Gaspard Monge

Le mémoire sur les déblais et les remblais

Hors piste Le 20 janvier 2012  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (5)

Cet article fait suite à celui que j’ai consacré à la vie et à l’œuvre de Gaspard Monge.
Je me propose ici d’analyser l’un de ses mémoires les plus célèbres « sur les déblais et les remblais ».
Il me faut pour cela supposer du lecteur un peu plus de connaissances mathématiques.
Je renvoie à l’article précédent pour les notions de bases relatives aux surfaces développables.

Le mémoire

Une première version du mémoire, malheureusement perdue, est lue à l’Académie des sciences par Monge les 27 janvier et 7 février 1776
 [1].
Condorcet, alors secrétaire perpétuel, en propose la publication.
Pour une raison inconnue, Monge tarde à soumettre son manuscrit ; il semble n’avoir jamais été préoccupé par la publication rapide de ses résultats.
Une deuxième version est lue le 28 mars 1781 et un mémoire de quarante pages est finalement publié en 1784
 [2].

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première page du mémoire
Les figures de cet article peuvent être agrandies en cliquant.

Monge commence par poser de manière très claire le problème qu’il s’agit de résoudre.

« Lorsqu’on doit transporter des terres d’un lieu dans un autre, on a coutume de donner le nom de Déblai au volume des terres que l’on doit transporter, et le nom de Remblai à l’espace qu’elles doivent occuper après le transport. Le prix du transport d’une molécule étant, toutes choses d’ailleurs égales, proportionnel à son poids et à l’espace qu’on lui fait parcourir, et par conséquent le produit du transport total devant être proportionnel à la somme des produits des molécules [sic [3]] multipliées par l’espace parcouru, il s’ensuit que le déblai et le remblai étant donnés de figure et de position, il n’est pas indifférent que telle molécule du déblai soit transportée dans tel ou tel autre endroit du remblai, mais qu’il y a une certaine distribution à faire des molécules du premier dans le second, d’après laquelle la somme de ces produits sera la moindre possible, et le prix du transport total sera un minimum.

[…]

C’est la solution de cette question que je me propose de donner ici ».

Cette dernière affirmation ne trompe personne : Monge ne donne pas la solution du problème !
L’Académie des sciences, un siècle plus tard, en 1884, mettra au concours la même question à l’occasion du prix Bordin.
La description du prix, d’une valeur de 3000 francs
 [4], mentionne que :

« La théorie des lignes de courbure est présentée par l’illustre géomètre comme une remarque incidente dans l’étude de ce problème, qui jusqu’ici n’a été résolu dans aucun cas ».

Monge ne se trompe pas lui-même puisque dans la conclusion de son propre mémoire, il n’hésite pas à reconnaître qu’il n’a pas résolu le problème pratique mais qu’il est quand même satisfait d’avoir trouvé quelques propriétés nouvelles des surfaces courbes.

« La solution de ce problème [...] est très éloignée d’être applicable dans la pratique [...].
Ces considérations nous auraient empêché de traiter ce dernier cas s’il ne nous eût fourni l’occasion de publier quelques propriétés nouvelles des surfaces courbes considérées en général.
 »

Comme toujours chez Monge, la théorie et l’application sont mêlées.
Dans le cas présent, un problème pratique l’a mené à des développements théoriques qui font l’intérêt du mémoire.
Le problème initial, transporter de la terre d’un endroit vers un autre, n’est qu’une motivation.
Cela ne signifie pas que Monge n’est pas intéressé par la solution pratique ; il ne l’a simplement pas trouvée.

Le lien intime entre théorie et applications constitue une marque distinctive de nombre de publications de l’époque et c’est précisément le point sur lequel Condorcet insiste dans son rapport
 [5] :

« Ainsi, l’on voit dans les Sciences, tantôt […] des théories brillantes, mais longtemps inutiles, devenir tout à coup le fondement des applications les plus importantes, et tantôt des applications très simples en apparence, faire naître l’Idée de théories abstraites dont on n’avoit pas encore le besoin, diriger vers les théories des travaux des Géomètres, et leur ouvrir une carrière nouvelle. »

La dimension 2

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Le texte est découpé en deux parties, selon que les déblais et les remblais sont des domaines en dimension 2 ou 3.

Déblayer de la terre depuis un domaine du plan vers un autre domaine du plan est un problème concret.
Le premier domaine est le déblai.
Nous le noterons $D_1$ et nous le supposerons limité par une courbe fermée dans le plan.
De même, le remblai $D_2$ est également limité par une courbe.
Pour simplifier, Monge suppose que la densité de la terre est constante
 [6].
On suppose bien sûr que $D_1$ et $D_2$ ont la même aire.

Pour transporter la terre depuis $D_1$ vers $D_2$, il faut décider d’envoyer la « molécule de terre » située en un point $(x,y)$ de $D_1$ vers le point $F(x,y)$ de $D_2$. Ici $F$ représente une certaine application de $D_1$ vers $D_2$.
Il faut d’abord exprimer que le transport est « admissible », c’est-à-dire qu’il préserve la masse de la terre.
Cela signifie que pour chaque sous-domaine $D$ de $D_1$, l’aire de $D$ (proportionnelle à la masse de terre) est égale à celle de $F(D)$.

Le prix d’un tel transport $F$ est « proportionnel à la somme des produits des [poids des ] molécules multipliées par l’espace parcouru ».
La molécule située au point $(x,y)$ pèse un poids (proportionnel à) $dx dy$ et elle est transportée sur une distance $ \vert \vert F ( x,y ) -(x,y) \vert \vert$.
En formule, le prix du transport est donc proportionnel à
\[ \int\int_{D_1} \vert \vert F ( x,y ) -(x,y) \vert \vert dx dy. \]
Le problème de Monge consiste donc à trouver le transport admissible qui a le plus petit prix.

Dans une deuxième partie, Monge se
penche sur le problème de déblais et remblais dans l’espace.
Il est plus difficile d’imaginer un transport d’un domaine $D_1$ dans l’espace vers un autre domaine $D_2$ dans l’espace.
Il faudrait que la brouette qui transporte la terre suive un segment qui joint deux points dans l’espace !
Une brouette volante en quelque sorte !
Nous y reviendrons longuement.

Monge veut surtout présenter « quelques propriétés nouvelles des surfaces courbes considérées en général ».
La première partie est intéressante, certes, mais je pense qu’elle ne sert que de préparation à la deuxième. Examinons-la à ce titre.

Les routes ne se rencontrent pas

La première grande idée du mémoire est simple et belle, comme on en trouve parfois dans les articles exceptionnels.
Aujourd’hui, on dirait qu’il s’agit d’un lemme :

« Les routes suivies par deux points quelconques ne peuvent se rencontrer entre leurs extrémités ».

La preuve résulte du fait bien connu que la ligne droite est le plus court chemin entre deux points. Si un transport envoie le point $A$ sur $a$ et $B$ sur $b$ et si les segments $Aa$ et $Bb$ se coupent, on peut modifier le transport en décidant d’envoyer la molécule $A$ sur la molécule $b$ et $B$ sur $a$ ; le prix du transport sera moindre car la somme des distances $Ab+Ba$ est inférieure à $Aa+Bb$.

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Cette idée a été incroyablement féconde par la suite
 [7].

Intermède : le problème de l’existence du minimum

À aucun moment Monge ne semble mettre en cause l’existence du transport optimal.
Il ne faut pas en être surpris ; ce n’était pas une question qu’on se posait au dix-huitième siècle.
Le problème se décompose en deux parties :

  • Étant donnés deux domaines $D_1$ et $D_2$ dans le plan, de même aire, est-il évident qu’il existe une transformation $F$ de $D_1$ sur $D_2$ qui respecte l’aire ?
    Par exemple, pouvez-vous expliciter un tel $F$ entre un carré de côté $1$ et un disque de rayon $1/\sqrt{\pi}$ dont l’aire est 1 ?
    Peut-on imposer à $F$ d’être continue
     [8] ? Ou peut-être même différentiable ?
    Ces problèmes ne sont pas faciles et ne seront vraiment compriss qu’au vingtième siècle.
  • Même en admettant l’existence d’une transformation $F$ entre $D_1$ et $D_2$, en existe-t-il une qui minimise le prix ?
    Riemann, au milieu du dix-neuvième siècle, construisait des « fonctions harmoniques » en minimisant une énergie sans discuter de l’existence de ce minimum.
    Il faudra attendre longtemps, d’une part, pour qu’on se pose la question et, d’autre part, pour qu’on démontre l’existence des fonctions harmoniques : ce n’est que vers la fin du dix-neuvième siècle qu’on disposera des outils théoriques adéquats.

Quoi qu’il en soit, il a fallu du temps pour montrer qu’il existe effectivement un transport optimal dans le problème de Monge.
Il y eut d’abord une démonstration de Sudakov en 1979, puis une autre de Evans et Gangbo en 1999.
Hélas, Ambrosio a remarqué par la suite que la preuve de Sudakov est fausse mais... en a obtenu une autre en 2003.
Trudinger-Wang et Caffarelli-Feldman-McCann ont également proposé d’autres preuves reposant sur d’autres hypothèses.
Il aura fallu plus de deux siècles !

Continuons donc la lecture du mémoire en admettant l’existence du transport optimal.

Un deuxième lemme

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Considérons une droite qui rencontre à la fois le déblai et le remblai. Si les parties du déblai et du remblai qui sont d’un même côté de cette droite ont la même aire, on dit parfois que la droite est une équisécante. Sur la figure de Monge $BDbd$ est une équisécante et coupe les déblais et remblais en deux morceaux $BAD$ et $bad$, de même aire.
Monge affirme que le transport optimal doit nécessairement transporter le morceau $BAD$ sur le morceau $bad$.

Malheureusement ce deuxième lemme du mémoire est faux,
au sens où il n’est pas aussi général que l’énoncé le laisse croire.
Monge le sait, mais il laisse son lecteur dans l’erreur ; il le fait attendre.
Huit pages plus loin, on lit en effet que la « solution précédente est illusoire ».
Plus précisément, elle n’est pas toujours valable.

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La « preuve » est indiquée sur la figure
 [9] : si un point $K$ de $BAD$ était transporté ailleurs, par exemple en $k$, comme les aires des deux côtés sont les mêmes, il faut bien qu’un point extérieur à $BAD$, par exemple le point $L$, soit transporté à l’intérieur de $bad$ en $l$.
Jusque-là, tout va bien !
Mais Monge en conclut que $Kk$ et $Ll$ se coupent, comme sur la figure.
Évidemment, sur la figure c’est ce qui se passe… mais il n’est pas difficile de trouver des situations où ce n’est pas forcément le cas.

Ce lemme est pourtant vrai dans de nombreux cas intéressants.

Lorsqu’il n’est pas valable, Monge propose une solution de rechange... pas très convaincante.
J’y reviendrai.

Pour continuer la lecture, faisons comme s’il avait raison.

La solution proposée par Monge en dimension 2

Une droite dans le plan dépend de deux paramètres.
Il suffit pour s’en convaincre de constater que l’équation $y=ax+b$ contient les deux paramètres $a$ et $b$.
La condition qu’une droite est une équisécante exprime une relation entre $a$ et $b$.
Monge affirme donc que les équisécantes forment une famille qui dépend d’un paramètre.

La description des familles à un paramètre de droites du plan était bien connue de Monge. Supposons qu’on dispose d’une droite $\Delta(t)$ qui dépend du paramètre $t$. Les deux droites infiniment proches $\Delta(t)$ et $\Delta (t+dt)$ se rencontrent un certain point $p(t)$ qui décrit donc une courbe lorsque $t$ varie. Cette courbe est appelée l’enveloppe de la famille de droites $\Delta(t)$. Réciproquement, étant donnée une courbe, on peut considérer la famille de ses tangentes en ses divers points ; c’est une famille à un paramètre.

Par exemple, les normales à une courbe enveloppent sa développée (voir l’article précédent).
Dans la situation de Monge, la famille des équisécantes enveloppe une certaine courbe.
Autrement dit, il existe une courbe dont les tangentes sont les équisécantes.
Reprenons la figure déjà présentée.

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L’enveloppe est représentée à gauche.
La situation agréable, celle où la solution de Monge fonctionne, est celle où le déblai et le remblai sont du même côté de l’enveloppe, comme sur la figure.
La solution de Monge est alors très simple : pour chaque équisécante, on transporte $BD$ sur $bd$.

Il reste à savoir comment on transporte chacun de ces intervalles $BD$ sur l’intervalle $bd$ correspondant.
La seule contrainte est de faire en sorte que la masse soit préservée.
On peut le faire de nombreuses manières si on n’impose pas de condition de continuité mais Monge suggère de transporter de manière croissante, le point $B$ étant transporté au point $b$, et le point $D$ en $d$.

Si l’enveloppe pénètre dans le déblai ou le remblai, la preuve ne fonctionne plus.
Monge a conscience de ce problème.
Il suggère de couper le déblai et le remblai en morceaux bien choisis — il ne dit pas comment — et d’appliquer la méthode précédente aux morceaux.

Voici deux figures extraites d’un mémoire de 1822 de Dupin clarifiant la situation
 [10].
À gauche, il s’agit de transporter de manière optimale la forme ovoïde supérieure sur le domaine en forme de haricot.
Il faut d’abord expliquer pourquoi sur la figure les routes ne sont pas des segments : Dupin, pour aller plus loin que son maître, considère un cas un peu plus raisonnable que Monge où le terrain n’est pas plat si bien que les routes sont plutôt ce que nous appelons des géodésiques que des segments.
Cependant, le problème traité par Dupin est fondamentalement le même.

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On observe que les équisécantes se coupent à l’intérieur du déblai : l’enveloppe est mal placée
 [11].

À droite Dupin représente le transport optimal, qui n’est pas continu.
Il présente une discontinuité le long d’une courbe de rupture $DD'D''D'''$.
Il faut imaginer que le transport optimal consiste en quelque sorte à déchirer le domaine ovoïde le long de cette courbe.

Dupin explicite, maladroitement, une équation différentielle ordinaire, du troisième ordre, que doit satisfaire cette courbe séparatrice.
Il serait vraiment intéressant de reprendre ces arguments avec les méthodes mathématiques d’aujourd’hui.

La dimension 3

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Passons à la seconde partie, en dimension 3, dans laquelle les molécules de terre voyagent sur des trajectoires rectilignes dans l’espace.
En me promenant dans un parc public, j’ai vu une œuvre d’art expliquant l’idée de Monge.

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Erupcion
Sergio Castelliano, Parque de Las Esculturas, Providencia, Santiago du Chili.

Saint-Germain, un candidat malheureux au prix Bordin de 1884, écrira :
 [12] :

« Monge suppose que toutes les parcelles qu’il considère sont transportées sur des lignes droites dont la longueur seule l’intéresse. Il résout un problème de géométrie pure qui le conduit à une de ses plus belles découvertes, celle des propriétés fondamentales des congruences de droites et des normales aux surfaces ; d’ailleurs ces propriétés, qui constituent les résultats de beaucoup les plus importants du mémoire, y sont données sous forme de lemmes, presque de hors-d’œuvre. Quant au problème que Monge s’est posé, sa solution laisse beaucoup à désirer, moins parce qu’elle est très loin d’être explicite que parce qu’elle s’appuie sur des propositions si mal établies qu’on peut douter de leur exactitude, quand on ne les trouve pas manifestement en défaut. »

Congruences de droites

On appelle aujourd’hui congruence de droites une famille de droites dans l’espace qui dépend de deux paramètres. Dans son mémoire, Monge se lance dans une étude détaillée des congruences, sans expliquer le lien avec son problème de déblai et de remblai. Je traiterai donc mon lecteur de la même manière que Monge en le faisant patienter, sans réelles motivations, à part le plaisir « d’établir quelques propositions de Géométrie ». L’étude des congruences sera reprise plus tard dans les ouvrages d’enseignement de Monge
 [13]
et
 [14].

La figure ci-dessous en présente un exemple : à chaque point du carré jaune est associée une droite.

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Notez en passant qu’une droite dans l’espace dépend de quatre paramètres.
Pour s’en convaincre, il suffit de fixer deux plans si bien qu’une droite est entièrement déterminée par ses deux intersections avec ces plans.

Dans le plan, nous avons vu qu’une famille de droites dépendant d’un paramètre n’est autre que la famille des tangentes à une certaine courbe, son enveloppe.
Dans l’espace, une famille de droites dépendant d’un paramètre définit une surface réglée.
En général, cette famille n’est pas formée des tangentes à une courbe ; cela n’est le cas que si la surface est développable.

Dans ce contexte, il est très naturel de considérer les familles de droites dépendant de deux paramètres.
Les exemples abondent dans le monde de Monge.
Considérez par exemple l’ensemble des droites qui sont simultanément tangentes à deux surfaces, par exemple deux ellipsoïdes : c’est une congruence.
On peut penser à un autre exemple de nature optique.
Le faisceau des rayons issus d’une source lumineuse ponctuelle est une congruence très simple : une droite passant par un point de l’espace dépend en effet de deux paramètres. Lorsque ce faisceau lumineux a traversé quelques lentilles ou s’est réfléchi sur quelques miroirs concaves ou convexes, il s’agit toujours d’une famille à deux paramètres de droite : la congruence est devenue plus intéressante.

Voici la proposition fondamentale concernant les congruences de droites, telle qu’elle est formulée par Monge :

Si par tous les points d’un plan, l’on conçoit des droites menées dans l’espace, suivant une loi quelconque,
et qu’on considère une de ces droites, je dis que de toutes celles qui l’environnent et qui en sont infiniment proches,
il n’y en a généralement que deux qui la coupent et qui soient par conséquent dans un même plan avec elle
.

Dans ce paragraphe et les deux qui suivent, je vais tenter d’expliquer ce que Monge veut dire lorsqu’il parle des « deux droites infiniment proches » qui coupent une droite donnée dans une congruence.

La figure précédente montrait un exemple très simple de congruence.
Il s’agit de la famille des droites qui rencontrent deux droites fixées $\Delta_1,\Delta_2$ dans l’espace (en rouge sur la figure).
On voit en effet que les droites bleues qui passent par un segment parallèle à l’un des côtés du carré jaune sont coplanaires et passent toutes par le même point (de $\Delta_1$ ou de $\Delta_2$).
Autrement dit, pour chaque $p$ point de $\Delta_1$ (respectivement $\Delta_2$), les droites issues de $p$ et passant par $\Delta_2$ (respectivement $\Delta_1$) sont bien sûr coplanaires. Le lecteur vérifiera que cette congruence, il n’y a pas d’autres paires de droites coplanaires.
L’énoncé de Monge affirme qu’une congruence générale a ce type de comportement au niveau infinitésimal.

Observez la vidéo suivante, pour une congruence moins particulière.

Dans cette congruence, j’ai extrait deux familles à un paramètre : les droites bleues et les droites orange.
Vous voyez que deux droites bleues ou orange consécutives sont presque coplanaires.

La preuve de Monge va nous permettre de préciser l’énoncé du théorème.

Je modifie très légèrement les notations de Monge.
Au point $(x,y,0)$, on considère la droite dirigée par le vecteur $(A(x,y),B(x,y),1)$.
Au point $(x+dx,y+dy,0)$, la droite dirigée par $(A+dA,B+dB,1)$.
Ces droites sont infiniment proches.
Elles sont coplanaires si le déterminant
\[\left| \begin{array}{ccc} dx & dy & 0\\ A & B & 1\\ A+\frac{\partial A}{\partial x} dx +\frac{\partial A}{\partial y} dy & B+\frac{\partial B}{\partial x} dx +\frac{\partial B}{\partial y} dy & 1 \end{array} \right| \]
s’annule (bien sûr Monge ne parle pas de déterminant).
C’est une équation du second degré en $dy/dx$, qui a donc deux solutions.

Si on considère une courbe dans le plan $(x,y)$ dont la pente en chaque point est l’une de ces deux solutions, elle définit une famille de droites à un paramètre dont deux « consécutives » sont coplanaires. C’est ce que Monge veut dire lorsqu’il écrit « que de toutes celles [qui] environnent [une droite donnée de la congruence] et qui en sont infiniment proches,
il n’y en a généralement que deux qui la coupent et qui soient par conséquent dans un même plan avec elle ».

Digression : la géométrie complexe

Monge sait bien que parfois les équations du second degré n’ont pas de racines réelles, et que cette situation pourrait se présenter, mais il ne le signale pas.
D’ailleurs, son théorème est faux et parfois ces équations n’ont effectivement pas de racines (réelles).
Voici un contre-exemple.

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Il s’agit de ce qu’on appelle (aujourd’hui) la fibration de Hopf (mais nous voilà au vingtième siècle).
Vous ne trouverez aucune paire de droites coplanaires dans la figure précédente, même au niveau infinitésimal.

La fibration de Hopf

On envisage d’abord ${\bf R}^4$ comme ${\bf C}^2$.
On associe ensuite au point $(z_1,z_2)$ de ${\bf C}^2$ la droite complexe engendrée par $(z_1,z_2)$.
Cette droite complexe peut être considérée comme un plan réel, de dimension 2.
Par chaque point de ${\bf R}^4$ moins l’origine, on obtient ainsi un plan bien défini.
C’est une famille à deux paramètres réels, puisque ce plan ne dépend que du nombre complexe $z_2/z_1$.
Choisissons maintenant un certain espace $E$ de dimension 3 dans ${\bf R}^4$ qui ne passe pas par l’origine, par exemple ${\bf R}^3\times \{1\}$.
Notre famille à deux paramètres de plans dans ${\bf R}^4$ rencontre $E$ sur une famille à deux paramètres de droites, c’est-à-dire une congruence.
C’est ce que la figure représente.

Monge commet-il une erreur en oubliant que cette équation du second degré peut ne pas avoir de racines (réelles) ?
Je ne le pense pas.
On présente souvent la « géométrisation des nombres complexes » comme datant seulement du début du dix-neuvième siècle, avec Gauss en particulier.
En 1908, Darboux reviendra sur « la nécessité d’introduire franchement et complètement les imaginaires en géométrie »
 [15] : ce sera l’une des grandes idées de la géométrie algébrique du dix-neuvième.
Cependant Monge, dès 1781, n’hésite pas à se placer d’emblée dans une « géométrie complexe ».
Dans ses écrits postérieurs, par exemple dans son cours à l’École Polytechnique
 [16], Monge décrira même des surfaces imaginaires, alors que Gauss n’a pas encore 15 ans.

Description des congruences

Reprenons le texte de Monge et tentons d’interpréter ce que signifie :

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Voici la figure que Monge avait probablement en tête.

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Si on se déplace dans l’espace de dimension 2 des paramètres (le carré rouge sur la figure) en restant constamment tangent à l’une de ces deux directions pour lesquelles les droites sont coplanaires au niveau infinitésimal, ces droites balayent une surface développable. On obtient, selon la direction prise au départ, deux surfaces différentes qui s’intersectent le long de la droite de départ.

Sur la figure, on a représenté deux de ces deux surfaces développables en jaune et en bleu.
Les surfaces jaunes et bleues sont engendrées, chacune, par une famille de droites à un paramètre.
La collection des surfaces jaunes (ou bleues) forme une famille à un paramètre.

Monge conclut donc que toutes les droites de la congruence sont les intersections de deux suites de surfaces développables. Il faut bien sûr entendre ici le mot « suite » comme signifiant « famille à un paramètre ».

On peut présenter les choses autrement.
Chacune de ces surfaces développables est formée des tangentes à une certaine courbe dans l’espace.
On obtient ainsi deux familles à un paramètre de courbes dans l’espace qui balayent donc deux surfaces $S_1,S_2$, en vert sur la figure.
Le lien entre la congruence initiale et le couple de surfaces $S_1,S_2$ est clair : les droites de la congruence sont les droites qui sont tangentes à la fois à $S_1$ et à $S_2$.

En résumé, Monge affirme que toute congruence peut être réalisée comme la famille à deux paramètres formée des droites qui sont simultanément tangentes à deux surfaces.

D’une certaine manière, on pourrait dire (ce que Monge ne fait pas) que les surfaces $S_1$ et $S_2$ forment l’enveloppe de la congruence.

Un exercice

Considérez deux boules disjointes dans l’espace, de rayons différents.
Pouvez-vous décrire la congruence formée des droites qui sont tangentes aux deux sphères correspondantes ?

Les normales à une surface

Monge étudie ensuite un cas particulier de congruence : celle qui est définie par les normales à une certaine surface.
Il affirme alors que ces congruences particulières sont simplement caractérisées par le fait que les deux familles de surfaces développables sont perpendiculaires entre elles.

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La preuve proposée par Monge est un (horrible) calcul.
Dupin montrera plus tard comment on peut voir cela géométriquement.
Par ailleurs, Monge ne démontre que le sens facile de l’équivalence : les développables associées aux normales à une surface sont effectivement perpendiculaires entre elles. La réciproque est pourtant plus intéressante et sera utilisée par Monge pour le transport optimal.
Nous admettrons ce résultat sans autre forme de procès.

On ne voit toujours pas le rapport avec le transport mais Monge peut être satisfait.
Il a obtenu pour les surfaces l’analogue de ce que Huyghens avait obtenu pour les courbes : les normales à une courbe enveloppent une développée, lieu des centres de courbures.

La famille des normales à une surface $\Sigma$ est constituée des droites qui sont tangentes simultanément à deux surfaces $S_1$ et $S_2$ qui sont bien évidemment les lieux des centres de courbures de la surface $\Sigma$.
Rappelez-vous en effet que par chaque point d’une surface passent deux lignes de courbures qui ont chacune un centre de courbure.

Voici comment Monge décrit cela :

« Quoi que cette proposition ne semble avoir qu’un rapport éloigné avec la belle théorie des rayons de courbure des surfaces courbes qu’a donnée Euler [...], elle complète le travail de l’illustre géomètre sur cette matière : car les deux points où chaque normale est coupée par les deux normales voisines sont précisément les extrémités des deux rayons de plus grande et de moindre courbure, en sorte que les intersections de la surface courbe avec les surfaces développables qui composent la première suite, sont les lignes de moindre courbure de la surface, et que les intersections avec les surfaces développables qui composent l’autre suite sont les lignes de plus grande courbure ».

Ces lignes tracées sur la surface par les surfaces développables en question, Monge les baptise « lignes de courbure ».

Regardez cette animation.

Retour au transport en dimension 3

Après cette longue discussion sur les congruences, Monge revient enfin à son problème de déblais et de remblais. Il présente alors une argumentation... confuse.

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Il commence par affirmer que lors d’un transport optimal en dimension 3, les routes ne se croisent pas. Accordons-lui cela, même si le phénomène que nous avons vu en dimension 2, lorsque l’enveloppe pénétrait dans le déblai ou le remblai et qu’une ligne de déchirure apparaissait, eh bien ce phénomène, on s’en doute, va se reproduire...

Il est plus difficile d’extraire de ce texte l’affirmation que le transport doit s’effectuer le long d’une certaine congruence. Voilà donc enfin le lien cherché entre le problème initial et l’étude des congruences !

Notons encore $D_1$ et $D_2$ le déblai et le remblai et $F$ le transport. Un point de $D_1$ dépend de trois coordonnées $(x,y,z)$ si bien qu’on pourrait a priori penser que la famille de droites joignant $(x,y,z)$ à $F(x,y,z)$ dépend de trois paramètres. Or c’est précisément le fait que « les routes ne se croisent pas » qui implique que cette famille ne dépend en fait que de deux paramètres. Pour le « justifier », Monge observe d’abord ce qu’il appelle les routes extrêmes, c’est-à-dire celles qui partent du bord du déblai. Ces routes, étant paramétrées par la surface qui forme le bord du déblai, définissent une congruence. La réunion des ces routes balaye alors un domaine de dimension 3 qui contient le déblai. Tout point intérieur au déblai se situe donc sur la route d’un certain point du bord, et puisque deux routes différentes ne peuvent se rencontrer qu’en leurs extrémités, il en résulte que tout point intérieur suit la même route qu’un certain point du bord. En particulier, la famille de toutes les routes n’est pas de dimension 3, comme on pouvait le penser a priori, mais de dimension 2 : c’est une congruence.
L’argument de Monge est certainement rapide et peu précis...

Un exercice

Le lecteur pourra tenter de montrer le fait suivant. Soit $F :D_1 \rightarrow {\bf R}^3$ une application différentiable définie sur un ouvert de ${\bf R}^3$. On suppose que pour tous $p,q$ dans $D_1$ les deux segments $[p,F(p)]$ et $[q,F(q)]$ sont ou bien disjoints, ou bien se rencontrent en une de leurs extrémités, ou bien sont situés dans une même droite. Alors, la famille des droites joignant $p$ à $F(p)$ est une congruence.

Monge affirme également qu’il est évident que pour que le transport soit optimal, il faut que les surfaces développables soient perpendiculaires et donc, que toutes les routes soient normales à une même surface.

Son argument ?

« Il est évident que ces angles doivent être droits, car sous ces angles les espaces élémentaires compris entre quatre surfaces développables seront plus grands, et à distances égales la masse transportée sera plus grande ; donc dans le cas d’un minimum, les routes des molécules doivent être les intersections de deux suites de surfaces développables telles que chaque surface de la première suite coupe toutes celles de la seconde en lignes droites et à angle droit ».

On n’y comprend rien.

Dupin proposera un argument en 1822 mais qui n’est pas valable.
Saint-Germain écrira avec gentillesse en 1886 :

« De bons esprits ont regardé son analyse comme étant sans portée, c’est aller trop loin, mais elle est certainement incomplète. »

Saint-Germain donne alors un argument géométrique assez élaboré pour justifier l’assertion de Monge.

On peut donc « conclure » que dans un transport optimal, les routes sont les normales à une certaine surface : c’est le « théorème de Monge ».

Monge-Ampère

Il reste à déterminer cette surface ; c’est le plus difficile.

Le problème est donc le suivant :

On dispose d’un déblai et d’un remblai dans l’espace.
On cherche une surface, disons d’équation $z=z(x,y)$ dont les normales dirigent le transport.
Il s’agit de prendre un parallélogramme infinitésimal sur la surface dont les sommets sont
$(x,y)$, $(x+dx,y)$, $(x,y+dy)$ et $(x+dx,y+dy)$
et d’envisager le tube formé par les normales qui émanent de cet élément.
Ce tube découpe le remblai et le déblai sur deux morceaux et il faut exprimer que ces deux morceaux ont le même volume.

Monge mène parfaitement ce calcul.

On dispose d’une surface $S$ dans ${\bf R}^3$ et on considère l’application $p\in S \mapsto p+ r N(p)$ où $N(p)$ est le vecteur unitaire normal à $S$ au point $p$ et $r$ est une certaine constante.
Cette application envoie $S$ sur une autre surface.
Montrons que le facteur par lequel cette application dilate l’aire est égal à $(1+k_1r)(1+k_2r)$ où $k_1$ et $k_2$ sont les deux courbures principales.

Cela résulte du théorème de Monge.
Les directions de courbures principales sont orthogonales.
La surface réglée formée par les normales à une ligne de courbure est développable.
Au niveau infinitésimal, les normales le long d’une ligne de courbure convergent vers le centre de courbure correspondant.
La figure suivante montre que, le long d’une ligne de courbure, le coefficient de dilatation de la longueur est $(1+k_1r)$ (car la courbure $k_1$ est l’inverse du rayon $R_1$).

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La dilatation de l’aire est donc bien $(1+k_1r)(1+k_2r)$, comme annoncé.
On peut écrire $(1+k_1r)(1+k_2r)=(1+2Hr+Kr^2)$ où $H=(k_1+k_2)/2$ est la courbure moyenne et $K=k_1k_2$ est la courbure gaussienne.
Ces deux nombres $H$ et $K$ se calculent explicitement en fonction des dérivées partielles du premier et du second ordre de $z$ par rapport à $x,y$.

En utilisant cela, et d’autres calculs de moindre intérêt, Monge parvient finalement à l’équation suivante pour la fonction inconnue $z(x,y)$.

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On voit ici apparaître ce qu’on appelle aujourd’hui le hessien de la fonction $z(x,y)$, c’est-à-dire le déterminant de la matrice des dérivées secondes de $z$ par rapport à $x$ et $y$.

Il s’agit de la première apparition de l’équation de Monge-Ampère, devenue célèbre par la suite. C’est une belle équation aux dérivées partielles du second ordre qui n’est ni linéaire ni quasi-linéaire mais qui est linéaire en le hessien et les dérivées partielles secondes.
Le nom d’Ampère est associé à cette équation parce que bien plus tard, en 1820, Ampère écrira un mémoire important sur ce type d’équations aux dérivées partielles.

Est-il possible de résoudre cette équation ?

Les affirmations de Monge à ce sujet sont un peu ... optimistes.
Il commence par annoncer qu’il s’agit d’une équation d’ordre 2, ce qui est bien sûr correct, puis il affirme que la solution générale dépend « donc » de deux fonctions arbitraires d’une variable.

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Monge a probablement à l’esprit ce qu’on appelle aujourd’hui le problème de Cauchy.
Il ne pense qu’aux solutions locales et chez lui toutes les fonctions sont supposées analytiques.
Il a donc raison d’affirmer que localement les solutions dépendent de deux fonctions d’une variable.
C’est un peu comme l’équation de Laplace $\frac{\partial ^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 z}{\partial y^2} =0$.
Lorsqu’on en cherche une solution analytique locale au voisinage de l’axe des $y$, on peut fixer n’importe quelle fonction analytique réelle sur cet axe et on peut également prescrire la dérivée partielle par rapport à $x$ sur ce même axe.
La solution est alors localement unique.
Monge connaît tout cela bien sûr.

Le problème de Cauchy

Commençons par une équation différentielle ordinaire du premier ordre dans laquelle il s’agit de déterminer une fonction $y(x)$ d’une variable réelle $x$ et à valeurs dans ${\bf R}^n$ vérifiant $\frac{dy}{dx}=F(x,y)$. Ici $F$ désigne une fonction suffisamment régulière (par exemple de classe $C^1$). Le théorème fondamental (attribué d’ordinaire à Cauchy et Lipschitz, même s’il est le résultat d’un long processus) affirme que pour tout $x_0\in {\bf R}$ et $y_0\in {\bf R}^n$, il existe une unique solution locale $y(x)$ définie au voisinage de $x_0$ qui vérifie $y(x_0)=y_0$. La condition initiale détermine donc une unique solution locale.

Pour une équation différentielle du second ordre de la forme
\[\frac{d^2y}{dx^2}= F(x,y,\frac{dy}{dx})\]
on dispose d’un théorème analogue dans lequel la condition initiale consiste à fixer la valeur de la fonction inconnue et de sa dérivée en un point quelconque $x_0$.

Pour les équations aux dérivées partielles, la situation est bien sûr plus compliquée.
Cherchons par exemple une fonction $z(x,y)$ des variables réelles $x,y$ et à valeurs réelles, vérifiant $\frac{\partial z}{\partial x} = F(x,y, z, \frac{\partial z}{\partial y})$. Fixer une condition initiale revient ici à imposer la valeur de la fonction inconnue lorsque $x=x_0$, c’est-à-dire sur une droite. La condition initiale est donc maintenant une fonction d’une variable. Malheureusement, le théorème de Cauchy ne se généralise pas si simplement. La généralisation est cependant possible si $F$ est une fonction analytique réelle (ce qui suffisait bien à Monge) et on a en effet une unique solution analytique réelle locale pour chaque condition initiale analytique réelle. C’est le théorème de Cauchy-Kowalesky dont des versions primitives étaient à la disposition de Monge. En ce sens, la solution générale de l’équation aux dérivées partielles précédente « dépend d’une fonction d’une variable ».

Pour une équation aux dérivées partielles du second ordre, comme celle de Monge-Ampère, de la forme
\[\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = F(x,y, z, \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial y ^2}), \]
on dispose d’un théorème analogue. Pour déterminer une solution locale, il suffit de fixer la valeur de la fonction cherchée ainsi que sa dérivée partielle du premier ordre par rapport à $x$ le long de l’axe $x=x_0$.
En ce sens, la solution générale de l’équation aux dérivées partielles précédente « dépend de deux fonctions d’une variable ».

Un bon exercice consiste à s’assurer de cela pour l’équation de Laplace \[\frac{\partial ^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 z}{\partial y^2} =0.\]
Les solutions locales sont les fonctions harmoniques, parties réelles des fonctions holomorphes. En cherchant naïvement des solutions développées en séries de puissances de $x,y$, on constate que les coefficients de cette série se calculent par récurrence à partir des développements des deux fonctions $z(0,y)$ et $\frac{\partial z}{\partial x}(0,y)$. Il faut ensuite s’assurer de la convergence de la série trouvée. Cette dernière question ne préoccupait pas Monge.

Monge commet alors une erreur, qui lui sera reprochée par Appell un siècle plus tard.
Notez qu’Appell reprochera l’erreur mais ne la réparera pas...
Monge affirme que les deux fonctions arbitraires sont déterminées par les valeurs qu’elles prennent au bord.
Ce n’est pas correct.
Il laisse entendre que la simple observation de la géométrie détermine la normale à la surface le long de son bord.
Considérez l’enveloppe des plans qui sont à la fois tangents au déblai et au remblai.
C’est une surface développable : les droites qui l’engendrent forment une famille à un paramètre.
Chacune de ces droites joint un point du bord du déblai à un point du bord du remblai.
Monge semble penser, tort, que ces droites particulières sont des routes employées par le transport optimal et forment ainsi des normales à la surface inconnue, le long de son bord.
Ceci déterminerait les deux fonctions d’une variable dont dépend la solution générale de l’équation aux dérivées partielles.
En effet, le bord de la surface cherchée est une courbe, et se donner le vecteur unitaire normal à la surface le long de cette courbe revient à se donner deux fonctions réelles sur cette courbe.
Mais, la famille des droites tangentes à la fois au déblai et au remblai ne forme pas une famille à un paramètre mais une congruence, à deux paramètres : Monge le savait pourtant !
Les routes extrêmes ne sont pas déterminées a priori par la géométrie.
Sur les deux fonctions à déterminer, la condition au bord n’en détermine qu’une.
Comment déterminer l’autre ?
Ce n’est pas clair.

En termes modernes, il s’agit d’un problème elliptique non linéaire, ce que Monge ne pouvait pas savoir en ces termes.
Reprenons l’exemple des fonctions harmoniques.
Localement une telle fonction harmonique dépend de deux fonctions d’une variable.
Mais lorsqu’on cherche une fonction harmonique sur un disque, la seule valeur au bord suffit : elle détermine automatiquement les dérivées normales.
C’est le miracle de l’ellipticité, que Monge ne pouvait pas deviner.
On ne comprendra cela que 150 ans plus tard.

Le problème de Dirichlet

Les fonctions harmoniques dans un disque vérifient le « principe du maximum », c’est-à-dire que leur maximum est atteint sur le bord. Il en résulte facilement que deux fonctions harmoniques qui sont égales sur le bord sont égales partout. On peut par ailleurs montrer que toute fonction continue sur le bord du disque se prolonge en une (unique) fonction harmonique à l’intérieur du disque. C’est le « problème de Dirichlet » qui n’est pas très difficile dans ce cas — pour un mathématicien d’aujourd’hui — puisque la fonction harmonique cherchée est donnée explicitement par la « formule de Poisson ».

Cet exemple montre que même si une fonction harmonique dépend localement de deux fonctions d’une variable réelle, une fonction harmonique globalement définie dans un disque ne dépend que d’une seule fonction d’une variable réelle. Le même phénomène, en plus compliqué, se reproduit pour l’équation non-linéaire de Monge-Ampère.

D’autres questions

Le mémoire de Monge discute de questions plus générales que je ne décrirai pas ici.

Par exemple, il étudie le « cas où les routes des molécules seroient assujetties à passer par des points déterminés comme des ponts jetés sur une rivière ou des portes pratiquées dans un mur qui sépareroit les remblais et les déblais ».

Il étudie également le problème où le remblai n’est pas complètement déterminé, comme par exemple lorsqu’il faut transporter au meilleur prix un déblai vers un remblai dont on demande seulement qu’il soit d’un côté d’une droite donnée.

La suite

J’ai déjà signalé le mémoire de Dupin, datant de 1822, qui éclaircira quelques-uns des aspects ténébreux du mémoire de Monge.
Dupin traite de nombreux exemples concrets et généralise le problème à des terrains qui ne sont plus supposés horizontaux, si bien que les routes ne sont plus des droites.
De manière plus importante, Dupin essaye de comprendre la situation où l’enveloppe des équisécantes pénètre dans le remblai.
Ses observations sont judicieuses mais très éloignées de nos standards de rigueurs d’aujourd’hui.

En 1884, l’Académie des sciences met la question au concours.
La commission, composée de MM. Hermite, Jordan, Bertrand, Bonnet et Darboux (rapporteur) partage le prix Bordin en 1886 : 2000 francs pour Paul Appell et 1000 francs pour Otto Ohnesorge.
Elle attribue une mention spéciale pour Albert de Saint-Germain.
Je n’ai pas pu consulter le mémoire de Ohnesorge.
Je considère cependant que le mémoire de Saint-Germain est bien supérieur à celui d’Appell (ce dernier d’une longueur de 208 pages !)
 [17]
.
Il faut bien reconnaître pourtant qu’aucun des deux ne fait véritablement de progrès significatif.
Alors qu’il ne fallait pas s’étonner que Monge, au dix-huitième siècle, n’envisage pas la question de l’existence d’un transport minimisant le prix, il est plus surprenant qu’à la fin du dix-neuvième siècle cela ne soit toujours pas abordé, ni même mentionné dans le rapport de la commission.

En 1925, Appell publie sur les déblais et les remblais une note aux Comptes rendus de l’Académie, puis un article dans Acta Mathematica et enfin, en 1928, soit 42 ans après son prix Bordin, un autre mémoire
 [18] (de 42 pages seulement) à l’Académie des sciences.
Ce mémoire n’ajoute (presque) aucun résultat (et n’aborde toujours pas le problème de l’existence).
De manière plus surprenante encore, Appell recopie mot à mot les dix premières pages du mémoire de Saint-Germain, son concurrent malheureux pour le prix Bordin !
Comment comprendre un tel plagiat ?
Le nom de Saint-Germain
 [19] apparaît de manière discrète, à propos d’un point de détail, certainement pas comme l’auteur des dix pages en question.
En 1928, Appell était un scientifique reconnu, ancien recteur de l’université de Paris, membre de l’Académie des sciences, engagé politiquement, précurseur du CNRS, etc.
Quelle nécessité a poussé ce grand savant, à 73 ans, à republier un mémoire de jeunesse et d’y adjoindre une introduction « empruntée » à un mathématicien inconnu ?

En 1951, René Taton ne manque pas d’observer les déficiences dans le mémoire sur les déblais et les remblais
 [20].
Il est intéressant de constater qu’il considère par contre que les mémoires de Appell, Ohnesorge et Saint-Germain sont « décisifs » et qu’ils mettent « hors de critique la solution du problème plan ». Puis, il explique que le théorème de Monge, en dimension 3, a été « démontré de façon correcte [...] grâce aux méthodes plus puissantes et plus générales de l’analyse moderne ». Soixante ans plus tard, les preuves « hors de critiques » ne nous satisfont plus, et il a fallu attendre 2003, nous l’avons vu, pour obtenir des démonstrations « hors de critiques ».
Belle leçon !
Que diront les mathématiciens dans soixante ans ?

La suite de l’histoire est plus complexe et le transport optimal est devenu un thème de recherche très actif depuis une quinzaine d’années.
Le lecteur pourra lire cet article de Yann Brenier pour une présentation élémentaire, l’article de Cédric Villani sur Images des mathématiques pour une vision moins élémentaire et son livre (attention, 1000 pages !) pour une présentation approfondie.

Conclusion

Le mémoire de Monge est un texte majeur de géométrie différentielle.

  • Comme disait Condorcet, « [À partir d’]applications très simples en apparence, [il fait] naître l’Idée de théories abstraites dont on n’avoit pas encore le besoin » [et dirige] « vers les théories [les] travaux des Géomètres, et leur [ouvre] une carrière nouvelle ».
  • Ce mémoire éclaire les résultats d’Euler sur la géométrie des surfaces en les reliant à l’approche de Huyghens sur la courbure des courbes planes.
  • Monge y « fait » de la géométrie complexe (sans le savoir).
  • Dans ce mémoire, on peut voir Monge « faire » de la géométrie dans l’« espace des droites ».
    Bien plus tard, Plücker formalisera cela, mais c’est une autre histoire.
  • Il ne résout pas le problème mais il engendre toute une série de problèmes riches qui seront extrêmement féconds.
  • Le problème n’est toujours pas résolu aujourd’hui, en dépit d’une abondante littérature !
    Prenez par exemple un carré d’un mètre de côté dans le plan et un autre d’un mètre de côté également, mais situé à trois ou quatre mètres de là, orienté dans une direction différente.
    Quel est le transport optimal ?
    Le croirez-vous ?
    L’un des meilleurs spécialistes du sujet m’a répondu : « Ne pose pas de questions trop compliquées s’il te plaît ! ».
    Comme disait Poincaré : « Il n’y a pas des problèmes qu’on se pose, il y a des problèmes qui se posent. Il n’y a pas de problèmes résolus, il y a seulement des problèmes plus ou moins résolus ».
Post-scriptum :

Un grand merci à Bruno Belhoste, Jérôme Germoni, Pierre de la Harpe, Guillaume Jouve, Antonin Guilloux, Marie Lhuissier et Laurent Tournier pour leurs commentaires très utiles. Un merci tout particulier à Jos Leys qui a assuré la réalisation des animations.

Article édité par Karine Chemla

Notes

[1Gaspard Monge,
Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais,
Histoire de l’Académie royale des sciences avec les mémoires de mathématique et de physique tirés des registres de cette Académie (1781), 666-705.

[2Il est vrai que les nombreuses activités de Monge lui laissaient probablement peu de temps libre pour la rédaction de son mémoire.
Par ailleurs le délai entre la seconde lecture et la publication ne dépend pas de Monge mais de l’Académie des sciences.

[3Il s’agit en fait du produit du poids des molécules et de l’espace parcouru.

[4Une jolie somme en 1884 ! On apprend par exemple ici qu’en 1890, le salaire journalier
d’une femme de ménage était de 1,5 francs, qu’il était de 2,46 francs pour une ouvrière et de 4,85 francs pour un ouvrier. Un litre de vin ne coûtait que 10 centimes.

[5Nicolas de Condorcet, Sur les déblais et les remblais, Histoire de l’Académie royale des sciences avec les mémoires de mathématique et de physique tirés des registres de cette Académie (1781), 34-38.

[6Ceci recouvre plusieurs idées : le type de terre est le même partout dans $D_1$, les hauteurs du déblai et du remblai sont constantes, et la terre ne sera pas comprimée. Les lecteurs auxquels il est arrivé de travailler à un terrassement comprendront que ces hypothèses ne sont guère réalistes.

[7Les mathématiciens pourront lire le beau chapitre 8 que Cédric Villani a consacré à cette idée dans son livre.

[8Le transport pourrait consister par exemple à décomposer $D_1$ en deux sous-domaines, limités par une courbe $c$, et à transporter les sous-domaines en s’autorisant une ligne de discontinuité le long de $c$. Un mathématicien contemporain peut d’ailleurs imaginer des transformations discontinues bien plus compliquées que cela.

[9Le texte de Monge mentionne une « caustique »
 : il s’agit de l’enveloppe des équisécantes. Je n’utiliserai pas cette terminologie ici qui tire son origine dans un phénomène optique qu’on observe souvent dans un bol de café. Les rayons lumineux, réfléchis sur le bord interne du bol, enveloppent une courbe qui concentre la lumière.

[10Charles Dupin, Applications de géométrie et de méchanique : à la marine aux ponts et chaussées, etc., pour faire suite aux développements de géométrie, 1822.

[11Un lecteur ayant le compas dans l’œil me fait remarquer qu’il n’a pas l’impression que les figures de Dupin soient correctes et que les courbes en question n’ont pas l’air d’être des équisécantes : il a raison. On peut imaginer que Monge aurait protesté face à une figure si approximative faite par l’un de ses élèves, ou plus probablement par un graveur.
On peut aussi regretter que les deux déblais et les remblais à gauche et à droite ne soient pas tout à fait identiques. La géométrie est l’art de raisonner sur des figures fausses, dit-on.

[12Albert de Saint-Germain, Étude du problème des déblais et des remblais, Académie nationale des sciences, arts et belles-lettres (Caen). Mémoires de l’Académie nationale des sciences, arts et belles-lettres de Caen. 1886.

[14Gaspard Monge, Applications de l’Analyse à la Géométrie, cours à l’École Polytechnique.

[15Gaston Darboux, Les origines, les méthodes et les problèmes de la géométrie différentielle, conférence au congrès international de Rome, 1908.

[16Gaspard Monge, Applications de l’Analyse à la Géométrie, cours à l’École Polytechnique.

[17Paul Appell, Mémoire sur les déblais et les remblais de systèmes continus ou discontinus, Mémoires présentés par divers savants à l’Académie royale des sciences de l’Institut de France... Sciences mathématiques et physiques. 1827-1914 (2e s. I-XXXV). 1887.

[18Paul Appell, Le problème géométrique des déblais et des remblais, Mémorial des sciences mathématiques, 27 (1928).

[19Albert de Saint-Germain est décédé en 1914 et ne pouvait pas protester. Suis-je le premier à remarquer ce plagiat ? Les articles des mathématiciens n’ont bien souvent que très peu de lecteurs et le risque pris par Appell était faible !

[20René Taton : L’œuvre scientifique de Gaspard Monge, Paris, PUF, 1951. L’analyse du mémoire sur les déblais et les remblais occupe les pages 193-204.

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Gaspard Monge » — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Crédits image :

Erupcion - Photographie de l’auteur, Parque de Las Esculturas, Providencia, Santiago du Chili

Commentaire sur l'article

  • Gaspard Monge

    le 21 janvier 2012 à 20:47, par jihbed

    Bonjour,,

    Merci encore pour cet article.

    Le lien http://images.math.cnrs.fr/La-brouette-de-Monge-ou-le.html ne marche pas,

    Répondre à ce message
  • Gaspard Monge

    le 21 janvier 2012 à 21:49, par Étienne Ghys

    Merci !

    Le lien marchera d’ici quelques temps quand l’article en question sera sur Images des Maths...

    Bien cordialement,

    Etienne Ghys

    Répondre à ce message
  • Gaspard Monge

    le 23 janvier 2012 à 12:23, par Bernard Hanquez

    Merci pour cet article très intéressant, je n’ai pas tout compris (je m’y attendais), mais j’ai au moins appris ce que les mathématiciens veulent dire quand ils parlent de Transport Optimal. Je ne regrette pas le temps passé à lire et essayer de comprendre. J’attends la suite avec impatience.

    Répondre à ce message
  • Gaspard Monge

    le 28 janvier 2012 à 13:37, par Pierre Gallais

    Merci pour cet article lumineux et par conséquent éclairant.
    Pour rire ; une anecdote relative au transport « optimal ». J’avais entendu en 1971 ou 72 une émission sur France inter (genre micro trottoir) où on interrogeait les gens sur le sens de certaines expressions. Cette fois c’était : « qu’entendez vous par rendement optimum ? » La personne avait compris rendement au « petit môme » et avait répondu : « donné c’est donné ... reprendre c’est voler » ... ambiguïté et confusion des sens peuvent engendrer de la poésie. En tout cas pour moi chaque fois que j’entends ou utilise ce mot ... c’est ce souvenir qui me revient à l’esprit :-)

    Répondre à ce message
  • Gaspard Monge

    le 27 avril 2014 à 14:17, par barbaresco

    Il serait intéressant de relire l’article de Legendre de 1787 qui répond à celui de Monge et où Legendre introduit pour la 1ère fois la transformation de Legendre :
    A.M. Legendre (1787). Mémoire sur l’intégration de quelques équations aux différences partielles. Mém. Acad. Sciences, pages 309–351.

    Répondre à ce message

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