Graphes 1

Piste bleue Le 15 mai 2015  - Ecrit par  Equipe de la rubrique « En sortant de l’école » Voir les commentaires (6)

La rubrique s’adresse à tous ceux, petits et grands, qui souhaitent
s’amuser tout en faisant des mathématiques, autour de thèmes parfois
oubliés des programmes scolaires. Les connaissances utiles sont celles
d’un élève de collège ou de lycée. Le cœur de cette rubrique est
formé d’une petite série de thèmes choisis, dont chacun se parcourt
à travers un déroulé de problèmes.

Dans chaque article, certains problèmes sont accompagnés de solutions. Les solutions des autres problèmes seront mises en ligne deux semaines après la publication de l’article.

Les lecteurs sont invités à nous proposer leurs solutions des « Problèmes à résoudre par vous-mêmes ». Les solutions peuvent être rédigées comme commentaires sur l’article ou envoyées à l’adresse suivante :

ensortantdelecole images.math.cnrs.fr

Les meilleures solutions seront publiées dans la rubrique.

Nous sommes en 2718 sur la planète Terre, une des planètes du système solaire. Le fameux professeur Euler, terrien d’origine, doit se rendre sur la planète Mars pour initier un groupe d’étudiants martiens à la théorie des graphes. Un réseau de navettes spatiales entre les planètes du système solaire, y compris les naines, vient juste de se mettre en place. Le professeur Euler se présente alors au terminal des navettes de la planète Terre afin d’organiser son voyage vers Mars. Il découvre que seules les liaisons suivantes fonctionnent : Terre-Vénus, Mars-Jupiter, Uranus-Saturne, Cérès-Pluton, Saturne-Jupiter, Pluton-Hauméa, Vénus-Mercure, Mercure-Terre, Mars-Neptune, Cérès-Éris, Hauméa-Makémaké, Neptune-Uranus, Cérès-Hauméa et Saturne-Neptune. Le professeur Euler griffonne quelques notes sur son carnet et conclut très vite qu’il ne pourra se rendre sur Mars. Il sera donc contraint de donner son cours par visioconférence à ses étudiants extra-terrestres.

Le jour de la visioconférence arrive. Le professeur Euler s’excuse auprès de ses étudiants de ne pouvoir être présent parmi eux et explique que les raisons pour lesquelles il n’a pu se rendre sur Mars vont constituer une excellente introduction à la théorie des graphes. Pour cela, il montre le dessin (Dessin 1) qu’il a esquissé quelques jours auparavant sur son carnet :

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Dessin 1

Il explique aux étudiants que les points de ce schéma correspondent aux planètes du système solaire et que les lignes indiquent les itinéraires des navettes spatiales entre les planètes. Il est maintenant évident qu’il est impossible de partir de la Terre et d’arriver sur Mars puisque aucune liaison n’existe entre deux quelconques des sous-ensembles de planètes $\{$T, V, Me$\}$, $\{$Mar, J, S, U, N $\}$ et $\{$C, P, E, Mak, H $\}$ .

Le professeur Euler introduit alors les premiers mots de vocabulaire spécifiques à la théorie des graphes. Pour commencer, le dessin qu’il vient de présenter s’appelle un graphe. Les points symbolisant chacune des planètes s’appellent les sommets du graphe et les lignes qui relient deux sommets du graphe s’appellent des arêtes. Il précise que chaque arête possède deux sommets distincts comme extrémités et qu’il se permettra, à l’occasion, même si les arêtes ne sont pas orientées, d’utiliser les mots « début » et « fin » d’une arête plutôt que le mot « extrémité ». Il fait remarquer à son public que le graphe qu’il leur présente indique qu’il part deux navettes spatiales de la planète Terre, l’une vers Mercure, l’autre vers Vénus ; on dit alors que, dans ce graphe, le sommet Terre est de degré 2 (dans un graphe, le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui en partent). Le graphe indique aussi qu’il est possible de relier Mars à Saturne, en passant par Jupiter par exemple. Un tel itinéraire constitue un chemin dans le graphe (un chemin est une suite d’arêtes du graphe telle que la fin d’une arête coïncide avec le début de l’arête suivante). Le graphe montre aussi que le retour de Saturne vers Mars peut se faire en passant par Neptune. Le chemin associé à ce voyage Mar-J-S-N-Mar est un chemin dont le début coïncide avec la fin : on l’appelle un cycle. Enfin, le professeur Euler déplore à nouveau qu’il n’existe aucun chemin permettant de relier la Terre à Mars : on dit d’un tel graphe qu’il est non-connexe (un graphe est connexe si, pour chaque paire de sommets, il existe un chemin qui les relie). Chacun des « morceaux » qui constituent ce graphe s’appelle une composante connexe. Ainsi, le graphe présenté par le professeur Euler possède trois composantes connexes.

Afin de mettre en application ces premières notions sur les graphes, le professeur propose à son public un problème sous forme d’énigme.

Problème 1. Le problème du cavalier  [1].

Un cavalier de jeu d’échecs est placé sur la case rouge de ce quadrillage de 12 cases (Dessin 2). Est-il possible au cavalier de revenir à sa case initiale après être passé une fois et une seule sur chacune des 11 autres cases du quadrillage ? Si oui, de combien de manières peut-il le faire ?

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Dessin 2

NB : Sur un échiquier, le cavalier a les possibilités de déplacement représentées ci-dessous (Dessin 3), à condition bien sûr que la case d’arrivée soit libre.

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Dessin 3

Solution (à lire avant de poursuivre la lecture de l’article)

Le professeur Euler a numéroté de 1 à 12 les cases du quadrillage (Dessin 4) et il a dessiné le graphe des déplacements possibles du cavalier sur ce quadrillage (Dessin 5).

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Dessin 4
JPEG - 5.5 ko
Dessin 5

Dans ce graphe, on peut considérer le cycle représenté ci-dessous (Dessin 6).
Ce cycle montre bien qu’il est possible au cavalier, partant de la case rouge numérotée 1, d’y revenir après avoir emprunté une et une seule fois chacune des autres cases.

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Dessin 6

On vérifie qu’il n’y a que quatre façons différentes de faire le parcours demandé pour le cavalier :

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Le professeur Euler propose à ses étudiants d’étudier un nouveau problème, en suivant la même idée. Ils discuteront de leurs solutions ensemble au prochain cours.

Problème 2. Radio Breizh

Radio Breizh a le projet d’installer une station de radio dans chacune des sept villes bretonnes suivantes :
Rennes – Brest – St Brieuc – Quimper – Vannes – Morlaix – Concarneau.
Mais deux stations interfèrent dès lors qu’elles sont distantes de moins de 100 kilomètres à vol d’oiseau. Combien de longueurs d’onde différentes, au minimum, Radio Breizh devra-t-elle prévoir pour éviter toute interférence entre les sept stations ?
Ci-dessous le tableau des distances en km à vol d’oiseau entre les sept villes bretonnes.

Solution

Dessinons le graphe (Dessin 7) dont les sommets sont les sept villes bretonnes de l’étude, deux de ces villes étant reliées par une arête dès lors que leur distance à vol d’oiseau est inférieure à 100 kilomètres.

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