Géométrie Anamorphique II

Quelques éléments de « nomographie avancée »

Hors piste Le 16 avril 2011  - Ecrit par  Lucien Pirio Voir les commentaires (1)

Dans cette seconde note, nous introduisons plusieurs notions “élaborées” de nomographie et discutons des mathématiques associées.
Nous commençons par revenir sur l’anamorphose dont il a déjà été question dans la Note I. Cela nous conduira à présenter la notion de « nomogramme à points alignés », qui repose sur la dualité projective.
Nous parlons ensuite de certaines généralisations des nomogrammes classiques qui ont été introduites pour représenter graphiquement des relations mathématiques entre plus de trois variables. Ce sera l’occasion d’expliquer une des origines de l’un des célèbres vingt-trois problèmes de Hilbert.

Sur l’anamorphose

Nous voulons revenir sur le problème, déjà évoqué dans la Note I, de trouver le « meilleur modèle possible » d’un nomogramme donné. Très clairement, les nomogrammes dont toutes les isoplèthes (i.e. les lignes cotées) sont rectilignes sont parmi les plus faciles à utiliser dans la pratique, en utilisant une règle par exemple. Selon la terminologie classique, un tel nomogramme est dit « à droites concourantes ». Nous dirons aussi qu’il est « rectiligne » ou « rectifié ».
Voici un exemple d’un tel nomogramme :

La question qui nous occupe ici est celle de savoir si un nomogramme donné peut-être rectifié (c’est-à-dire rendu rectiligne) via une « anamorphose », c’est-à-dire via un changement de coordonnées. Nous dirons donc dans cette section qu’un
« meilleur modèle possible » d’un nomogramme donné ${ \mathcal N}$ est un abaque à droites concourantes équivalent à ${ \mathcal N}$. Bien sûr, il n’est pas certain qu’un tel modèle existe et, d’ailleurs, ce n’est en général pas le cas. La caractérisation des abaques qui sont « rectifiables », c’est-à-dire susceptibles d’être rectifiés, est un problème qui s’énonce simplement mais qui se révèle compliqué à résoudre. Nous ne rentrerons pas dans les détails mais dirons seulement que pour aborder cette question, il est nécessaire d’adopter un point de vue conceptuel, en considérant non pas l’abaque lui-même, mais plutôt l’objet mathématique abstrait qui lui correspond. Le lecteur curieux d’en savoir
sur le cadre conceptuel adapté à l’étude des abaques peut cliquer ci-dessous.

Quand un peu d’abstraction a du bon

La « géométrie différentielle » est un très vaste domaine des mathématiques dont les objets d’étude sont appelés « variétés différentielles » : très grossièrement,
ce sont les formes géométriques continues, quelles qu’elles soient. En géométrie différentielle, on cherche donc à comprendre mathématiquement les courbes, les surfaces, les volumes, etc [1]. Les mathématiciens ont dégagé progressivement des concepts et des méthodes pour étudier ces objets mathématiques, pour finalement arriver à mettre sur pied le « calcul différentiel » ou « infinitésimal ». C’est un outil très puissant pour étudier les variétés différentielles, mais dont la nature même fait qu’il ne porte que sur les « structures géométriques continues » (par opposition aux « structures géométriques discrètes »).

Considérons alors un abaque $\mathcal N$. Il est formé de trois familles $\mathcal F_1,\mathcal F_2, \mathcal F_3$ de courbes. Chacune des courbes de $\mathcal N$ est un objet géométrique qui s’étudie très bien au moyen de la géométrie différentielle : elle a été faite pour ça ! Par contre, cette dernière ne permet pas d’étudier l’abaque $\mathcal N$ en tant que tel. En effet, les familles $\mathcal F_1,\mathcal F_2$ et $\mathcal F_3$ étant finies, $\mathcal N$ n’est pas un
« objet mathématique continu » mais plutôt la donnée d’un ensemble discret (puisque fini) d’ « objets mathématiques continus » (les isoplèthes de $\mathcal N$). C’est ce mélange entre le discret et le continu qui fait que l’étude de $\mathcal N$ ne peut pas se faire au moyen des techniques habituelles de la géométrie différentielle.

Mais il se trouve qu’en adoptant un point de vue un peu plus conceptuel, on va pouvoir s’en sortir... Il faut pour cela réaliser que ce qui nous intéresse n’est pas vraiment l’abaque $\mathcal N$ lui-même, mais plutôt la loi mathématique en trois variables de la forme
\[\begin{equation}\label{E:loi} \mathcal L(x_1,x_2,x_3)=0\end{equation}\]
que représente $\mathcal N$. Et ce n’est pas la même chose : $\mathcal N$ est un objet bien concret à savoir quelques courbes tracées dans un domaine du plan, tandis que $\ref{E:loi}$ est un objet mathématique, un pur concept.
Il faut alors bien voir que $\mathcal N$ ne rend pas compte de toute l’information renfermée dans la relation $\ref{E:loi}$, mais seulement d’une toute petite partie de cette information. En effet, dans $\ref{E:loi}$, chacune des variables est susceptible (d’un point de vue mathématique) de prendre toutes les valeurs possibles d’un certain intervalle $I_i\subset \mathbb R$. Et donc, ce ne sont pas seulement trois familles finies (discrètes) de courbes qui correspondent vraiment à $\ref{E:loi}$ du point de vue mathématique, mais plutôt trois familles infinies (et même continues) de courbes...
En mathématiques, une telle famille dans un domaine du plan est appelée un « feuilletage ». C’est encore un objet purement abstrait, qu’on ne peut pas représenter graphiquement [2]. Ainsi, l’objet géométrique conceptuel qui correspond à un abaque est une famille de trois feuilletages dont les feuilles se coupent de façon transverse : le terme mathématique pour désigner un tel objet est celui de « tissu ». Nous y reviendrons dans la Note IV.

Pour finir cette digression, remarquons que, déjà du point de vue “concret” de la nomographie, il est naturel d’avoir à l’esprit que derrière tout abaque $\mathcal A$, se cache un tissu. En effet, il peut très bien arriver que deux isoplèthes de deux familles différentes s’intersectent en un point qui n’est sur aucune des isoplèthes de la troisième famille de courbes de $\mathcal A$. En fait, si cette courbe n’est pas tracée sur la feuille où est dessiné $\mathcal A$, elle existe cependant d’un point de vue mathématique. Au besoin, on peut donc la tracer, voire en tracer d’autres. Cela rendra peut-être l’abaque un peu moins lisible, mais il sera plus précis, un tout petit peu plus proche du tissu qui se cache derrière...

$\Large{A}$namorphose de Lalanne

La question, étudiée en premier par Léon-Louis Lalanne, est celle de savoir si un nomogramme normalisé est susceptible d’être rectifié « par anamorphose ». Comme deux des familles d’isoplèthes d’un abaque normalisé sont formées de segments rectilignes verticaux ou horizontaux, il est naturel de ne considérer que les anamorphoses qui conservent les droites verticales et les droites horizontales afin de conserver le caractère normalisé du nomogramme considéré.
Plus mathématiquement, Lalanne s’intéresse à la rectifiabilité des abaques au moyen d’anamorphoses de la forme
\[\begin{equation} \label{E:anaLalanne} (x,y)\longmapsto \Big(H(x),V(y)\Big)\, , \end{equation}\]
où $H$ et $V$ sont des fonctions d’une seule variable.

Convenons de dire qu’un abaque est « parallèle » s’il est formé de trois familles de segments de droites parallèles, et qu’il est « parallélisable » (ou « susceptible d’anamorphose » selon la terminologie classique) s’il est équivalent, via un changement de coordonnées, à un nomogramme parallèle. Les abaques parallèles représentent les lois mathématiques pouvant s’écrire sous la forme \[A(x)+B(y)+C(z)=0\] pour certaines fonctions $A,B$ et $C$ d’une variable.

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Figure 1 : un nomogramme parallèle

De tous les nomogrammes, il est clair que les abaques parallèles sont ceux dont l’utilisation est la plus simple. C’est sans doute cette raison qui a poussé
Lalanne à chercher à « paralléliser » un abaque normalisé donné $\mathcal N$ au moyen d’anamorphoses de la forme $\ref{E:anaLalanne}$.

Cette question présente plusieurs aspects :

  1. le premier est celui d’établir un critère explicite permettant de savoir si l’abaque $\mathcal N$ est ou non parallélisable via une anamorphose $\ref{E:anaLalanne}$ ;
  2. ensuite, quand l’anamorphose « à la Lalanne » est possible, on peut se
    poser la question de son unicité : existe-t-il un ou plusieurs changements de coordonnées du type $\ref{E:anaLalanne}$ qui parallélisent $\mathcal N$ ?
  3. enfin, et plus concrètement, encore dans le cas où l’anamorphose « à la Lalanne » est possible, il faudrait avoir une méthode pour construire une (ou les) anamorphose(s) $\ref{E:anaLalanne}$ qui rend(ent) $\mathcal N$ parallèle ;

Nous ne parlerons pas du dernier aspect de cette question. Le second est discuté (dans un cadre plus général) dans le paragraphe « La conjecture de Gronwall », ci dessous. Quant au premier aspect évoqué, une réponse tout à fait satisfaisante et jolie lui est donnée par le résultat suivant :

Théorème :   si $\mathcal N$ est un abaque normalisé associé à la relation $f(x,y)=z$, alors les points suivants sont équivalents :
  1. le nomogramme $\mathcal N$ est parallélisable au moyen d’une anamorphose de la forme $\ref{E:anaLalanne}$ ;
  2. la fonction $f$ vérifie l’équation différentielle $\frac{\partial^2 }{\partial x \partial y}\big( \log ({ \frac{\partial f}{\partial x}}/{ \frac{\partial f}{\partial y}})\big)=0$ ;
  3. le nomogramme $\mathcal N$ est hexagonal.

Ce que signifie l’assertion i. a été expliqué plus haut. L’assertion ii. est simplement un critère différentiel portant sur la fonction $f$. Par contre, il n’a pas encore été question d’hexagonalité et cette notion demande à être
expliquée. Notons $\mathcal F,\mathcal F'$ et $\mathcal F''$ les trois familles d’isoplèthes de l’abaque $\mathcal N$ considéré. L’hexagonalité de $\mathcal N$ se définit en termes de « fermeture de certaines configurations qui s’obtiennent en se promenant le long des isoplèthes de $\mathcal N$ »... Mais encore ? Eh bien, considérons trois isoplèthes ${\rm L},{\rm L}'$ et ${\rm L}''$ de $\mathcal N$ qui passent toutes par un même point ${\rm O}$. Donnons-nous un point ${\rm p}$ sur l’une d’entre elles, par exemple sur ${\rm L}"$. On va alors se déplacer le long des isoplèthes de $\mathcal N$ de la façon suivante : on commence la promenade en allant vers ${\rm L}'$ en se déplaçant le long de la courbe ${\rm L}({\rm p})$ de la famille $\mathcal F$ qui passe par ${\rm p}$.
Le début de la balade est illustré ci-dessous ($\mathcal F$ est formée des segments horizontaux bleus, $\mathcal F'$ des segments verticaux verts et $\mathcal F''$ des courbes orangées) :

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