Géométrie anamorphique I

Abaques et Nomogrammes

Piste rouge 28 novembre 2010  - Ecrit par  Lucien Pirio Voir les commentaires (3)

Cette note est la première d’une série de quatre notes qui concerneront la « nomographie », encore appelée « théorie des abaques », que l’on peut décrire comme une branche des mathématiques appliquées née à la fin du XIXe siècle et qui est maintenant oubliée. Nous en exposerons le principe de base dans cette Note I, présenterons certains principes plus sophistiqués dans la Note II puis raconterons son histoire dans la Note III. Enfin, nous introduirons dans la Note IV la « géométrie des tissus », qui peut être considérée comme le pendant mathématique abstrait de la nomographie et qui constitue une branche classique, mais toujours vivante, de la géométrie analytique.

Abaques et Nomogrammes : en deux mots

Dans l’antiquité grecque, le terme d’abaque servait à désigner une table recouverte de sable sur laquelle on dessinait des figures ou écrivait des calculs que l’on effaçait ou modifiait en lissant le sable. D’une façon générale, le terme d’abaque tend à désigner des instruments de calcul (au moyen de sable, de cailloux, de cordelettes, ou de graphiques) qui ont été utilisés à travers les âges dans différentes cultures.

Les abaques dont il sera question ici sont des graphiques que les ingénieurs du XIXe et de la première partie du XXe siècle utilisaient pour faire des calculs numériques rapidement. Le terme de nomogramme est un synonyme et son étymologie (voir plus bas) permet de se faire une idée de ce dont il s’agit, à savoir une représentation graphique d’une loi mathématique. Le terme de nomographie désigne la pratique qui consiste en l’utilisation des abaques pour calculer, d’une part, mais fait aussi référence à la « science mathématique » dont les objets d’étude sont les nomogrammes et leurs propriétés.

Le principe, via un exemple concret de la vie quotidienne

Il est assez facile d’expliquer le principe de la nomographie avec un problème très simple auquel de nombreux mathématiciens ont sans doute déjà été confrontés. Imaginons que pour rendre pertinent un rapport d’évaluation d’une unité CNRS, il soit demandé à un chef d’équipe breton plein de bonne volonté (appelons-le Franky) d’établir très rapidement la liste des cinq IMC [1] les plus élevés des membres du laboratoire. On peut imaginer l’abnégation de Franky car ce n’est pas une tache aisée !

En effet, si la formule permettant de calculer l’IMC est plutôt simple
\[\begin{equation} \label{F:IMC} {\mathrm{IMC}}=\frac{\mbox{Poids en kilogrammes}}{(\mbox{Taille en mètres})^2}, \end{equation}\]
le lecteur n’aura sans doute pas de mal à imaginer l’aspect laborieux de l’entreprise : il s’agira non seulement de débusquer tous les membres du laboratoire dans un coin ou un autre de l’université, mais surtout, pour chacun des matheux, de calculer son IMC à partir de son poids et de sa taille. Et bien sûr, Franky faisant des maths pures, il ne sait pas (et ne veut pas) utiliser un tableur ou même une calculette pour effectuer toutes ces opérations... Et pourtant, il est censé faire ces calculs vite et avec suffisamment de précision pour que cela ait un sens.

Heureusement Franky s’est muni du « Nomogramme de l’Indice de Masse Corporel » ci-dessous et va s’en sortir grâce à lui.

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FIGURE 1 : nomogramme de l’IMC

Avisant un mathématicien (par exemple Fred) émergeant du dessous de son bureau où il faisait une sieste digestive, il lui demandera tout de go son poids (Fred pèse $80\, kg$) et sa taille (il mesure $180\, cm$). Alors, sur le nomogramme ci-dessus, il déterminera le point d’intersection $p_{Fred}$ des droites verticales et horizontales qui correspondent respectivement à sa taille et à son poids. Il cherchera alors la courbe verte en pointillé du nomogramme qui est la plus proche du point $p_{Fred}$ et déplaçant son long doigt le long de cette courbe, il arrivera à une valeur numérique que l’on appelle $IMC_{Fred}$. Bien sûr, $IMC_{Fred}$ est une valeur numérique approchée du véritable indice de masse corporelle de Fred [2].

Il est clair que la méthode décrite ci-dessus ne donne que des valeurs numériques approchées mais sous réserve que l’erreur numérique ne soit pas trop importante, on peut apprécier à quel point le procédé est simple et rapide.

Le principe général, de façon un peu plus formalisée

Considérons $Q_1,Q_2$ et $Q_3$, trois quantités variables reliées entre elles par une loi physique s’écrivant
\[\begin{equation} \label{E:Loi} {\large{\mathcal L}}(Q_1,Q_2,Q_3)=0, \end{equation}\]
où $\mathcal L$ est une fonction de trois variables. Comme exemple très simple, on peut prendre la loi $\ref{F:IMC}$ donnant l’IMC (où $Q_1$ est la taille, $Q_2$ le poids et $Q_3$ l’IMC) ou encore la loi d’Ohm $U-RI=0$ en électricité.
Étant donné une loi $\ref{F:IMC}$, la question se posait pour le scientifique ou l’ingénieur de déterminer une valeur numérique approchée $q_i$ d’une des variables $Q_i$ en fonction de deux valeurs numériques données $q_j$ et $q_k$ des deux autres variables $Q_j$ et $Q_k$, où $i,j,k$ sont bien sûr tels que $\{i,j,k \}=\{ 1,2,3 \}$.

Il fallait de plus être capable de faire cela en tenant compte des contraintes suivantes :

  • le procédé devait être assez rapide et simple d’utilisation ;
  • il devait être suffisamment précis sur le plan numérique ;
  • il devait pouvoir se faire de façon complètement symétrique en les variables (c’est-à-dire indépendamment de l’ordre des indices $i,j,k$).

Ce problème avec contraintes fut résolu de différentes façons mais les abaques et autre nomogrammes constituèrent l’une des solutions qui eut le plus de succès. Nous allons maintenant en expliquer le principe.

On commençait par placer des segments ${ \bf I}_1,{\bf I}_2$ et ${\bf I}_3$ dans le plan, ${ \bf I}_\ell$ étant associé à la variable $Q_\ell$ pour $\ell=1,2,3$. Ensuite, l’on indiquait le long de chaque ${\bf I}_\ell $ un certain nombre de cotes correspondant à certaines valeurs numériques $q_{\ell,\kappa}\in \mathbb R$ que pouvait prendre la quantité $Q_\ell$.

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FIGURE 2 : chaque segment ${\bf I}_\ell$ porte un système de cotes qui correspondent à des valeurs numériques de la quantité $Q_\ell$

Chaque valeur numérique indiquée sur l’un des segments $ {\bf I}_\ell$ était la côte d’une courbe tracée dans un domaine du plan (choisi au préalable une fois pour toutes). Ces courbes étaient appelées « lignes cotées » (ou encore
« isoplèthes » par certains auteurs).
Ces trois systèmes de courbes forme alors un « abaque ». La figure ci-dessous en est un exemple.

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FIGURE 3 : un nomogramme $\mathcal N$

Bien sûr, la construction du nomogramme indiquée ci-dessus est assez simple mathématiquement et s’explique de la façon suivante : dans le parallélépipède
\[P=\Big\{ (Q_1,Q_2,Q_3)\in \mathbb R^3 \, \big| \, Q_\ell\in {\bf I}_\ell , \, \ell=1,2,3\, \Big\} \subset \mathbb R^3, \]
on considère la surface d’équation $\ref{E:Loi}$ notée $\mathcal S_{\mathcal L}$. Les intersections de celle-ci avec les plans d’équations $ Q_\ell=q_{\ell,\kappa} $ ($\ell=1,2,3$) induisent trois familles de courbes $\mathcal F_{\mathcal L,1}$
$\mathcal F_{\mathcal L,2}$ et $\mathcal F_{\mathcal L,3}$
sur $S_{\mathcal L}$. Alors, étant donné un paramétrage
$\rho: U\rightarrow S_{\mathcal L}$ défini sur un domaine $U$ du plan $\mathbb R^2$, on obtient un nomogramme ${ \mathcal N}_{\mathcal L,\rho}$ dans $U$ en considérant les images réciproques par $\rho $ des courbes des familles $\mathcal F_{\mathcal L,\ell}$ pour $\ell=1,2,3$ et en indiquant les valeurs $q_{\ell,\kappa}$ associées.

La saveur plutôt mathématique du paragraphe précédent peut ne pas parler à tous. Ceux qui ne sont pas particulièrement sensibles au formalisme mathématique peuvent se faire une idée intuitive de la construction géométrique
indiquée ci-dessus en regardant l’animation vidéo suivante, réalisée par Jos Leys.

La formalisation mathématique de la construction d’un nomogramme fait apparaître un élément important : le choix du paramétrage $\rho$, qui n’a rien d’unique. En effet, si $\varrho: V\rightarrow S_{\mathcal L}$ désigne un autre paramétrage, la même construction donne un nomogramme $ { \mathcal N}_{\mathcal L,\varrho}$ sur un autre domaine $V$ du plan.
Bien sûr, on a
\[ (\varrho\circ \rho^{-1}) ^*(\bf { \mathcal N}_{\mathcal L,\rho})={ \mathcal N}_{\mathcal L,\varrho},\]
ce qui montre qu’on peut considérer les nomogrammes ${ \mathcal N}_{\mathcal L,\rho}$ et ${ \mathcal N}_{ \mathcal L,\varrho}$ comme étant essentiellement les mêmes : l’un s’obtient à partir de l’autre au moyen d’un changement de coordonnées (pour être précis, un mathématicien dirait « via le difféomorphisme $ \varrho\circ \rho^{-1}$ », mais est-ce vraiment mieux ?). Nous dirons que les nomogrammes ${ \mathcal N}_{\mathcal L,\rho}$ et ${ \mathcal N}_{ \mathcal L,\varrho}$ sont équivalents. La figure suivante illustre cette notion :

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Deux nomogrammes équivalents : à gauche, celui associé à la relation $2x-3y=z$ tracé dans les coordonnées cartésiennes usuelles ; à droite, l’abaque qui représente la même loi, mais tracé dans les coordonnées $X, Y$ définies par $x=X^2-Y$ et $y=Y^2+X$.

La construction d’un nomogramme associé à une relation $\ref{E:Loi}$ étant expliquée, indiquons maintenant comment s’utilisait un tel graphique. C’est très simple : supposons que sont données deux valeurs ${\bf q}_{i}$ et ${\bf q}_j$ des quantités $Q_i$ et $Q_j$. Pour déterminer approximativement la valeur correspondante ${\bf q}_k$ de la variable $Q_k$ telle qu’on ait ${\mathcal L}({\bf q}_1,{\bf q}_2,{\bf q}_3)=0$, on commence par déterminer les isoplèthes $C_i=\{Q_i=q_i\}$ et $C_j=\{Q_j=q_j\}$ du nomogramme pour les cotes $q_i$ et $q_j$ les plus proches possible des valeurs
${\bf q}_{i}$ et ${\bf q}_j$ données. On détermine alors visuellement le point d’intersection des courbes $C_i$ et $C_j$ et l’on cherche la courbe de la famille $Q_k={cste.}$ qui passe le plus près de ce point. En suivant cette isoplèthe, on détermine alors la cote correspondante $q_k$ : c’est une valeur numérique approchée de ${\bf q}_k$.

La façon d’utiliser un abaque est illustrée par la figure ci-dessous :

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FIGURE 4 : détermination de la valeur de la variable $Q_1$ correspondant aux valeurs
$ q_2=8$ et $q_3=0,15$ des variables $Q_2$ et $Q_3$. On trouve ici $q_1=535$.

Quelques commentaires

Si le procédé d’utilisation de nomogrammes pour déterminer des valeurs numériques approchées
semble grossier et naïf à première vue, il faut bien sûr replacer cette technique de calcul dans son cadre historique. En effet, c’est la très grande précision des calculs numériques que permettent les ordinateurs actuels qui rend presque risible la précision des calculs monographiques. Mais il se trouve que ce procédé s’est avéré être suffisamment précis pour satisfaire un très grand nombre d’ingénieurs du XIXe et du début du XXe siècle, ce qui doit faire relativiser l’aspect a priori grossier et peu précis de la nomographie.

Quant au côté naïf de la monographie, qui semble indiscutable,
il faut le voir non pas comme un défaut mais bien comme une qualité essentielle de la méthode. En effet,
il n’était pas nécessaire d’être particulièrement savant pour pouvoir utiliser correctement des nomogrammes ce qui rendait accessible des calculs numériques a priori sophistiqués à des ouvriers ou des contremaîtres (voire des ingénieurs !) pas forcément très instruits.

Notons pour finir deux qualités pratiques des abaques (que même les ordinateurs actuels les plus performants ne possèdent pas) : comme ils étaient tracés sur de simples feuilles de papier, ils étaient particulièrement peu encombrant et légers, ainsi que très peu onéreux à produire.

Des exemples de nomogrammes

Nous reproduisons ci-dessous plusieurs exemples de nomogrammes, la plupart tirés d’ouvrages classiques (et donc assez anciens). Cela, pour présenter des figures que nous trouvons belles mais aussi pour bien montrer la diversité des situations dans lesquelles des abaques furent (et sont parfois encore) utilisés.

Abaques anciens

Les livres de la première moitié du XXe siècle consacrés à la nomographie regorgent d’abaques de différents styles. Certaines figures sont très schématiques est servent juste à expliquer des points « théoriques ». D’autres, au contraire, sont des abaques qui ont été véritablement utilisées dans la pratique. Ces derniers sont souvent assez beaux.

Abaque des murs de soutènement de d’Ocagne.
Maurice d’Ocagne est reconnu comme étant celui qui a fondé la nomographie comme discipline autonome (voir notre Note III). Il a beaucoup publié sur le sujet, des articles de recherche mais aussi de nombreux livres de référence.
La Figure 5
ci-dessous est un abaque associé à une loi apparaissant dans des problèmes de terrassement.

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FIGURE 5 : « Abaque des murs de soutènement pour un massif de terre profilé suivant son talus naturel » associé à la loi $\ref{E:LoiSout}$ entre les variables $k$, $p$ et $\varphi$.

Ce nomogramme est tiré du livre
[D’Ocagne], où il est ainsi introduit :

Supposons qu’un mur en maçonnerie à section rectangulaire soutienne un massif de terre profilé suivant son talus naturel. Le rapport $K$ de la base à la hauteur de la section du mur est donné (voir "Résistance des matériaux’’, Collignon 3ème édition, p. 669) par $K=mk$, $m$ étant le coefficient de stabilité qu’on prend généralement entre $\frac{4}{3}$ et $2$, $k$ une quantité déterminée par la formule
\[\begin{equation} \label{E:LoiSout} k^2+kp\sin \varphi \cos \varphi-\frac{p}{3}\cos^2\varphi =0. \end{equation}\]

Cette courte introduction est suivie d’un passage où l’auteur indique comment construire graphiquement l’abaque en question. Il explique ensuite que sa lecture est relativement aisée si l’on est muni d’un compas, puisque deux des familles d’isoplèthes qui le composent sont des familles de droites tandis que la troisième est une famille de cercles.

Abaque de la self-induction de de Laharpe.
L’abaque ci-dessous, du à Clément de Laharpe, est tirée du livre [Soreau], qui constitue un exposé clair et détaillé de la théorie des abaques et présente un grand nombre de nomogrammes qui ont été utilisés dans la pratique.

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Ce nomogramme est accompagné d’un texte explicatif qui commence ainsi :

La self-induction kilométrique $\mathcal L_m$, en henrys, d’une ligne monophasée se calcule par la formule de Blondel
\[\begin{equation} \label{E:blondel} \mathcal L_m = \Big( \mu+9,208 \, log \, \frac{d}{r} \Big) 10^{-4}, \end{equation}\]
$d$ est l’écartement des conducteurs, en $cm$ ; $r$, le rayon du fil, en $cm$ ; $\mu$, la perméabilité magnétique du métal constituant la ligne ; $log$ désigne le $log$ vulgaire.

L’abaque 9 est relatif aux fils de cuivre, de bronze ou d’aluminium, pour lesquels $\mu=1$ ; le rayon $r$ est remplacé par la section $\sigma$, exprimée en $mm^2$.

Ce texte suranné est typique de ceux qui introduisent les nomogrammes présentés dans le livre de Soreau : il présente la loi nomographiée et les variables qu’elle met en relation, précise ensuite les ordres de grandeur prises par celles-ci, et dans certain cas, commente davantage voir explique la construction du nomogramme.

Si l’on regarde de plus près l’abaque de de Laharpe ci-dessus, on se rend compte qu’il comporte non pas trois mais cinq systèmes de lignes cotées dont seulement quatre apparaissent car deux se confondent. Ce sont :

— les isoplèthes horizontales correspondant à des valeurs (en henrys) de la self-induction $\mathcal L_m$ ;
— les isoplèthes verticales correspondant à des valeurs (en $mm^2$) de la section $\sigma$ ;
— ces même isoplèthes verticales, mais qui correspondent cette fois à des valeurs (en Ohms) d’une quantité $\mathcal L_m\Omega$ ;
— les isoplèthes rectilignes obliques dont les cotes sont des valeurs d’une certaine quantité $f$ ;
— les isoplèthes courbes, correspondant à des valeurs de l’écartement des conducteurs $d$ ;

Cela provient du fait que de Laharpe a cherché à être économe en
représentant non pas un mais deux abaques sur le même graphique, en ayant l’ingéniosité de confondre deux systèmes de lignes cotées (les isoplèthes verticales) et de prendre les isoplèthes horizontales associées à $\mathcal L_m$ communes aux deux abaques représentés, cela étant rendu possible par le fait que cette variable intervient dans les deux lois monographiées.
En effet, la sel-induction $\mathcal L_m$ intervient également dans la loi
\[\begin{equation} \label{mm} (\mathcal L_m \Omega)=2\pi f \mathcal L_m, \end{equation}\] qui exprime l’inductance kilométrique $\mathcal L_m\Omega$ (en Ohms) à
partir d’une fréquence $f$ (en périodes par seconde) et de $\mathcal L_m$. Les systèmes d’isoplèthes associés aux quantités $\mathcal L_m\Omega$, $f$ et $\mathcal L_m$ forment donc un nomogramme associé à $\ref{mm}$.

Abaque du trinôme du 3ème degré.
Quitte à faire un changement de variable consistant à prendre $z=\tilde{z}+c$ comme nouvelle variable pour une certaine constante $c$ convenable, on peut montrer que la résolution d’une équation polynomiale du troisième degré
$\tilde{z}^3+u\, \tilde{z}^2+v\, \tilde{z}+w=0$
en une variable se ramène à celle d’un trinôme de la forme
\[\begin{equation} \label{E:LoiTrinom} z^3+pz+q=0. \end{equation}\]

L’abaque suivant, dû à Lalanne, est associé à l’équation ci-dessus, que l’on regarde comme une « loi » entre les variables $p,q$ et $z$.

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Figure 6 : abaque de Lalanne (tiré de
[Soreau])

Ce nomogramme est particulièrement facile à lire : les trois familles d’isoplèthes qui le composent sont toutes des familles de (segments de) droites. Soreau écrit :

Les droites $z=cste.$ ont pour enveloppe une courbe dont elles indiquent clairement le tracé.
Lalanne a remarqué que suivant la position du point figuratif par rapport à cette courbe, on sait d’avance si la proposée a 1, 2 ou 3 racines réelles, que l’abaque fourni toutes. Quand le point est à l’intérieur du $V$ curviligne de l’enveloppe, il y a 3 racines réelles ; quand il est sur la courbe, il y a 1 racine simple et 1 racine double ; quand il est à l’extérieur, il y a 1 racine simple. Ainsi Lalanne a-t-il donné à l’enveloppe le nom expressif de « solutive ».

Le lecteur mathématicien aura certainement reconnu cette « solutive » $V$ : il s’agit de la courbe d’équation
$\Delta=0$ où $\Delta=q^2+\frac{4}{27}p^3$ est le discriminant du trinôme $\ref{E:LoiTrinom}$. Sur la Figure 5 ci-dessus l’on voit bien qu’une unique droite de la famille $z=cste.$ passe par un point $(p,q)$ situé dans la région formée par l’extérieur de la solutive, tandis qu’il y en a trois si ce point
se trouve à l’intérieur du $V$. Le nomogramme de la Figure 5 permet de vérifier graphiquement l’assertion de Soreau.

Dans une note en bas de page, Soreau indique qu’il est intéressant de comparer l’abaque ci-dessus à, par exemple, l’abaque numéroté 38 dans [Soreau],
que l’on reproduit ci-dessous.

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Ce graphique ne correspond pas à ce que l’on a définit plus haut comme étant un abaque. En effet, seules quatre courbes sont représentées : deux droites verticales entre lesquelles se trouvent deux courbes arrondies tangentes au segment horizontal du milieu [3]. De plus, chacune de ces quatre courbes est
munie d’un système de cotes, ce qui contraste avec les « abaques standards »
pour lesquelles une cote correspond en général à une unique isoplèthe.
Il s’agit en fait d’un type plus sophistiqué d’abaque, que l’on dit être « à points alignés » et qui est particulièrement simple d’utilisation. Nous en reparlerons dans la Note II.

Quelques autres nomogrammes anciens.

Les nomogrammes furent utilisés dans un grand nombre de domaines et ils étaient présentés sous des formes différentes en fonction de leur utilisation. Si, souvent, seule l’expression de la loi considérée accompagnait le nomogramme, on trouvait parfois un texte explicatif à coté de l’abaque proprement dit, pour indiquer
comment il fallait s’en servir.

Charles Lallemand était un ingénieur du corps des Mines
qui est surtout connu pour le rôle qu’il a joué dans l’histoire du nivellement de la France (à la fin du XIXe et au début du XXe siècle). Il a écrit plusieurs ouvrages dont [Lallemand]
qui traite des abaques. Dans ce livre [4], écrit en lettres calligraphiées, il présente de nombreux exemples d’abaques particulièrement jolis. L’abaque ci-dessous en est un exemple dont la valeur esthétique est indéniable. Il fut semble-t-il utilisé pour diriger un navire. C’est un abaque plus sophistiqué que ceux introduits dans cette note, puisque la loi représentée ici est à plus de trois variables indépendantes
 [5]
.

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L’abaque ci-dessous est également tiré de [Lallemand].
Il concerne le problème de la « résolution des triangles dont un angle au moins figure parmi les éléments connus » qui implique lui aussi plus de trois variables. C’est un exemple d’abaque à entrecroisements, un type plus sophistiqué de nomogramme dont nous parlerons dans la Note II.
Un mode d’emploi très précis est donné à coté de l’abaque, nous le reproduisons également.

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Les nomogrammes anciens étaient la plupart du temps très différents d’aspect, et souvent assez beaux. Voici sans commentaire une galerie de quelques autres, juste pour le plaisir des yeux !

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Des nomogrammes plus récents

Un nombre important de livres, destinés principalement aux physiciens ou aux ingénieurs, présentant des tables numériques et des nomogrammes furent édités
jusqu’à la fin des années 1960. Il va sans dire que l’avènement des ordinateurs à cette époque sonna le glas de la nomographie comme discipline [6] et la publication d’ouvrages comportant des abaques s’arrêta très rapidement.

Cependant, l’utilisation de nomogrammes a continué à perdurer dans de multiples domaines. Le plus souvent, il ne s’agit pas de nomogrammes formés
de trois familles d’isoplèthes mais d’abaques encore plus simples dits « à points alignés » et qui seront introduits dans notre Note II. Parfois, il s’agit de nomogrammes assez sophistiqués, à l’instar de l’abaque de Smith
destiné à la résolution de problèmes de transmission radio. Nous le reproduisons ci-dessous parce qu’il est joli.

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Cet abaque est encore utilisé de nos jours et semble même assez populaire chez les ingénieurs électroniciens. Il a d’ailleurs été source d’inspiration artistique : Cynthia Furse [7] et ses étudiants ont réalisé le quilt suivant :

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Il serait trop long et fastidieux de faire ici une présentation même incomplète de tous les contextes dans lesquels ont été et sont encore utilisés des abaques. Cependant, après une petite flânerie sur Internet, nous avons pu
vérifier que des nomogrammes sont encore utilisés de nos jours par exemple :

— dans la littérature scientifique récente (comme dans cette thèse récente en ingénierie électrique) ;

— en médecine ; par exemple, le « Nomogramme de Prescot » (pour évaluer le degré d’une intoxication au paracétamol) ou encore le « Nomogramme de Henssge » (pour la datation des cadavres) sont très souvent utilisés par les médecins [8] ;

— pour les wargames et les jeux de rôles ici ;

— pour des questions de climatisation (voir par exemple) ; etc.

Pour finir ce paragraphe, nous ne résistons pas à la tentation de mentionner un nomogramme certes un peu ancien mais qui est peut-être le plus original de tous ceux que l’on a pu croiser : il s’agit du « nomogramme pour la détermination du degré d’acidité de la crème dégraissée » qui donne son titre à l’article
publié en 1961 par E. E. Van de Gehuchte dans la revue « Le lait ».

Anamorphose

L’interprétation mathématique de la construction d’un abaque indiquée juste après la Figure 3 fait clairement apparaître que celui-ci est loin d’être unique, puisqu’on peut toujours le transformer au moyen d’un difféomorphisme du plan (ie. via un changement de coordonnées).
Cette liberté pose le problème du choix du “meilleur” modèle possible pour un nomogramme associé à une relation $\ref{E:Loi}$.

Le terme “meilleur” n’a pas ici de signification mathématique précise à proprement parler mais renvoie essentiellement à deux critères : la précision et la facilité d’utilisation.
Ces deux propriétés étaient particulièrement prises en compte lors de la confection des abaques. Dans certains livres classiques sur le sujet, les auteurs justifient l’importance de la précision et de la facilité d’utilisation des nomogrammes par des descriptions saisissantes de situations dramatiques dans lesquelles ces propriétés revêtent une importance capitale. Par exemple, sont évoquées la situation d’un « marin en perdition sur une mer déchaînée » ou encore celle de « l’artilleur sur un champs de bataille ».
Il est entendu qu’il vaut mieux savoir déchiffrer son abaque vite et bien dans une situation de ce genre [9].

Il est clair que plus un abaque ${ \mathcal N}$ comportera de courbes cotées, plus il sera précis. Mais alors moins il sera lisible, sauf si les courbes du nomogramme sont particulièrement “simples”, par exemple si ce sont des segments de droites. Ce fait évident explique que les nomogrammes sont très souvent présentés en prenant deux des variables (disons $Q_1$ et $Q_2$) comme abscisse et ordonnée respectivement, de telle sorte que les deux premières familles de courbes de ${ \mathcal N}$ soient respectivement constituées de droites verticales et horizontales. Cette présentation standard rendait la lecture des abaques plus aisée et correspondait à ce que la loi $\ref{E:Loi}$ soit résolue en $Q_3$, c’est-à-dire qu’elle puisse s’écrire sous la forme
\[\begin{equation} \label{E:LoiR} {\large{\mathcal R}} (Q_1,Q_2)=Q_3. \end{equation}\]
Nous dirons qu’un nomogramme est normalisé si deux des familles de courbes qui le composent sont des segments de droites verticales et horizontales.
Après avoir normalisé un abaque donné, il est peut-être encore possible de le simplifier davantage en utilisant un « changement d’échelles », c’est-à-dire via un changement de coordonnées de la forme
\[\begin{equation} \label{E:anamor} (Q_1,Q_2)\mapsto \Big(f_1(Q_1),f_2(Q_2)\Big) \end{equation}\]
qui possède la propriété de transformer les droites verticales et horizontales en des droites du même type.
C’est Lalanne le premier (voir notre Note III) qui eut l’idée (qui semble tellement naturelle désormais) d’utiliser ce type de transformation pour simplifier encore davantage la lecture d’un abaque.
Par exemple, en utilisant l’« échelle logarithmique », il simplifie à l’extrême l’utilisation de l’abaque
associé à la loi de la multiplication $z=xy$ ; en effet, cette loi s’écrit \[\log z=X+Y\] dans les variables $X=\log x$ et $Y=\log y$ et, par conséquent, le nomogramme associé, regardé dans ces nouvelles variables, est particulièrement lisible puisque uniquement formé de segments de droites parallèles.

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Figure 7 :
À gauche, abaque de Pouchet datant de 1795 pour la multiplication.
À droite, celui obtenu par Lalanne après anamorphose du premier.

Lalanne reprend aux arts graphiques et à l’optique le terme d’ anamorphose pour qualifier l’utilisation d’une transformation $\ref{E:anamor}$ en vue de rectifier un abaque normalisé. La question de savoir si un abaque donné peut être rectifié via une anamorphose devient alors un problème important en nomographie. Nous en dirons un mot dans la Note II.

Sur la terminologie et son étymologie.

Il nous semble intéressant de dire deux mots sur la terminologie. Pour l’expliquer le mieux possible, nous indiquerons en particulier l’étymologie des termes techniques de la théorie des abaques qui ont été introduits ci-dessus.

Dans cette note, nous utilisons sans faire de distinction les termes abaque et nomogramme bien que certains auteurs fassent une différence.
L’origine du mot abaque est très ancienne : ce mot provient de
abacus, terme latin lui-même repris du terme grec abax (ἂβαξ),
qui désigne une table recouverte de sable fin dans lequel on écrivait des calculs et traçait des figures que l’on pouvait modifier ou effacer en lissant le sable [10].

Le terme de nomogramme est plus récent et semble avoir été introduit par d’Ocagne. Il est construit à partir du terme grec nomos (νόμος) signifiant “loi” ou “règle” et du suffixe gramme, issu du terme grec grammè
(γραμμή) qui prend ici le sens de “tracé”. L’étymologie
voudrait donc qu’un nomogramme soit le « tracé d’une loi »,
ce qui est bien cohérent avec le sens donné à ce mot en mathématiques.
Le terme grammè est lui-même de la même famille que le verbe graphein (γράφειν) qui, primitivement, signifiait « écorcher, égratigner » et, par suite, a pris le sens de « tracer des signes pour écrire ou pour dessiner ». D’un point de vue étymologique donc, le terme nomographie indique l’action de tracer un nomogramme. Cette signification est trop restrictive par rapport à celle utilisée pendant l’âge d’or de la nomographie : ce terme désignait la discipline (voire la « science » pour ses adeptes les plus fervents) consistant en l’utilisation, la réalisation et l’étude théorique ou pratique des nomogrammes. L’expression « Théorie des Abaques » recouvrait exactement la même chose.

Le préfixe grec iso (ἴσος) signifie “égal” et plèthe provient de plêthos (πλῆθος) qui veut dire “grande quantité” ou “multitude”. Isoplèthe renvoie donc bien à l’idée d’un ensemble de points de “même cote”. Beaucoup d’auteurs utilisaient aussi, à la place d’isoplèthe, l’expression ligne cotée dont la formulation moderne serait plus justement courbe cotée, puisque les lignes
dont parlaient les géomètres de la fin du XIXe n’étaient pas forcément “rectilignes”
mais pouvaient très bien être “courbes”...

Considérons maintenant le terme anamorphose. Ce mot, introduit par Lalanne en 1846 dans le domaine de la nomographie, est lui aussi composé du grec, à partir du verbe anamorphoein (ἀναμορφειν), qui signifiait « transformer », et du suffixe ose, qui
provient peut-être du terme grec ôsis (ωσις) qui fait référence à l’action de pousser. L’étymologie fait donc bien penser à un changement de coordonnées.
Si elle propose une étymologie différente (quoique proche), l’Encyclopédie de 1751 indique que le terme d’anamorphose, « en perspective et en peinture, se dit d’une projection « monstrueuse » ou d’une représentation défigurée de quelque image, qui est faite sur un plan ou sur une surface courbe, et qui néanmoins d’un certain point de vue, paraît régulière et faite avec de justes proportions ». C’est bien le concept mathématique de « difféomorphisme » qui est sous-jacent dans cette définition tirée du corpus des arts graphiques de la Renaissance.

Enfin, l’expression Géométrie Anamorphique était utilisée par certains auteurs pour Nomographie mais n’était pas la plus répandue. Si nous la reprenons comme titre de notre série de Notes, c’est qu’elle rend bien compte de la question qui nous intéresse vraiment, à savoir celle de l’étude des propriétés géométriques des abaques qui sont invariants par anamorphose ou plus généralement par changements de coordonnées. Cette problématique sera abordée du point de vue mathématique dans notre Note IV.

Ressources

Le lecteur désireux d’en savoir plus sur le sujet peut patienter jusqu’à notre Note II qui portera sur certains problèmes et implications mathématiques liés à la nomographie. Mais un certain nombre de ressources sur le sujet sont déjà disponibles sur internet et nous indiquons ci-dessous quelques liens de sites ou d’articles sur la nomographie qui nous ont été utiles ou qui
nous semblent intéressants voire amusants.

  • Dominique Tournès est un historien des mathématiques qui s’est intéressé à l’histoire du calcul graphique et donc à la monographie. Il a publié plusieurs articles
     [11] où sont abordées des questions historiques qui intéresseront certainement les lecteurs trop impatients pour attendre notre troisième note. D’autre part, il a co-animé à l’IUFM de la Réunion un atelier sur la nomographie à l’intention des élèves du secondaire. Le matériel utilisé (et utilisable par les professeurs intéressés) se trouve ici.
    Enfin, il est membre de l’équipe REHSEIS associée au CNRS, dont le programme de recherche Les Instruments du Calcul Savant a induit diverses recherches sur la nomographie disponibles en ligne, par exemple.
  • PyNomo.org est un site web en langue anglaise qui offre la possibilité de construire des nomogrammes en ligne. Il y en a d’autres, comme celui-ci.
  • Enfin, les adeptes de réseaux sociaux passionnés de nomographie ne manqueront pas de s’abonner au profil Nomogram sur Facebook !

Les contenus des sites indiqués ci-dessus couvrent tout ce qui a été introduit dans cette première Note. Nos prochaines Notes présenteront des choses plus originales (et plus mathématiques) moins souvent abordées dans les articles de vulgarisation sur la nomographie.


[D’Ocagne I]
Maurice D’Ocagne, Traité de nomographie, Gauthier-Villars, Paris, 1899.

[D’Ocagne II]
Maurice D’Ocagne, Nomographie - Les calculs usuels effectués au moyen des abaques, Gauthier-Villars, Paris, 1891

[Lallemand] Charles Lallemand, Nivellement général de la France. Les abaques hexagonaux, nouvelle méthode générale de calcul graphique, avec de nombreux exemples d’applications, Ministère des travaux publics, Paris, 1885.

[Soreau]
Rodolphe Soreau, Théorie des abaques, Chiron, Paris, 1921.

Post-scriptum :

L’auteur remercie Brubru pour ses corrections, les bibliothécaires de l’IHP pour leur aide, Carole Gaboriau pour son assistance, les trois relecteurs Serma, Sylvain Barré et Bruno Duchesne, pour leur relecture, et Cyntia Furse pour sa permission d’utiliser la photo de son quilt. Enfin, l’auteur est profondément reconnaissant à Jos Leys pour la jolie animation qu’il a réalisée très rapidement.

Article édité par Étienne Ghys

Notes

[1IMC=Indice de Masse Corporelle. Il s’agit d’un indice simple, utilisé par certaines administrations scientifiques, pour évaluer l’activité des chercheurs mais dont la pertinence a parfois été critiquée. Il en a déjà été question sur ce site : voir ici.

[2On trouve $IMC_{Fred}=25$, ce qui tend à dire que Fred est un peu dodu, mais pas trop.

[3En fait, deux lois sont représentées par l’abaque de la Figure 5, à savoir la loi $\ref{E:LoiTrinom}$ mais aussi la loi $z^2+pz+q=0$
du trinôme général du second degré.

[4L’exemplaire que nous avons consulté à l’Institut Henri Poincaré est un véritable collector, puisqu’il porte sur la couverture la dédicace manuscrite « A Monsieur G. Darboux, Secrétaire perpétuel de l’Académie des Sciences. Ch. Lallemand, 1 Fev. 1905 ». L’illustre Gaston Darboux a donc posé ses mains sur ce livre !

[5On peut trouver ici une étude récente élémentaire mais assez fouillée
de ce nomogramme.

[6Il semble cependant que la nomographie continua à être étudiée en tant que telle en Union soviétique jusqu’au début des années 1980. Nous projetons de revenir sur ce point historique dans la Note III.

[7Cyntia Furse est Professeur d’ électromagnétique
à l’ University of Utah.

[8Il semble que les médecins sont vraiment très friands de nomogrammes, à tel point que certains ont dénoncé ce qu’ils considéraient comme une véritable épidémie, voir ici !

[9Pour un exemple plus contemporain, on repensera à Franky qui devait déterminer les indices de masse corporelle de tous les chercheurs de son unité, sous peine de châtiment administratif.

[10Soreau propose une signification différente (et assez « originale » !) du terme grec ἂβαξ : selon lui, il n’y a aucun doute que sa construction est analogue à celle du terme άλφἀβητος (alphabet) (cf. [Soreau], Tome I, page 14).

[11Les articles auxquels nous faisons référence sont :

  • « Pour une histoire du calcul « graphique », Revue d’histoire des mathématiques, 6 (2000), 127-161 ;
  • « Junius Massau et l’intégration graphique », Revue d’histoire des mathématiques, 9 (2003), 181-252 ;
  • « Les instruments du calcul savant », in Actes du colloque de clôture de l’action concertée « Histoire des savoirs », 2007, 139-146.

Ils sont disponibles le site internet de Dominique Tournès.

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Pour citer cet article :

Lucien Pirio — «Géométrie anamorphique I» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

  • Géométrie anamorphique I

    le 29 novembre 2010 à 12:10, par Joe Marasco

    Excellent article !

    You may find this interesting :
    http://www.barbecuejoe.com/scan.htm

    A recent article in the medical area is :
    http://www.seminoncol.org/article/S0093-7754(09)00228-0/abstract

    The earliest significant breakthrough in the U.S. was the pioneering work of Henderson :
    http://www.amazon.com/Blood-General-Physiology-Lawrence-Henderson/dp/B000FEIAJO/ref=sr_1_4?ie=UTF8&s=books&qid=1267392349&sr=1-4

    For more information on Henderson, see :
    http://en.wikipedia.org/wiki/Lawrence_Henderson

    I would be happy to correspond on the subject of nomography. I am reasonably fluent in French.

    Merci d’avance.

    Joe
    joe barbecuejoe.com

    Répondre à ce message
  • Géométrie anamorphique I

    le 1er décembre 2010 à 14:48, par Clément Caubel

    Merci pour cet excellent article (en français dans le texte) ! J’attends la suite avec impatience.

    Répondre à ce message
  • Géométrie anamorphique I

    le 28 octobre 2015 à 00:25, par Michel Mouyssinat

    Article très intéressant et une petite erreur typomorphique : A la fin de l’article au § Ressources, ..
    Dominique Tournès s’est intéressé à la nomographie ... et non la monographie bien évidemment

    Michel Mouyssinat

    Répondre à ce message

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