Geometrizar el espacio : de Gauss a Perelman

¡el teorema de uniformización tiene cien años !

Piste rouge Le 17 novembre 2007  - Ecrit par  Étienne Ghys
Le 22 mars 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman Voir les commentaires
Lire l'article en  

Hace cien años, Henri Poincaré publicaba la prueba del teorema de uniformización. Él concluía así una larga serie de trabajos, extendiéndose por todo el siglo XIX, y remontándose a lo menos a Gauss.

En 2003 Grigori Perelman publicaba en Internet tres importantes artículos que conducen a la prueba de la conjetura de geometrización de Thurston, derivada a su vez del teorema de uniformización. Eso le valió la medalla Fields en 2006.

Me gustaría bosquejar la historia de esta aventura, tratando de evitar todo aspecto técnico. Evidentemente, estaré obligado a simplificar al extremo y saltar un gran número de aspectos importantes.

AUTOR Étienne Ghys

Hiparco y Ptolomeo

Comencemos en el siglo segundo... antes de Jesucristo.
Hiparco, y su sucesor Ptolomeo tres siglos más tarde, son al parecer los primeros en plantearse el tema de la ’’representación’’ más exacta posible del cielo estrellado o de la superficie de la Tierra sobre un plano. Aquí reproducimos (una copia de una copia del) mapa del mundo de Ptolomeo.

Es el inicio de la cartografía científica. Entre los métodos introducidos en esa época hay que mencionar la proyección estereográfica. Abajo se ve una esfera amarilla : la Tierra. El polo norte en rojo, y el plano tangente al polo sur en azul. Todo punto sobre la Tierra, con excepción del polo norte, puede estar unido al polo norte por una recta que corta el plano azul en otro punto, que se llama su proyección. Esto permite representar toda la esfera, con excepción del polo norte, sobre la superficie de un plano : es la proyección estereográfica.

Evidentemente esta proyección no respeta las distancias, es decir, la geometría, la métrica. Usted ve aquí que América del Sur aparece bastante más pequeña que América del Norte, por ejemplo.

Al revés, si uno se concentra en pequeñas zonas, la forma se respeta : hoy en día se dice que la proyección es conforme. Esto significa que una zona infinitamente pequeña de la esfera puede ser dilatada o comprimida, de la misma manera en todas direcciones. La proyección se comporta como una similitud a nivel infinitesimal. Un círculo, por ejemplo, está proyectado como un círculo y no como una elipse alargada.

Gauss

¡Saltémonos ahora una veintena de siglos ! Tendríamos que haber hablado de la evolución de la cartografía, indisociable de la evolución de la geometría. ¿Hace falta recordar que, etimológicamente, la geo-grafía propone dibujar la Tierra y la geo-metría, medirla ?

Vayamos entonces con Gauss... En 1818, le confiaron la misión de cartografiar el reino de Hánover (en la actual Alemania). Es el momento para que él reflexione sobre los errores de medición en física y descubra la famosa curva en campana (se ve arriba, encima del número 10 en este antiguo billete alemán), que invente el método de los mínimos cuadrados, que perfeccione el método de las triangulaciones (abajo a la derecha, la triangulación del Reino de Hanóver), que invente nuevos instrumentos de medición topográfica (abajo está el heliotropo), pero también para meditar acerca de la geometría, del espacio, adivinar la existencia de geometrías no euclidianas, y utilizar por primera vez los números complejos en un contexto geométrico. Y todo esto, mientras cabalga por el campo, recluta obreros y busca dinero. Un trabajo increíble.

Voy a citar solo un teorema de Gauss, que se llama hoy en día teorema de representación conforme local.

Supongamos una Tierra cuya forma no es esférica, sino a priori cualquiera. ¿Hay que recordar que a principios del siglo XIX se sabía bien que la Tierra no es exactamente esférica ? Y sobre esta superficie de forma de patata, consideremos un pequeño país. Francia, por ejemplo..

Gauss demuestra que siempre es posible representar ese país en un plano de manera conforme. Para una Tierra esférica, la proyección estereográfica resuelve el asunto, pero para una Tierra cualquiera... ¡es una proeza !

Este teorema de representación conforme local sigue siendo hoy en día un teorema difícil.

Una de las grandes ideas en la comprobación es utilizar geométricamente los números complejos para describir un punto del plano. Esto es una evidencia hoy (en principio para todos los egresados del área científica del liceo) : uno puede localizar un punto de coordenadas $(x,y)$ del plano por un único número complejo $z= x+iy$. Pero al inicio del siglo XIX, los números complejos eran aún misteriosos, imaginarios como se dice aún en algunas partes, casi místicos ; en cualquier caso, bien alejados de lo real.

Si hubiera que resumir este teorema local de Gauss, se puede decir que permite ubicar localmente un punto sobre una superficie cualquiera por medio de un número complejo.

De este modo, la superficie, que es de dimensión dos puede ser descrita por un solo número, desde luego complejo, ¡pero al menos un solo número !

La dimensión dos real ha sido trasladada a la dimensión uno compleja. Las superficies pasan a ser de dimensión uno y son por lo tanto curvas complejas.
En efecto, las curvas son exactamente los objetos que, a nivel local, están parametrizadas por un solo número.

Riemann

¡No pierda la calma cuando vea a un geómetra frente a una esfera, y le hable de una recta ! Hay que perdonarlo. Su recta es una recta compleja, de dimensión uno compleja, por lo tanto de dimensión dos real. Por otra parte, es proyectiva, lo que significa que al plano complejo se le ha añadido un punto llamado al infinito, que no es otro que el polo norte. Este punto de vista sobre la esfera es atribuido tradicionalmente al siguiente héroe de nuestra historia : el gran Bernhard Riemann. En efecto, se habla a menudo de la esfera de Riemann.

Una palabra acerca de Riemann, de él, que merecería millones. Una de sus contribuciones que realmente revolucionó la geometría algebraica ha sido de alguna manera poner a funcionar la máquina en reversa : considerar las curvas como superficies.

Una curva algebraica es una curva del plano que está definida por una ecuación polinomial. Usted ve aquí la curva de ecuación $x^3y+y^3+x=0$. No es muy interesante ¿cierto ?

Pero si uno hace como Riemann y piensa en $x$ e $y$ como números complejos, cada uno con su parte real e imaginaria, el plano $x,y$ se vuelve de dimensión cuatro, y la curva se vuelve de dimensión dos, es decir, una superficie. Aquí está.

Esta superficie es mucho más interesante. En particular tiene una topología muy rica. Aparece toda una estructura : en este caso, por ejemplo, posee 168 simetrías (tiene que creer en mis palabras). Las curvas algebraicas, o más exactamente las superficies de Riemann, están entre los objetos matemáticos más hermosos. ¡Qué placer poder considerarlas al mismo tiempo como curvas y como superficies !

Gauss... ¡todavía !

Es tiempo de enunciar el teorema de uniformización de Poincaré, de Poincaré-Koebe para ser más próximo a la realidad histórica. Pero primero hay que volver al gran Gauss. En sus meditaciones acerca de la geometría de la esfera, Gauss sabía por supuesto que en un triángulo esférico la suma de los tres ángulos no vale 180 grados -como en el caso de un triángulo del plano usual- sino que esta cifra sobrepasa 180 grados en una cantidad que no es otra que el área del triángulo.

Por una intuición genial, Gauss adivina la existencia de una superficie, de alguna forma dual, de la esfera, en la cual la suma de los ángulos de un triángulo es esta vez inferior a 180 grados, y para la cual la diferencia en 180 grados es igual al área del triángulo.

Es el plano que hoy en día se llama no euclidiano o hiperbólico, que primero fue imaginado como un ente matemático abstracto, y luego tomó una existencia concreta gracias a Riemann y a Klein. La historia, a menudo injusta, llama a este espacio el plano de Poincaré. Así entonces, a fines del siglo XIX, se dispone de tres modelos geométricos : el plano de Euclides por supuesto, pero también la geometría esférica y la geometría hiperbólica. Aquí hay una manera de teselar ese plano un poco extraña.

JPEG

Poincaré

Es Poincaré quien mostró que esas tres geometrías están omnipresentes y que permiten comprender todas las superficies. Aquí está finalmente un enunciado muy simplificado del teorema de uniformización de Poincaré.

Teorema : Toda superficie puede ser uniformizada por una de las tres geometrías : euclidiana, esférica o hiperbólica.

Por supuesto, es necesario explicar lo que significa uniformizar.

Primero, un ejemplo : se puede decir que cuando uno parametriza una circunferencia con seno y coseno, es decir enrollando una recta alrededor de un círculo, uno ha uniformizado el círculo mediante la recta.

De la misma manera, aquí hay una superficie que tiene la topología de un toro y que está uniformizada por un plano euclidiano.

En general, uniformizar una superficie provista de una métrica, es encontrar una proyección -un revestimiento en términos técnicos- que parta ya sea de la esfera, del plano euclidiano o del plano hiperbólico, que vaya hacia la superficie dada, y que sea localmente conforme, tal como la proyección estereográfica es conforme : las formas infinitesimales son respetadas.

Y aquí hay un ejemplo de una superficie más complicada : la curva algebraica que vimos anteriormente, que está uniformizada por un plano hiperbólico.

Aquí, usted ve una superficie que tiene la topología de una esfera, pero que no tiene la geometría. Aún así, ella está uniformizada por una esfera perfecta. En especial, el teorema de uniformización va más lejos que el teorema local de Gauss. Toda “Tierra de forma de patata” puede ser cartografiada globalmente por una esfera perfecta.

Si este enunciado no le dice nada, retenga simplemente que el teorema de uniformización de Poincaré permite comprender la geometría de todas las superficies con ayuda de tres modelos solamente : esférico, euclidiano e hiperbólico. Si usted prefiere, gracias a este teorema todas las superficies han sido “geometrizadas”.

Igual como fue necesario todo el siglo XIX para comprender las superficies, es decir los objetos de dimensión dos, se necesitó todo el siglo XX para comprender los objetos de dimensión tres : es esa la cumbre que Grigori Perelman alcanzó. Pero ahí de nuevo, voy a tener que recortar, deformar y simplificar al extremo.

Thurston

En los años 1970-1980, es W. Thurston quien toma conciencia que muchos espacios de dimensión tres pueden ser geometrizados, igual que las superficies.

Tal como la geometría euclidiana plana tiene dos hermanas -la geometría esférica y la geometría hiperbólica-, la geometría euclidiana en dimensión 3, la venerable geometría en el espacio -como se decía antaño- también tiene hermanas, pero la familia es más numerosa. Está la geometría esférica y la geometría hiperbólica, análogas a las geometrías esférica e hiperbólica en dimensión 2, pero hay también otras cinco hermanas mucho menos conocidas, que se llaman las geometrías de Thurston, y que llevan nombres poco llamativos, como ${\bf Nil}$, ${\bf SL2}$, ${\bf Sol}$ o incluso ${\bf D}^2 \times {\bf R}$ y ${\bf S}^2 \times {\bf R}$. Thurston comienza por estudiar un gran número de ejemplos de espacios de dimensión tres, y comprueba que todos esos ejemplos pueden ser descritos por esas ocho geometrías. Él compila atlas y entusiasma a sus alumnos para establecer bancos de datos informáticos. Su enfoque es muy concreto, casi ’’experimental’’, si utilizamos una palabra que no se usa con frecuencia en matemáticas.

En 1976, él formula su conjetura de geometrización :

Todo espacio (***) de dimensión 3 puede ser dotado de una métrica que es localmente isométrica a una de las ocho geometrías de Thurston.

Habría que ser más exacto. Las estrellas significan ’’variedades compactas, asféricas y atoroidales’’, pero hay que simplificar :-( Simplemente, hay que retener que esta conjetura expresa que los espacios de dimensión tres pueden ser ’’geometrizados’’. La topología de los espacios se encuentra así reducida a la geometría.

Pero Thurston no se limita a conjeturar. Él demuestra su conjetura en numerosos casos significativos, y esto le vale la medalla Fields en 1983. Thurston es ante todo un geómetra/topólogo. Sus métodos son los del topólogo : le gusta lo que se llama la cirugía : cortar los espacios en pedazos y repegarlos. Todo parecía indicar que la prueba de la conjetura iba a utilizar esos métodos topológicos : cortar, pegar.

Perelman

2003 : Estallan truenos en el mundo de la topología. Grigori Perelman, como un hereje, es un analista, un especialista de las ecuaciones en derivadas parciales, tema que muchos topólogos tenían la costumbre de mirar desde lejos. ¡Tenían !, ya que después de Perelman cambiaron de opinión :-)

¿Qué hizo Perelman ? Difícil de explicar en pocas palabras. Habrá que contentarse con algunas frases extremadamente vagas, y un ejemplo simple que ilustra el método que él siguió.

Tome un espacio de dimensión tres y elija una métrica sobre este espacio. Por supuesto esta métrica no tiene por qué ser una de las ocho deThurston. Lo que le impide ser una métrica así es, grosso modo, que no es necesariamente homogénea. Puede ser más curva en algunas partes que en otras. Entonces -una vez más grosso modo- se hace ’’calentar’’ el espacio y se deja difundir la métrica, hasta que alcance una especie de posición de equilibrio térmico que -se espera- será homogéneo : es una de las ocho métricas de Thurston. Esta explicación es vaga, muy vaga, y no indica las considerables dificultades técnicas de la prueba de Perelman. La ecuación de evolución en las derivadas parciales que utiliza se llama el flujo de Ricci, análogo no lineal de la famosa ecuación del calor.

\[\frac{\partial}{\partial t}g_t = Ricci (g_t) \]

Aquí hay un teorema reciente, que se debe a Gage, Grayson y Hamilton, mucho más simple que el teorema de Perelman y que puede ilustrar el método. Hay una curva en el plano. ¿Cómo se puede redondearla ?
Una idea muy simple es empujarla en el sentido de su curvatura. Empuje todos los puntos en el sentido de la convexidad, poco si es poco curvada, y mucho si es muy curvada.

Y siga haciéndolo de manera continua, a medida que la curva se deforma.
Mire el resultado si yo parto de una curva sinuosa. La curva se vuelve redonda, su curvatura se equilibra y tiende a convertirse en una circunferencia.

Le flot de Ricci (en dimension 1)

Es el teorema de Gage-Grayson-Hamilton, que no es en absoluto fácil. ¿Por qué, por ejemplo, la curva no desarrolla puntos dobles ?

El teorema de Perelman está en el mismo espíritu. Usted toma una métrica sobre un espacio de dimensión 3 y empuja en el sentido de la curva. Y eso converge en una métrica de Thurston. Lo esencial de la dificultad del teorema consiste en un análisis preciso de la aparición de singularidades.

Un último comentario y una conclusión

El comentario es que la conjetura de Thurston implica la famosa conjetura de Poincaré, que data de 1905 y que por lo tanto hoy en día es un teorema. Un ejemplo más que muestra que, para resolver un problema, a veces es útil resolver incluso uno más difícil.

La conclusión es que las matemáticas están vivas y sanas.
Esta historia ilustra una vez más esta unidad de las matemáticas que no ha terminado de sorprender a los matemáticos.

Para saber :

más :

La conjecture de Poincaré : Comment Grigori Perelman a résolu l’une des plus grandes énigmes mathématiques, de George Szpiro.

incluso más :

un artículo en Images des Mathématiques 2006,

más aún todavía :

una charla en el seminario Bourbaki, de G. Besson,

mucho, mucho más :

grupo de trabajo sobre los trabajos de Perelman (Grenoble),

¡y por supuesto ! :

los artículos de Perelman.

Post-scriptum :

Gracias a Jos Leys, a quien le debo algunas de las (más lindas) figuras del artículo.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Geometrizar el espacio : de Gauss a Perelman» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?