Gnash, un tore plat !

Piste bleue Le 18 mars 2020  - Ecrit par  Vincent Borrelli Voir les commentaires (20)
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Soixante ans après, l’exploit d’un fanfaron de génie enfin sur vos écrans...

Rediffusion d’un article publié le 10 juin 2012.

Apostrophe à un fanfaron

« Nash, si tu es si bon, pourquoi ne résous-tu pas le problème du plongement isométrique des variétés riemanniennes ? [1] » L’homme qui ose ainsi défier le futur prix Nobel d’économie [2] n’est autre que son voisin de bureau, Warren Ambrose. Nous sommes en 1953 au laboratoire de mathématique du MIT et Ambrose, excédé par les incessantes rodomontades de John Nash — qu’il surnomme « Gnash » [3] — est bien décidé à donner une leçon de modestie à ce jeune et impétueux mathématicien. Au-delà des termes techniques, le problème qu’il lui lance possède une réputation à décourager les plus téméraires. Il résiste en effet aux assauts des meilleurs mathématiciens depuis sa formulation, c’est-à-dire, à peu près, depuis que le génial Riemann a, lors de sa soutenance d’habilitation en 1854, complètement transformé la géométrie en imaginant ce que les spécialistes appellent désormais la géométrie riemannienne. Pourtant Nash reste dubitatif et aimerait se convaincre que cette question est bien à la hauteur de ses ambitions. Pour s’en persuader il annonce qu’il l’a résolue, observe l’effet produit sur les mathématiciens et se met au travail...

La geôle-écran

Un exemple, un seul, suffit à montrer l’incroyable difficulté du défi lancé par Ambrose à Nash : celui du tore carré plat. Quiconque s’est adonné aux jeux informatiques aura remarqué que, dans certains d’entre eux, les personnages libres de leur mouvement restent néanmoins prisonniers de l’écran. S’ils viennent à disparaître par le haut, ils réapparaissent en bas. De même, s’ils sortent par la droite ils reviennent par la gauche, etc.

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Un être bidimensionnel dans un tore plat carré

Quelle est donc la forme de l’étrange geôle qui emprisonne de fait les personnages informatiques ? Pour en avoir l’idée, il faut s’autoriser à déformer l’écran de l’ordinateur dans la troisième dimension de façon à réaliser concrètement les sutures nécessaires à la continuité du mouvement. Le sol doit être joint au plafond et le mur de gauche doit s’assembler avec le mur de droite. Au prix d’une sérieuse distorsion du carré qui symbolise l’écran sur l’illustration ci-dessous, l’architecture globale émerge soudainement : c’est celle d’une bouée ! Les personnages informatiques, contraints à se mouvoir sur sa surface, n’ont donc aucune échappatoire.

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Un plongement du tore plat carré. L’objet obtenu dans l’espace de dimension trois est un tore de révolution

En mathématique l’écran de l’ordinateur, quand il emprisonne de la sorte les personnages, s’appelle un tore carré plat ; la surface de la bouée, qui figure ce tore carré plat dans l’espace tridimensionnel, prend alors le nom savant de tore de révolution. Cette surface représente le monde dans lequel vivent les personnages informatiques. Elle permet de saisir immédiatement la structure invisible de la geôle-écran mais elle souffre toutefois d’un défaut important, qui l’éloigne irrémédiablement du monde plat de l’écran de l’ordinateur, elle déforme les distances.
Par exemple, les horizontales du tore carré plat ont toutes la même longueur alors que sur le tore de révolution, les latitudes correspondantes ont des longueurs différentes. Le tore de révolution ne donne pas une image fidèle du tore carré plat, il y a tromperie sur les distances.

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Verticales et horizontales ne conservent pas leur longueur dans le tore de révolution

Peut-on corriger ce défaut, c’est-à-dire trouver une surface qui représente le tore carré plat sans déformer les longueurs ? Cela semble extrêmement problématique voire impossible... et pourtant cette question n’est qu’une déclinaison très particulière du défi lancé par Ambrose. Sachant que le tore carré plat est un exemple de ce que les spécialistes appellent une variété riemannienne, et que ces mêmes spécialistes nomment plongement isométrique une représentation qui respecte les longueurs, une version certes affaiblie mais toujours formidablement difficile de la gageure d’Ambrose pourrait se formuler de façon suivante : « Nash, si tu es si bon, essaie donc de représenter un tore carré plat sans déformer les longueurs ! »

L’exploit d’un bravache de génie

Et Nash fut... « si bon » et même au-delà, il fut extraordinairement brillant ! En imaginant une approche et des techniques totalement nouvelles, il va non seulement résoudre en quelques petites années le problème des plongements isométriques mais également bouleverser complètement les certitudes que les mathématiciens s’étaient forgées sur le sujet. Voici ce qu’en disait en 1994 Mikhaïl Gromov, lui-même considéré comme l’un des plus grands géomètres contemporains :

« Beaucoup d’entre nous ont la capacité de développer des idées. Nous suivons des chemins balisés par les autres. Mais presque personne parmi nous, ne pourrait produire quelque chose de comparable à ce que Nash a produit [...] Il a complètement changé la perspective [...] [4] »

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John Nash et Nicolaas Kuiper

Ce que Nash découvre est totalement stupéfiant : bien que l’intuition semble dicter le contraire, les plongements isométriques existent de façon pléthorique, ils sont incroyablement nombreux. Si nous ne les voyons pas, si nous passons systématiquement à côté, c’est tout simplement parce que notre intuition est bien trop sage, bien trop policée pour imaginer leur présence. C’est en particulier le cas pour le tore carré plat. Nicolaas Kuiper montre, dans la foulée des travaux de Nash, que l’on peut effectivement le représenter d’une infinité de façons différentes sans déformer les longueurs ! Mais comme annoncé, ces représentations ne sont pas « sages » ou « policées », leurs propriétés géométriques les empêchent de développer des formes aussi douces et lisses que celles de la surface-bouée rencontrée plus haut. En fait, l’aspect même de ces représentations lançait un défi à l’imagination. Les mathématiques montraient que cet aspect devait être tout à la fois grumeleux et lisse ; un oxymore diabolique dans lequel l’esprit se perdait irrémédiablement.

Un autre cerveau d’exception

Une façon infaillible de comprendre l’aspect paradoxal de ces représentations serait tout simplement de les visualiser, quitte à utiliser un ordinateur au cas où les calculs se révéleraient trop complexes ou trop longs. Hélas, si Nash et Kuiper dévoilent effectivement la présence d’une véritable armada de plongements isométriques, leur démonstration mathématique ne permet pas une manipulation aisée des ces objets et, en particulier, elle ne se prête absolument pas à une visualisation. On se retrouve donc devant une situation bien frustrante : on sait qu’il existe une infinité de représentations respectant les longueurs du tore carré plat mais on est incapable d’en dessiner une seule !

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Mikhail Gromov

Un homme d’exception [5] va faire progresser la situation : Mikhail Gromov. Dans les années 70-80, ce mathématicien invente une technique, l’intégration convexe, qui systématise et généralise de façon vertigineuse le procédé de construction de plongements isométriques. Outre une généralisation, cette technique offrait également une nouvelle perspective sur les travaux de Nash et Kuiper les rendant plus immédiatement intelligibles. Elle montrait en effet qu’un moteur unique faisait tourner l’ensemble de la machinerie produisant les plongements isométriques. La construction n’en devenait pas plus simple pour autant mais on pouvait désormais l’appréhender globalement, la comprendre plus intimement. Une barrière psychologique venait d’être brisée : il était maintenant possible d’apprivoiser l’intimidante machinerie de Nash et Kuiper. Parallèlement, il apparaissait qu’en modifiant un peu ladite machinerie on produirait d’autres surfaces aux propriétés surprenantes, par exemple le fameux retournement de la sphère découvert par Stephen Smale en 1958. Bref, la technique de l’intégration convexe se révélait tout à la fois lumineuse et unificatrice.

Le voir pour le croire !

Parmi les nombreux avantages de cette méthode il en est un qui étrangement est passé inaperçu : son caractère algorithmique. Pourtant cet avantage ouvrait la voie à la visualisation des plongements isométriques puisqu’il autorisait l’implémentation de l’intégration convexe.
Avec trois collègues [6] nous avons décidé de réaliser cette implémentation dans le but d’obtenir les premières images d’un plongement isométrique du tore carré plat et, bien sûr, d’en comprendre l’énigmatique géométrie à la fois grumeleuse et lisse.

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Le tore de révolution avant et après corrugations

Le programme que nous avons réalisé génère une suite de plongements du tore carré plat s’approchant pas à pas d’un plongement isométrique qui est atteint à la limite. Cette suite débute avec un plongement court c’est-à-dire un plongement du tore carré plat dans l’espace tridimensionnel qui raccourcit toutes les longueurs. Ce plongement est ensuite déformé par une série infinie d’ondulations. Ces ondulations, appelées corrugations, ont pour effet de rallonger progressivement les longueurs dans différentes directions jusqu’à réduire complètement l’écart à la situation isométrique.

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L’accumulation des corrugations

Les corrugations s’empilent les unes sur les autres avec des amplitudes de plus en plus petites et des fréquences de plus en plus élevées, le tout étant calculé pour diminuer sans relâche le défaut isométrique. Le procédé se poursuit ainsi indéfiniment et construit à la limite un plongement isométrique du tore carré plat. Bien sûr, le programme ne peut effectuer qu’un nombre fini de tâches. Nous l’avons arrêté après quatre étapes. En effet, à la cinquième vague de corrugations, l’amplitude des oscillations est si petite qu’elle est invisible à l’œil nu. En ce sens l’image ci-dessous, obtenue après quatre étapes, représente effectivement un plongement isométrique du tore carré plat. Elle montre comment une surface peut être rendue grumeleuse par l’accumulation des corrugations et garder tout de même un aspect lisse grâce à la décroissance rapide des amplitudes de ces mêmes corrugations.

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L’aspect général évoque celui d’une fractale, c’est-à-dire d’un d’objet infiniment fracturé quelle que soit l’échelle à laquelle on l’observe, à cette réserve près qu’ici les fractures sont remplacées par des corrugations. En effet, où que se pose le regard, le plongement isométrique apparaît infiniment ondulé, et aucune brisure ou arête ne se fait jour. Nous avons décidé d’appeler un tel objet géométrique, à mi-chemin entre les fractales et les surfaces lisses ordinaires, une fractale C¹. Le symbole est une notation mathématique qui indique le degré de lissité du plongement isométrique. Informellement, on est tenté de forger un nouvel oxymore —qui n’a plus rien de diabolique cette fois puisqu’il résout l’apparente contradiction entre le grumeleux et le lisse— celui de fractale lisse.

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Image par le plongement isométrique d’une horizontale, d’une verticale et de deux cercles de même rayon

Puisque le plongement est isométrique, cela signifie en particulier que les courbes correspondant aux verticales et aux horizontales du tore carré plat ont toutes la même longueur. L’illustration ci-dessous montre la façon dont un méridien et une latitude du tore de révolution ont été « corruguées » pour atteindre la même longueur : le méridien étant bien plus court que la latitude, il a subi des corrugations de plus forte amplitude. De même, les cercles rouge et bleu ont été envoyés sur des courbes corruguées de même longueur.

Et après ?

La méthode utilisée pour construire un plongement isométrique du tore carré plat permet d’en produire bien d’autres. Il suffit pour cela de déformer le tore de révolution du départ, puis de lui appliquer le processus infini des corrugations. Le procédé d’intégration convexe fournit alors un nouveau plongement isométrique du tore carré plat dont l’aspect général rappelle (de loin !) le tore de départ. En réalité, la méthode de construction utilisée offre une très grande souplesse et nous songeons, dans un avenir proche, à l’appliquer pour visualiser d’autres surfaces paradoxales ; par exemple pour représenter ce que l’on appelle parfois des sphères de Nash-Kuiper. Il s’agit de surfaces qui sont obtenues en déformant une sphère de rayon 1 isométriquement —c’est-à-dire sans modifier la longueur des courbes tracées sur cette sphère— et qui sont logées à l’intérieur d’autres sphères de rayon plus petit. Ces sphères de Nash-Kuiper n’ont jamais été visualisées, elles pourront l’être désormais moyennant une adaptation de l’algorithme à ce cas. D’autres objets attendent également une visualisation, comme les plongements isométriques de l’espace hyperbolique ou ceux d’autres surfaces à courbure constante négative [7]
Ces visualisations feront certainement apparaître des structures en fractales lisses car cette géométrie est naturellement engendrée par l’intégration convexe. Une question passionnante est celle de l’occurrence de ces structures au-delà des mathématiques, dans les phénomènes naturels par exemple [8].

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Douvilleiceras mammillatum : deux corrugations empilées ?

En dépit d’une réputation d’abstraction tenace, la théorie de l’intégration convexe offre une voie praticable pour résoudre numériquement un certain nombre de problèmes mathématiques. Nous ne doutons pas qu’elle inspirera d’autres applications.

Rien que pour nos yeux

Pour finir cet article, voici trois images exclusives du plongement isométrique du tore carré plat ... en hommage à John Nash et Nicolaas Kuiper bien sûr, qui ont osé imaginer ces objets étranges il y a bientôt soixante ans.

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Cliquez sur les images pour les agrandir

Une version en haute définition des deux dernières images est disponible respectivement ici et .

Post-scriptum :

Merci à FlavienK, Jacques Lafontaine, mjchopperboy et Nguyen-Dinh pour leur relecture et leurs remarques constructives.

Article édité par Damien Gaboriau

Notes

[1Source : Sylvia Nasar, Un cerveau d’exception, Calmann-Lévy, 2001.

[2Le Prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d’Alfred Nobel pour les puristes...

[3To gnash signifie grincer en anglais.

[4Source : Sylvia Nasar, Ibid.

[5Cette expression fait référence au film du même nom de Ron Howard qui présente une biographie (édulcorée) de John Nash.

[6Francis Lazarus, Saïd Jabrane et Boris Thibert de l’équipe Hévéa.

[7C’est-à-dire les surfaces uniformisées par la géométrie hyperbolique.

[8Merci à mon frère Laurent pour avoir attiré mon attention sur Douvilleiceras mammillatum, une espèce d’ammonite présentant une double corrugation.

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Pour citer cet article :

Vincent Borrelli — «Gnash, un tore plat !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - V. Borrelli, S. Jabrane, F. Lazarus, D. Rohmer, B. Thibert
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Mikhail Gromov - Oberwolfach Photo Collection
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Commentaire sur l'article

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  • Gnash, un tore plat !

    le 13 juin 2012 à 00:47, par Vincent Borrelli

    Merci pour votre compliment !
    Cordialement.

    Répondre à ce message

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