Gemelos en la familia de los números primos

Pista verde El 20 marzo 2015  - Escrito por  Bruno Martin
El 2 febrero 2019  - Traducido por  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Artículo original : Des jumeaux dans la famille des nombres premiers I Ver los comentarios
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La conjetura de los números primos gemelos es uno de los problemas no resueltos más populares en matemáticas. Pese a que el enunciado es notablemente simple, su solución parece fuera de alcance por ahora.

Este artículo es la primera parte de una serie de tres episodios dirigidos a presentar un problema matemático famoso y hasta este día sin resolver, el de los números primos gemelos.

Pero antes de hablar de gemelos, ¿conoces los números primos? Se trata de los números mayores que 1 que solo son divisibles por 1 y por sí mismos :
\[2,3,5,7,11,13...\]
El estudio de esos números primos puede revelarse especialmente delicado, como vamos a comprobarlo.

Comencemos por familiarizarnos primero con ellos. Para esto, te aconsejo buscar por ti mismo todos los números primos más pequeños que 60. La respuesta está dada en el menú desplegable a continuación.

Lista de los números primos más pequeños que 60

\[2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59\]

Para encontrarlos, tal vez probaste si cada número era divisible por otro número distinto de sí mismo y 1, recurriendo a las tablas de multiplicación o incluso utilizando una calculadora. Esto funciona, pero como habrás podido comprobar, toma mucho tiempo. Existe una técnica más rápida que consiste en eliminar, entre todos los números menores de 100, aquellos que no son primos -es decir, los múltiplos de 2,3,5,...— y luego deducir los que sí son [1].

De una u otra manera, se puede encontrar todos los números primos menores que, digamos 200, para comenzar. En esta tabla, los números primos son aquellos en color naranja.
\[ \begin{array}{cccccccccc} 1 & \color{orange}{2}&\color{orange}{3} & 4 & \color{orange}{5} & 6 & \color{orange}{7} & 8 & 9 & 10\\ \color{orange}{11} & 12 & \color{orange}{13} & 14 & 15 & 16 & \color{orange}{17} & 18 & \color{orange}{19} & 20\\ 21 & 22 & \color{orange}{23} & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & \color{orange}{ 29} & 30\\ \color{orange}{ 31} & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 &\color{orange}{ 37} & 38 & 39 & 40\\ \color{orange}{ 41} & 42 &\color{orange}{ 43} & 44 & 45 & 46 &\color{orange}{ 47} & 48 & 49 & 50\\ 51 & 52 &\color{orange}{ 53} & 54 & 55 & 56 & 57 & 58 &\color{orange}{ 59} & 60\\ \color{orange}{ 61} & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 &\color{orange}{ 67} & 68 & 69 & 70\\ \color{orange}{ 71} & 72 & \color{orange}{ 73} & 74 & 75 & 76 & 77 & 78 & \color{orange}{ 79} & 80\\ 81 & 82 & \color{orange}{83} & 84 & 85 & 86 & 87 & 88 &\color{orange}{ 89} & 90\\ 91 & 92 & 93 & 94 & 95 & 96 &\color{orange}{ 97} & 98 & 99 & 100\\ \color{orange}{ 101} & 102 & \color{orange}{103} & 104 & 105 & 106 & \color{orange}{107} & 108 &\color{orange}{ 109} & 110\\ 111 & 112 & \color{orange}{113} & 114 & 115 & 116 & 117 & 118 & 119 & 120\\ 121 & 122 & 123 & 124 & 125 & 126 &\color{orange}{ 127} & 128 & 129 & 130\\ \color{orange}{131} & 132 & 133 & 134 & 135 & 136 & \color{orange}{137} & 138 & \color{orange}{139} & 140\\ 141 & 142 & 143 & 144 & 145 & 146 & 147 & 148 & \color{orange}{149} & 150\\ \ \color{orange}{ 151} & 152 & 153 & 154 & 155 & 156 & \color{orange}{157} & 158 & 159 & 160\\ 161 & 162 & \color{orange}{163} & 164 & 165 & 166 & \color{orange}{167} & 168 & 169 & 170\\ 171 & 172 &\color{orange}{ 173 }& 174 & 175 & 176 & 177 & 178 &\color{orange}{ 179} & 180\\ \color{orange}{ 181} & 182 & 183 & 184 & 185 & 186 & 187 & 188 & 189 & 190\\ \color{orange}{191} & 192 & \color{orange}{193} & 194 & 195 & 196 & \color{orange}{ 197} & 198 & \color{orange}{199} & 200\\ \end{array} \]

Uno puede escribir también la lista directamente :
\[ 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73, 79, 83,89,97\\ 101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,... \]
Tomemos el tiempo de mirar la tabla o esta lista, y planteemos la siguiente pregunta: ¿existe una regla que permita saber cómo pasar de un número primo al siguiente?

Por ejemplo, nos gustaría prever de manera simple cuál es el número primo que viene justo después de 199, sin tener que probar los números que siguen a 199 hasta encontrar uno que sea primo.

Pero a propósito, ¿quién nos dice que después de 200 uno encontrará un número primo? Nadie a priori. Por supuesto, puedes probar 201, 202, 203, 204,... hasta darte cuenta que 211 es un número primo y que viene después de 199 en nuestra lista. Pero tu tregua será de corta duración, ya que voy a preguntarte inmediatamente : ¿estás seguros que después de 211 habrá otro número primo? Y así sucesivamente... La primera pregunta que uno puede plantearse entonces es la siguiente :

La lista de los números primos ¿se detiene en un momento dado?

Bueno... uno está seguro de que la respuesta es no. Desde la Antigüedad se sabe cómo probar que uno puede aumentar siempre la lista de números primos: no se detiene nunca. Se dice que hay una infinidad de números primos . Si no confías en mí, espera hasta el tercer artículo de esta serie. Hasta entonces, créeme...

Ahora estamos «seguros», la reserva de números primos ¡es inagotable! Volvamos a la búsqueda de una regla que permita saber cómo pasar de un número primo al siguiente. Diremos que dos números primos seguidos en la lista ordenada de los números primos son consecutivos. Por ejemplo, 3 y 5 son números primos consecutivos, igual que 7 y 11, o incluso 53 y 59. Pero 23 y 31 no son consecutivos ya que el número primo que le sigue a 23 es 29 y no 31. Vamos a centrarnos en la separación entre dos números primos consecutivos. Por ejemplo, entre 3 y 5 es 2, entre 7 y 11 es 4, y la separación entre 53 y 59 es 6.

La separación entre dos números primos consecutivos ¿obedece a reglas especiales?

Uno ve que, aparte del caso de 2 y 3, esta separación nunca es 1. Es normal, ya que salvo el 2, todos los números primos son impares, ya que los números pares mayores que 2 no son primos pues son divisibles por 2. Por lo demás, la separación entre dos números impares es siempre un número par, por lo que la separación entre dos números primos consecutivos siempre es un número par (salvo de nuevo para 2 y 3).

¿Y aparte de eso qué se puede decir? Entretengámonos escribiendo la lista de separaciones sucesivas entre los números primos consecutivos menores que 200, siguiendo la lista dada más arriba. Tenemos
\[1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,\\ 6,4,2,4,6,6,2,6,4,2,\\6,4,6,8,4,2,2,2,4,14,\\ 4,6, 8,2,10, 2,6,6, 4,6,\\6,2,10,2,4,2,...\]
¿Se detecta ahí una cierta lógica? No, a decir verdad. Muy astuto quien pueda determinar rápidamente cuál número sucederá a 2 en esta lista, sin tener una lista de los números primos en la mano.

Uno también puede plantearse la pregunta de saber cuál es la separación que se hace más frecuente. Hasta ahora se trata de 2 (aparece 16 veces), pero no estamos seguros que este predominio se mantenga a medida que se aumente esta lista.

Además ¿estamos seguros que si uno continuara esta lista de separaciones vería aparecer el número 2 por 17a vez? ¿por 18a vez? ¿y así sucesivamente? Dicho en otras palabras, ¿está uno seguro de continuar encontrando inexorablemente números primos consecutivos con una separación de 2 como
\[3 \text{ y } 5,\]
\[5 \text{ y } 7,\]
\[11 \text{ y } 13,\]
\[17 \text{ y } 19,\]
\[29 \text{ y } 31,\]
\[41 \text{ y } 43 \, ?\]
Tales números son llamados números primos gemelos

Nos enfrentamos aquí a una nueva pregunta.

La lista de los números primos gemelos ¿se detiene?

La respuesta a esta última pregunta simplemente no se conoce. Los investigadores en matemáticas sí tienen una idea de la respuesta: ellos se inclinan por un ’’no’’, y se basan en una lista ininterrumpida de números primos gemelos, es decir, en una infinidad de números primos gemelos. Pero actualmente ¡nadie está en posición de dar una prueba irrefutable!

Sin embargo, no es por no haberlo intentado. Pese a que el origen exacto de este problema no es seguro [2], se puede decir que es objeto de investigaciones intensas desde hace más de cien años. ¡Eso habla de la dificultad de este enigma!

¿Cómo abordar este problema?

Una primera idea es decir que no hemos ido suficientemente lejos en la experimentación: no hemos observado más que los números primos menores de 200. Al programar un computador se puede ir bastante más allá y hacerse una idea quizás más precisa de la evolución de la cantidad de números primos y de las separaciones entre números primos consecutivos a medida que uno avanza en los números. Ese será el objeto del artículo n° 2 de esta serie. Ahí hablaremos también de un resultado muy reciente obtenido por muchos investigadores en matemáticas.

Otra idea es examinar muy atentamente las pruebas conocidas de la infinitud de los números primos. Luego, ver a continuación si uno podría adaptar una de esas pruebas para extraer de ellas incluso más información, a saber, que la lista de números primos gemelos es a su vez infinita. Vamos a desarrollar ese camino en el artículo n°3.

Hasta entonces, te deseo lindos sueños en compañía de los números primos ¡gemelos o no!

Post-scriptum :

El autor agradece enormemente a los lectores de este artículo cuyo nombre o seudónimo son Bastien_B, GAELD, Maxime Bourrigan, Olivier Reboux, así como a Shalom Eliahou, Thierry Gensane, Jean Fromentin, Claude Martin, Juliette y Grégory Bott.

Artículo original editado por Shalom Eliahou

Notas

[1Para saber más sobre esta técnica llamada ’’criba de Erastótenes’’, puedes consultar por ejemplo la página de Wikipedia .

[2Parece que la fuente más antigua es un artículo de 1849 escrito por un matemático francés, Alphonse de Polignac.

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Para citar este artículo:

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Gemelos en la familia de los números primos » — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Matemáticas cercanas:
https://matematicascercanas.com/2014/06/11/numeros-gemelos/
Représentation d’Euclide - Alain Brieux

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