Hadamard et Bordeaux

Piste verte Le 16 février 2014  - Ecrit par  Fabien Pazuki Voir les commentaires (3)

Quatre années passées à Bordeaux ont constitué une période riche pour la vie personnelle et mathématique de Jacques Hadamard.

Jacques Hadamard (1865–1963) nous a quittés il y a tout juste cinquante ans. Il a passé quatre ans à Bordeaux au début de sa carrière. Nous venons de faire poser une plaque commémorative en son honneur sur la maison qu’il a occupée pendant ce séjour dans le sud-ouest.

Cette période relativement courte en Gironde a été riche autant dans sa vie personnelle que mathématique, puisqu’il y est devenu père de ses deux premiers enfants et qu’il y a découvert plusieurs de ses plus célèbres résultats, dont notamment le théorème des nombres premiers.

Les contributions d’Hadamard touchent à des domaines variés, en mathématiques et ailleurs, notamment en théorie des fonctions, calcul des variations, théorie des nombres, algèbre, géométrie, théorie des probabilités, équations aux dérivées partielles, topologie, logique, ainsi qu’en mécanique analytique, élasticité, hydrodynamique, histoire des mathématiques, éducation, psychologie. On ne trouvera dans le présent texte qu’une petite fraction, axée sur ses contributions mathématiques, de son œuvre éclectique. La sélection est ensuite purement chronologique, concentrée sur les années bordelaises, de 1893 à 1897.

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La vie d’Hadamard à Bordeaux

Jacques Hadamard passe quatre ans de sa vie à Bordeaux, de 1893 à 1897. Voici une petite chronologie des faits marquants ayant eu lieu lors de ces années :

  • 1893 : arrivée à Bordeaux. Hadamard est nommé chargé de cours à la Faculté des Sciences de l’Université en astronomie et mécanique.
  • 5 octobre 1894 : premier fils, Pierre, né à Bordeaux.
  • 1er février 1896 : nommé Professeur d’astronomie et de mécanique rationnelle.
  • 1896 : prix Bordin de l’Académie des Sciences.
  • 26 juillet 1897 : second fils, Etienne, né à Cenon (près de Bordeaux).
  • 1897 : départ de Bordeaux pour devenir Professeur suppléant de mécanique analytique et céleste au Collège de France et Maître de conférences de calcul différentiel et intégral à la Faculté des Sciences de l’Université de Paris.

À cette époque, la maison d’Hadamard se trouvait excentrée alors que l’Université était au centre de la ville de Bordeaux ; ce temps est révolu, la ville a grandi, l’Université s’est déplacée en grande partie et est à présent excentrée alors que la maison est (presque) au centre de Bordeaux. [1]

Pendant cette période, la France est en pleine affaire Dreyfus. C’est un sujet qui aura de l’importance dans les conversations et les choix politiques d’Hadamard, surtout à partir de 1897 et de son retour à Paris, [2].

Le troisième fils d’Hadamard est né le 27 février 1899 à Paris et fut prénommé Mathieu-Georges en hommage à Mathieu Dreyfus (frère de Alfred) et Georges Picquart, deux hommes qui ont joué un rôle important dans la réhabilitation de Dreyfus.

Des théorèmes bordelais

On a sélectionné ici neuf énoncés issus d’articles publiés entre 1893 et 1897. Les énoncés tels qu’ils sont proposés ici sont exprimés de manière un peu plus concise que dans les travaux originaux.

Ces neuf énoncés sont tous baptisés théorèmes dans cette présentation, car extraits de leurs contextes respectifs. Il conviendra de garder à l’esprit qu’ils ne sont pas tous de même difficulté ou de même profondeur. Cette collection d’énoncés permettra néanmoins de se rendre compte plus précisément de la diversité des problèmes mathématiques étudiés par Hadamard, avec tour à tour dans l’ordre chronologique de publication la croissance des séries entières, une inégalité de convexité, de l’analyse matricielle, puis suites et séries, arithmétique des nombres premiers, résultants de polynômes, fonctions de la variable complexe, fonctions de la variable réelle et géométrie des géodésiques.

Avertissement au lecteur : la suite de l’article se fait en hors-piste.

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Théorème 1 : (croissance des séries entières [3])

Soit $F(z)=\sum c_n z^n$ une série entière telle qu’il existe un réel strictement positif $\lambda$ vérifiant $\vert c_n\vert\leq (n!)^{-1/\lambda}$ pour tout $n$ entier naturel. Alors $F$ est de genre plus petit que la partie entière de $\lambda$.

On rappelle que le genre d’une série entière $F(z)$ est le degré maximal des exposants (polynomiaux en $z$) dans le produit de Weierstrass de $F(z)$. Ce théorème sera notamment appliqué par Hadamard lui-même lors de ces travaux sur la fonctions $\zeta$ de Riemann. Il montre ainsi que la fonction $s\to (s-1)\zeta(s)$ est une fonction de genre 1, ce qui lui permet de faire une décomposition explicite en produit de Weierstrass (ou produit de Hadamard de la fonction $\zeta$ en l’occurence) de la forme \[\zeta(s)=\frac{1}{s-1}e^{As+B}\prod_{\rho}\Big(1-\frac{s}{\rho}\Big)e^{\frac{s}{\rho}},\] avec $A$ et $B$ des constantes réelles et $\rho\in{\mathbb{C}}$ tel que $\zeta(\rho)=0$.

Théorème 2 : (inégalité de convexité, voir référence du Théorème 1)

Soit $f$ une fonction réelle et dérivable, dont la dérivée première est croissante. Alors pour tous réels $a,b$ avec $a < b$, \[f\Big(\frac{a+b}{2}\Big)\leq\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx.\]

L’inégalité aujourd’hui classique qui généralise ce résultat est démontrée par Jensen en 1906 pour les fonctions convexes. Pour illustrer ce théorème, on peut tracer une fonction convexe positive sur un segment $[a,b]$ comme ci-dessous. L’esprit de l’inégalité est de dire que l’aire hachurée en bleu du rectangle ABCD, dont les côtés sont de longueurs respectives $(b-a)$ et $f((a+b)/2)$ est plus petite que l’aire sous la courbe représentative de la fonction $f$ sur ce même intervalle $[a,b]$, qui correspond sur notre dessin à la somme des aires hachurées de bleu et de rouge moins l’aire hachurée en vert.

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Théorème 3 : (inégalité d’Hadamard [4] et [5])

Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice carrée de taille $n\times n$ à coefficients complexes. Alors \[\mathrm{det}(A)\leq\prod_{1\leq j\leq n}\left(\sum_{1\leq i \leq n} \vert a_{ij}\vert^2\right)^{1/2}.\]
En particulier si $M=\max_{i,j}\vert a_{ij}\vert$, on a $\mathrm{det}(A)\leq M^n n^{n/2}$ et le cas d’égalité est obtenu pour les matrices dont les coefficients $a_{ij}$ sont tous de même module et telles que les lignes forment des vecteurs orthogonaux ; si de plus les coefficients sont des réels égaux $\pm 1$, cela impose $n=1$, $n=2$ ou bien $n$ est divisible par $4$.

Ce théorème donne une inégalité entre deux volumes. On peut reformuler l’énoncé en disant que le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs colonnes de la matrice $A$ est plus petit que le volume du parallélépipède rectangle construit avec des vecteurs de mêmes normes respectives. On peut faire un dessin assez facilement en dimension $2$, prenons par exemple sur le dessin ci-dessous les deux vecteurs colonnes $v_1=\left[\begin{array}{r} 2\\ 0\end{array}\right]$ et $v_2=\left[\begin{array}{r} 2\\ 2\end{array}\right]$, la matrice $A$ sera donc \[A=\left[\begin{array}{rr} 2 & 2\\ 0 & 2 \end{array}\right]\] dont le déterminant est représenté par l’aire du parallélogramme rouge et vaut $4$. D’un autre côté on calcule l’aire du rectangle bleu en faisant \[\prod_{1\leq j\leq 2}\left(\sum_{1\leq i \leq 2} \vert a_{ij}\vert^2\right)^{1/2}=(2^2+0^2)^{1/2}(2^2+2^2)^{1/2}=4\sqrt{2},\] on a donc bien vérifié que l’aire rouge est plus petite que l’aire bleue, c’est-à-dire $\mathrm{det}(A)=4\leq 4\sqrt{2}$.

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On peut de plus chercher quelques exemples du cas d’égalité de $\mathrm{det}(A)\leq M^n n^{n/2}$ en petite dimension. Si les coefficients sont $1$ ou $-1$, on a donc $M=1$. On cherche donc une matrice $A$ telle que $\mathrm{det}(A)=n^{n/2}$. Par exemple si $n=2$, une petite recherche montre que la matrice suivante convient : \[A=\left[\begin{array}{rr} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{array}\right].\] Pour $n=4$, il faut peut-être un peu plus de temps mais on peut penser à \[A=\left[\begin{array}{rrrr} -1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right].\]
Cette condition nécessaire sur la dimension est-elle suffisante ? En d’autres termes, existe-t-il une matrice d’Hadamard en toute dimension $n$ divisible par $4$ ? C’est une question qui reste ouverte, pour aller plus loin voir par exemple La conjecture de Hadamard (II).

Théorème 4 : (suites et séries [6])

Soit $(\varphi_p)_{p\geq1}$ une suite de fonctions de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}^+$ qui tendent toutes vers l’infini, avec un taux de croissance qui décroît avec $p$. Alors il existe une suite de nombres positifs $(u_n)_{n\in{\mathbb{N}}}$ telle que la série $\sum u_n$ converge tandis que la série $\sum u_n\varphi_p(n)$ diverge pour tout $p$.

Il s’agit plus précisément du théorème ($\gamma$) page 335 de loc. cit. Pour exprimer cette propriété à la manière de l’époque, on pourrait dire : on se donne une infinité de manières d’augmenter légèrement le terme général d’une série, il existe une série convergente telle que n’importe laquelle de ces augmentations la rende divergente. La manière d’augmenter est représentée par la fonction $\varphi_p$, laquelle peut tendre vers l’infini arbitrairement doucement !

Théorème 5 : (des nombres premiers [7])

Le nombre $\pi(x)$ de nombres premiers inférieurs ou égaux à $x$ est équivalent à $x/\log(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Ce résultat des plus impressionnants a été obtenu indépendamment par De La Vallée-Poussin la même année. Les premières preuves de cette estimation reposent sur des théorèmes d’analyse complexe et sur l’utilisation de la fonction $\zeta$ de Riemann. Cela a été le point de départ d’un grand nombre de travaux en théorie analytique des nombres, citons pour premiers exemples les comparaisons entre $\pi(x)$ et le logarithme intégral ou le développement asymptotique du $n$-ième nombre premier. Le graphe représentant la fonction $x\mapsto\pi(x)$ est un escalier croissant. Voici les toutes premières valeurs représentées en bleu sur le même graphique que la fonction $x\mapsto x/\log(x)$ en rouge.

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Pour une étude plus détaillée sur ce théorème, voir par exemple Jacques Hadamard et le théorème des nombres premiers.

Théorème 6 : (résultants [8])

Soit $K$ un corps de caractéristique $0$ et soient $f_1,... f_{n+1}$ des polynômes en $n$ variables à coefficients dans $K$. Les résultants du système d’équations
$\left\{\begin{array}{cll} f_1(x_1, ..., x_n) & = & 0\\ ...& &\\ f_{n+1}(x_1, ..., x_n)& = & 0\\ \end{array}\right.$
sont tous égaux au signe près.

Il y a plusieurs manières de calculer le résultant de deux polynômes, que l’on peut définir comme un déterminant impliquant les coefficients des polynômes. Lorsqu’il y a plusieurs polynômes en plusieurs variables, il y a a priori une incertitude sur l’influence de l’ordre dans lequel on calcule les résultants. Ce que le théorème affirme c’est que l’incertitude ne réside que dans le signe du résultat final.

Théorème 7 : (des trois cercles [9] et [10])

Soit $F(z)$ une fonction régulière dans l’anneau $0 < R_1 < | z | < R_2$. On pose $M(r) = \sup\{|F(z)| , |z|=r\} $.

Alors pour tout triplet de cercles de rayons respectifs $r_1, r_2, r_3$ vérifiant $R_1 < r_1 < r_2 < r_3 < R_2$ on a \[M(r_2)^{\log(r_3/r_1)}\leq M(r_1)^{\log(r_3/r_2)} M(r_3)^{\log(r_2/r_1)}.\]

On peut reformuler ce théorème en disant que la fonction $\log M(r)$ est convexe. On retrouve donc dans cet énoncé deux thèmes de prédilection de Hadamard, la convexité et l’analyse complexe !

Théorème 8 : (lemme d’Hadamard-Kneser [11])

Soit $n\geq1$ un entier naturel et soit $V$ une fonction de classe $C^{n+1}$. Supposons que les $(n+1)$ dérivées successives de $V$ soient bornées uniformément et que $V(t)$ admette une limite lorsque $t$ tend vers $+\infty$. Alors les dérivées successives $V^{(i)}$ pour $1\leq i\leq n$ tendent toutes vers $0$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.

Il s’agit d’un énoncé qu’on rencontre page 334 de loc. cit. et qui s’avère être très utile pour démontrer le théorème suivant.

Théorème 9 : (géométrie des géodésiques, voir référence du Théorème 8)

On considère des courbes sur une surface.

  1. Sur une surface fermée de courbure gaussienne négative, toute géodésique fermée coupe une infinité de fois une géodésique donnée.
  2. Dans une classe d’homotopie des chemins joignant deux points d’une surface il n’y a qu’une seule géodésique.
  3. Si une surface n’a aucune pointe infinie, alors chaque classe d’homotopie libre contient une unique géodésique fermée.

Rappelons que la distance géodésique entre deux points $M$ et $M'$ est la plus petite distance parcourue possible entre ces deux points. C’est donc une notion qui dépend fortement de la manière de mesurer la distance et de l’espace dans lequel on se place. S’il est évident que sur un plan muni de la distance euclidienne les géodésiques sont des segments de droites, lorsqu’on se place sur une sphère et qu’on veut relier deux points par une courbe en restant toujours sur la sphère, la situation est tout autre ! Pour aller plus loin, voir par exemple Hadamard et les systèmes dynamiques.

Post-scriptum :

Pour aller plus loin, de nombreux ouvrages et articles ont été consacrés à Jacques Hadamard ; nous nous sommes inspirés de Maz’ya, V. et Shaposhnikova, T., Jacques Hadamard, un mathématicien universel, traduction de G. Tronel, EDP Sciences (2005).

Nous tenons à remercier Michel Mendès-France, Ludmila Nikolskaia, le service culturel de la Mairie de Bordeaux et l’Office de tourisme de Bordeaux, l’atelier de gravure l’Art nouveau, le Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux et l’actuel président de la Société Arithmétique de Bordeaux, Qing Liu. Merci aussi à l’équipe de rédaction, notamment Frédéric Brechenmacher, Carole Gaboriau, Mai Huong Pham-Sauvageot, Vincent Beffara, et à l’équipe de relecture, Nicolas Chatal, Jérémy Le Borgne, Amel, Paolo Bellingeri, Frédéric Simon, qui ont permis d’améliorer la présentation en plusieurs endroits.

Article édité par Frédéric Brechenmacher

Notes

[1L’adresse actuelle de sa maison à Bordeaux est le 52, boulevard Franklin Roosevelt, 33800, elle est située à proximité de la station Saint-Genès, ligne B de tramway. A l’occasion de votre prochain déplacement en Gironde, prenez le temps de venir l’admirer !

[2voir Maz’ya, V. et Shaposhnikova, T., Jacques Hadamard, un mathématicien universel, traduction de G. Tronel, EDP Sciences (2005), p. 66.

[3Hadamard, J., étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d’une fonction considérée par Riemann (Grand Prix des Sciences Mathématiques de l’Académie), J. Math., Ser 4, 9 (1893) 171–215. (Oeuvres 1, 103–147.), consultable directement ici.

[4Hadamard, J., Sur le module maximum que puisse atteindre un déterminant, C. R. Acad. Sci. Paris, 116 (1893) 1500–1501. (Œuvres 1, 237–238.)

[5Hadamard, J., Résolution d’une question relative aux déterminants, Bull. Sci. Math. Ser. 2, 17 (1893) 240–246. (Oeuvres 1, 239–245.)

[6Hadamard, J., Sur les caractères de convergence des séries à termes positifs et sur les fonctions indéfiniment croissantes (avec note complémentaire), Acta Math., 18 (1894) 319–336, 421. (Oeuvres 1, 249–271.), consultable directement ici.

[7Hadamard, J., Sur la distribution des zéros de la fonction $\zeta(s)$ et ses conséquences arithmétiques, Bull. Soc. Math. France, 24 (1896) 199–200. (Oeuvres 1, 189–210.), consultable directement ici .

[8Hadamard, J., Mémoire sur l’élimination, Acta Math., 20 (1896) 201–238. (Oeuvres 1, 273– 310.), consultable directement ici.

[9Hadamard, J., Sur les fonctions entières, C. R. Acad. Sci. Paris, 122 (1896) 1257–1258. (Oeuvres 1, 149–150.) Avec un complément de Landau, Hardy, Bohr, voir Maz’ya, V. et Shaposhnikova, page 279.

[10Hadamard, J., Sur les fonctions entières, Bull. Soc. Math. France, 24 (1896) 186–187. (Oeuvres 1, 151–152.), consultable directement ici.

[11Hadamard, J., Sur certaines propriétés des trajectoires en dynamique (Prix Bordin de l’Académie), J. Math. Ser. 5, 3 (1897) 331–387. (Oeuvres 4, 1749–1805.), consultable directement ici.

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Pour citer cet article :

Fabien Pazuki — «Hadamard et Bordeaux» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Commentaire sur l'article

  • Hadamard et Bordeaux

    le 16 février 2014 à 20:21, par amic

    Très joli aperçu des différents domaines qu’a pu traiter Hadamard.

    Pour le théorème 8, il manque l’hypothèse de borne uniforme sur les dérivées (au moins la (n+1)ième). Sinon on peut toujours, par exemple pour n=1, prendre une fonction avec des mini pics de plus en plus pentus, mais de plus en plus petits.

    Répondre à ce message
    • Hadamard et Bordeaux

      le 16 février 2014 à 23:12, par Fabien Pazuki

      Bonjour,
      Merci pour cette remarque, c’est tout-à-fait vrai il faut supposer que les dérivées sont bornées uniformément. J’ajoute que la référence est [11] et pas [10].
      Bien cordialement,
      FP

      Répondre à ce message
  • Hadamard et Bordeaux

    le 17 février 2014 à 13:59, par Fabien Pazuki

    En complément, voici des liens pour accéder aux textes sources, gratuitement pour la plupart. Je remercie Laurent Guillopé pour son aide.

    Théorème 1 : [3]. http://portail.mathdoc.fr/JMPA/afficher_notice.php?id=JMPA_1893_4_9_A3_0

    Théorème 2 : [3]. http://portail.mathdoc.fr/JMPA/afficher_notice.php?id=JMPA_1893_4_9_A3_0

    Théorème 3 : [4,5]. http://gallica.bnf.fr/ark :/12148/bpt6k30724/f1502 et http://gallica.bnf.fr/ark :/12148/bpt6k486252g/f395

    Théorème 4 : [6]. http://link.springer.com/article/10.1007/BF02418282

    Théorème 5 : [7]. http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=BSMF_1896__24__199_1

    Théorème 6 : [8]. http://link.springer.com/article/10.1007/BF02418033

    Théorème 7 : [9,10]. http://gallica.bnf.fr/ark :/12148/bpt6k30780/f1260 et http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1896__24_/BSMF_1896__24__184_1/BSMF_1896__24__184_1.pdf#page=2

    Théorème 8 : [11]. http://portail.mathdoc.fr/JMPA/afficher_notice.php?id=JMPA_1897_5_3_A12_0

    Théorème 9 : [11]. http://portail.mathdoc.fr/JMPA/afficher_notice.php?id=JMPA_1897_5_3_A12_0

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