Géométrie, mesurer la terre, mesurer la Terre ?

Une conférence dans une librairie.

Piste verte 27 mars 2009  - Ecrit par  Michèle Audin Voir les commentaires (1)

Le 16 février dernier, j’ai donné un cours dans une librairie. Les auditeurs étaient des étudiants de L3 de mathématiques, plus un public inconnu que nous avions baptisé, par avance, « le reste du monde ». Comme je ne savais pas qui serait ce « reste du monde », j’avais préparé un exposé très accessible. Comme ceci se passait dans une librairie, j’avais choisi d’utiliser de nombreux livres, de genres assez différents.

Pour conserver un peu de l’atmosphère exceptionnelle de ce « cours », certaines des figures qui illustrent cet article sont des photographies prises en direct. Un article « live », comme on dit en français.

Géométrie. Mesure de la Terre, ai-je toujours pensé, moi qui ne suis pas helléniste, « la science de la mesure du terrain », ai-je lu en préparant le cours.

Mesure du terrain

Une image de géomètres grecs, vieux messieurs barbus, vêtus de probité candide et de lin blanc [1], mesurant des champs, rectangulaires, triangulaires, circulaires... Sur la mesure des champs circulaires, il y aurait beaucoup à dire, mais pour aujourd’hui, nous choisissons de nous limiter aux triangles. Il y a d’ailleurs, aussi, de quoi faire !

La somme des angles...

d’un triangle vaut 180 degrés. Nous l’avons tous appris au collège. C’est un résultat de la géométrie grecque (euclidienne !) et d’ailleurs une conséquence du célèbre « postulat des parallèles » d’Euclide : on trace la parallèle à un côté passant par le troisième sommet (la droite rouge). Comme les angles de même couleur sont égaux, la somme des trois angles est un angle plat.

Mais... la Terre est ronde !

Une expression du fait que c’est une sphère. Mézalor, mézalor, keskun triangle ? Un triangle a trois côtés. il nous suffit donc de comprendre ce qu’est un côté, une « ligne droite » sur une sphère : tout simplement le plus court chemin d’un point à un autre, donc ce que l’on appelle un « grand cercle », comme les méridiens d’un globe terrestre, ou l’équateur.

Un grand cercle est l’intersection d’un plan passant par le centre avec la sphère

Un exemple de triangle, sur la Terre, est représenté sur la figure. Les sommets sont le pôle nord (le point $N$), et les villes d’Accra (au Ghana) et de Colombo (au Sri Lanka) (les points $A$ et $C$).
Les côtés sont, approximativement, un morceau de l’équateur et deux méridiens, les angles sur l’équateur sont des angles droits (tous les méridiens sont perpendiculaires à l’équateur), l’angle au pôle nord est lui aussi à peu près de 90 degrés (c’est la différence ente les longitudes de Colombo et d’Accra, la longitude réapparaîtra plus bas).

Et voilà, catastrophe ! un triangle avec trois angles droits...

Sur une sphère, la somme des angles d’un triangle est, en effet, toujours, plus grande que 180 degrés [2]. Ce qui a des conséquences pratiques terribles, notamment le fait que l’on ne puisse pas dessiner de carte de la Terre, ni même d’une partie de la Terre, sur laquelle à la fois les distances et les angles sont justes [3].

Heureusement, dans les petits triangles, la somme des angles est très proche de 180 degrés [4]. C’est ce qui permet d’utiliser la géométrie euclidienne pour mesurer de la terre... mais aussi pour mesurer la Terre !

Comment mesure-t-on la Terre ?

Précisons la question : comment mesure-t-on la Terre, en restant sur la Terre [5] ? On peut bien sûr utiliser des satellites artificiels et c’est ce que l’on fait aujourd’hui, mais reportons-nous, disons, au XVIIIème siècle. En ce temps-là, l’espèce humaine et ses instruments de mesure étaient collés à la surface de la planète. Et pourtant, ils mesuraient.

Admettons donc (mais c’est provisoire) que la Terre ait la forme d’une sphère. Supposons qu’on sache mesurer la longueur d’un méridien ; c’est un cercle dont le rayon est celui de la Terre ; si l’on connaît sa longueur, on connaît aussi son rayon [6] Nous souhaitons donc, ou du moins nos collègues anciens souhaitaient, connaître la longueur du méridien.

Il n’est évidemment pas question d’utiliser une chaîne d’arpenteur, ou une règle, que l’on promènerait du pôle nord au pôle sud, trop d’erreurs, il faudrait tenir compte du relief et, comment être sûr que l’on va vraiment droit ?

Notons qu’il est, par contre, très facile de mesurer des angles, en hauteur, disons, l’angle entre la droite qui joint le sommet du Panthéon à Belle Assise et celle qui joint le même sommet à Brie. Au XVIIIème siècle on sait même faire ça avec énormément de précision et avec un instrument nommé théodolite. Alors, voilà la ruse de la triangulation du méridien [7].

Un petit préliminaire, revenons aux triangles plans. Les plus anciens d’entre nous ont appris, dans leur enfance, les « cas d’égalité des triangles », des expressions assez poétiques mais pas toujours très claires, comme

Deux triangles sont égaux s’ils ont un côté égal compris entre deux angles égaux

(je cite de mémoire). En termes moins poétiques mais plus simples : si vous connaissez un côté d’un triangle et les deux angles aux extrémités de ce côté, vous connaissez ce triangle. Ce qui est bien clair si l’on veut bien regarder la figure. On dessine le côté et les deux angles connus (en rouge), puis on prolonge (les deux droites noires) et on obtient le triangle.
Si vous connaissez tout le triangle, vous connaissez en particulier les longueurs de ses trois côtés. Bien sûr, ça veut dire qu’il y a des formules pour ça [8], des formules dont nous nous contenterons pour cet article d’avoir la certitude théorique qu’elles existent.

Conclusion : eh bien voici comment on mesure un arc de méridien (en rouge sur la figure). On mesure un seul côté d’un seul triangle (on appelle ce côté la base), tous les angles, et on peut calculer toutes les longueurs souhaitées [9].

Dans la librairie, j’ai lu un passage d’un livre écrit par un historien, Ken Alder [10] et consacré à la mesure du méridien de Paris, de Dunkerque à Barcelone, par des équipes dirigées par les astronomes Delambre et Méchain, en 1792 et après.

Je montre ici un passage du roman Aventures de trois Russes et de trois Anglais dans l’Afrique australe, de Jules Verne [11] :

Mesurer une base se fait avec des règles et pas mal de précautions, de préférence dans un endroit très plat. Le désert du Kalahari était sans doute bien adapté. Dans le cas, revenons à eux, de la mesure du méridien de Paris par Delambre et Méchain, la base a été choisie dans une partie de plaine de la Brie, de Belle-Assise à Brie.

Remarquez que l’on utilise de la géométrie plane, avec des triangles dont la somme des angles vaut 180 degrés (ce sont des petits triangles), pour mesurer un arc de grand cercle.


Ce qui pose plusieurs questions

  • Pourquoi Delambre et Méchain mesuraient-ils le méridien de Paris ? Pourquoi mesure-t-on un méridien ?
  • Suffit-il de mesurer un arc (un morceau) du méridien, ici de Dunkerque à Barcelone, pour connaître sa longueur ?
  • Quel méridien mesure-t-on ?
  • Et d’ailleurs, qu’est-ce que le méridien de Paris (question posée par un auditeur pendant le cours) ?

(et sans doute d’autres aussi [12], mais je vais me contenter de celles-ci).

Pourquoi Delambre et Méchain mesuraient-ils ?

Je ne discuterai pas ici la question : pourquoi les trois Russes et les trois Anglais de Jules Verne mesurent le méridien ? Lisez le livre.

Delambre et Méchain, deux astronomes, sommités et savants respectés, avaient été envoyés, par le pouvoir politique [13] de 1792, mesurer le méridien de façon assez précise pour pouvoir en déduire un mètre-étalon appelé à devenir l’unité de longueur universelle. Je renvoie au livre cité [14] pour des informations passionnantes sur les tenants et aboutissants de cette volonté, ainsi que sur les aventures vécues par nos astronomes : des inconnus, armés de théodolites et arpentant, c’est le cas de le dire, les campagnes françaises pendant cette période agitée, ont forcément vécu des expériences que ceux et celles qui voient les scientifiques comme de calmes et paisibles fonctionnaires ont du mal à imaginer. Barcelone leur réservait, elle aussi, quelques surprises.

Qu’est-ce que le méridien de Paris ? Quel méridien mesure-t-on ?

Une réponse possible est : l’avenue de l’Observatoire.
L'avenue de l'Observatoire, au fond l'Observatoire de Paris (photo MA).
Pour définir le « méridien de Paris », il suffisait de choisir un point dans Paris, et ainsi l’unique méridien passant par ce point. Ce point choisi, le 21 juin 1667, on a construit l’Observatoire de Paris. Le méridien est (était) matérialisé dans Paris par différents repères, du parc Montsouris à la Porte Montmartre. L’avenue de l’Observatoire, avec sa belle perspective, est un morceau de ce méridien.

Si la Terre est ronde, tous ses méridiens ont la même longueur et on peut mesurer n’importe lequel d’entre eux. Les astronomes qui mesurent le méridien pour définir le mètre, une unité à vocation aussi universelle que les idéaux de la Révolution française, mesurent, bien sûr, le méridien de Paris : ce qu’ils mesurent, c’est le monde... pas 9 degrés d’un arc de méridien !

Une parenthèse s’impose ici sur le choix (géopolitique) d’un méridien.

Latitude, et surtout longitude

La Terre tourne, c’est un fait — sur lequel nous reviendrons. Autour d’un axe. Et cet axe « perce » la Terre en deux points, les deux pôles, qui nous sont donc « donnés par la nature », ainsi par conséquent que l’équateur. La latitude repère notre position, entre l’équateur et le pôle le plus proche, $0$ degré à Accra, 48 degrés 35 minutes et 4 secondes nord à Strasbourg, 90 degrés sud au pôle sud. On détermine sa latitude à l’aide de la hauteur du soleil et d’un sextant.

La longitude, c’est une autre affaire ! Essayez donc de repérer un point sur l’équateur par exemple, sans avoir choisi une origine. Appelons ici à la rescousse Tintin, dans le Trésor de Rackham le Rouge, dont il est malheureusement exclu de recopier ici les phylactères les plus savoureux

  • ceux, page 21, où le capitaine Hadock annonce


    — Voyez. Nous sommes au point indiqué par les parchemins. Nous devrions bientôt apercevoir l’île près de laquelle a coulé la Licorne

    après quoi, tout le monde scrute, personne ne voit rien, en tout cas, personne ne voit d’île,

  • et ceux, page 23,


    — Capitaine, nous sommes des ânes !...
    — Que voulez-vous dire ?
    — Voyons, capitaine, le méridien par rapport auquel vous avec compté les degrés de longitude, c’est naturellement le méridien de Greenwich ?...
    — Evidemment, ce n’est pas celui de Tombouctou !
    — Attendez ! Le chevalier de Hadoque, lui, a certainement compté en prenant comme origine le méridien de Paris, qui est situé à plus de deux degrés à l’est du méridien de Greenwich !..
    — Mille sabords !

Jules Verne (encore lui !) avait pourtant, par avance, averti Tintin et ses amis, dans l’Île mystérieuse (au chapitre 14), la longitude, c’est relatif à un méridien. Concrètement, pour déterminer sa longitude, il faut une montre :

Lorsqu’il pensa que le moment était arrivé, Cyrus Smith s’agenouilla sur le sable, et, au moyen de petits jalons de bois qu’il fichait dans le sable, il commença à pointer les décroissances successives de l’ombre de la baguette. [...]

Le reporter tenait son chronomètre à la main, prêt à relever l’heure qu’il marquerait, quand l’ombre serait à son plus court.

Les naufragés, qui n’avaient plus rien à leur arrivée sur l’île [15], avaient heureusement une montre, nous a dit Jules Verne au chapitre 6 :

Ils n’avaient rien, sauf les habits qu’ils portaient au moment de la catastrophe. Il faut cependant mentionner un carnet et une montre que Gédéon Spilett avait conservée [...]

Montre soigneusement gardée à l’heure (de Washington) et grâce à laquelle ils ont su quelle heure il était à Washington lorsqu’il était midi sur leur île. Vingt-quatre heures pour 360 degrés... ils ont ainsi pu déterminer leur différence de longitude avec Washington, puis leur longitude... par rapport au méridien de Paris, qui était encore le méridien de référence en 1874 lorsque le livre est paru et qui l’est resté jusqu’en 1884 où celui de Greenwich l’a détrôné (un choix géopolitique, à un moment où la France était politiquement affaiblie).

Suffit-il de mesurer un arc de méridien, ou : la Terre est-elle vraiment ronde ?

Admettons, encore une fois, que la Terre est ronde. Si vous connaissez la longueur $L$ de l’arc de Dunkerque à Barcelone (en rouge) et la différence de latitude entre ces deux villes (c’est-à-dire 9 degrés 39 minutes et 19 secondes [16]), vous connaissez la longueur du méridien tout entier (le cercle noir), qui est $\ell=L\times 360^\circ/9^\circ 39' 19''$.

Et pourtant, déjà dans les années 1730, l’Académie des sciences avait envoyé deux équipes mesurer des arcs de méridien, l’une au Pérou, près de l’équateur, l’autre en Laponie, près du pôle nord. Les « astronomes » Maupertuis et Clairaut avaient passé plus d’un an dans le grand nord, à trianguler et mesurer.

Parce que Maupertuis pensait que la Terre était aplatie au pôle. L’arc de méridien devait donc être plus court près du pôle (l’arc vert est plus court que l’arc de cercle pointillé). Maupertuis défendait la théorie de la gravitation de Newton, dont l’aplatissement de la Terre aux pôles était une conséquence. Rappelons que les Principia de Newton sont parus en 1686. D’autres scientifiques pensaient, eux, que la Terre était allongée aux pôles [17]. Il s’agissait de trancher. Et l’expédition en Laponie avait confirmé, à la fois la platitude de la Terre et la pertinence de la théorie newtonnienne.

Elle est ronde, elle est aplatie, et elle tourne.

Aplatie, oui, mais de combien ? De 1/178 ème, calcule Maupertuis après l’expédition de Laponie — ce qui veut dire que le « rayon » de la Terre au pôle est (1-1/178) fois le « rayon » de la terre à l’équateur. Et ceci est assez précis pour expliquer, numériquement, un phénomène lié à la rotation de la Terre, la nutation.

Il est temps de revenir à ce fait : la Terre tourne. Autour de son axe. Mais le mouvement est plus compliqué qu’on ne l’imagine. Parce que l’axe de la Terre lui-même tourne. Il décrit un cône, comme indiqué sur la figure. C’est ce que l’on appelle la précession des équinoxes, un phénomène lent mais bien réel, qui ferait, si l’on n’y prenait pas garde que dans 13 000 ans le mois d’avril serait en automne.

Mais ce n’est pas tout. Le cône n’en est pas un [18], il y a aussi de petites oscillations. C’est la nutation.

Nutare, avait écrit Newton en latin, d’un verbe qui veut dire « osciller », nutation, va traduire en langue vulgaire (c’est-à-dire en français) Emilie du Châtelet.

Car Newton avait prévu et calculé la nutation. Au XVIIIème siècle, c’est un astronome anglais, James Bradley, qui découvre expérimentalement cette nutation, en observant gamma du Dragon, une étoile au zénith de Londres.

J’ai déjà mentionné que l’on mesurait les angles avec beaucoup de précision, eh bien, regardez ça. Entre 1727 et 1737, Bradley découvre, en observant cette étoile, qu’elle oscille... de 17’’ (secondes d’arc) avec une période d’un peu plus de dix-huit ans ! Impressionnant, non ?

À l’assemblée publique de l’Académie, le 3 novembre 1737, Maupertuis fait un discours sur l’expédition de Laponie et, en parlant des observations, il annonce la nouvelle découverte de Bradley. [19]

D’Alembert va faire cadrer, en 1749, dans son mémoire sur précession et nutation, cette valeur numérique de la nutation avec le 1/178 ème de Maupertuis.

Il n’en est pas de même de celles [les observations] que l’illustre M. Bradley vient de publier, & par lesquelles il trouve que l’axe de la Terre est sujet à une nutation sensible, c’est-à-dire à une espèce de balancement ou de vibration [...]

écrit d’Alembert lui-même en 1749 avant de vérifier, par le calcul, les observations de Bradley [20].

Dans la librairie...

Pendant la conférence « hors les murs » dans la librairie, j’ai expliqué précession et nutation en faisant tourner une toupie : la rotation de la toupie autour de son axe s’accompagne elle aussi d’une précession et d’une nutation de cet axe. J’ai aussi évoqué le fait que les méridiens n’ont pas vraiment tous la même longueur, comme si la Terre était un peu aplatie, pas seulement aux pôles — au XIXème siècle, on parlait d’un ellipsoïde (encore une approximation, la forme de la Terre [21] est bien plus irrégulière que ça). J’ai mentionné le général russe Schubert [22] cité par Weierstrass dans un article sur les géodésiques d’un ellipsoïde en 1861 [23], et qui donne les mesures suivantes pour les trois axes de la Terre, considérée comme un ellipsoïde :

Grösseste Axe der Erde 3 272 671,5 Toisen

Mittlere 3 272 303,2 Toisen

Kleinste 3 261 467,8 Toisen [24]

... et la recherche ? et aujourd’hui ?

... et je n’ai pas su résister au plaisir de mentionner Sophie Kowalevski, petite-fille du général Schubert et élève de Weierstrass, qui avait si bien compris que mouvement d’une toupie et géodésiques de l’ellipsoïde étaient deux « systèmes » de la même nature.

Car c’est ainsi, ai-je expliqué dans la librairie, que fonctionne la recherche en mathématiques, c’est ainsi qu’elle fonctionnait déjà au XIXème siècle : on découvre des ressemblances, des similitudes entre des phénomènes apparemment très différents, on en fait une nouvelle théorie, un peu plus générale, qui permet de résoudre de nouveaux problèmes.

Et aujourd’hui ? Car après tout, nous sommes sur un site du CNRS et j’ai mission de parler ici de la recherche contemporaine. Eh bien, certains mathématiciens travaillent encore à comprendre ce qui fait la spécificité de systèmes tels que le mouvement d’une toupie, les géodésiques de l’ellipsoïde, qui ont un comportement très régulier et que l’on appelle des systèmes intégrables, ou au contraire s’intéressent à des systèmes au comportement plus chaotiques (comme on en trouve beaucoup sur ce site).

Pour en revenir à un objet évoqué ci-dessus à propos de la mesure de laTerre, le satellite, mentionnons par exemple que l’on a pu montrer assez récemment (au XXIème siècle) que le mouvement d’un satellite autour de son centre de gravité n’était pas complètement intégrable. Mais ceci nous entraînerait trop loin (par exemple, sur une vraie piste noire bien verglacée).


J’avais apporté des objets :

  • un globe terrestre
  • une toupie,

des livres que j’ai ouverts, feuilletés, dont j’ai lu des passages :

  • Géométrie
  • Mesurer le monde. 1792-1799 : l’incroyable histoire de l’invention du mètre, de Ken Alder
  • Le trésor de Rackham le Rouge, d’Hergé
  • L’île mystérieuse, de Jules Verne
  • Précession et nutation, un volume des Œuvres complètes de d’Alembert
  • Souvenirs sur Sofia Kovalevskaya,

et une bonne partie du public [25].


Notes

[1On trouvera les candides vieux messieurs barbus ainsi vêtus, notablement, dans le toujours excellent Géométricon (Jean-Pierre Petit). Le zeugme, lui, est tiré de Booz endormi, dans la Légende des siècles (Victor Hugo).

[2Remarquons aussi que, sur la sphère, il n’y a pas de « parallèles » : deux grands cercles se coupent toujours, par exemple, deux méridiens se coupent aux deux pôles.

[3La projection stéréographique est un exemple de « carte » dans laquelle les angles sont bons mais les distances dramatiquement mauvaises, ce qui ne l’empêche pas de donner de très jolies images.

[4Une version précise de cette assertion est la formule de Girard, qui dit que la somme des angles d’un triangle sphérique est 180 degrés plus l’aire du triangle (sur une sphère de rayon 1). Plus l’aire est petite, plus la somme des angles est proche de 180 degrés. Voir, par exemple, le chapitre ad hoc de Géométrie.

[5... qui est, quelquefois, si jolie, comme disait Prévert (Pater Noster, dans Paroles).

[6Si le rayon s’appelle $R$, la longueur du méridien est $2\pi R$. Si la longueur du méridien s’appelle $\ell$, le rayon est $\ell/2\pi$...

[7Un exemple de triangulation qui a déjà fait l’objet du début d’un article (éponyme) de Julien Marché sur ce site.

[8Des formules « trigonométriques », encore un mot grec, bien adapté puisque trigonométrie signifie mesure des triangles ; des raffinements du théorème de Pythagore.

[9La figure schématisée de la triangulation du méridien que l’on voit ici est extraite de Souvenirs sur Sofia Kovalevskaya.

[11Ce livre, consacré à la mesure d’un arc de méridien dans le Kalahari, au sud de l’Afrique, semble malheureusement indisponible aujourd’hui. La photographie est celle de mon exemplaire, que je n’ai pas voulu détruire pour le scanner.

[12Par exemple, comment sait-on que deux points sont sur le même méridien ?

[13En ce temps-là, le pouvoir politique respectait ses scientifiques (un commentaire irrésistible)...

[14Parfois irritant, toujours passionnant.

[15Ce serait un bon endroit pour signaler, dans une nouvelle digression, la belle application du théorème de Thalès grâce à laquelle nos héros ont calculé la hauteur d’une falaise, quelques pages auparavant, mais ceci a déjà été fait dans un billet publié sur ce site.

[16Différence entre 51° 02’ 18’’ (la latitude de Dunkerque) et 41° 22’ 59’’ (celle de Barcelone), si je ne me suis pas trompée.

[17Ceci n’est pas sans évoquer la guerre des gros-boutiens et des petits-boutiens, dans les Voyages de Gulliver, paru en 1721...

[18Dans cet article, dès qu’on a accepté quelque chose, il faut le modifier...

[19Œuvres de d’Alembert, introduction au volume 7, Précession et nutation, page xxix.

[20Œuvres de d’Alembert, volume 7, Précession et nutation, page 24.

[21Dire que la Terre a la forme d’un géoïde est, bien entendu, commettre un pléonasme.

[22Dans Essai d’une détermination de la véritable figure de la Terre, publié à Saint-Pétersbourg en 1859.

[23Une très belle figure, sur ce site, montre une Terre ellipsoïdale.

[24Il s’agit des grand, moyen et petit axes de la Terre... et il s’agit bien de Toises. L’unité de mesure universelle, le mètre, n’était pas encore adoptée en Russie, semble-t-il.

[25Merci à tous les étudiants qui m’ont accompagnée... et à Christine Huyghe pour l’idée, les questions mathématiques, la logistique et les photos de la conférence.

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Pour citer cet article :

Michèle Audin — «Géométrie, mesurer la terre, mesurer la Terre ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Crédits image :

Le méridien de Paris - Photo de Michèle Audin

Commentaire sur l'article

  • Géométrie, mesurer la terre, mesurer la Terre ?

    le 30 mars 2009 à 11:05, par Bellion Gérard

    Je suis maintenant à la retraîte,mais voici un article que j’aurais aîmé posséder lorsque j’ai enseigné à mes élèves la naissance du systême mètrique. J’avais des élèves de CAP et de BEP et votre exposé de la Mesure de Delambre est très claire et parfaitement utilisable au niveau de ces élèves.Je me propose d’en faire part à mon successeur dans ces classes.
    J’aimerais trouver une explication de ce type à propos de la détermination de la droite de hauteur à l’aide de la visée au sextant du soleil,les ouvrages de marines étant trop compliqués pour nos élèves.
    Je vous remercie pour votre article encore une fois.
    Gérard Bellion
    La Réunion

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Cet article fait partie du dossier «Mathématiques de la planète Terre (2013)» voir le dossier

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