15 octobre 2006

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Géométrie et Dynamique des Surfaces Plates

Marcelo Viana

Professeur à l'IMPA (Instituto National de Matematica Pura e Aplicada) Rio de Janeiro (page web)

L’étude des surfaces plates est pleine de beaux objets et de belles idées et, malgré son caractère élémentaire, possède des relations profondes avec plusieurs autres domaines des Mathématiques. Cet article est une introduction rapide au sujet et à quelques résultats récents.

Surfaces plates

Le sujet de cet article est l’étude de la géométrie des surfaces
lorsqu’elles sont munies d’une métrique plate. Commençons
par expliquer cette notion à partir d’un cas concret : le cube (Figure 1). D’autres exemples, plus intéressants, apparaîtront par la suite. Du point de vue topologique, le cube est équivalent (homéomorphe) à la sphère « ronde » représenté dans la Figure 2. Mais du point de vue géométrique ces deux surfaces sont très différentes.

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Figure 1. Le cube est un modèle plat de la sphère.

Surfaces

Par surface on entend ici une variété compacte sans bord de
dimension $2$. On ne considère d’ailleurs que des surfaces
orientables. Rappelons que ces objets sont classifiés par leur
genre : deux surfaces compactes orientables sont homéomorphes si
et seulement si elles ont le même genre. C’est le cas du cube et
de la sphère (genre égal à zero).

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Figure 2. Surfaces (non-plates) de genres g=0,1,2.

Il est clair que la courbe la plus courte (géodésique)
reliant deux points sur une même face du cube est le segment de
droite défini par ces points. De plus, la notion de droite a un
sens même pour des courbes qui traversent des arêtes : il suffit
de ramener ce cas à une situation plate en « dépliant » l’arête, comme décrit dans la Figure 3. Le fait que les géodésiques sont les segments de droite reste alors vrai aussi pour les points appartenant à des faces différentes.

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Figure 3. Une géodésique qui traverse une arête devient une droite quand on déplie l’arête.

On appelle triangle sur une surface un domaine borné par
trois géodésiques. Ce qui caractérise le cube comme surface plate
est le fait que la somme des angles internes de ses triangles est,
généralement, égale a $\pi$. Ceci est, clairement, vrai pour les
triangles contenus dans une face, mais aussi pour ceux qui
traversent une arête du cube : il suffit de déplier l’arête comme
nous l’avons expliqué avant. Par contre, il est bien connu que sur
la sphère ronde la somme des angles internes des triangles est
toujours supérieure à $\pi$, correspondant au fait que la courbure
de la surface est positive partout.
Cela ne veut pas dire qu’une surface plate comme le cube soit
dépourvue de courbure. En effet, le théorème de Gauss-Bonnet (voir
encadré ci-dessous) implique que quand on déforme une sphère ronde en un cube, la courbure totale reste constante : elle est juste
concentrée sur certaines régions qui, à la limite, donnent lieu
aux sommets du cube. Voir Figure 4.

Théorème de Gauss-Bonnet

Le fameux théorème de Gauss-Bonnet affirme que la courbure totale
d’une surface lisse $S$ ne dépend que de son genre, et pas de sa
métrique : si on note par $\kappa$ la courbure, alors
\[\int_S \kappa = 2\pi \chi(S)\]
où $\chi(S)=2-2g(S)$ est la caractéristique d’Euler de la surface.
Dans le cas de la sphère $\chi(S)=2$ et donc, la courbure totale
est $4\pi$. Il y a une version du théorème de Gauss-Bonnet pour
les surface plates, qui sera utile par la suite :
\[\begin{equation}\sum_{i=1}^{N} \big(2\pi - \alpha(V_i)\big) = 2\pi\chi(S),\label{equation_1}\end{equation}\]
où $V_1, ..., V_N$ sont les sommets de la surface. C’est à
dire que $2\pi-\alpha(V_i)$ mesure la courbure qui est concentrée
à chaque $V_i$. Par exemple, le cube a $N=8$ sommets, dont l’angle
est toujours $3\pi/2$, alors que sa caractéristique d’Euler est
égale à $2$.

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Figure 4. Les sommets sont des singularités de la métrique correspondant à des concentrations infinies de la courbure.

Ceci suggère que pour les triangles qui contiennent une
singularité la somme des angles internes doit être différente de
$\pi$, et c’est effectivement le cas. On appelle angle
d’une singularité $V$ d’une surface plate, noté $\alpha(V)$, la
somme des angles de faces qui lui sont adjacents. Par exemple,
l’angle de chacun des sommets du cube est $3\pi/2$. La
construction (on aplatit un voisinage de
la singularité quitte à le « déchirer » le long d’une arête)
montre alors que la somme des angles internes d’un triangle
contenant $V$ est donnée par
\[\begin{equation}\alpha+\beta+\gamma=3\pi-\alpha(V).\label{equation_2}\end{equation}\]

Dans le cas présent, cela donne $3\pi/2$. Mais on vérifie aisément
que la relation $\ref{equation_2}$ est valable en général, pas
seulement pour le cube.

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Figure 5.

Flots géodésiques

On s’interesse alors au problème suivant. Considérons des segments
géodésiques partant d’un point générique sur la surface
plate, dans une direction fixée. Quel est le comportement de ces
segments quand la longueur va vers l’infini, comment se
déploient-ils autour de la surface ? En particulier : Quand
les géodésiques sont-elles des courbes fermées ? Quand sont-elles
denses dans la surface ? Peut-on décrire leur comportement
asymptotique de façon quantitative ?

Bien que formulées dans le language de la géométrie
différentielle, ces questions sont aussi motivées par des
problèmes dans plusieurs autres domaines des Mathématiques :
l’analyse complexe (différentielles quadratiques, espaces et flots
de Teichmüller), la topologie (feuilletages mesurés), la théorie
des nombres (développements en fractions continues) et, bien sûr,
la dynamique (échanges d’intervalles, billards polygonaux,
exposants de Lyapounov). Il ne nous est pas possible dans ce petit
article d’exploiter ces importantes connections. Mais le lecteur
pourra en trouver des présentations détaillées dans les beaux
travaux d’A. Zorich mentionnés dans notre liste de références.

Tel que nous l’avons formulé, le problème du flot géodésique est à
présent trop général pour qu’on puisse lui donner une réponse
satisfaisante. Par la suite, nous allons restreindre un peu notre
classe de surfaces plates. Cette restriction sert,
essentiellement, à garantir que les géodésiques qui commencent
dans une même direction restent toujours parallèles ;

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Figure 6. Les singularités peuvent rendre le flot géodésique très « chaotique ».

La figure 6 montre que ce n’est pas le cas pour le cube, par
exemple. Sous cette condition, nous verrons que le problème admet
une réponse remarquablement précise. De plus, une bonne partie des
motivations mentionnées ci-dessus ne nécessite que ce cadre un peu
plus restreint.

Surfaces de translation

On considère un polygone dans le plan dont les côtés sont arrangés
en paires telles que les deux segments de chaque paire sont
parallèlles et ont la même longueur. On obtient alors une surface
plate en identifiant les deux côtés dans chacune de ces paires.
Les géodésiques sur cette surface sont des segments de droite ; à
chaque fois qu’un segment atteint un coté du polygone, on le
prolonge dans la même direction et le même sens à partir du point
correspondant dans le coté dual du polygone (Figure 7).

Tore plat et bitore plat

L’exemple le plus simple correspond au cas où le polygone est un
carré. En identifiant les côtés opposés du carré, on obtient
alors un tore plat. Le comportement des géodésiques sur
cette surface est bien connu : celles dont la pente est
rationnelle sont des courbes fermées ; celles dont la pente est
irrationnelle sont denses et, même, uniformément distribuées dans
le tore.

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Figure 7. Surface de translation définie par un octogone.

La Figure 7 décrit un autre exemple de cette construction.
Il est facile de voir que tous les sommets de cet octagone donnent
lieu à une seule singularité $V$ de la surface plate quand on fait
les identifications des différents côtés. Il est également clair
que l’angle de cette singularité est égal à la somme des angles
internes de l’octagone : $\alpha(V)=6\pi$. On peut alors utiliser
le théorème de Gauss-Bonnet $\ref{equation_2}$ pour vérifier que le
genre de cette surface est $g=2$ : il s’agit donc d’un
bitore plat.

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Figure 8. La rose-des-vents est définie sur toute la surface de translation.

Les surfaces plates obtenues de la façon que nous venons de
présenter, qu’on appelle surfaces de translation, ont la
propriété additionnelle suivante : on peut définir sur toute la
surface un champ de vecteurs unitaire localement
constant [1] : la direction « Haut »
(ou « Sud ») de la Figure 8. Ce champ de vecteurs se
prolonge même aux singularités, en général de façon multivaluée.

Cycles asymptotiques

Le premier pas pour décrire le comportement asymptotique des
géodésiques est une représentation des segments géodésiques sous
la forme de vecteurs à coefficients entiers. Formellement, étant
donné un long segment géodésique, on le referme en reliant le
point final au point initial par une courbe, plus ou moins
arbitraire, de longueur bornée. On interprète alors la courbe
fermée ainsi obtenue comme un élément du premier groupe
d’homologie de la surface. Mais cette procédure peut aussi être
décrite de la façon géométrique qui suit.

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Figure 9. Représentation vectorielle d’un segment géodésique.

Supposons que le polygone soit borné par $d\ge 2$ paires
de côtés, numerotées $1$, $2$, ..., $d$. Étant donné un (long)
segment géodésique $\gamma$, on considère des sommets $A$ et $B$
du polygone les plus proches des points initial et final de
$\gamma$ et qui soient identifiés à une même singularité de la
surface quotient. On relie alors $A$ et $B$ au segment géodésique
par des segments géodésiques de longueur bornée. La courbe ainsi
obtenue se projette donc sur une courbe fermée dans la surface de
translation. Ensuite, on considère un chemin $\hat\gamma$ en
« zigzag » reliant $A$ à $B$ le long des côtés du polygone, comme
dans la Figure 9. On définit alors le vecteur
$H(\gamma)=(h_1, ..., h_d)$ où $h_i$ est le nombre de fois
(avec orientation) qu’un côté portant le numéro $i$ est parcouru
par le chemin $\hat\gamma$. La définition ne dépend pas du choix
de $\hat\gamma$.
Il est clair que quand on prend des segments géodésiques $\gamma$
de plus en plus grands le vecteur $H(\gamma)$ croit aussi. Il est,
alors, naturel de le normaliser et de passer à la limite
\[\begin{equation} c_1 = \lim_{|\gamma|\to\infty} \frac{1}{|\gamma|} H(\gamma)\label{equation_3} \end{equation}\]
quand la longueur $|\gamma|$ va vers l’infini. Cette notion est
due à S. Schwartzman, qui l’introduisit et appela cycle
asymptotique
, voilà un demi-siècle.

Le résultat spectaculaire qui suit donne alors une description
très précise, au niveau qualitatif/topologique, du comportement
des géodésiques typiques sur toute surface de translation :

Théorème 1 (S. Kerckhoff, H. Masur, J. Smillie) : Pour toute surface de translation et pour presque toute direction, les géodésiques sont denses et, même, uniformément distribuées dans la surface, et le cycle asymptotique est bien défini et ne dépend pas du point de départ.

Une version un peu plus faible, valable pour presque toute
surface
avait été obtenue quelques années auparavant, dans des
travaux indépendants de H. Masur et W. Veech. Il vaut la peine
d’ajouter que la conclusion n’est pas valable pour toute
direction ; en fait, pour un ensemble dense de directions il y a
des géodésiques fermées. Les géodésiques fermées des surfaces de
translation furent étudiées récemment par A. Eskin, H. Masur, A.
Zorich.

Conjecture du drapeau asymptotique

Vers le début des années 90, A. Zorich décida d’étudier la
convergence $\ref{equation_3}$, à l’aide d’un ordinateur. Il
découvrit ainsi que les déviations des vecteurs $H(\gamma)$ par
rapport à $c_1$ ont un comportement assez surprenant : la
composante de $H(\gamma)$ dans la direction orthogonale au cycle
asymptotique se distribue plutôt dans une direction favorite
$c_2$, et son amplitude maximale est une puissance
$|\gamma|^{\nu_2}$ de la longueur
, avec $\nu_2<1$. Ce
comportement est illustré dans la Figure 10.

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Figure 10. Phénomène de Zorich.

De plus, les déviations de second ordre, c’est-à-dire, les
composantes de $H(\gamma)$ dans la direction orthogonale au plan
défini par $c_1$ et $c_2$ ont le même type de comportement : elles
se distribuent dans une direction favorite $c_3$, et leur
amplitude maximale est $|\gamma|^{\nu_3}$ avec $\nu_3<\nu_2$. De
même pour toutes les déviations jusqu’a l’ordre $g=g(S)$ :
finalement, la composante de $H(\gamma)$ dans la direction
orthogonale au sous-espace défini par $c_1$, ..., $c_g$ est
bornée, indépendamment de la longueur du segment géodésique
$\gamma$. Ces observations furent formalisées en la

Conjecture (Zorich-Kontsevich) : Il existe des vecteurs linéairement indépendants $c_1$, $c_2$, ..., $c_g$ et des nombres $1>\nu_2>\cdots>\nu_g>0$ tels que
  • la composante de $H(\gamma)$ dans la direction orthogonale au sous-espace $L_g$ engendré par $c_1$, ..., $c_g$ est bornée ;
  • l’amplitude de la composante de $H(\gamma)$ orthogonale au sous-espace $L_i$ engendré par $c_1$, ..., $c_i$ est $|\gamma|^{\nu_{i+1}}$, pour tout $i=1, ..., g-1$.

Le flot de Teichmüller

Les travaux de Kontsevich et Zorich ont proposé une explication
pour ce phénomène surprenant, en termes du comportement d’un
système dynamique qui agit dans l’espace des surfaces de
translations : le flot de Teichmüller.

Flot de Teichmüller

Ce flot est très facile à décrire au niveau des polygones : le
temps-$t$ du flot est l’opération (illustrée dans la
Figure 11) qui consiste à dilater le polygone dans la
direction horizontale et à le contracter dans la direction
verticale, d’un même facteur $e^t$. Mais il faut garder en tête
que ce flot est défini dans l’espace des surfaces de translation :
la distinction est importante parce qu’une même surface de
translation peut-être représentée par différents polygônes. En
fait, alors que l’action sur les polygônes est triviale, le flot
dans l’espace des surfaces de translation a une dynamique très
riche. En particulier, d’après H. Masur et W. Veech, il est
ergodique par rapport à une mesure de volume naturelle. Veech a
même montré que cette mesure est uniformément hyperbolique : dans
notre language, ceci revient à dire que $\nu_2<1$.

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Figure 11. Flot de Teichmüller.

Plus généralement, A. Zorich et M. Kontsevich ont montré que $\nu_2, ..., \nu_g$ sont directement liés aux exposants de Lyapounov du
flot de Teichmüller. La preuve de la conjecture revenait alors a
démontrer que le spectre de Lyapounov est simple, c’est à dire que
$1 > \nu_2 > \cdots > \nu_g >0$.

Récemment, G. Forni développa des méthodes analytiques et géométriques
puissantes pour montrer que $\nu_g>0$. Ceci contient le cas $g=2$ de
la conjecture et preuve aussi l’existence du sous-espace $L_g$ dans le
cas géneral.
Encore plus récemment, des méthodes issues des systèmes dynamiques
et de la théorie ergodique nous ont permis, à A. Avila et moi-même
de démontrer le contenu complet de la conjecture.

Théorème 2 (Avila, Viana) :
La conjecture de Zorich-Kontsevich est vraie.

En guise d’épilogue, mentionnons que les exposants $\nu_2$,
..., $\nu_g$ demeurent entourés de mystères. Des calculs
réalisés par M. Kontsevich et A. Zorich les ont amenés à
conjecturer que la somme
\[ 1 + \nu_2 + \cdots + \nu_g \]
est toujours un nombre rationnel. M. Kontsevich a même obtenu
des formules analytiques pour ces sommes. Des progrès plus
récents, surtout par M. Kontsevich et A. Zorich, ont conduit
à des formules plus explicites, à travers lesquelles on peut
espérer résoudre cette conjecture. À suivre ...

Références

[AV05a] A. Avila and M. Viana.
Simplicity of Lyapunov spectra : A general criterion. Pre-publication IMPA et Jussieu 2005.

[AV05b] A. Avila and M. Viana. Simplicity of Lyapunov spectra : Proof of the Zorich-Kontsevich conjecture. Pre-publication IMPA et Jussieu 2005.

[EMZ03] A. Eskin, H. Masur, and A. Zorich. Moduli spaces of abelian differentials : the principal boundary,
counting problems, and the Siegel-Veech constants.

Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., 97:61—179, 2003.

[For02] G. Forni.
Deviation of ergodic averages for area-preserving flows on surfaces
of higher genus.
Ann. of Math., 155:1—103, 2002.

[KMS86] S. Kerckhoff, H. Masur, and J. Smillie. Ergodicity of billiard flows and quadratic differentials. Ann. of Math., 124:293—311, 1986.

[KZ01]
M. Kontsevich, A. Zorich. Connected components of the moduli spaces of Abelian differentials with prescribed singularities, Invent. Math., 153:631—678, 2003.

[Mas82] H. Masur. Interval exchange transformations and measured foliations. Ann. of Math, 115:169—200, 1982.

[Vee82] W. Veech. Gauss measures for transformations on the space of interval exchange maps. Ann. of Math., 115:201—242, 1982.

[Yoc05]
J.-C. Yoccoz. Continued fraction algorithms for interval exchange maps : an introduction. In Frontiers in Number Theory, Physics and Geometry. Vol 1 : On random matrices, zeta functions and dynamical systems. Ecole de Physique des Houches, France, 2003. Springer-Verlag 2006.

[Zor99] A. Zorich. How do the leaves of a closed $1$-form wind around a surface ? Pseudoperiodic Topology, volume 197 of Amer. Math. Soc.Transl. Ser. 2, pages 135—178. Amer. Math. Soc., 1999.

[Zor05] A. Zorich. Flat surfaces.
In Frontiers in Number Theory, Physics and Geometry. Vol 1 : On random matrices, zeta functions and dynamical systems, Ecole de Physique des Houches, France, 2003, Springer-Verlag 2006.

P.S. :

Je remercie Pierre Py et Anton Zorich d’avoir lu cet article et fait plusieurs suggestions, et Etienne Ghys de m’avoir invité à joindre cette édition des Images des Maths.

Notes

[1Champ de vecteurs parallèle, dans le
language de la Géométrie Riemanniene.

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Pour citer cet article : Marcelo Viana, « Géométrie et Dynamique des Surfaces Plates »Images des Mathématiques, CNRS, 2006.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Geometrie-et-Dynamique-des.html

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