Géométrie de Hilbert

Piste noire Le 15 juillet 2011  - Ecrit par  Ludovic Marquis Voir les commentaires (10)

Hilbert a trouvé un moyen de construire des géométries très différentes avec une recette simple appliquée à des objets élémentaires : les convexes.

Les ensembles convexes

Les ensembles convexes apparaissent souvent en mathématiques.
On pourra penser par exemple à un triangle, un carré, un hexagone [1], un disque, un stade, un tétraèdre, un cube, une boule, un ballon, ou encore à un ballon de rugby.

Une partie plan est dite convexe lorsque lorsqu’elle contient tous les segments qui joignent deux quelconques de ses points.

Les convexes reviennent régulièrement sur Images des Maths ; voici quelques liens rangés par difficulté croissante :

Le Triangle de Reuleaux $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ Ballon rond $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ Un polyèdre au creux de la main

Les ovales des spectraèdres $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ Les coupes des spectraèdres

Ensembles convexes

Ensembles non convexes

Une distance c’est quoi ?

L’objectif de cette page est de présenter la construction d’une distance sur l’intérieur de n’importe quel convexe borné du plan [2]. Dans la vie courante, la distance entre deux points est un nombre positif qui mesure l’écart entre ces deux points. En mathématiques, on formalise ce concept « de mesure d’un écart » de la manière suivante. Une distance sur un ensemble $X$ est une application qui à deux points $x$ et $y$ fait correspondre un nombre positif, que l’on note $d(x,y)$, et qui satisfait les règles suivantes  :

  • la distance entre deux points est toujours positive : $d(x,y) \geqslant 0$ ;
  • la distance entre les points $x$ et $y$ est nulle si et seulement si les deux points coïncident ($x=y$) ;
  • la distance de $x$ à $y$ est la même que celle de $y$ à $x$ : $d(x,y) = d(y,x)$ ;
  • la distance de $x$ à $y$ est inférieure ou égale à la somme des distances de $x$ et de $y$ à tout point $z$ : $d(x,y) \leqslant d(x,z) + d(z,y)$.

Ce sont là les quatre propriétés qui définissent le concept de distance en mathématiques. Un exemple simple est la distance que l’on mesure avec une règle sur une feuille de papier. Les matheux l’appellent : la distance euclidienne dans le plan.
On pourrait utiliser cette distance pour obtenir une distance sur notre convexe, en déclarant que la distance entre deux points du convexe est la distance euclidienne entre ces deux points. Cette construction n’est pas très intéressante car elle n’a rien à voir avec le convexe. On cherche une distance telle que le bord du convexe soit un horizon infiniment lointain.

Une formule indigeste

Rappelons que l’on cherche à définir une distance sur un convexe borné que l’on appellera dorénavant $C$. Cette distance de Hilbert sera notée $d_C$. Commençons par donner une formule qui définit cette distance sous la forme d’une recette :

  • Prenez deux points $x$ et $y$ dans le convexe $C$ (à l’intérieur, pas au bord).
  • Tracez la droite $(xy)$. Elle coupe le bord de votre convexe en deux points puisque celui-ci est borné !
  • On appellera $p$ et $q$ ces deux points, en prenant soin de les nommer de telle façon que $x$ soit entre $p$ et $y$, et $y$ soit entre $x$ et $q$ comme sur la figure :

Distance de Hilbert

  • On note $\mid xy \mid$ la distance euclidienne entre deux points du plan.
  • Calculez le rapport : \[ \frac{\mid py \mid}{\mid px\mid}\]
  • Calculez le rapport : \[ \frac{\mid xq \mid}{\mid yq \mid}\]
  • Calculez le produit de ces rapports : \[\frac{\mid py \mid \mid xq \mid}{\mid px\mid \mid yq \mid}\]
  • Prenez le logarithme népérien de ce nombre supérieur ou égal à 1... ouf ... c’est fini !!!

La formule que l’on vient de défnir est la suivant e :

\[\begin{equation}d_{C}(x,y) = \ln\bigg( \frac{\mid py \mid \mid xq \mid}{\mid px\mid \mid yq \mid} \bigg) \label{equation_1} \end{equation}\]

Cette formule n’est pas très parlante. Mais la quantité

\[ \frac{\mid py \mid \mid xq \mid}{\mid px\mid \mid yq \mid}\]

s’appelle le birapport des quatre points $p,x,y,q$ et intervient en « géométrie projective ».

Un peu d’histoire

Cette distance porte le nom de distance de Hilbert, mais d’autres noms méritent d’y être attachés. Les références de l’auteur sont les articles mathématiques suivants [3], [4], [5] et [6].

Arthur Cayley remarque en 1859 que la formule $\ref{equation_1}$ fournit une distance lorsque le convexe $C$ est l’intérieur d’une ellipse. Quelques années plus tard, en 1871, Félix Klein étudie cette distance dans le cas où $C$ est encore l’intérieur d’une ellipse et s’aperçoit qu’elle fournit un modèle de géométrie non-euclidienne. Ce modèle de géométrie non-euclidienne est ce que l’on appelle aujourd’hui le « modèle projectif du plan hyperbolique », ou encore le modèle de « Beltrami-Cayley-Klein du plan hyperbolique ». Eugenio Beltrami a son nom au tableau car il est le premier à remarquer que
l’intérieur d’une ellipse permet de construire une géométrie non-euclidienne.

La géométrie hyperbolique revient souvent au sein d’Images des Maths. Voici quelques liens :

Une chambre hyperbolique $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ Ringworld

Les triangles d’Euclide de Gauss $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ Géométriser l’espace de Gauss à Perelman $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$

Espaces courbes $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ Un peu de géométrie des groupes $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$

David Hilbert arrive sur la scène en 1895, soit 36 ans après Arthur Cayley. Il remarque que la formule $\ref{equation_1}$ introduite par Cayley fournit une distance lorsque $C$ est un convexe borné quelconque.

Hilbert s’intéresse à cette distance car elle lui permet de formuler ce que l’on appellera le 4ème problème de Hilbert lors du deuxième congrès International des Mathématiciens à Paris en 1900 (Voir aussi sur Images des Maths).

Quelques dessins

Sur le premier dessin, le convexe $C$ est un triangle vert. On a dessiné, en bleu, deux boules dans ce triangle pour la distance de Hilbert (une boule de centre $x$ et de rayon $r$ d’un espace métrique est l’ensemble des points à distance inférieure à $r$ de $x$).

Boules de Hilbert du triangle

Le centre des boules est le point rond à l’intérieur des boules bleus. On peut remarquer deux choses. Tout d’abord les boules du triangle sont des hexagones. Ensuite, lorsque le centre s’approche de l’un des côtés du triangle les boules s’écrasent sur le bord. Les curieux pourront aussi remarquer que si l’on prolonge un côté de ces boules hexagonales alors la droite obtenue passe par l’un des sommets du triangle.

Dans le second dessin, le convexe $C$ est le carré vert et on a dessiné deux boules en bleu. L’une d’elles a son centre au centre du carré, cette boule est un carré tandis que l’autre boule dont le centre n’a pas de propriété particulière est un octogone. Les curieux remarqueront que si l’on prolonge un côté de cet octogone alors ou bien la droite obtenue passe par un sommet du carré ou bien la droite obtenue est parallèle à l’un des côtés du carré.

Boules de Hilbert du carré

Dans le troisième dessin, le convexe $C$ est un disque. On a dessiné deux boules en bleu.

Boules de Hilbert du disque

On remarquera que les boules bordent des ellipses et que le centre de la boule non centrale est « excentré » vers l’extérieur du disque.

Pour nous familiariser avec cet objet, nous allons faire une excursion en dimension 1.

Les convexes de la droite

Pour $C$, prenons un segment ouvert $]p,q[$ de la droite.
Rappelons notre formule magique :

\[d_{C}(x,y) = \ln\bigg( \frac{\mid py \mid \mid xq \mid}{\mid px\mid \mid yq \mid} \bigg)\]

Distance de Hilbert en dimension 1.

Nous allons déformer notre convexe. Regardons l’effet produit sur la distance entre $x$ et $y$ lorsque le point $p$ se rapproche de $x$ ou s’éloigne de $x$.

Tout d’abord $\mid py \mid = \mid px \mid + \mid xy \mid$, d’où :

\[d_C(x,y) = \ln\bigg( \frac{\mid py \mid \mid xq \mid}{\mid px\mid \mid yq \mid} \bigg) = \ln\bigg( \frac{\mid px\mid + \mid xy \mid }{\mid px\mid } \bigg)+ \ln\bigg( \frac{ \mid xq \mid}{ \mid yq \mid} \bigg) \]

\[ d_C(x,y) = \ln\bigg(1 + \frac{\mid xy \mid }{\mid px\mid } \bigg)+ \ln\bigg( \frac{ \mid xq \mid}{ \mid yq \mid} \bigg) \]

Ce petit calcul montre que si le point $p$ se rapproche du point $x$ (les points $x,y$ et $q$ étant fixés) alors la quantité $d_C(x,y)$ augmente et tend vers l’infini lorsque $p$ tend vers $x$. Inversement, si $p$ s’éloigne de $x$ la distance $d_C(x,y)$ diminue et tend vers $\frac{1}{2}\ln(\frac{\mid xq \mid}{\mid yq \mid})$. De même, si le point $q$ s’éloigne (respectivement se rapproche) de $y$ alors $d_C(x,y)$ diminue (respectivement augmente).

De façon plus formelle, on a l’inégalité suivante :

\[d_{]p,q[}(x,y) < d_{]p',q'[}(x,y) \textrm{ dès que } [p',q'] \subset ]p,q[\]

Le birapport, c’est quoi ? Ça vient d’où ?

La géométrie projective a déjà été abordée sur Images des Maths :

Et si on rajoutait une droite à l’infini $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ L’infini est une droite comme les autres

ou encore dans le double article suivant :

Perspective, géométrie et esthétique chez Lambert I et II

La géométrie projective nous fait changer d’espace ; on ne dessine plus nos figures dans le plan mais dans un monde un peu plus gros. Ce monde s’appelle le plan projectif, il est composé des points du plan usuel auquel on a ajouté des
« points à l’infini ».

On peut ajouter des points à l’infini de bien des façons différentes. Seulement la géométrie projective est le prolongement naturel de la géométrie affine. On ajoute un point à l’infini pour chaque famille de droites parallèles. Ce point « à l’infini » est alors le « point d’intersection » de deux droites distinctes quelconques de cette famille. Grâce à cette manœuvre on obtient un plan dans lequel deux droites quelconques se rencontrent toujours...

Un rapport de rapport de distances se révèle très intéressant en géométrie projective, ce nombre associé à quatre points alignés est ce que l’on appelle le birapport. Si les quatre points sont $p,x,y,q$, on note ce nombre $[p,x,y,q]$ et on a :

\[ [p,x,y,q] = \frac{\frac{\mid py \mid}{\mid px \mid}}{\frac{\mid xq \mid}{\mid yq \mid}}=\frac{\mid py \mid \mid xq \mid}{\mid px \mid \mid yq \mid} \]

Une propriété importante du birapport est la suivante  :

Si l’on considère quatre droites concourantes en un point $a$ et deux droites quelconques qui ne passent pas par $a$ alors chacune de ces deux droites définit quatre points et il se trouve que les birapports de ces deux paires de 4 points sont égaux.

$[A,B,C,D]=[A',B',C',D']$

 [7]

Le bandeau déroulant suivant propose une démonstration du fait que $d_C$ est bien une distance, c’est-à-dire vérifie les 4 propriétés.

Pourquoi cette recette offre-t-elle une distance ?

Tout d’abord, essayons de voir si parmi ces quatre propriétés, certaines ne seraient pas évidentes. Les rapports $ \frac{\mid py \mid}{\mid px\mid}$, $ \frac{\mid xq \mid}{\mid yq \mid}$ sont supérieure ou égale à 1. Par conséquent, le nombre $d_{C}(x,y) = \frac{1}{2} \ln\bigg( \frac{\mid py \mid \mid xq \mid}{\mid px\mid \mid yq \mid} \bigg)$ est supérieure ou égale à 0. La première propriété est donc vérifiée.

De plus, si le nombre $d_{C}(x,y) = \ln\bigg( \frac{\mid py \mid \mid xq \mid}{\mid px\mid \mid yq \mid} \bigg)$ est nulle alors le nombre $\frac{\mid py \mid \mid xq \mid}{\mid px\mid \mid yq \mid}$ est égale à 1 et ce nombre est le produit de deux nombres supérieurs ou égaux à 1 par conséquent, dans ce cas les deux nombres $ \frac{\mid py \mid}{\mid px\mid}$, $ \frac{\mid xq \mid}{\mid yq \mid}$ sont égaux à 1 et $x=y$. La seconde propriété est vérifiée.

La troisième propriété n’est pas difficile non plus. Si on échange $x$ et $y$, on échange aussi $p$ et $q$, le nombre $d_{C}(x,y) = \ln\bigg( \frac{\mid py \mid \mid xq \mid}{\mid px\mid \mid yq \mid} \bigg)$ est donc inchangé.

Par contre, la quatrième propriété n’a rien d’évidente. C’est la partie difficile si l’on n’est pas habitué à la géométrie projective. Pour cela, on trace un convexe $C$ et on se donne 3 points dans ce convexe $x,y,z$. On souhaite montrer que $d_{C}(x,y) \leqslant d_{C}(x,z) + d_{C}(z,y)$.

Nous allons faire la construction suivante :

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Démonstration étape 2.

On trace la droite $(xy)$, elle coupe le bord du convexe $C$ en deux points : $p$ et $q$. On trace les droites $(xz)$ et $(zy)$ qui coupent le bord du convexe $C$ en quatre points $r_x$, $t_x$, $r_y$ et $t_y$.

On trace les droites $(r_y t_x)$ et $(r_x t_y)$ et on note $a$ leur point d’intersection. On note $p'$ le point d’intersection de la première avec la droite $(xy)$ et $q'$ le point d’intersection de la seconde avec la droite $(xy)$.

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On trace la droite $(az)$ et on note $z'$ son point d’intersection avec $(xy)$.
On pourra remarquer que $z$ est sur le segment $[x,y]$. On remarque aussi que $p'$ est sur le segment $[p,x]$ et le point $q'$ sur le segment $[y,q]$.

La « formule de Néper » nous montre que :

\[\ln(ab) = \ln(a)\ln(b)\]

Par conséquent, on a l’égalité suivante :

\[d_{C}(x,y) = d_{C}(x,z') + d_{C}(z',y)\]

que l’on peut réécrire :

\[d_{]p,q[}(x,y) = d_{]p,q[}(x,z') + d_{]p,q[}(z',y)\]

La partie « dimension 1 » montre que :

\[d_{]p,q[}(x,z') \leqslant d_{]p',q'[}(x,z')\]

\[d_{]p,q[}(z',y) \leqslant d_{]p',q'[}(z',y)\]

Enfin, la partie « propriétés importantes du birapport » montre que :

\[d_{]p',q'[}(x,z')= \ln([p',x,z',q'])=\ln([r_x,x,z,t_x])= d_{C}(x,z)\]

De même,

\[d_{]p',q'[}(z',y)= d_{C}(z,y)\]

D’où l’inégalité souhaitée.

Le quatrième problème de Hilbert

La formule $\ref{equation_1}$ fournit un moyen simple et uniforme de construire beaucoup de « géométries » très différentes mais qui ont un point commun : la ligne droite est toujours le plus court chemin entre deux points.

Attention, la ligne droite n’est pas nécessairement l’unique plus court chemin entre deux points, elle est simplement « l’un des » plus courts.

La longueur d’un chemin

Définir la longueur d’un chemin n’a rien d’évident. La définition la plus simple est la suivante :

Pour fixer les idées, prenons une courbe $\mathcal{C}$ définie sur $[0,1]$ et à valeurs dans le plan. Si cette courbe est dérivable alors on utilise la formule suivante :

$\textrm{Longueur}(\mathcal{C})= \int_0^1 \textrm{Norme}(\mathcal{C'}(t)) dt$

Dans cette formule, on intègre la vitesse pour obtenir la longueur. Maintenant comment calculer la longueur quand on ne sait ni calculer la vitesse ni calculer la norme d’un vecteur ?

On peut appliquer la méthode suivante, on place $n$ individus sur la courbe à des intervalles de temps réguliers et on mesure la distance entre chacun des individus qui se suivent le long de la courbe, on ajoute toutes ces distances.... et on fait tendre $n$ vers l’infini.

C’est un excellent exercice de montrer que si la courbe $\mathcal{C}$ est dérivable alors les deux méthodes de calcul de la longueur de $\mathcal{C}$ coïncident.

La seconde méthode de calcul a deux avantages sur la première. On n’a pas besoin d’avoir une courbe dérivable pour calculer sa longueur et elle n’utilise pas la norme d’un vecteur. Par conséquent, cette méthode permet de définir la longueur d’une courbe dans n’importe quel espace muni d’une distance.

La question est alors la suivante. Deux points étant donnés, déterminer parmi les courbes qui les joignent, celle ou celles dont la longueur est minimale.

Hilbert pose donc la question suivante aux mathématiciens en 1900 : « Construire et étudier toutes les géométries pour lesquelles la ligne droite est le plus court chemin entre deux points. »

L’interprétation précise de cette question n’est pas univoque. Cependant, dans le plan, le problème est bien compris

 [8]

mais une belle explication dépasserait les compétences de l’auteur et l’objectif de ce texte.

Pour l’auteur, les géométries de Hilbert sont intéressantes car elles fournissent avec une seule recette des objets géométriques très différents. Par exemple, un polygone muni de la distance de Hilbert « ressemble » beaucoup au plan euclidien tandis qu’un convexe dont le bord n’a ni coin ni plat « ressemble » beaucoup à un ellipsoïde muni de cette même distance de Hilbert.

Dans un prochain article sur Images des Maths, l’auteur expliquera comment construire des pavages (comme on peut en trouver ici ou ) sur des convexes qui ne sont pas l’intérieur d’une ellipse.

Post-scriptum :

L’auteur remercie pour leurs conseils, les relecteurs Christophe
Boilley, Bedaride Nicolas, Christian Mercat ainsi que Serge Cantat et Etienne Ghys. Merci également à Pierre de la Harpe.

Notes

[1Pour l’auteur, un triangle, un carré ou un hexagone etc. est la région du plan qui borde la courbe délimitée par les sommets de ce dernier.

[2Cette construction marche en fait en toute dimension.

[3Voir Arthur Cayley (1859), « A sixth memoir upon quantics », Philosophical Transactions of the Royal Society of London 149 : 61–90.

[4Voir : Felix Klein (1871), « Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie », Mathematische Annalen.

[5Voir : Beltrami, Eugenio (1868). « Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea ». Giornale di Mathematiche : 285–315.

[6Hilbert, David (1895), « Ueber die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier Punkte », Mathematische Annalen.

[7Image tirée de Wikipedia.

[8Le texte « Hilbert’s fourth problem in two dimensions I » de Juan Carlos Álvarez Paiva donne une « réponse » et est accessible pour les étudiants avancés motivés ; on peut aussi regarder la page de Juan Carlos Álvarez Paiva à Lille.

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Pour citer cet article :

Ludovic Marquis — «Géométrie de Hilbert» — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

Commentaire sur l'article

  • Une coquille

    le 20 novembre 2011 à 07:46, par Marc JAMBON

    Dans la deuxième ligne du bandeau « Pourquoi cette recette offre-t-elle une distance ? » on lit 1/2 devant ln( ), je pense que ce 1/2 a été écrit par erreur et qu’il ne devrait figurer.

    Répondre à ce message
    • Une coquille

      le 12 juin 2012 à 09:24, par vernicos

      Une coquille faite par habitude et qui mérite une petite explication : en effet dans ce domaine une normalisation de la distance est choisie en mettant un 1/2 devant la définition. Ce n’est pas simplement une coquetterie, mais c’est avec cette normalisation que le modèle de la géométrie Hyperbolique obtenue en prenant une boule euclidienne (ou bien un ellipsoïde) admet une courbure sectionnelle égale à -1.

      Ceci n’étant pas le but de cette introduction, Ludovic à très justement laissé ce 1/2 de coté, mais chassez le naturel et il revient au galop.

      Répondre à ce message
  • Une distance c’est quoi ?

    le 20 novembre 2011 à 08:12, par Marc JAMBON

    Je lis à la fin de l’article
    « Un exemple simple est la distance que l’on mesure avec une règle sur une feuille de papier. »
    La mesure avec une règle graduée est concept physique qui fournit une distance approchée, autrement dit un encadrement ou, ce qui revient au même, une valeur approchée à une incertitude près. Il ne fait aucun doute que cette distance approchée a engendré le concept mathématique de distance.

    Une distance à valeur dans un ensemble de « nombres positifs » demande nécessairement une définition plus abstraite, par exemple :
    distance entre deux points de NxN à valeur dans N,
    distance entre deux points de ZxZ à valeur dans N,
    distance entre deux points de QxQ à valeur dans Q,
    distance entre deux points de RxR à valeur dans R,

    Le dernier est un concept mathématique beaucoup plus élaboré puisqu’il fait appel à R. Si on identifie le plan euclidien à RxR, on a bien une distance, mais elle ne se mesure pas à la règle graduée.

    Répondre à ce message
  • Une formule indigeste, distance de Hilbert.

    le 20 novembre 2011 à 08:49, par Marc JAMBON

    Je lis
    « Prenez deux points x et y dans le convexe C (à l’intérieur, pas au bord) »
    Vous oubliez de dire distincts, faute malheureusement fréquente, ainsi votre distance, ou prétendue telle, n’est définie que pour des points distincts.

    « Elle coupe le bord de votre convexe en deux points puisque celui-ci est borné ! »
    Propriété nullement évidente, même si cela semble se voir sur la figure, elle s’appuie sur l’énoncé « toute partie non vide de R admet une borne supérieure », énoncé difficile (1) , il n’est valide ni dans Q, ni même dans un plan euclidien de nombres algébriques, ce qui est parfaitement concevable.
    En se restreignant à de « bons » ensembles convexes : intérieur d’un triangle ou d’un rectangle en nombres rationnels, intérieur d’une ellipse en nombres algébriques (il suffit de faire appel à des solutions réelles d’une équation du second degré) ..., il n’y a plus de difficulté.

    (1) Cet énoncé est parfois pris comme axiome de R, d’autres fois démontré à partir d’une « construction » de R mais cela utilise le « tiers-exclu ». En mathématiques constructives ou intuitionnistes, le tiers-exclu est refusé et l’existence des points p et q pose problème. Ces difficultés disparaissent dans les exemples déjà signalés.

    Répondre à ce message
    • Une formule indigeste, distance de Hilbert.

      le 12 juin 2012 à 09:30, par vernicos

      Cette distance est également définie pour des points non distincts : en effet, pour deux points non distincts, et une droite passant par ces deux points (qui n’est alors pas unique) le birapport tel que définie par Ludovic sera égal à 1 et la distance sera donc nulle.

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  • Les convexes de la droite. Distance de Hilbert en dimension 1

    le 20 novembre 2011 à 13:41, par Marc JAMBON

    Même coquille déjà signalée dans le bandeau, on trouve un (1/2)ln( ), reste sans doute d’une source où la définition de la distance était (1/2)ln( ).

    A la fin, on aurait l’inégalité large ≤ entre les distances pour [p’, q’] ⊂ [p, q].
    C’est ce qui est, en fait, utile pour montrer l’inégalité triangulaire dans le bandeau un peu plus loin.

    Répondre à ce message
  • Le birapport ...

    le 21 novembre 2011 à 04:45, par Marc JAMBON

    Le birapport se définit pour quatre points alignés tels, que au moins, d’une part p et x , d’autre part q et y sont distincts, par un rapport de rapports de distances algébriques. Selon les conventions usuelles, ce que vous définissez, moyennant la correction précédente, est le birapport de [y,x,p,q] à prolonger par limite lorsqu’un point est à l’infini (on obtient alors un rapport construit avec les trois autres points). Noter que lorsque le birapport est égal à -1, on obtient la célèbre notion de division harmonique, vous n’obtiendriez jamais ce birapport avec un rapport de rapports de distances positives.

    Répondre à ce message
    • Le birapport ...

      le 12 juin 2012 à 09:36, par vernicos

      Encore une fois il s’agit d’une convention lié à ces géométries. Pour ne pas avoir a mettre une valeur absolue dans la définition, nous notons le birapport comme Ludovic le présente, en mettant les points dans l’ordre dans lequel ils apparaissent (un des deux ordres déterminé par les points x et y).

      Répondre à ce message
  • Formule de Neper

    le 21 novembre 2011 à 06:06, par Marc JAMBON

    Dans le bandeau « Pourquoi cette recette offre-t-elle une distance ? » vous introduisez la formule de Neper.
    Pour deux nombres strictement positifs a et b
    ln(ab) = ln(a) + ln(b)
    Vous avez oublié le + , il s’agit surement encore d’une coquille.
    Par la suite le + est réintroduit sans problème.

    Répondre à ce message
  • Démonstration de « Pourquoi cette recette offre-t-elle une distance ? »

    le 21 novembre 2011 à 08:08, par Marc JAMBON

    Seule la démonstration de l’inégalité triangulaire est difficile, c’est même la partie la plus difficile de l’article.
    Il y a lieu de faire une première démonstration relativement facile pour x, y, z alignés.

    Lorsque x, y, z constituent un vrai triangle, la droite (xz) coupe le bord de C en rindicex et tindicex de telle sorte que tindicex est dans le demi-plan ouvert d’arête (pq) contenant z et rindicex dans l’autre demi-plan ouvert de même arête. De même la droite (yz) coupe le bord de C en rindicey et tindicey de telle sorte que tindicey est dans le demi-plan ouvert d’arête (pq) contenant z et rindicey dans l’autre demi-plan ouvert de même arête.
    Ainsi tindicey et rindicex sont de part et d’autre de la droite (pq), en particulier distincts, il s’ensuit que le segment ]tindiceyrindicex[ coupe le segment ]p, q[ en p’, ceci par convexité.
    De même le segment ]tindicexrindicey[ coupe le segment ]p, q[ en q’
    (Vous avez échangé p et p’ dans votre texte, la première fois que vous les introduisez, j’ai repris les conventions de votre figure et de la suite de votre texte.)
    Il y a aussi lieu de remarquer que le quadrilatère tindicex tindicey rindicex rindicey est convexe comme intersection de quatre demi-plans contenant z, ainsi, x et y sont entre p’ et q’.
    Les droites (tindicey , rindicex) et (tindicexrindicey) sont distinctes parce que xyz est un vrai triangle, elles se coupent donc en un point a du complété projectif du plan initial.
    Le birapport algébrique [z, x, rindicex, tindicex] est conservé sur la droite (pq) en [z’, x, p’, q’], en particulier les positions relatives des points sont les mêmes (je ne saurais prouver cette propriété sans la conservation du birapport algébrique).
    On a ainsi z’ entre x et q’
    De même, Le birapport algébrique [z, y, rindicey, tindicey] est conservé sur la droite (pq) en [z’, y, q’, p’], en particulier les positions relatives des points sont les mêmes. Ce dernier birapport est aussi [y, z’, p’, q’].
    On a ainsi z’ entre p’ et y.
    On peut alors achever la démonstration comme vous le faites.

    Répondre à ce message

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