Groupes en marche au hasard

Piste bleue Le 17 août 2014  - Ecrit par  Pierre Pansu Voir les commentaires (2)

C’était le 19 mars 2014 (en pleine Semaine des mathématiques, saturée d’animations). L’IHP recevait une centaine de collégiens et lycéens, dans le cadre du trimestre Marches aléatoires et géométrie asymptotique des groupes. L’initiative en revient à deux des organisatrices du trimestre, Anna Erschler et Indira Chatterji.
Au programme de l’après-midi, deux conférences, par Etienne Ghys et Nicolas Curien, précédées d’un jeu-concours.

Le jeu

A l’entrée, chaque participant s’est vu remettre un hexagone dont les deux faces sont blanche et grise, et les arêtes multicolores, un cube aux faces multicolores et le sujet que

voilà.

Première partie : Range tes jouets !

Énigme 1. Vous avez en main un hexagone en carton dont les côtés sont tous différents. Posez-le sur l’hexagone ci-dessous.
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A. Combien y a-t-il de façons différentes de poser le carton sur la feuille ?

B. Et si on compte seulement les positions pour lesquelles la face blanche du carton est sur le dessous ?

Énigme 2. Vous avez en main un cube dont toutes les faces sont différentes. Combien y a-t-il de façons différentes de poser ce cube sur le carré ci-dessous ?
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Seconde partie : Je travaille avec qui ?

Alice a son bureau dans un couloir droit, avec d’autres bureaux numérotés de gauche à droite en partant de 0. Le bureau d’Alice est au numéro 1, au 0 c’est le bureau de Bob, au 2 celui de Carine, au 3 celui de Dave, au 4 c’est Elise et tout au fond du couloir, au 37 c’est le secrétariat.
Alice hésite à partir à droite ou à gauche. Afin de décider, elle lance une pièce de monnaie : si c’est pile (probabilité 1/2) elle ira à droite d’un numéro (donc fait $+1$). Si c’est face (probabilité 1/2) elle ira à gauche d’un numéro (donc fait $-1$). Elle relance sa pièce de monnaie après s’être déplacée d’un numéro, et recommence.

1. Quelle est la probabilité qu’elle aille chez Bob avant d’aller chez Carine ?

2. Si Carine n’est pas dans son bureau, quelle est la probabilité qu’Alice arrive dans le bureau de Dave qui est au 3, avant de passer dans le bureau de Bob ?

3. Si ni Carine ni Dave ne sont dans leur bureau, quelle est la probabilité qu’Alice arrive dans le bureau d’Elise qui est au 4, avant de passer dans le bureau de Bob ?

4. Quelle est la probabilité qu’elle arrive au secrétariat, qui se trouve au 37 de ce même couloir, avant de passer par le bureau de Bob ?

Au travail ! Pour vous encourager, sachez que la plupart des participants ont résolu correctement la première partie (Range tes jouets !), et qu’un élève de 3ème a suffisamment bien avancé dans la seconde (Je travaille avec qui ?) pour être primé. Néanmoins, c’est piste rouge. Si vous souhaitez connaître les réponses, cliquez

ici, pour la première partie,

Range tes jouets !

1.A. 12, car une fois qu’on a choisi la face qui est contre la feuille (2 choix) et la position de l’arête jaune (6 choix indépendants du premier), c’est fini.

1.B. Moitié moins, soit 6.

2. 24, car une fois qu’on a choisi la face qui est contre la feuille (6 choix), on peut encore tourner le cube dans 4 directions.

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là, pour la seconde.

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