Galileo aurait adoré la carte Arduino

Le 11 juillet 2018  - Ecrit par  Aurélien Alvarez Voir les commentaires

Galilée fut le premier à énoncer l’universalité de la chute libre : « Tous les corps tombent sur la Terre de la même façon, les plus lourds comme les plus légers ». Ce principe très simple, bien qu’un peu surprenant pour quiconque a déjà lâché simultanément une plume et un kilogramme de plomb, a été testé d’innombrables fois, sur Terre, dans l’espace et même sur la Lune ! Et pour cause, il s’agit d’un principe fondamental de la physique, principe qui sera d’ailleurs repris puis généralisé au début du XX° siècle par Einstein sous le nom de principe d’équivalence, pierre angulaire de sa théorie de la gravitation.

Quand Galileo Galilei (1564-1642) revendique l’universalité de la chute libre, c’est une véritable révolution intellectuelle qu’il propose, d’autant plus qu’elle ébranle la physique d’Aristote, respectée et vénérée par l’Église depuis 2000 ans.
On ne pourra que conseiller le téléfilm Galilée ou l’amour de Dieu de Jean-Daniel Verhaeghe avec entre autres Claude Rich (Galilée) et Daniel Prévost (le grand inquisiteur), dont voici un extrait.

Dans l’extrait ci-dessous du documentaire Galilée, la naissance d’une étoile, réalisé par Philippe Tourancheau, deux reconstitutions des expériences de Galilée autour de la chute des corps sont illustrées.
Devant la difficulté de faire des mesures compte tenu de la vitesse qu’acquièrent très rapidement les objets en chute libre, Galilée eut cette remarquable intuition qu’il serait équivalent du point de vue de la physique d’étudier le mouvement de boules roulant sur un plan incliné.
Les vitesses en jeu étant cette fois beaucoup plus faibles (d’autant plus faibles que le plan est peu incliné), il devenait alors raisonnable d’espérer trouver une relation entre temps et hauteur de chute.
Idée simple et géniale.

On l’aura compris, réaliser des mesures précises n’était pas du tout chose aisée du temps du savant italien...
En effet, ce n’est pas complètement évident à l’oeil nu de voir que les deux objets lâchés par Galilée tombent bien de la même façon, notamment parce que la hauteur de chute est petite (de l’ordre du mètre) [1].
Nous allons prendre comme prétexte cette expérience toute simple de physique autour de la chute des corps pour nous amuser un peu...
Nous nous proposons donc de

  1. de mettre au point un petit dispositif expérimental permettant de mesurer le temps de chute libre d’une bille, la hauteur de chute et la vitesse de la bille en fin de chute, afin de confronter nos mesures aux idées de Galilée ;
  2. de réaliser de nombreuses mesures puis d’inférer des modèles mathématiques pour les lois de la chute libre et une valeur de l’accélération de la pesanteur grâce à un algorithme d’apprentissage dans l’article Si Galilée avait été un data scientist... ;
  3. de nous pencher plus en détail sur les mathématiques qui se cachent derrière nos algorithmes dans l’article De la méthode des moindres carrés à la descente de gradient.

In naturo veritas !

Décrivons à présent notre dispositif expérimental et les mesures que nous allons effectuer.

  • Lâcher de la bille.
    Pour contrôler précisément le lâcher d’une bille métallique, nous allons utiliser un électroaimant suspendu en haut d’une potence. Il suffit alors d’annuler la tension aux bornes de l’électroaimant pour que celui-ci libère la bille dans sa chute.
  • Hauteur de chute.
    Pour mesurer la hauteur de chute, le plus simple est d’utiliser un capteur de distance. Un tel capteur fonctionne en général sur le principe de la mesure par temps de vol (ToF ou Time of flight en anglais) et utilise des ondes sonores ou lumineuses. Celui que nous utilisons est constitué d’une diode laser qui génère de brèves impulsions. Ces dernières sont réfléchies sur l’objet dont on cherche à mesurer l’éloignement puis reviennent sur le capteur qui mesure ainsi le « temps de vol » des impulsions pour faire l’aller-retour. La vitesse de la lumière étant constante, on en déduit sans peine la distance entre le capteur et l’objet sur lequel les impulsions ont été réfléchies.
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  • Temps de chute.
    Sur le trajet de la bille en chute libre, nous plaçons perpendiculairement un faisceau laser qui éclaire directement une photorésistance, c’est-à-dire une résistance variable dont la valeur dépend de la lumière qu’elle reçoit.
    Lorsque la bille coupe le faisceau laser, la tension aux bornes de la photorésistance change brusquement ; il est ainsi possible de noter assez précisément l’instant de passage de la bille au niveau de notre capteur laser-photorésistance.
    Connaissant l’instant de lâcher de la bille, on en déduit donc le temps de chute libre.
  • Vitesse de la bille en fin de chute.
    La vitesse, c’est par définition la distance divisée par le temps.
    Nous avons vu comment mesurer la hauteur de chute et le temps de chute. En déduit-on pour autant la vitesse de la bille en fin de chute ? 🤔
    En fait non.
    Avec les deux mesures précédentes, ce que nous pouvons calculer, c’est la vitesse moyenne de la bille au cours de sa chute et non la vitesse instantanée de la bille en fin de chute.
    En effet, la vitesse de la bille est nulle au départ (puisque la bille est lâchée sans qu’on la pousse) puis la vitesse de la bille croît jusqu’à passer devant le capteur [2].
    Or ce qui nous intéresse, c’est justement cette valeur de la vitesse, à l’instant précis où la bille passe devant le capteur, et non la moyenne de la vitesse au cours de la chute [3].
    Concrètement, nous ajoutons à notre dispositif un deuxième capteur laser-photorésistance.
    Dans sa chute, la bille va successivement couper les deux faisceaux lasers qui, dans notre cas, sont espacés d’un centimètre (donc relativement proches l’un de l’autre par rapport à la hauteur de chute).
    Même si la vitesse instantanée correspond en théorie au cas de deux capteurs lasers-photorésistances infiniment proches, notre dispositif devrait tout de même nous donner une première approximation de cette vitesse instantanée.
    Ainsi, en notant $t_1$ et $t_2$ les temps respectifs de passage de la bille devant les deux capteurs, on en déduit que la vitesse $v$ de la bille en fin de chute est approximativement
    \[v \simeq \frac{1 \, \text{cm}}{t_2-t_1}.\]

Quelques précisions pour les amateurs d’électronique

Voici quelques compléments techniques sur notre dispositif pour celles et ceux qui souhaiteraient réaliser une expérimentation analogue.
Tout d’abord la liste du matériel que nous avons utilisé :

  • une grande potence et des billes métalliques ;
  • un électroaimant et une alimentation d’environ 6 V ;
  • des lasers, des photorésistances et un capteur ToF ;
  • des transistors, des résistances, des LEDs, un bouton...
  • une carte Arduino pour piloter l’électronique.
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Comment fonctionne notre dispositif ?

Un bouton permet de démarrer l’expérimentation.
À ce moment-là, l’électroaimant est mis sous tension par l’alimentation d’environ 12 volts qui lui fournit un courant suffisant (de l’ordre de 2 ampères) pour fonctionner.
L’expérimentateur dispose de cinq secondes pour placer une bille.

Dans le même temps...

...les lasers sont également mis sous tension ainsi qu’une LED rouge servant de témoin durant le temps de l’expérience.
Les 5 volts nécessaires au fonctionnement de l’ensemble de l’électronique, y compris de la carte Arduino, proviennent au choix, d’une deuxième alimentation, ou directement de l’ordinateur en charge de l’acquisition des données via un port USB.

Après cela, l’alimentation de l’électroaimant est coupée ; on note la date $t_0$ de cet événement.
La bille chute jusqu’à intercepter le premier faisceau laser, provoquant une brusque variation de tension aux bornes de la photorésistance puisque celle-ci ne reçoit plus qu’une faible partie de la lumière émise par le laser.

On note $t_1$ la date de l’événement « passage devant le premier capteur » et on allume une LED verte de témoin de fin de chute.
La bille continue de chuter jusqu’à intercepter le deuxième faisceau laser.
La tension varie alors brutalement aux bornes de la deuxième photorésistance ; on note $t_2$ la date de ce dernier événement et on éteint la LED verte de témoin.
Avec un oscilloscope, on peut s’amuser à visualiser les variations de tension aux bornes des deux photorésistances au moment du passage de la bille, ce qui nous permet de préciser ce que sont les événements $t_1$ et $t_2$ dans nos mesures : ce sont les instants correspondant aux sommets des deux signaux.

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Les données mesurées, hauteur de chute, temps de chute $\frac{t_1+t_2}{2}-t_0$ et vitesse $\frac{1 \, \text{cm}}{t_2-t_1}$ de la bille en fin de chute, sont ensuite transmises à l’ordinateur en charge d’enregistrer ces données dans un fichier et de les afficher à l’écran [4].
Finalement, l’alimentation des lasers est coupée et la LED rouge de témoin est éteinte pour signifier la fin de l’expérience.
Il suffit alors d’appuyer sur le bouton pour lancer une nouvelle expérimentation après avoir éventuellement changé de bille (et donc la masse de l’objet chutant) et fait varier la hauteur de chute.

Nous y sommes : place à l’expérience !

Après plusieurs essais avec différentes billes et différentes hauteurs de chute, on se convainc rapidement que Galilée avait vu juste 👍 : les mesures sont bien indépendantes des masses des billes, elles ne dépendent que de la hauteur de chute.

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Mais puisque nous avons construit un dispositif expérimental qui nous permet de réaliser facilement des mesures, nous pouvons essayer d’aller plus loin.
En particulier, pourrait-on inférer des modèles mathématiques pour les lois de la chute libre à partir des seules mesures ?
Galilée a remarqué que le temps de chute semblait multiplié par deux lorsque la hauteur de chute était multipliée par quatre.
Qu’en est-il exactement ?

Dans l’article Si Galilée avait été un data scientist..., nous verrons ce qu’il est possible de faire quand on dispose de suffisamment de mesures.
En particulier, nous verrons comment calculer une valeur de l’accélération de la pesanteur grâce à l’un des algorithmes d’apprentissage les plus simples.

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Post-scriptum :

Ce projet a été réalisé au sein du club d’électronique du laboratoire d’informatique de l’université d’Orléans.
Un immense merci à Vivien Pelletier et Gauthier Sornet ainsi que Jean-Michel Couvreur et Benjamin Gras pour leur immense patience, leur disponibilité et tous leurs conseils 🙏. Merci également à Pierre-Sylvain Allaume et Damien Audoux du département de physique de l’université d’Orléans pour le prêt de la potence et de l’électroaimant. Merci enfin à Grégoire Dubost, Mathilde Herblot, Newbie, Olivier Reboux pour leur relecture attentive.

Notes

[1À ce stade, la tentation est devenue trop grande pour résister plus longtemps à ne pas citer ce billet et surtout la pièce de théâtre dont il parle.

[2et même jusqu’à rebondir sur le sol...

[3Cette moyenne calculée de la vitesse n’est d’ailleurs pas une information très utile...

[4Côté logiciel, on utilise node.js pour sauvegarder les données et les afficher en temps réel dans une page web.

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Pour citer cet article :

Aurélien Alvarez — «Galileo aurait adoré la carte Arduino» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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