Gnash, un tore plat !

Piste bleue 10 juin 2012  - Rédigé par  Vincent Borrelli Voir les commentaires (20)

Soixante ans après, l’exploit d’un fanfaron de génie enfin sur vos écrans...

Apostrophe à un fanfaron

« Nash, si tu es si bon, pourquoi ne résous-tu pas le problème du plongement isométrique des variétés riemanniennes ? [1] » L’homme qui ose ainsi défier le futur prix Nobel d’économie [2] n’est autre que son voisin de bureau, Warren Ambrose. Nous sommes en 1953 au laboratoire de mathématique du MIT et Ambrose, excédé par les incessantes rodomontades de John Nash — qu’il surnomme « Gnash » [3] — est bien décidé à donner une leçon de modestie à ce jeune et impétueux mathématicien. Au-delà des termes techniques, le problème qu’il lui lance possède une réputation à décourager les plus téméraires. Il résiste en effet aux assauts des meilleurs mathématiciens depuis sa formulation, c’est-à-dire, à peu près, depuis que le génial Riemann a, lors de sa soutenance d’habilitation en 1854, complètement transformé la géométrie en imaginant ce que les spécialistes appellent désormais la géométrie riemannienne. Pourtant Nash reste dubitatif et aimerait se convaincre que cette question est bien à la hauteur de ses ambitions. Pour s’en persuader il annonce qu’il l’a résolue, observe l’effet produit sur les mathématiciens et se met au travail...

La geôle-écran

Un exemple, un seul, suffit à montrer l’incroyable difficulté du défi lancé par Ambrose à Nash : celui du tore carré plat. Quiconque s’est adonné aux jeux informatiques aura remarqué que, dans certains d’entre eux, les personnages libres de leur mouvement restent néanmoins prisonniers de l’écran. S’ils viennent à disparaître par le haut, ils réapparaissent en bas. De même, s’ils sortent par la droite ils reviennent par la gauche, etc.

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Un être bidimensionnel dans un tore plat carré

Quelle est donc la forme de l’étrange geôle qui emprisonne de fait les personnages informatiques ? Pour en avoir l’idée, il faut s’autoriser à déformer l’écran de l’ordinateur dans la troisième dimension de façon à réaliser concrètement les sutures nécessaires à la continuité du mouvement. Le sol doit être joint au plafond et le mur de gauche doit s’assembler avec le mur de droite. Au prix d’une sérieuse distorsion du carré qui symbolise l’écran sur l’illustration ci-dessous, l’architecture globale émerge soudainement : c’est celle d’une bouée ! Les personnages informatiques, contraints à se mouvoir sur sa surface, n’ont donc aucune échappatoire.

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Un plongement du tore plat carré. L’objet obtenu dans l’espace de dimension trois est un tore de révolution

En mathématique l’écran de l’ordinateur, quand il emprisonne de la sorte les personnages, s’appelle un tore carré plat ; la surface de la bouée, qui figure ce tore carré plat dans l’espace tridimensionnel, prend alors le nom savant de tore de révolution. Cette surface représente le monde dans lequel vivent les personnages informatiques. Elle permet de saisir immédiatement la structure invisible de la geôle-écran mais elle souffre toutefois d’un défaut important, qui l’éloigne irrémédiablement du monde plat de l’écran de l’ordinateur, elle déforme les distances.
Par exemple, les horizontales du tore carré plat ont toutes la même longueur alors que sur le tore de révolution, les latitudes correspondantes ont des longueurs différentes. Le tore de révolution ne donne pas une image fidèle du tore carré plat, il y a tromperie sur les distances.

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Verticales et horizontales ne conservent pas leur longueur dans le tore de révolution

Peut-on corriger ce défaut, c’est-à-dire trouver une surface qui représente le tore carré plat sans déformer les longueurs ? Cela semble extrêmement problématique voire impossible... et pourtant cette question n’est qu’une déclinaison très particulière du défi lancé par Ambrose. Sachant que le tore carré plat est un exemple de ce que les spécialistes appellent une variété riemannienne, et que ces mêmes spécialistes nomment plongement isométrique une représentation qui respecte les longueurs, une version certes affaiblie mais toujours formidablement difficile de la gageure d’Ambrose pourrait se formuler de façon suivante : « Nash, si tu es si bon, essaie donc de représenter un tore carré plat sans déformer les longueurs ! »

L’exploit d’un bravache de génie

Et Nash fut... « si bon » et même au-delà, il fut extraordinairement brillant ! En imaginant une approche et des techniques totalement nouvelles, il va non seulement résoudre en quelques petites années le problème des plongements isométriques mais également bouleverser complètement les certitudes que les mathématiciens s’étaient forgées sur le sujet. Voici ce qu’en disait en 1994 Mikhaïl Gromov, lui-même considéré comme l’un des plus grands géomètres contemporains :

« Beaucoup d’entre nous ont la capacité de développer des idées. Nous suivons des chemins balisés par les autres. Mais presque personne parmi nous, ne pourrait produire quelque chose de comparable à ce que Nash a produit [...] Il a complètement changé la perspective [...] [4] »

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John Nash et Nicolaas Kuiper

Ce que Nash découvre est totalement stupéfiant : bien que l’intuition semble dicter le contraire, les plongements isométriques existent de façon pléthorique, ils sont incroyablement nombreux. Si nous ne les voyons pas, si nous passons systématiquement à côté, c’est tout simplement parce que notre intuition est bien trop sage, bien trop policée pour imaginer leur présence. C’est en particulier le cas pour le tore carré plat. Nicolaas Kuiper montre, dans la foulée des travaux de Nash, que l’on peut effectivement le représenter d’une infinité de façons différentes sans déformer les longueurs ! Mais comme annoncé, ces représentations ne sont pas « sages » ou « policées », leurs propriétés géométriques les empêchent de développer des formes aussi douces et lisses que celles de la surface-bouée rencontrée plus haut. En fait, l’aspect même de ces représentations lançait un défi à l’imagination. Les mathématiques montraient que cet aspect devait être tout à la fois grumeleux et lisse ; un oxymore diabolique dans lequel l’esprit se perdait irrémédiablement.

Un autre cerveau d’exception

Une façon infaillible de comprendre l’aspect paradoxal de ces représentations serait tout simplement de les visualiser, quitte à utiliser un ordinateur au cas où les calculs se révéleraient trop complexes ou trop longs. Hélas, si Nash et Kuiper dévoilent effectivement la présence d’une véritable armada de plongements isométriques, leur démonstration mathématique ne permet pas une manipulation aisée des ces objets et, en particulier, elle ne se prête absolument pas à une visualisation. On se retrouve donc devant une situation bien frustrante : on sait qu’il existe une infinité de représentations respectant les longueurs du tore carré plat mais on est incapable d’en dessiner une seule !

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Mikhail Gromov

Un homme d’exception [5] va faire progresser la situation : Mikhail Gromov. Dans les années 70-80, ce mathématicien invente une technique, l’intégration convexe, qui systématise et généralise de façon vertigineuse le procédé de construction de plongements isométriques. Outre une généralisation, cette technique offrait également une nouvelle perspective sur les travaux de Nash et Kuiper les rendant plus immédiatement intelligibles. Elle montrait en effet qu’un moteur unique faisait tourner l’ensemble de la machinerie produisant les plongements isométriques. La construction n’en devenait pas plus simple pour autant mais on pouvait désormais l’appréhender globalement, la comprendre plus intimement. Une barrière psychologique venait d’être brisée : il était maintenant possible d’apprivoiser l’intimidante machinerie de Nash et Kuiper. Parallèlement, il apparaissait qu’en modifiant un peu ladite machinerie on produirait d’autres surfaces aux propriétés surprenantes, par exemple le fameux retournement de la sphère découvert par Stephen Smale en 1958. Bref, la technique de l’intégration convexe se révélait tout à la fois lumineuse et unificatrice.

Le voir pour le croire !

Parmi les nombreux avantages de cette méthode il en est un qui étrangement est passé inaperçu : son caractère algorithmique. Pourtant cet avantage ouvrait la voie à la visualisation des plongements isométriques puisqu’il autorisait l’implémentation de l’intégration convexe.
Avec trois collègues [6] nous avons décidé de réaliser cette implémentation dans le but d’obtenir les premières images d’un plongement isométrique du tore carré plat et, bien sûr, d’en comprendre l’énigmatique géométrie à la fois grumeleuse et lisse.

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Le tore de révolution avant et après corrugations.

Le programme que nous avons réalisé génère une suite de plongements du tore carré plat s’approchant pas à pas d’un plongement isométrique qui est atteint à la limite. Cette suite débute avec un plongement court c’est-à-dire un plongement du tore carré plat dans l’espace tridimensionnel qui raccourcit toutes les longueurs. Ce plongement est ensuite déformé par une série infinie d’ondulations. Ces ondulations, appelées corrugations, ont pour effet de rallonger progressivement les longueurs dans différentes directions jusqu’à réduire complètement l’écart à la situation isométrique.

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L’accumulation des corrugations

Les corrugations s’empilent les unes sur les autres avec des amplitudes de plus en plus petites et des fréquences de plus en plus élevées, le tout étant calculé pour diminuer sans relâche le défaut isométrique. Le procédé se poursuit ainsi indéfiniment et construit à la limite un plongement isométrique du tore carré plat. Bien sûr, le programme ne peut effectuer qu’un nombre fini de tâches. Nous l’avons arrêté après quatre étapes. En effet, à la cinquième vague de corrugations, l’amplitude des oscillations est si petite qu’elle est invisible à l’œil nu. En ce sens l’image ci-dessous, obtenue après quatre étapes, représente effectivement un plongement isométrique du tore carré plat. Elle montre comment une surface peut être rendue grumeleuse par l’accumulation des corrugations et garder tout de même un aspect lisse grâce à la décroissance rapide des amplitudes de ces mêmes corrugations.

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Un plongement isométrique du tore carré plat (deux vues, extérieure et intérieure)

L’aspect général évoque celui d’une fractale, c’est-à-dire d’un d’objet infiniment fracturé quelle que soit l’échelle à laquelle on l’observe, à cette réserve près qu’ici les fractures sont remplacées par des corrugations. En effet, où que se pose le regard, le plongement isométrique apparaît infiniment ondulé, et aucune brisure ou arête ne se fait jour. Nous avons décidé d’appeler un tel objet géométrique, à mi-chemin entre les fractales et les surfaces lisses ordinaires, une fractale C¹. Le symbole est une notation mathématique qui indique le degré de lissité du plongement isométrique. Informellement, on est tenté de forger un nouvel oxymore —qui n’a plus rien de diabolique cette fois puisqu’il résout l’apparente contradiction entre le grumeleux et le lisse— celui de fractale lisse.

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Image par le plongement isométrique d’une horizontale, d’une verticale et de deux cercles de même rayon

Puisque le plongement est isométrique, cela signifie en particulier que les courbes correspondant aux verticales et aux horizontales du tore carré plat ont toutes la même longueur. L’illustration ci-dessous montre la façon dont un méridien et une latitude du tore de révolution ont été « corruguées » pour atteindre la même longueur : le méridien étant bien plus court que la latitude, il a subi des corrugations de plus forte amplitude. De même, les cercles rouge et bleu ont été envoyés sur des courbes corruguées de même longueur.

Et après ?

La méthode utilisée pour construire un plongement isométrique du tore carré plat permet d’en produire bien d’autres. Il suffit pour cela de déformer le tore de révolution du départ, puis de lui appliquer le processus infini des corrugations. Le procédé d’intégration convexe fournit alors un nouveau plongement isométrique du tore carré plat dont l’aspect général rappelle (de loin !) le tore de départ. En réalité, la méthode de construction utilisée offre une très grande souplesse et nous songeons, dans un avenir proche, à l’appliquer pour visualiser d’autres surfaces paradoxales ; par exemple pour représenter ce que l’on appelle parfois des sphères de Nash-Kuiper. Il s’agit de surfaces qui sont obtenues en déformant une sphère de rayon 1 isométriquement —c’est-à-dire sans modifier la longueur des courbes tracées sur cette sphère— et qui sont logées à l’intérieur d’autres sphères de rayon plus petit. Ces sphères de Nash-Kuiper n’ont jamais été visualisées, elles pourront l’être désormais moyennant une adaptation de l’algorithme à ce cas. D’autres objets attendent également une visualisation, comme les plongements isométriques de l’espace hyperbolique ou ceux d’autres surfaces à courbure constante négative [7]
Ces visualisations feront certainement apparaître des structures en fractales lisses car cette géométrie est naturellement engendrée par l’intégration convexe. Une question passionnante est celle de l’occurrence de ces structures au-delà des mathématiques, dans les phénomènes naturels par exemple [8].

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Douvilleiceras mammillatum : deux corrugations empilées ?

En dépit d’une réputation d’abstraction tenace, la théorie de l’intégration convexe offre une voie praticable pour résoudre numériquement un certain nombre de problèmes mathématiques. Nous ne doutons pas qu’elle inspirera d’autres applications.

Rien que pour nos yeux

Pour finir cet article, voici trois images exclusives du plongement isométrique du tore carré plat ... en hommage à John Nash et Nicolaas Kuiper bien sûr, qui ont osé imaginer ces objets étranges il y a bientôt soixante ans.

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Cliquez sur les images pour les agrandir

Une version en haute définition des deux dernières images est disponible respectivement ici et .

Post-scriptum :

Merci à FlavienK, Jacques Lafontaine, mjchopperboy et Nguyen-Dinh pour leur relecture et leurs remarques constructives.

Notes

[1Source : Sylvia Nasar, Un cerveau d’exception, Calmann-Lévy, 2001.

[2Le Prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d’Alfred Nobel pour les puristes...

[3To gnash signifie grincer en anglais.

[4Source : Sylvia Nasar, Ibid.

[5Cette expression fait référence au film du même nom de Ron Howard qui présente une biographie (édulcorée) de John Nash.

[6Francis Lazarus, Saïd Jabrane et Boris Thibert de l’équipe Hévéa.

[7C’est-à-dire les surfaces uniformisées par la géométrie hyperbolique.

[8Merci à mon frère Laurent pour avoir attiré mon attention sur Douvilleiceras mammillatum, une espèce d’ammonite présentant une double corrugation.

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Pour citer cet article :

Vincent Borrelli — «Gnash, un tore plat !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Crédits image :

Image à la une - V. Borrelli, S. Jabrane, F. Lazarus, D. Rohmer, B. Thibert
Un être bidimensionnel dans un tore plat carré - Vincent Borrelli
Un plongement du tore plat carré. L’objet obtenu dans l’espace de dimension trois est un tore de révolution - Vincent Borrelli
Verticales et horizontales ne conservent pas leur longueur dans le tore de révolution - Vincent Borrelli
Mikhail Gromov - Oberwolfach Photo Collection
John Nash et Nicolaas Kuiper - Paul Halmos et Oberwolfach Photo Collection
img_8008 - V. Borrelli, S. Jabrane, F. Lazarus, D. Rohmer, B. Thibert
Le tore de révolution avant et après corrugations. - V. Borrelli, S. Jabrane, F. Lazarus, D. Rohmer, B. Thibert
Douvilleiceras mammillatum : deux corrugations empilées ? - Coll. M. et M. Lavault, photo A. Dumur.
Un plongement isométrique du tore carré plat (deux vues, extérieure et intérieure) - V. Borrelli, S. Jabrane, F. Lazarus, D. Rohmer, B. Thibert
L’accumulation des corrugations - V. Borrelli, S. Jabrane, F. Lazarus, D. Rohmer, B. Thibert
img_8009 - V. Borrelli, S. Jabrane, F. Lazarus, D. Rohmer, B. Thibert
img_8011 - V. Borrelli, S. Jabrane, F. Lazarus, D. Rohmer, B. Thibert
img_8030 - V. Borrelli, S. Jabrane, F. Lazarus, D. Rohmer, B. Thibert

Commentaire sur l'article

  • Gnash, un tore plat !

    le 10 juin 2012 à 11:00, par Christine Huyghe

    Magnifique travail, pour un magnifique article, et en plus
    pas trop difficile à expliquer à un large public... Parfait !

    Répondre à ce message
    • Gnash, un tore plat !

      le 13 juin 2012 à 00:46, par Vincent Borrelli

      Merci Christine pour tes compliments.

      « Pas trop difficile à expliquer à un large public... » : c’est tout à fait exact et pourtant, je t’assure, j’ai souffert chacune des phrases de mon texte !
      Amitiés.

      Répondre à ce message
  • Gnash, un tore plat !

    le 10 juin 2012 à 11:21, par Patrick Iglesias-Zemmour

    Très beau papier, félicitations !

    Répondre à ce message
    • Gnash, un tore plat !

      le 13 juin 2012 à 00:47, par Vincent Borrelli

      Merci pour votre compliment !
      Cordialement.

      Répondre à ce message
  • Gnash, un tore plat !

    le 10 juin 2012 à 11:24, par TheBarber

    J’avais déjà pu voir les (superbes) images, mais je ne connaissais pas la petite histoire de Nash, le film ne m’avait pas laissé l’image d’un mathématicien aussi facétieux.
    Merci beaucoup pour ce bel article !

    Répondre à ce message
    • Gnash, un tore plat !

      le 13 juin 2012 à 01:11, par Vincent Borrelli

      Je ne sais pas si Nash est vraiment facétieux. Annoncer que l’on a résolu une question essentielle alors qu’il n’en est rien s’apparente plus à un suicide scientifique qu’à une plaisanterie, même de mauvais goût. Je crois que Nash voulait être certain que la question qu’on lui avait posée était digne de son attention. L’annonce outrageusement mensongère de sa résolution était probablement à ses yeux la meilleure stratégie pour s’assurer de son intérêt.

      Cordialement.

      Répondre à ce message
  • Gnash, un tore plat !

    le 10 juin 2012 à 11:52, par ROUX

    Monsieur, j’avais déjà cheminé avec vous et Kakeya.

    En sciences expérimentales, nous avons une suite de critères pour faire un théorème : il suffit de trouver « n » couples d’évènements identiques pour faire un théorème, tous les couples ne répondant pas au théorème étant des erreurs, souhaitées passagères, de mesure.

    Tendrement, nous donnons un nom à chaque valeur de « n » : si « n=1 », c’est le critère du biologiste, si « n=2 », c’est le critère du chimiste, etc.

    Par exemple, les mathématiciens ont depuis longtemps dépassés le critère du chimiste : « Tous les mathématiciens sont barbus ».

    Après cet article, vous avez atteint le critère du chimiste et je peux faire un théorème : « Chaque production de Vincent BORRELLI est un modèle de pédagogie et de certitude de voyager, heureux de comprendre, dans de beaux territoires mathématiques ».

    Et comme les barbus, je sais déjà, à mes plus grands plaisirs futurs de vous lire, que vous dépasserez très largement le critère du chimiste.

    Merci beaucoup, monsieur BORRELLI !!!

    Répondre à ce message
    • Gnash, un tore plat !

      le 13 juin 2012 à 00:48, par Vincent Borrelli

      Merci pour ce commentaire et vos compliments. Désormais la pression est là pour le cas n=3.
      Cordialement.

      Répondre à ce message
  • Gnash, un tore plat !

    le 10 juin 2012 à 14:37, par subshift

    Fantastique ! Merci beaucoup.

    Répondre à ce message
  • Gnash, un tore plat !

    le 11 juin 2012 à 13:16, par électron

    Intéressant. Et je crois savoir également qu’une des difficultés, au-delà de la visualisation, réside dans le calcul effectif des corrugations successives sur ordinateur. A partir d’un certain nombre d’itérations, cela nécessite l’usage intensif d’un cluster parallèle. Du moins si ma mémoire est bonne, c’est ce qui ressortait d’une conférence de Francis Lazarus sur le sujet, sans aucune image du plongement, ce qui était frustrant ! Il est maintenant possible d’admirer ce bel objet, merci.

    Répondre à ce message
    • Gnash, un tore plat !

      le 13 juin 2012 à 01:07, par Vincent Borrelli

      Votre commentaire me permet de souligner la difficulté que nous avons eue à effectuer le calcul des corrugations. Comme on le devine sur les images, le nombre de corrugations augmente exponentiellement. Pour les représenter il faut donc s’appuyer sur des maillages assez fins. Concrètement, nous avons eu besoin d’une grille 10000x200000 soit 2 milliards de sommets (pour comparaison, le projet de digitalisation 3D du David de Michel-Ange —5 mètres de haut environ— à la précision du quart de millimètre a nécessité 1 milliard de polygones).

      Nos calculs ont été effectués au mésocentre CIMENT. Pour les deux images en haute définition de l’article, elles ont été réalisées au CSCS.

      Pour info, la conférence de Francis Lazarus est visible ici.

      Cordialement.

      Répondre à ce message
  • Question naïve

    le 11 juin 2012 à 17:49, par subshift

    Ceci est aussi un plongement isométrique d’un tore plat, non ? (Désolé pour la piètre qualité de l’image...)

    Plus sérieusement, existe-t-il un polyèdre homéomorphe à un tore de révolution qui admette un patron carré ? (On peut dire qu’admettre un patron carré est équivalent à être un plongement isométrique.)

    Les deux exemples donnés en images ici ne répondent pas à la question car leur patron n’est pas carré.

    Répondre à ce message
    • Question naïve

      le 12 juin 2012 à 10:14, par Rémi Peyre

      Bonjour,

      Oui, votre pliage est bien un plongement isométrique du tore plat, du moins sous réserve qu’à aucun endroit la feuille ne soit « complètement pliée », c’est-à-dire qu’on ait une arête à 180° qui amène les deux faces de la feuille à se plaquer l’une contre l’autre.

      La différence avec le problème de Nash, c’est qu’ici votre feuille de papier forme des « arêtes » — ce qu’en langage mathématique on appelle une singularité. Dans le problème de Nash, la question est de trouver un plongement isométrique du tore qui soit « de classe $\mathcal{C}^1$ », c’est-à-dire sans ce genre de singularités.

      Pour le second point de votre question, si on s’autorise les arêtes mais qu’on veut faire les choses de façon purement matématique (plutôt que par origami ;-)), j’avoue ne pas connaître la réponse pour ma part (même si je n’ai guère de doute qu’elle a déjà été résolue). Toutefois, j’ai l’impression que le polyèdre de Császár répond positivement à votre question, car le fait que son patron pave le plan (sous réserve que j’interprète bien le texte : car il n’est pas clair si c’est le vrai patron qui pave le plan ou seulement le schéma où tous les triangles sont dessinés équilatéraux) implique (sauf erreur de ma part) qu’on peut utiliser ce pavage pour obtenir un nouveau patron qui, lui, est rectangulaire.

      Cordialement.

      Répondre à ce message
    • Question naïve

      le 13 juin 2012 à 01:16, par Vincent Borrelli

      Les questions dites naïves se révèlent souvent assez sournoises. C’est le cas ici.

      Comme le souligne Rémi Peyre, il est peut-être possible de transformer le patron du polyèdre de Császár en un patron rectangulaire. Néanmoins, le polyèdre en lui-même n’est pas l’image isométrique d’un tore plat. En effet, une telle image devrait satisfaire à la contrainte suivante : pour chacun de ses sommets, la somme des angles au sommet doit valoir 360°. Le petit film d’animation visible sur la page wiki montre clairement que cette égalité à 360° n’est pas satisfaite, par exemple pour le sommet commun au six triangles bleus. Des images de tores plats polyédriques se trouvent ici. Je n’ai pas vérifié si l’on peut les déplier en un carré ou en un rectangle.

      En 1965, Burago et Zalgaller ont démontré un résultat analogue à celui de Nash et Kuiper pour les polyèdres. Un corollaire de leurs travaux est qu’il existe de nombreux polyèdres qui répondent à votre question, et dont certains seront très proches du tore de révolution.

      Merci pour vos commentaires et votre belle question.

      Répondre à ce message
      • Question naïve

        le 13 juin 2012 à 01:21, par Vincent Borrelli

        Un typo pour la date, c’est 1996 et pas 1965.

        Répondre à ce message
  • Gnash, un tore plat !

    le 24 juin 2012 à 00:02, par Rémi Peyre

    Félicitations pour ces jolies images. Cependant, j’ai beaucoup de mal à comprendre visuellement que le tore représenté sur ces images est en fait plat, ce qui me frustre un peu... Avez-vous essayé de peindre un motif typiquement euclidien, par exemple une grille (avec éventuellement des sous-grilles moins marquées), ou un damier, sur l’image tridimensionnelle obtenue ? Je serais curieux de voir ce que cela donnerait...

    Cordialement,

    Répondre à ce message
    • Gnash, un tore plat !

      le 8 juillet 2012 à 10:39, par Vincent Borrelli

      D’abord, toutes mes excuses pour ma réponse tardive.

      Oui, vous avez raison, ce serait éclairant d’avoir l’image d’un damier noir et blanc. Et pour être franc votre message nous a motivé pour nous lancer dans la réalisation d’une telle image. Hélas, cela prend (comme toujours) plus de temps que je n’aurais pu l’imaginer. Dès que l’image est prête, je rajoute un commentaire avec un lien pour la télécharger.

      Cordialement,

      Répondre à ce message
      • Gnash, un tore plat !

        le 11 juillet 2012 à 14:43, par Vincent Borrelli

        Ca y est, les images sont là ! Je vous laisse les découvrir ici.

        Cordialement,

        Répondre à ce message
  • Gnash, un tore plat !

    le 1er juillet 2012 à 19:54, par Nicolas Tholozan

    Magnifiques images !

    Mais dites-moi, la courbure d’un tore plat n’est-elle pas censée être nulle ? i.e. un tore plongé isométriquement n’est-il pas censé être, justement, « plat » ?
    La réponse est probablement dans le « C1 », et amène une autre question : quelle est la superficie de ces plongements ?

    Merci pour cet article !

    Répondre à ce message
    • Gnash, un tore plat !

      le 8 juillet 2012 à 11:09, par Vincent Borrelli

      Tout à fait ! La courbure du tore plat, c’est-à-dire la courbure de la geôle-écran, est nulle. Cette geôle-écran est d’ailleurs toute plate... Mais un phénomène subtil a lieu lorsqu’on la représente dans l’espace tridimensionnel en préservant les distances. La surface obtenue est si cabossée qu’elle empêche tout calcul de courbure. Ceci a une conséquent troublante : on ne peut plus parler de courbure pour l’image du tore plongé isométriquement.

      Techniquement, pour calculer une courbure il faut dériver deux fois (être C²) or l’image ne permet de dériver qu’une seule fois (elle est C¹), cette image ne possède donc pas de courbure. En fin de compte, la courbure de la surface obtenue n’est ni nulle, ni positive ou négative, elle n’existe tout simplement pas...

      Le tore plat étant plongé isométriquement, toutes les distances sont préservées. Cette propriété importante en implique une autre : les aires sont également préservées. Ainsi, la superficie de l’image est exactement celle de la geôle-écran.

      Cordialement,

      Répondre à ce message

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