Géométrie anamorphique I

Abaques et Nomogrammes

Piste rouge Le 28 novembre 2010  - Ecrit par  Lucien Pirio Voir les commentaires (3)

Cette note est la première d’une série de quatre notes qui concerneront la « nomographie », encore appelée « théorie des abaques », que l’on peut décrire comme une branche des mathématiques appliquées née à la fin du XIXe siècle et qui est maintenant oubliée. Nous en exposerons le principe de base dans cette Note I, présenterons certains principes plus sophistiqués dans la Note II puis raconterons son histoire dans la Note III. Enfin, nous introduirons dans la Note IV la « géométrie des tissus », qui peut être considérée comme le pendant mathématique abstrait de la nomographie et qui constitue une branche classique, mais toujours vivante, de la géométrie analytique.

Abaques et Nomogrammes : en deux mots

Dans l’antiquité grecque, le terme d’abaque servait à désigner une table recouverte de sable sur laquelle on dessinait des figures ou écrivait des calculs que l’on effaçait ou modifiait en lissant le sable. D’une façon générale, le terme d’abaque tend à désigner des instruments de calcul (au moyen de sable, de cailloux, de cordelettes, ou de graphiques) qui ont été utilisés à travers les âges dans différentes cultures.

Les abaques dont il sera question ici sont des graphiques que les ingénieurs du XIXe et de la première partie du XXe siècle utilisaient pour faire des calculs numériques rapidement. Le terme de nomogramme est un synonyme et son étymologie (voir plus bas) permet de se faire une idée de ce dont il s’agit, à savoir une représentation graphique d’une loi mathématique. Le terme de nomographie désigne la pratique qui consiste en l’utilisation des abaques pour calculer, d’une part, mais fait aussi référence à la « science mathématique » dont les objets d’étude sont les nomogrammes et leurs propriétés.

Le principe, via un exemple concret de la vie quotidienne

Il est assez facile d’expliquer le principe de la nomographie avec un problème très simple auquel de nombreux mathématiciens ont sans doute déjà été confrontés. Imaginons que pour rendre pertinent un rapport d’évaluation d’une unité CNRS, il soit demandé à un chef d’équipe breton plein de bonne volonté (appelons-le Franky) d’établir très rapidement la liste des cinq IMC [1] les plus élevés des membres du laboratoire. On peut imaginer l’abnégation de Franky car ce n’est pas une tache aisée !

En effet, si la formule permettant de calculer l’IMC est plutôt simple
\[\begin{equation} \label{F:IMC} {\mathrm{IMC}}=\frac{\mbox{Poids en kilogrammes}}{(\mbox{Taille en mètres})^2}, \end{equation}\]
le lecteur n’aura sans doute pas de mal à imaginer l’aspect laborieux de l’entreprise : il s’agira non seulement de débusquer tous les membres du laboratoire dans un coin ou un autre de l’université, mais surtout, pour chacun des matheux, de calculer son IMC à partir de son poids et de sa taille. Et bien sûr, Franky faisant des maths pures, il ne sait pas (et ne veut pas) utiliser un tableur ou même une calculette pour effectuer toutes ces opérations... Et pourtant, il est censé faire ces calculs vite et avec suffisamment de précision pour que cela ait un sens.

Heureusement Franky s’est muni du « Nomogramme de l’Indice de Masse Corporel