme d’un dialogue entre trois personnages, divisé en quatre journées).

  • 1. Il essaie de distinguer les facteurs influant sur le mouvement de chute d’un objet qu’on lâche (poids, résistance de l’air).
  • 2. Il fait alors abstraction de la résistance de l’air, pour ne s’intéresser qu’au poids. Il fait l’hypothèse que ce mouvement suit une certaine loi mathématique : celle où la vitesse augmente proportionnellement au temps de chute. C’est-à-dire, si au bout d’une seconde, un objet qu’on a lâché a atteint une certaine vitesse $V$, alors au bout de deux secondes, il atteint la vitesse double $2V$, et la vitesse triple $3V$ au bout de trois secondes, etc . Mais comment vérifier cette hypothèse ? Arrivez-vous à mesurer à chaque instant la vitesse d’une pierre que vous laissez tomber devant vous, en écarquillant suffisamment les yeux ?
  • 3. Alors il tire une conséquence mathématique de son hypothèse — la distance parcourue est proportionnelle au carré du temps : une distance $D$ au bout d’une seconde, $4D$ après 2 secondes, $9D$ après 3 secondes etc . : $n^2D$ après $n$ secondes. Cette conséquence, elle, est plus facilement vérifiable par une mesure.
  • 4. Il élabore une expérience susceptible de confirmer, ou pas , la prédiction construite en 3. Je note qu’il prend soin de vérifier au préalable que des phénomènes annexes inévitables — ici les frottements — sont négligeables dans son cadre de travail. Il exécute l’expérimentation : les résultats coïncident avec ce que la loi prédisait. Ceci valide donc la loi dont il a fait l’hypothèse en 2. [3].
    Rappelons ici qu’historiquement, Galilée avait d’abord supposé que la vitesse de l’objet était proportionnelle à la distance parcourue. Il s’est ensuite rendu compte que les conséquences mathématiques de cette hypothèse ne cadraient pas avec la réalité.

Cette lecture m’a donné l’impression de voir la démarche mathématico-expérimentale jaillir, comme Athéna, toute armée de la cuisse de Jupiter. Ce n’est sans doute pas vrai à 100% — encore une fois, je n’ai pas le recul d’un historien des sciences —, mais il y a quelque chose de cela, qui m’a donc émerveillé.

Réponse à une question d’un collégien : pourquoi d’abord poser une hypothèse tombée du ciel, puis réaliser une expérience, et non d’abord effectuer des expériences, puis en déduire une loi ? Cliquer pour déplier.

En lisant ce texte avant publication, un collégien s’est demandé pourquoi Galilée n’avait pas plutôt d’abord procédé à des expériences, puis, au vu des résultats, élaboré sa loi. Cela peut sembler en effet plus logique que de supposer une hypothèse à l’aveuglette, en espérant que l’expérience la validera. Étant mathématicien, et non chercheur en science expérimentale, je suis un peu mal placé pour répondre. Je peux cependant donner trois éléments.

  • Cette question est très opportune. En effet, la démarche de Galilée en quatre points que je décris est celle qu’il présente, pas nécessairement celle qui a été effectivement la sienne dans sa recherche. Après tout, on ignore comment il est parvenu à sa découverte. Il se peut qu’il y ait eu tâtonnement, va-et-vient entre expériences et intuitions théoriques, je le note plus bas au vu de ses manuscrits. Cependant, une fois Galilée sûr de son fait, il peut emmener son lecteur par le chemin le plus direct : il donne directement sa loi, et la teste par des expériences pour la valider. Là aussi, je retrouve un trait de ma recherche actuelle : la présentation que je fais d’un résultat et de sa preuve, dans un article, n’est pas toujours le chemin, souvent tortueux, par lequel j’y suis parvenu.
  • Cette présentation met en valeur l’expérience comme test de la loi, plutôt que comme indice permettant de la découvrir. Une expérience est les deux à la fois, mais ce qui compte pour un lecteur qui voudrait contester Galilée, c’est le premier aspect.
  • Enfin, l’expérience n’est pas, de loin, la seule source d’intuition permettant de deviner une loi. Galilée présente sa loi comme « la plus naturelle possible » : on voit que la vitesse de chute augmente au cours de la chute d’un objet. Les deux façons les plus simples d’augmenter, que peut avoir la vitesse, sont les suivantes : elle peut augmenter proportionnellement à la distance parcourue, ou proportionnellement au temps de chute. Peut-être augmente-t-elle encore différemment, mais Galilée préfère s’intéresser déjà à ces deux façons possibles, parce qu’elles sont simples. Il remarque que la première façon ne correspond pas à la réalité. Il s’intéresse alors à la deuxième et, joie, constate qu’elle est confirmée par ses expérimentations. Galilée affirme s’être penché sur ces deux lois possibles, non parce que des expérimentations l’auraient mis sur la voie, mais pour des raisons théoriques : elles sont intellectuellement simples. Je n’ai aucune raison de ne pas le croire. Et c’est bien ainsi en sciences, et même en maths : on peut avoir l’idée d’un résultat parce que des indices, par exemple des expériences, nous mettent sur la voie. Mais on peut aussi en avoir l’idée pour des raisons de beauté et de simplicité, « théoriques ». Les bonnes découvertes puisent à ces deux sources.

En outre Galilée n’a pas été pionnier sur le seul plan de la démarche. Il a également innové expérimentalement, avec une belle ruse expérimentale, ses plans inclinés. Lâcher une bille sur un plan incliné, plutôt que la lâcher tout court, ralentit son mouvement de descente, mais sans le perturber : il obéit toujours à la même loi. Et cette fois, on a le temps d’observer, de noter des temps de parcours précis etc. Cette ruse est tout aussi importante que l’innovation théorique. Un scientifique complet !

Des comptes-rendus d’expériences de Galilée : un regard sur des manuscrits non publiés.

Il faut ici préciser que le recours à l’expérimentation, plus exactement à l’expérimentation quantitative, n’allait pas de soi à l’époque. La physique était toujours dominée par la pensée d’Aristote (4ème siècle avant notre ère), qui s’était contenté d’expériences ... de pensée pour bâtir ses théories physiques, notamment celle du mouvement. En somme, Aristote utilise l’« expérience », mais seulement en ceci qu’il bâtit sa théorie sur une mise en ordre de notre expérience du quotidien. L’idée qu’il faille se salir les mains à interroger la nature par des expériences quantitatives au sens de Galilée, destinées à mettre en évidence tel phénomène très précis, séparé soigneusement des autres, et que le résultat n’aille pas de soi, cette idée a dû être construite. Au point que le recours à de vraies expériences, par Galilée, a été mis en doute par certains historiens : après tout, on n’avait pas de preuve qu’il ait bien effectué les expériences dont il rend compte. Ne s’était-il pas contenté d’expériences en pensée, comme les aristotéliciens de son temps l’auraient fait [4] ? Le débat est tranché depuis 1972 (voir [D]), où ont été retrouvés à la bibliothèque centrale de Florence des comptes-rendus d’expérience de Galilée, non publiés. Dans ce manuscrit, Galilée a noté par exemple des relevés de longueurs de parcours d’objets lâchés, et différentes autres mesures relatives à ses expériences sur des plans inclinés, confirmant ses hypothèses sur la forme parabolique (voir plus bas, Galilée mathématicien) des trajectoires d’objets lancés et sur l’évolution de leur vitesse. Les relevés sont datés d’environ 1608, trente ans avant la parution de sa théorie du mouvement dans le Discours [G2]. On est donc sûr qu’au moins ces expériences-là ont été réalisées.

Sur quelques feuillets cruciaux, on aperçoit le tâtonnement expérimental de Galilée, avec des dispositifs qui ne se sont pas montrés satisfaisants, et probablement aussi son tâtonnement théorique. En effet, la présentation bien ordonnée « 1°) je pose une hypothèse théorique, 2°) je vérifie qu’elle est confirmée par l’expérience » que Galilée donne dans le Discours n’est pas nécessairement son véritable parcours de chercheur. Celui-ci a pu comporter des allers-retours entre des expériences partiellement à l’aveuglette et sa théorie en construction.

Parmi les feuillets cruciaux, voici le folio 175. On y voit probablement, selon [D], un dispositif expérimental qui n’a pas été retenu : un plan incliné très raide, à droite, pour donner de la vitesse à une bille lâchée d’en haut, articulé à un autre plan incliné, montant en pente douce, pour mesurer jusqu’où la bille remonte. Cliquer sur l’image pour la voir, sur le site où elle est stockée, avec commentaires techniques. Pour l’agrandir, recliquez alors dessus sur ce site. Droits réservés Bibliothèque Centrale de Florence.

Voici un autre feuillet important, le folio 116 verso. Une bille est lâchée d’une table, avec plus ou moins de vitesse initiale (horizontale). Galilée dessine alors sa trajectoire, parabolique, mais surtout repère la distance à laquelle la bille atterrit. Ce feuillet est bien un compte-rendu d’expérience. Cliquer de même.

Voici aussi le folio 117 recto. On y voit, au milieu de la colonne de droite, un dessin de parabole, avec des abscisses et des ordonnées repérées par un quadrillage. Pivoté d’un quart de tour, ce dessin est très semblable au dessin de la quatrième journée, théorème I, du Discours [G2], que j’ai reproduit plus bas (dernier dessin de cet article, parabole en rouge). L’auteur de l’article [D] affirme aussi y avoir repéré des données chiffrées correspondant à la mesure de différentes distances, parcourues en des temps successifs égaux par une bille lâchée. Cliquer de même.

Et si vous voulez voir la science expérimentale en train de naître, juste pour le plaisir des yeux (comprendre est délicat, ce sont des brouillons personnels de Galilée), voyez l’intégralité du recueil de manuscrits non publiés.

Ainsi, avec Galilée, comme annoncé en début d’article, le fait que le « référentiel » (le concept est chez Galilée, mais pas le mot) soit immobile ou en mouvement uniforme devient indifférent pour décrire le mouvement d’un objet soumis à son seul poids. Dit plus simplement, les lois de Galilée, qui décrivent la chute des objets qu’on lance, sont les mêmes sur la terre ferme ou dans un train à 150 km/h. Ainsi, la notion d’un lieu de référence qu’il serait naturel de considérer comme immobile, ne peut plus avoir cours. Newton entérinera clairement la rupture (et, après Galilée mais avant lui, Descartes et Gassendi), mais c’est vraiment Galilée qui a disqualifié la notion. Il s’agit d’une nouveauté majeure, et dont il est parfaitement conscient . C’était une de mes questions en lisant Galilée : parfois, l’importance d’une découverte ou d’un changement de point de vue peut échapper à son auteur même. Ce n’est pas le cas ici. M. Jourdain faisait de la prose sans le savoir, mais Galilée n’a pas fait de l’innovation scientifique radicale sans le savoir.
Derrière cette innovation de Galilée se cachent deux conceptions théoriques nouvelles sur le mouvement. Elles sont données si vous le désirez, avec une autre remarque, plus bas dans un complément historique un peu plus technique, mieux compréhensible après la partie suivante.

Galilée, mathématicien contemporain

J’ai aussi été frappé par l’habileté et la créativité mathématique de Galilée. Et là encore, il participe d’une histoire qui en est à ses balbutiements, mais qui est bien la même que celle dont je suis partie prenante, malgré la rusticité de son outillage conceptuel mathématique — par exemple il ignore le calcul différentiel : les dérivées ...
Pour être honnête cependant, il ne nous est, mathématiquement, pas exactement contemporain :

  • Il l’est dans la mesure où il crée ou utilise des concepts mathématiques nouveaux, qui éclairent et rendent compréhensible un problème qu’on ne voyait pas comment aborder efficacement. Abstraire judicieusement pour comprendre une situation semblant confuse au premier abord, je retrouve bien là la pratique contemporaine des mathématiques.
  • En revanche, même si ses raisonnements sont parfaitement rigoureux, il ne peut définir ses concepts avec la rigueur de mise aujourd’hui. Sur ce plan cependant, les mathématiques ne deviennent vraiment « contemporaines » que progressivement, à partir du milieu du 19ème siècle.

En quoi Galilée crée-t-il ou utilise-t-il donc une abstraction judicieuse pour éclairer le problème de la chute des corps ? Il introduit le concept de vitesse instantanée , c’est-à-dire de valeur mathématique de la vitesse, à chaque instant. Plus précisément il donne à ce concept une forme suffisamment précise pour le mettre en jeu dans des raisonnements mathématiques quantitatifs ([G2], 3ème journée, théorèmes I et II). Ce concept nous est aujourd’hui familier, notamment par exemple avec l’indicateur de vitesse des voitures. On comprend [5] ce que signifie « faire une pointe à 100 km/h » — on atteint, « à un certain instant », la vitesse de 100 km/h. On comprend que, lorsqu’on accélère depuis l’arrêt, la vitesse, nulle au départ, prend à chaque instant une valeur numérique précise, qui évolue. Comme annoncé plus haut, Galilée suppose que la vitesse d’un objet lâché augmente proportionnellement au temps, et en déduit que la distance parcourue est proportionnelle au carré du temps.

Je vous propose de découvrir son raisonnement, beau de simplicité, et efficace et rigoureux alors qu’il n’avait aucune notion moderne. Il est compréhensible par un collégien je pense.

Pour les lecteurs qui connaissent les notions de dérivée et d’intégrale, ce résultat est presque immédiat.

Une démonstration en trois lignes avec les outils d’aujourd’hui : cliquer pour déplier.

Appelons $d(t)$ la distance parcourue au temps $t$. Par définition, la vitesse $v$ est la dérivée de $d$ : $v(t)=d'(t)$. On s’intéresse à un objet dont la vitesse est proportionnelle au temps, c’est-à-dire $v(t)=k.t$ avec une certaine constante $k$. Donc : $d'(t)=k.t$. En intégrant par rapport au temps : $d(t)=\frac12 kt^2$.

Je reformule à présent légèrement la démonstration de Galilée. Il démontre déjà un résultat intermédiaire, on dirait un « lemme », aujourd’hui.

Lemme. Supposons qu’un objet, au départ à l’arrêt, se déplace en ligne droite pendant une durée $T$, avec une vitesse qui augmente proportionnellement au temps qui s’écoule (je répète : au bout d’une seconde, la vitesse vaut une certaine valeur $v$, au bout de deux secondes, elle vaut $2v$, de trois secondes, $3v$ etc.), et qu’à la fin, il a atteint une certaine vitesse $V$. Alors il a parcouru la même distance qu’un objet qui se serait déplacé à la vitesse constante $\frac12 V$ pendant la même durée $T$.

Preuve du lemme. ([G2], troisième journée, partie « du mouvement uniformément accéléré », théorème I) Elle tient en un dessin de Galilée, que je reproduis ici, en le pivotant de 90 degrés pour l’adapter à nos habitudes de représentation d’une fonction au cours du temps. Les indications « temps », « vitesse » sont de moi. Je conserve les noms des points pour que vous puissiez identifier ce dessin dans [G2]. Les ajouts de ma part y sont en rouge.

Voici représentée la vitesse de l’objet au cours du temps, en trait gras noir. Au temps $A$, l’objet démarre, au temps $B$ que j’appelle $T$ dans le lemme, il arrive. Sa vitesse est nulle au début, à la fin, elle vaut $E$, que j’appelle $V$ dans le lemme. Imaginons alors un deuxième objet se déplaçant à la vitesse $G=\frac12 E=\frac12 V$. Sa vitesse, constante au cours du temps, est représentée par le trait gras bleu. Pendant la première moitié de la durée, sa vitesse est supérieure à celle du premier objet. À l’instant $\frac12 T$, moitié de la durée $T$, les deux objets ont même vitesse. Après cet instant, la vitesse du deuxième objet est cette fois inférieure à celle du premier objet.

Comparons ce qui se passe pendant la première moitié de durée, et pendant la deuxième. Pour cela, choisissons un moment au hasard dans la première moitié, disons un certain temps t avant la moitié $\frac12 T$ de la durée. Ce moment est noté J sur le dessin ci-dessous. La vitesse du deuxième objet vaut, comme toujours, $\frac12 V$. Celle du premier vaut moins : elle vaut $\frac12 V$ moins une certaine quantité de vitesse mesurée par le segment gras rouge et notée W sur le dessin. Regardons à présent ce qui se passe au temps t après la moitié $\frac12 T$ de la durée. Ce moment « symétrique » est noté K sur le dessin ci-dessous. La vitesse du deuxième objet vaut encore $\frac12 V$. Cette fois, celle du premier vaut plus : elle vaut $\frac12 V$ plus une certaine quantité de vitesse mesurée par le deuxième segment gras rouge. Comme on a justement choisi la vitesse du deuxième objet égale à $\frac12 V$, le trait bleu est à mi-hauteur et donc la longueur de ce deuxième segment gras rouge est égale à celle du premier, W. Le défaut de vitesse, à chaque instant de la première moitié de la durée $T$, est compensé par un surplus de vitesse égal, à chaque instant « symétrique » de la deuxième moitié de la durée $T$.

Ainsi, les deux objets :

  • celui dont la vitesse a augmenté régulièrement de 0 à $V$,
  • celui dont la vitesse a constamment été égale à $\frac12 V$,

ont parcouru la même distance, au bout du temps $T$.

Un mot supplémentaire sur ce raisonnement et les prémices de calcul intégral qu’il contient, pour ceux qui le désirent : cliquer pour déplier.

Le mot « somme » que j’utilise ci-dessus est employé par Galilée. Galilée a donc bien dans ce passage une intuition du calcul intégral, c’est-à-dire de l’enchaînement d’affirmations suivant :

  • la distance parcourue par un objet est la « somme » de toutes les vitesses de cet objet à chaque instant, c’est-à-dire la somme de tous les segment verticaux mesurant la vitesse, entre la droite de base AB et le segment gras (noir ou bleu, selon l’objet),
  • cette somme est donc la surface située sous le trait gras, noir ou bleu.

Galilée expose mais ne justifie pas le premier point. Il s’appuie alors sur le deuxième pour donner rigueur à son raisonnement. Je peux déjà vous convaincre de la justesse des deux affirmations ci-dessus. Elles sont faciles à coprendre pour l’objet de vitesse constante. Supposons, pour fixer les idées, que sa vitesse est de $\frac12 V=5\,$m/s, et que la durée totale est $T=1\,$minute. Alors la distance qu’il parcourt pendant cette minute (=60 secondes) est (5m/s).(60s)=300m. C’est la surface du rectangle ABFG.

La distance parcourue par l’objet pendant une seconde est $5\,$m. C’est la surface d’un rectangle fin, de largeur 1 seconde le long de AB, et de hauteur parallèle à AG.

On peut ainsi rétrécir à l’infini la durée, et la largeur du rectangle. La distance parcourue par l’objet pendant un centième de seconde est (5m/s).(1/100s)=5cm. C’est la surface d’un rectangle très fin, de largeur 1/100 seconde le long de AB, et de hauteur parallèle à AG. Etc... on voit que la distance totale parcourue est la somme des surfaces de petits rectangles aussi fins que l’on veut, posés sur AB et dont la hauteur correspond à celle du trait bleu. Dans cet exemple, la hauteur est la même pour tous les rectangles. Galilée parle, « à la limite », non plus de somme de surfaces de petits rectangles, mais de somme de tous les segments verticaux.

Leur hauteur est précisément, à chaque instant, la vitesse de l’objet. Ils sont infiniment fins et infiniment nombreux. Leur « somme », pendant toute la durée $T$, est bien la surface du rectangle ABFG. Si la vitesse de l’objet varie, comme donnée par le trait gras noir, on ne peut plus parler de rectangles placés sous le tait noir : il n’y en a plus. Mais on peut toujours parler de « somme » de segments verticaux placés sous ce trait, et dont la longueur est encore, à chaque instant, la vitesse de l’objet.

Ainsi, la distance parcourue est la somme de ces segments (ou somme de ces vitesses), pendant la durée $T$, c’est-à-dire la surface située sous le trait gras noir : le triangle AEB.

L’arsenal mathématique pour justifier rigoureusement cette « limite » sera construit par étapes, jusqu’au 19ème siècle, mais l’intuition de Galilée est juste. Notamment, dans le corps de mon texte, j’ai abrégé son raisonnement, lui enlevant un peu de rigueur. Comme j’annonce au début de ce bloc dépliable, Galilée conclut par une égalité de surfaces. Comme les distances parcourues se mesurent comme « somme de segments verticaux », correspondant à des surfaces, le surplus de distance parcourue par le premier objet au début est la somme de tous les segments verticaux entre les traits noir et bleu, pendant la première moitié du trajet. Cette somme est le triangle AIG hachuré.

Pendant la deuxième moitié de la durée, le défaut de distance parcourue par le premier objet est encore la somme de tous les segments verticaux entre les traits noir et bleu. Elle est cette fois le triangle $EIF$.

Le trait bleu étant à mi-hauteur, les deux triangles ont même surface et donc les distances se compensent, ce qui donne au raisonnement toute sa rigueur. Les deux objets ont parcouru la même distance au temps $T$.

Galilée ne fonde pas à proprement parler le calcul différentiel et intégral (« sommes » de segments infiniment fins ... ) comme le feront Newton et Leibniz un gros siècle plus tard, mais — avec d’autres mathématiciens de son époque, comme son élève Cavalieri — il en pose bien un germe, ici et à d’autres endroits.

Notons enfin qu’à l’époque, encore sous l’influence de la pensée grecque, « mathématiques » et « géométrie » sont presque synonymes. Les mathématiques, ce sont, comme en produisaient Euclide ou Pythagore, des raisonnement sur des droites, segments, parallèles, cercles etc. Or Galilée veut prouver mathématiquement ses affirmations. Il les prouve donc par des moyens que l’on qualifierait aujourd’hui de géométriques : avec des triangles, des surfaces égales... C’est une belle performance, continue au long du Discours [G2], de ramener tout problème à une question de géométrie, qu’il traite alors comme telle.

Résultat principal. Supposons qu’un objet, au départ à l’arrêt, se déplace en ligne droite avec une vitesse qui augmente proportionnellement au temps qui s’écoule. Alors la distance qu’il parcourt est proportionnelle au carré du temps qui s’écoule.

Preuve du résultat. ( [G2], troisième journée, partie « du mouvement uniformément accéléré », théorème II) La vitesse $v$ est proportionnelle au temps $t$, on peut donc la noter $v=k.t$, avec une certaine constante de proportionnalité $k$. Regardons la distance parcourue au bout d’un certain temps $T$ quelconque. La vitesse atteinte au bout du temps $T$ est $k.T$. D’après le lemme, l’objet a parcouru la même distance que s’il avait eu la vitesse constante fictive $\frac12 k.T$ depuis le début. Donc la distance parcourue est : \[\begin{align*}D&=(\text{temps écoulé}).(\text{vitesse constante fictive})\\&=T.(\frac12 k.T)\\&=\frac12 k T^2.\end{align*}\]
On vient bien de montrer que la distance parcourue, $D$, est proportionnelle à $T^2$, le carré du temps écoulé.

Jolie façon d’intégrer une fonction en ignorant les notions modernes de dérivée et d’intégrale (vous n’êtes pas obligés de comprendre cette phrase) ! Cette méthode rappelle des techniques ... d’Archimède, un autre génie (3ème siècle avant notre ère).

Par ailleurs, Galilée décompose la vitesse en sa composante horizontale et sa composante verticale (il utilise des propriétés du « vecteur vitesse » et projette les équations, dirions-nous aujourd’hui), pour effectuer ensuite son raisonnement séparément sur une composante, puis sur l’autre. Le dessin suivant présente cette décomposition. La flèche penchée est le vecteur vitesse : sa direction indique à chaque instant dans quelle direction l’objet se déplace, et sa longueur indique à quelle vitesse il se déplace.

Par cette abstraction judicieuse, il découvre que le mouvement des solides lancés a la forme d’un morceau de parabole. Une parabole peut se définir de multiples façons. Le définition historique, en usage à l’époque, est la suivante : c’est la courbe obtenue lorsqu’on coupe un cône de révolution par un plan parallèle à une génératrice du cône, et ne contenant pas le sommet. Mieux vaut un simple dessin qu’une phrase compliquée ; voici une parabole, en rouge :

Cette fois, je vous renvoie à [G2], quatrième journée, pour le détail de la preuve. Galilée montre déjà qu’une parabole est une courbe qu’on dirait en langage moderne « d’équation $y=x^2$ ». C’est-à-dire que, dans la partie inférieure du dessin ci-dessous, quand $x$ prend les valeurs successives $b$, $c$, $d$, $e$, l’altitude $y$ de la parabole, la courbe rouge, prend les valeurs successives $b^2$, $c^2$, $d^2$, $e^2$. Si vous aviez déjà entenu parler de paraboles, il y a d’ailleurs de fortes chances que ce soit par cette définition, scolairement usuelle aujourd’hui. Galilée montre alors qu’un objet lancé suit effectivement une trajectoire ayant cette propriété, donc une parabole. Le dessin se trouve chez Galilée, [G2], quatrième journée, théorème I. J’ai seulement ajouté de la couleur et les symboles modernes « $x$ » et « $y$ » des coordonnées.

Voir aussi ce dessin plus haut sur le folio 117 du brouillon de Galilée.

Note un peu plus technique. Par ailleurs, la démarche même de Galilée montre que cette parabole peut se lire indifféremment avec les abscisses représentant de l’espace — la parabole est alors la trajectoire d’un solide lancé avec une vitesse initiale horizontale —, ou représentant du temps — la parabole est alors le graphe de la fonction distance parcourue, au cours du temps, par un objet initialement au repos, et lâché.

Sans cet arsenal conceptuel : vitesse instantanée d’une part, décomposition de la vitesse en ses composantes horizontale et verticale (projections) d’autre part, il n’aurait pu construire sa physique.

Les deux principes physiques nouveaux aboutissant à des lois vraies dans tout référentiel en mouvement non accéléré, et autres compléments historiques plus techniques. Cliquer pour déplier.

J’ai concentré cet article sur l’étonnante nouveauté de la démarche de Galilée. J’ai donc seulement mentionné que « les lois qu’il obtient alors sont vraies dans tout référentiel galiléen, que celui-ci semble au repos ou non », ce qui est un fait. Mettons ici en évidence ici les deux idées physiques nouvelles de Galilée, à l’origine de ce fait.
La question de l’immobilité et du mouvement relatif occupait aussi les penseurs scolastiques, c’est-à-dire disciples d’Aristote du XIIème siècle à la Renaissance. Ces derniers ont préparé le terrain. Le Discours de Galilée dénoue leurs questions, en posant et validant l’idée que

  • 1 le mouvement acquis (impeto) se conserve,
  • 2 les mouvements ajoutés se composent.

Précisons. Aristote pensait que l’impeto, l’élan donné à un objet lancé et laissé à lui-même s’« use » tout seul au cours du temps. Comme vous le voyez, Galilée décrit son mouvement sans faire jamais appel à cette idée de l’« usure » de l’élan. Au contraire, chez lui, la composante horizontale de la vitesse reste la même au cours du temps car rien ne vient la perturber. C’est nouveau et fondamental. La composante verticale, elle, est modifiée par l’action du poids de l’objet. La superposition de ces deux phénomènes dessine une parabole. C’est de ces deux idées 1 et 2 (le point 2 dans l’exemple de la parabole, mais aussi pour toute autre addition d’un mouvement à un autre) que découlent, via les démonstrations mathématiques et expériences ici relatées, la notion de référentiel galiléen et les propriétés des lois de Galilée.
Enfin, en montrant que les trajectoires des objets lancés sont des paraboles, Galilée résout aussi une difficulté de la vision traditionnelle des mouvements dans la nature. Selon la physique de l’Antiquité et de la scolastique, les trajectoires naturelles n’étaient faites que de segments de droites et d’arcs de cercles. En obtenant la parabole, Galilée donne une nouvelle direction aux rapports entre les mathématiques et la physique.

Galilée inaugure une nouvelle façon de faire de la physique

Dans son travail physique et mathématique, Galilée, m’apparaît donc créateur et « contemporain » au sens donné ci-dessus. Sur le plan de la physique, théorique et expérimentale, il va cependant plus loin, et également plus loin qu’une simple découverte :

  • il a inauguré une nouvelle physique du mouvement, qui s’est immensément développée et dont nous ne sommes pas sortis, même si elle a subi un certain nombre de « mutations génétiques » depuis le 17ème siècle,
  • il a révolutionné la science de son temps en contribuant à créer une nouvelle démarche scientifique, qui reste la nôtre aujourd’hui.

Ainsi, Galilée est célèbre pour sa défense de l’héliocentrisme (« Et pourtant, elle [la terre] tourne [autour du soleil] ! ») qui lui a valu sa condamnation par l’Église, et aussi pour sa première utilisation d’une lunette en astronomie. Il l’est peut-être moins, auprès du grand public, pour cette question du mouvement des objets lâchés ou lancés. Pourtant, c’est peut-être là qu’il a été le plus profondément novateur, fondateur même.

J’insiste enfin sur le caractère vivant et, en très grande partie, clair du Discours [G2] et du Dialogue [G1]. Tous les écrits de Galilée n’ont pas cette clarté. Ici, le plus souvent, on comprend tout, pas à pas, dans une mise en scène sous forme de dialogue, avec deux interlocuteurs non « scientifiques », dont un contestataire « conservateur » (aristotélicien), Simplicio. D’autres problèmes, moins marquants, sont aussi traités dans ces œuvres. Voici un scientifique fondateur qui se comprend dans le texte !

La troisième raison

Et la troisième raison faisant de Galilée mon contemporain, direz-vous ? Elle est très simple. Regardez le pied de la page donnée en lien : il publie chez Elsevier [6].

Remerciements

Je remercie Jean-Pierre Friedelmeyer pour l’information au sujet des recherches historiques sur la réalisation effective d’expériences par Galilée, notamment la référence [D], ainsi que pour m’avoir fait penser à Archimède. Je remercie Michel Paty pour ses précisions historiques, notamment ayant abouti au complément historique en fin de partie Galilée mathématicien. Je remercie André Stoll pour m’avoir fait remarquer la
note un peu plus technique placée en fin de partie Galilée mathématicien. Je remercie enfin tous les relecteurs qui m’ont aidé à améliorer l’article.

Bibliographie

  • [D] Stillman Drake, Galileo’s experimental confirmation of horizontal inertia : unpublished manuscripts, Isis 64 (223), (1973), pages 291 à 305.

La revue d’histoire des sciences Isis, éditée par University of Chicago Press (« Chicago journals ») est un peu difficile à trouver, en France, même en bibliothèque universitaire. Le numéro cité ici est accessible électroniquement sur JStor pour ceux qui y ont accès.

  • [E] Albert Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Annalen der Physik 27 (1905), pages 891 à 921. Traduction française : Sur l’électrodynamique des corps en mouvement. Paris, Jacques Gabay, 2005. Édité aussi dans [H] et dans les œuvres complètes d’Einstein.

C’est le bref et célèbre article de 1905 introduisant la relativité restreinte.

  • [G1] Galileo Galilei, Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo. Florence, Landini, 1632. Traduction française : Dialogue sur les deux grands systèmes du monde. Trad. de René Fréreux avec le concours de François de Gandt, Paris, Points Sciences, 1999.

Il s’agit de l’œuvre où Galilée montre que la terre tourne autour du soleil, et non l’inverse. C’est le livre qui lui a valu sa condamnation par l’Église. Cette question de la terre qui tourne autour du soleil a un lien avec le sujet de cet article. En effet, si la terre tourne autour du soleil, et surtout sur elle-même, elle ne serait donc pas « immobile » ... mais que veut dire « immobile » ? Et notamment, serait-il possible que, habitant sur une terre mobile (comme un train), tounant sur elle même à très grande vitesse — environ 1000 km/h en Europe —, on puisse avoir sincèrement l’impression d’habiter un lieu immobile ? Dans [G1], Galilée répond qualitativement à cette question. Il a déjà en tête des considérations quantitatives, qu’il publiera dans [G2].

  • [G2] Galileo Galilei, Discorso e dimonstrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica e i movimenti locali. Leiden, Elsevir, 1638. Traduction française : Discours concernant deux sciences nouvelles. Trad. de Maurice Clavelin, Paris, Armand Colin, 1970 et PUF, 1985. Édité aussi dans [H].

Ce livre a la forme d’une conversation, divisée en quatre journées. Outre une théorie du mouvement des objets, développée dans les troisième et quatrième journées, le livre aborde d’autres sujets, comme la question : « pourquoi un même type de bateau, réalisé à petite ou grande échelle, est-il plus fragile à grande échelle ? ». Je n’y ai cependant pas trouvé Galilée partout aussi « contemporain » ni aussi clair que dans sa théorie du mouvement.

  • [H] Stephen Hawking, Sur les épaules des géants. Paris, Dunod, 2002. (Textes collectés de Copernic, Galilée, Kepler, Newton, Einstein.)

Intéressant seulement si vous voulez vraiment lire dans le texte tous ces auteurs. Ici, le physicien S. Hawking se borne à avoir rassemblé ces (célèbrissimes) textes et à les introduire (très) succintement.

  • [N] Isaac Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica, livres I, II et III. Londres, Joseph Streater, 1687. Traduction française : Principia : Principes mathématiques de la philosophie naturelle. Trad. D’Émilie du Châtelet (Paris, Clairaut, 1756), édition actuelle : Paris, Dunod, 2005. Édité aussi dans [H].

Isaac Newton y présente sa théorie physique de la gravitation, qui régit aussi bien le mouvement des objets lancés, sur terre (comme chez Galilée), que celui des planètes autour du soleil. La traduction est d’Émilie du Châtelet, une femme de science du 18ème siècle (il n’y en a pas beaucoup, allez la découvrir !).


Illustration d’en-tête de l’article : portrait de Galilée par Justus Sustermans (1597-1681), détail. Image téléchargée sur wikimedia commons.
Article édité par Michèle Audin

Notes

[1Du moins si le train n’est pas en train de freiner ou d’accélérer. C’est ce que vous constatez d’ailleurs à chaque fois que vous prenez le train : dans ces circonstances, il vous est impossible, yeux fermés, de dire si le train avance ou s’il est à l’arrêt (en supposant les rails parfaitement lisses pour éviter les cahots).

[2Bien sûr, de nombreux historiens se sont penchés avant moi sur cette question : l’évolution du concept d’’immobilité au cours de l’histoire, et le rôle joué par Galilée. Ils y ont répondu avec un point de vue bien plus large et assuré que moi. Mais je suis mathématicien, et ne savais donc pas bien où chercher ces réponses ... j’avais la flemme. Et puis le Discours [G2] de Galilée me tendait les bras, là dans mon bureau, offert par un beau-frère il y a quelque temps. Aller voir directement à la source était bien plus tentant. La clarté de Galilée m’a alors permis, sans « passeur », de trouver ma réponse, dans les grandes lignes du moins.
Sur Galilée, des historiens me signalent des travaux du Français d’origine russe Alexandre Koyré (Études galiléennes, 1939, p. ex.), du Canadien Stillmann Drake, tous deux cités ici, et de l’Italien Ludovico Geymonat.

[3En toute rigueur, on doit se contenter de dire que cette expérience n’invalide pas la loi supposée par Galilée, pas vraiment qu’elle la « valide ». Alliée à d’autres telles « vérifications » expérimentales, cette coïncidence des prédictions théoriques et des résultats expérimentaux rend la loi scientifiquement utilisable — la « valide » —. Mais cela n’est vrai que jusqu’à la découverte, toujours possible, d’un nouveau type d’expérience qui la prendra en défaut. Il faudra alors changer de loi. En résumé, cette expérience valide la loi « jusqu’à preuve du contraire ». Enfin, Karl Popper a très bien théorisé tout cela, puis a été critiqué ... ceci est juste un petit article et je m’arrête là.

[4Notamment, certains historiens — dont le célèbre historien et philosophe des sciences Alexandre Koyré, de plus spécialiste entre autres de Galilée — doutaient que Galilée ait pu obtenir les résultats qu’il prétendait avec les frustes dispositifs expérimentaux qu’il disait avoir élaborés.

[5On en a l’habitude, plutôt, pour être honnête. Comprenez-vous vraiment ce que signifie « à un certain instant t, une voiture a une vitesse de 100 km/h » ?

[6La société anonyme Elsevier (prononcer èl-seu-fi:r, avec un i long et un f proche du v), fondée en 1880 et dont le siège est à Amsterdam, est le plus gros éditeur scientifique du monde. Notamment, des dizaines de revues mathématiques, dans lesquelles nous publions des articles de recherche, sont éditées par cette société. (Incontournable, elle fait payer fort cher ses revues — appréciation personnelle et partagée.) Cette société a été baptisée en l’honneur de la famille Elzevir, grande famille d’éditeurs et libraires néerlandais, qui a édité des livres de 1592 à 1712 (source wikipedia). C’est probablement un des fils du fondateur de cette dynastie d’éditeurs qui a publié le Discours [G2] de Galilée. Depuis sa condamnation par l’Église, il était sans doute délicat pour ce dernier de publier en Italie. Bien sûr cette dernière raison est une plaisanterie, mais voir le nom d’Elzevir et le logo de la maison, l’homme debout sous l’arbre, au frontispice de l’œuvre de Galilée, m’a fait sourire.

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Pour citer cet article :

Charles Boubel — «Galilée, mon contemporain» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • Galilée, mon contemporain

    le 20 juin 2009 à 20:55, par Joël Col

    Peut-être que cette information vous intéressera.

    Condamnation et Réhabilitation de Galilée.

    ERREUR-VÉRITÉ.
    La grande question qui se posait à l’époque de Galilée était : « Quel astre tourne autour de l’autre ? Le soleil autour de la terre ou la terre autour du soleil » ?

    En affirmant la rotation de la terre autour du soleil, Galilée se trouvait en contradiction avec les scientifiques, les philosophes, l’Église et la Bible qui, tous, soutenaient la thèse contraire.

    Or, dans mon étude « Entre Galilée et l’Eglise : la Bible », je démontre que Galilée était en accord avec les Textes originaux hébreux et grecs, mais en désaccord avec leurs traductions. En d’autres termes, si les versions de la Bible avaient été fidèles aux Textes originaux, Galilée n’aurait pas été condamné pour avoir « tenu et cru une doctrine fausse et contraire aux saintes Écritures ».

    Par cette étude, j’œuvre pour obtenir la réhabilitation officielle de Galilée et la mise en conformité des traductions de la Bible avec leurs Textes originaux qui, en aucun cas, ne peuvent être tenus pour responsables de la condamnation du savant.

    Joël Col

    Pour plus d’informations consulter :
    http://monsite.orange.fr/erreur.verite

    http://monsite.orange.fr/autoedition.meguila

    À votre disposition pour répondre à toutes les questions me concernant ou concernant cet ouvrage.
    Meilleures salutations.

    Joël Col

    PS. L’hebdomadaire « Le Point.fr » a fait paraître un article à partir d’une déclaration de l’archevêque Gianfranco Ravasi. Vous pouvez en prendre connaissance sur :
    Google et en faisant une recherche avec les mots : « Joël Col » Galilee
    Je joins également l’article à ce courriel.

    Galilée n’est plus le bienvenu au Vatican
    dimanche 1 février | 20:40

    Nous apprenons, par votre article, que le Vatican a abandonné l’idée d’accueillir une statue de Galilée dans l’enceinte du petit État pontifical. Cette nouvelle décision, même si elle peut apparaître surprenante, n’a, à mes yeux, que peu d’importance : Le point capital étant la réhabilitation du savant.

    Et, nous lisons aussi que Galilée aurait été réhabilité au XXème siècle. Je me suis déjà exprimé sur le sujet et, pour éviter toute redite, je renvoie vos lecteurs à votre article « Le Vatican veut rééditer les actes du procès de Galilée » du 25 novembre 2008. Précisons encore que le cardinal Paul Poupard, à l’occasion du discours du Pape Jean-Paul II à l’Académie pontificale du 31 octobre 1992, déclarait ’qu’il ne s’agissait pas de réviser un procès".

    Et, dans Les Échos week-end des 10 et 11 janvier 2003, Jean-Claude Hazera, rédacteur en chef, rapportait une réflexion de ce même cardinal, tenue en mai 2002 devant un parterre de scientifiques réunis à l’École Nationale Supérieure des Techniques Avancées (Ensta) : « C’est une affaire interminable qui ne sera jamais terminée et ne peut s’effacer de l’imaginaire. Jean-Claude Hazera ajoute : »L’Église... n’a pas révisé le procès, ni « réhabilité » celui que le pape qualifie de « physicien de génie », ce que déplore l’historien Michel-Pierre Lerner, qui débattait avec le cardinal à l’Ensta. C’est une des nombreuses complexités de l’affaire...« Ce n’est donc pas en érigeant une statue dans les jardins du Vatican, ou en déclarant que le procès de Galilée »avait été une erreur« (sans explication biblique du motif de sa condamnation) et que »ce fut une erreur d’avoir voulu empêcher la légitime autonomie de la science", que l’on parviendra à mettre un terme à cette Affaire Galilée.

    En conclusion, dans mon ouvrage « Entre Galilée et l’Église : la Bible », par une étude sémantique approfondie, je démontre que Galilée était en accord avec les Textes originaux de la Bible, mais en désaccord avec leurs traductions. En d’autres termes, si ces traductions avaient été fidèles à leurs Textes d’origine :

    . Galilée n’aurait pas été injustement condamné par l’Église,

    . la Bible n’aurait pas encouru le discrédit dont elle souffre encore aujourd’hui.

    Ce n’est qu’en reconnaissant cette évidence et en corrigeant les erreurs de traduction des Versions que l’on parviendra à réhabiliter officiellement Galilée et qu’on lui rendra, ainsi, l’honneur qui lui revient au cours de cette Année 2009. Voilà le but que je me suis proposé, en entreprenant cette étude, but que je poursuis également à l’occasion de mes diverses conférences en français et en anglais. Toute correspondance peut être adressée à : autoedition.meguila wanadoo.fr

    Joël Col

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