Cinquantenaire de la mort de Jacques Hadamard

Hadamard et les systèmes dynamiques

La naissance de la dynamique symbolique

Piste bleue 17 décembre 2013  - Ecrit par  Jérôme Buzzi Voir les commentaires

Il y a plus de cent ans, Hadamard introduit un outil révolutionnaire pour comprendre la diversité des trajectoires de certains systèmes : la « dynamique symbolique ». Poursuivant l’œuvre de Poincaré, Hadamard montre la variété et la complexité de ces trajectoires, pourtant engendrées par des lois simples. Ce travail ne sera repris que beaucoup plus tard mais a encore aujourd’hui une riche descendance.

Le paradis de Newton

Newton est justement célèbre pour sa découverte de la gravitation. Mais sa plus grande invention est peut-être la dynamique : la détermination du mouvement à partir des forces. Newton est si jaloux de cette découverte qu’il ne la transmet à Leibniz que sous la forme d’une anagramme [1] :

6a 2c d ae 13e 2f 7i 3l 9n 4o 4q 2r 4s 9t 12v x

C’est par sa dynamique que Newton peut vérifier que la gravitation explique le mouvement d’une planète soumise exclusivement à l’attraction du soleil et engendre les lois de Képler : chaque planète parcourt indéfiniment une ellipse déterminée par un petit nombre de paramètres comme sa taille, son aplatissement, ou son orientation.

Mais la gravitation est universelle : les autres planètes (et même les pommes) influent et donc transforment ce mouvement simple. L’ellipse suivie par une planète se modifie au cours du temps, de façon souvent compliquée. Ces inégalités ou anomalies sont bien connues des astronomes de l’époque et la théorie de Newton permet petit à petit de les comprendre et de les préciser [2].
Citons quelques-uns des protagonistes les plus connus : Euler (1707-1783), Clairaut (1713-1765), D’Alembert (1717-1783), Lagrange (1736-1813), Laplace (1749-1827), Delaunay (1816-1872), Hill (1838-1934), Sundman (1873-1949),.. L’orbite de la Lune soumise autant à l’attraction de la terre qu’à celle du soleil est bien loin de la simplicité des ellipses de Képler. La théorie de Newton, à la fois simple et puissante, permet d’en calculer une description approchée après plus d’un siècle d’efforts. Mais les formules obtenues sont parmi les plus compliquées de l’histoire des sciences [3] :

Le serpent de Poincaré

Ces formules des mécaniciens du XIXème siècle permettent le calcul précis des éphémérides, qui sont alors si importantes pour la navigation [4]. Mais l’interprétation qualitative des solutions obtenues est difficile : s’agit-il de petites fluctuations autour d’un mouvement képlérien fixé ? s’agit-il d’une dérive s’accumulant jusqu’à provoquer un changement quantitatif, par exemple l’éjection d’une planète au bout d’un temps long ?

A la fin du XIXème siècle, Henri Poincaré se rend compte qu’il y a là non seulement une difficulté pratique mais un obstacle de principe. Ces formules ne sont en général valables que pendant un temps fini au bout duquel elles doivent être remplacées par d’autres formules du même genre... mais de plus en plus compliquées ! Surtout, Poincaré découvre que cette complexité des formules n’est que le reflet de la complexité potentielle des trajectoires, y compris d’un point de vue purement qualitatif. Il s’aperçoit qu’un phénomène géométrique simple (les « intersections homoclines ») qu’il pensait d’abord avoir exclu, peut se produire et se dit

frappé de la complexité de cette figure, que je ne cherche même pas à tracer. Rien de plus propre à nous donner une idée de la complication [...] de tous les problèmes de la Dynamique où il n’y a pas d’intégrale uniforme et où les séries de Bohlin sont divergentes [5].

Tracer une telle figure est aujourd’hui à la portée de l’étudiant motivé. En voici un exemple :

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L’écheveau homocline
Détail de courbes invariantes issues en temps positif et négatif d’un point fixe pour une tranformation du plan. Les points de rencontre de ces courbes constituent les fameuses intersections homoclines.

Nous allons expliquer comment et avec quels outils le jeune Hadamard [6] a commencé à dénouer cet écheveau qui avait effrayé son aîné [7]. C’est le contenu de son article de 1898 intitulé Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques [8]. Nous commencerons par présenter le problème que se pose Hadamard puis comment il le résout. Pour finir, nous indiquerons la descendance tardive mais riche de cette découverte, des années 1940 jusqu’à aujourd’hui.

Le choix des armes

En fin stratège, Hadamard choisit de considérer un type de système mécanique bien plus simple que celui étudié par Poincaré.
Hadamard choisit un système à la fois « chaotique » [9] et suffisamment structuré pour être analysé grâce aux nouvelles mathématiques développées au cours de XIXème siècle. Il considère les mouvements d’une bille [10] astreinte à se déplacer sur une surface en l’absence de toute autre force, frottement ou gravité (on peut imaginer une très petite bille en fer glissant sur une surface magnétique très bien huilée). Ce système mécanique, physiquement simple, a l’avantage d’être de nature géométrique. En effet, depuis Maupertuis [11], on sait que la trajectoire de la bille est « la plus courte » : on parle de géodésiques. Voici quelques géodésiques sur différentes surfaces :

A gauche, une sphère dont les géodésiques sont les grands cercles, c’est-à-dire les cercles tracés sur la sphère dont le diamètre passe par le centre de la sphère [12]. A droite, on a représenté en rouge quatre géodésiques du tore (le « pneu ») [13].

Qu’est-ce qu’une géodésique ?

Une géodésique est une courbe qu’on ne peut raccourcir en la modifiant sur un petit morceau tout en restant sur la surface et en gardant les extrémités fixées.

De même qu’en mécanique la trajectoire d’une bille est déterminée par sa position et sa vitesse initiale, on montre qu’une unique géodésique passe par un point donné avec un vecteur vitesse donné.

Dans l’espace ou le plan euclidien, les géodésiques sont les droites. Sur la sphère ce sont les grands cercles, c’est-à-dire les cercles dont les diamètres passent par le centre de la sphère.

Hadamard fait une dernière hypothèse, cruciale. Il suppose la surface à « courbures opposées » (on dit aujourd’hui à « courbure négative » [14]), c’est-à-dire possédant une géométrie non-euclidienne dite hyperbolique. Loin de compliquer son analyse, cette géométrie, étudiée notamment par Gauss, va offrir à Hadamard les armes dont il a besoin.

Voici un exemple d’une telle surface [15] :

Trajectoires périodiques

Les trajectoires périodiques sont les trajectoires qui se répètent infiniment et à l’identique. Dans le cas képlerien d’une planète soumise exclusivement à la gravité du soleil, toute trajectoire bornée [16] est périodique : la planète retrace indéfiniment la même ellipse. En général, les trajectoires périodiques sont exceptionnelles. Mais, elles constituent souvent "la seule brèche par laquelle nous puissions essayer de pénétrer dans une place jusqu’ici réputée inabordable”, selon la phrase de Poincaré citée par Hadamard. Ce dernier commence par décrire et énumérer les géodésiques périodiques en utilisant les travaux topologiques de Jordan sur les boucles tracées sur les surfaces. Expliquons cela.

Jordan et les boucles

Camille Jordan a démontré en 1866 que pour toute surface on peut trouver des « boucles élémentaires » de sorte que toute boucle tracée sur la surface peut s’obtenir à partir de copies de ces boucles élémentaires. Plus précisément, on parcourt dans un ordre spécifié des copies des boucles élémentaires (on appelle cela une concaténation de boucles) puis on déforme la boucle obtenue tout en restant sur la surface. La curieuse idée de M. Jordan de considérer les formes « à déformation près » est à la naissance d’une branche fondamentale des mathématiques : la topologie.

Voyons cela sur l’exemple de la surface ci-dessus. Cette surface a deux boucles élémentaires $A$ et $B$ (faisant le tour de la trompette à gauche (boucle $B$) et à droite (boucle $A$) :

Prenons une boucle quelconque $C$, par exemple :

On peut la ramener, après déformation à :

c’est-à-dire à la concaténation des boucles élémentaires $B$, puis $A$ parcourue en sens inverse, puis $B$, puis $A$. La théorie de Jordan ramène donc l’étude des boucles à celle d’expressions telles que : $B^1A^{-1}B^1A^1$. Chacune de ces expressions représente une espèce, c’est-à-dire un ensemble de boucles pouvant être déformées (continument, dans quitter la surface) les unes dans les autres.

La représentation de Jordan sur une surface quelconque

Comme on l’a expliqué, toute boucle est, à déformation près, la concaténation de boucles élémentaires parcourues chacune dans un sens ou dans un autre, un certain nombre de fois. On peut donc coder leurs espèces par les expressions finies de la forme $A^aB^bA^c\dots B^z$ où les $a,b,c\dots$ sont des entiers non-nuls [17] et où on identifie les expressions ne différant qu’à une permutation circulaire près. L’espèce de a boucle considérée ci-dessus correspond donc aux expressions : $B^1A^{-1}B^1A^1$, $A^{-1}B^1A^1B^1$, $B^1A^1B^1A^{-1}$, $A^1B^1A^{-1}B^1$.

Sur une surface plus compliquée, on aura besoin de plus de boucles élémentaires (et donc de plus de lettres dans les expressions) et des règles d’identification s’ajoutent aux permutations circulaires [18], mais l’idée reste semblable.

Géodésiques fermées

Une trajectoire périodique pour notre système est une géodésique fermée (c’est-à-dire qui se referme sur elle-même). C’est bien sûr une boucle, donc elle correspond à une « espèce » au sens de Jordan. Hadamard observe qu’en courbure négative on a exactement une géodésique fermée pour chaque espèce [19]. L’énumération par Jordan des espèces des boucles (à partir des expressions en termes de boucles élémentaires) donne donc une énumération des trajectoires périodiques ainsi qu’une description topologique (à déformation près) de leurs formes.

Remarquons que la situation sur la sphère est totalement différente. Sur celle-ci tous les grands cercles sont des géodésiques fermées, on a donc une infinité de géodésiques fermées de même longueur $2\pi R$ (si $R$ est le rayon de la sphère), toutes égales à déformation près.

Idée de la démonstration

Fixons une espèce [20]. On peut vérifier que parmi toutes les boucles de l’espèce choisie, il y en a au moins une de longueur minimale [21]. Une telle boucle est une géodésique presque par définition.

Réciproquement, la courbure négative implique qu’il n’existe qu’une seule géodésique fermée d’espèce donnée. En effet, on peut montrer que deux courbes fermées de même espèce peuvent être déformées l’une en l’autre. Or le théorème de Gauss-Bonnet interdit en courbure négative à deux géodésiques de constituer le bord d’un domaine sans trou. Deux géodésiques fermées de même espèce doivent donc être égales, c’est-à-dire qu’il n’y en a qu’une.

Comptage des géodésiques fermées

Pour notre exemple de surface représentée ci-dessus, les expressions de longueur [22] $n$ définissent à peu près $4\cdot 3^n/n$ espèces.
On peut en déduire que le nombre de géodésiques fermées de longueur au plus $\ell$ est grosso modo $c^\ell/\ell$ avec $c>1$ une constante. Leur nombre augmente donc rapidement avec leur longueur.

On peut comparer avec le tore sur lequel on a un nombre d’espèces définies par des expressions de longueur $n$ de l’ordre de $n^2$ tandis que le nombre de géodésiques fermées de longueur au plus $\ell$ et passant par un point donné [23] est de l’ordre de $\ell^2$. Or, pour $\ell$ grand, $c^\ell$ et $\ell^2$ ont des comportements très différents : $2^{1000}\approx 10^{100}$ est énormément plus grand que $1000^2=10^6$.

Un premier étonnement

Hadamard a obtenu l’existence d’une infinité de trajectoires périodiques, chacune correspondant à une « expression symbolique », et aucune ne pouvant être déformée en une autre. La situation est donc presque opposée à tous les cas analysés en mécanique céleste avant Poincaré et Hadamard [24]. Hadamard va maintenant se tourner vers les géodésiques bornées non-périodiques.

Géodésiques du cœur

Hadamard élargit maintenant son étude à toutes les géodésiques qui ne partent pas à l’infini, c’est-à-dire dans une trompette. On appelle l’ensemble de ces géodésiques le cœur de la surface.

Passage à la limite

Pour explorer plus en avant ce cœur, Hadamard généralise son procédé de construction précédent (recherche de la boucle la plus courte dans une espèce donnée). Il l’étend par ce que les mathématiciens appellent un « passage à la limite » [25].
Plus précisément, Hadamard considère non plus une seule espèce mais une suite infinie d’espèces, par exemple :

  • $BA$ ;
  • $B^2ABA$ ;
  • $B^3AB^2A^2$ ;
  • $\dots$

Il en déduit d’abord une suite de géodésiques fermées par la construction précédente puis construit une géodésique limite, en s’appuyant sur la notion de limite d’une suite de vecteurs [26].

Les géodésiques limites appartiennent au cœur

Hadamard remarque que les géodésiques bornées sont exactement celles qui ne traversent pas les géodésiques fermées entourant une fois une trompette (qu’on appellera « frontières » par commodité).
Dans l’exemple précédent, les géodésiques frontières sont exactement les géodésiques définies par l’expression $A^1,A^{-1}$ (trompette de droite) ou $B^1$ (trompette de gauche).

En effet, la courbure négative interdit à une géodésique de traverser deux fois une des géodésiques entourant une trompette par une variation de l’argument précédemment utilisé pour l’unicité de la géodésique d’espèce donnée. Une géodésique est donc bornée si et seulement si elle ne sort pas des frontières.

Hadamard déduit de cette caractérisation des géodésiques bornées qu’une limite de géodésiques bornées est encore une géodésique bornée : les mathématiciens disent que le cœur est topologiquement fermé [27].

Combinatoire des géodésiques

Pour construire les géodésiques fermées, Hadamard a concaténé les morceaux de courbes (les boucles élémentaires de Jordan) selon l’expression de leur espèce puis est passé à la géodésique de même espèce en minimisant la longueur. Il introduit une variante de cette construction : il concatène des segments de géodésiques ou des géodésiques fermées. Il établit alors une propriété de continuité : si on concatène une très longue géodésique fermée avec autre chose, alors un long segment initial de la géodésique obtenue suit de très près la géodésique de départ. Il en déduit que par exemple les géodésiques d’espèces :

  • $BA$ ;
  • $B^2A^2$ ;
  • $B^3A^3$ ;
  • $\dots$

définissent bien une géodésique limite et que celle-ci n’est pas fermée et s’enroule toujours plus près de la géodésique d’espèce $A$ d’un côté et d’espèce $B$ de l’autre :

Plus généralement, Hadamard établit qu’il existe une telle géodésique liant n’importe quelle paire de géodésiques fermées. Ce sont les géodésiques asymptotes ou de deuxième classe dans la terminologie de l’article d’Hadamard. Elles constituent le premier exemple de géodésiques bornées mais non fermées. Elles correspondent à ce que Poincaré avait appelé les « orbites homoclines et hétéroclines ».

Géodésiques du troisième type

Le cœur contient toutes les géodésiques fermées (qui sont en nombre infini). On vient de voir qu’il contient également les géodésiques asymptotes à celles-là. Mais est-ce tout ? Hadamard va montrer que le cœur beaucoup d’autres choses. Pour ce faire, il utilise encore la combinatoire des géodésiques et la propriété de continuité présentée ci-dessus. Il démontre ainsi qu’arbitrairement près de toute géodésique du cœur :

  1. il existe une géodésique distincte, également dans le cœur ;
  2. il existe une géodésique distincte, n’appartenant pas au cœur.

Puis, par un argument abstrait, Hadamard en déduit l’existence d’une infinité de géodésiques, ni périodiques, ni asymptotes à des géodésiques périodiques, qu’il appelle « de troisième classe ».

L’argument d’Hadamard

La combinatoire des géodésiques montre qu’en tout point où passe au moins une géodésique du cœur, il en passe en fait une infinité. Une géodésique passant par un point donné peut être repérée par son vecteur vitesse en ce point. Le cœur définit donc autour du point donné un ensemble infini de directions, donc une partie du cercle. Les propriétés topologiques précédentes [28] montrent que cet ensemble de directions est une fractale : un ensemble de Cantor.

Un tel ensemble est non seulement infini mais n’est pas dénombrable, c’est-à-dire qu’il ne peut être indexé par les entiers ou même par un ensemble de suites finies à valeurs dans un ensemble fini tels que les géodésiques fermées ou même asymptotes. Tel est l’argument, plutôt abstrait et sans doute déroutant pour certains mathématiciens de son époque, qu’utilise Hadamard pour montrer l’existence de ces géodésiques mystérieuses, sans en exhiber réellement aucune !

La conclusion d’Hadamard et sa réception

Hadamard croit que cette complexité devrait se rencontrer dans la plupart des problèmes mécaniques compliqués comme celui du mouvement des planètes. Il précise toutefois qu’il n’en a pas la preuve.

Il souligne que son résultat montre certaines limites du déterminisme. Si on ne connaît pas exactement la situation d’un système aujourd’hui (disons la position et la vitesse exactes de la bille sur notre surface) son devenir ultime peut changer du tout au tout. C’est ce qu’on appellera soixante-dix ans plus tard la sensibilité aux conditions initiales. Hadamard interprète cela en disant que la détermination du devenir ultime d’un tel système est dépourvue de sens [29]. On peut retrouver cette histoire dans le film Chaos et notamment son chapitre 5.

L’article d’Hadamard ne passe pas inaperçu de ses contemporains. Le physicien et philosophe des sciences Pierre Duhem [30] surenchérit en déclarant que ce type de théorèmes constituent

une [...] déduction, à tout jamais inutile, [dont] les recherches de M. J. Hadamard nous offrent un exemple bien saisissant

En effet, Duhem n’imagine pas qu’on demande à une théorie physique autre chose que de produire une prédiction déterministe : étant donné l’état initial avec une précision suffisante, voici l’état final avec toute précision désirée. Le résultat d’Hadamard montre que c’est impossible pour certains systèmes.

Poincaré objecte que les systèmes mécaniques les plus intéressants sont très différents, et ressemblent davantage aux géodésiques d’une surface dite à courbure positive (comme la sphère).

Peut-être pour ces raisons, l’article d’Hadamard n’a pas de descendance pendant plus de dix ans [31].

Et après ?

On peut considérer que c’est en 1940 que la technique de représentation symbolique introduite par Hadamard prend sa forme actuelle au travers des recherches de Hedlund et de Morse. Là où Hadamard obtenait une représentation symbolique des orbites périodiques, ces deux auteurs réintroduisent le temps dans la représentation qui devient un système dynamique de plein droit, représentant toutes les trajectoires (et pas seulement les périodiques).

Dans les années 1960-1970, Anosov, Smale, Sinai, Ruelle, Bowen, ... développent ces techniques pour une importante catégorie de systèmes « complètement chaotiques » [32]. La dynamique symbolique permet l’utilisation de techniques venues de la mécanique statistique et une compréhension détaillée de ces dynamiques. On obtient notamment la description du comportement asymptotique de presque toute orbite, c’est-à-dire une classification complète au niveau probabiliste.

Le sens retrouvé

Ces résultats démentent le pessimisme initial de Duhem et de nombre des contemporains d’Hadamard : s’il existe des conditions initiales menant à des comportements presque arbitraires, ces orbites étranges sont expérimentalement invisibles [33].
Du point de vue probabiliste (ou statistique), on a au contraire une grande stabilité pour ces systèmes chaotiques : sauf cas presque impossibles [34] le comportement asymptotique est indépendant de la condition initiale et une petite modification du système n’entraîne qu’une petite modification de ce comportement. [35] On peut dire que ces systèmes sont imprévisibles à moyen terme (impossible de faire de la « météo » d’un mois sur l’autre) mais statistiquement stables (leur « climat » est bien défini et constant). On voit à travers cette histoire que les questions sont parfois autant que les réponses l’aboutissement de tout un travail de recherche.

Enfin, une partie importante de la recherche en dynamique aujourd’hui cherche à comprendre à quel point ces propriétés de « stabilité statistique » des systèmes « chaotiques » [36] sont générales. Si bien d’autres techniques ont été inventées depuis Hadamard, la dynamique symbolique garde une place de choix dans la boîte à outils du dynamicien.

Post-scriptum :

L’auteur tient à remercier le relecteur dont le pseudonyme est FlavienK ainsi que Frédéric Le Roux, Régis Goiffon et Clément Caubel. Leur aide a significativement amélioré cet article.

Article édité par Frédéric Le Roux

Notes

[1Il s’agit du nombre d’occurrences des différentes lettres de la phrase latine « Data aequatione quotcumque, uentes quantitates involvente, uxiones invenire, et vice versa » qu’on peut traduire en termes modernes par « Etant données les dérivées trouver les fonctions premières et réciproquement » (Epistola posterior 1676).

[2En 1888, la précision stupéfiante de la théorie comme des observations permet de détecter que la trajectoire de Mercure, la planète la plus proche du soleil tourne plus vite que prédit... de deux milliardièmes de tour par siècle. Ce sera la première vérification expérimentale de la théorie de la relativité générale.

[3C’est une page de la « théorie du mouvement de la Lune » par Ch. Delaunay en 1860.

[4C’est l’observation astronomique qui guide encore les vols des avions-espions américains pendant la guerre froide.

[5Cas où il n’existe que ces formules qui se compliquent de plus en plus à chaque fois que l’on veut prolonger leur validité dans le temps.

[6Hadamard est âgé de 33 ans en 1898.

[7Poincaré est alors âgé de 44 ans.

[8On pourra en trouver une note de lecture, plutôt destinée aux mathématiciens, ici.

[9Hadamard n’utilise pas ce terme de chaos qui ne deviendra populaire que près d’un siècle plus tard.

[10Les physiciens diraient : « un point matériel ».

[11Principe de la moindre quantité d’action pour la mécanique (1744) par Pierre Louis Moreau de Maupertuis (reprenant des idées de Fermat et peut-être Leibniz).

[12Sur le dessin présenté, les méridiens verts ou les deux cercles rouges sont des géodésiques, mais pas les cercles parallèles (en noir).

[13Les géodésiques de la sphère ou du tore ne s’intersectent pas elles-mêmes. Les auto-intersections apparentes de la longue géodésique du tore sont une simple superposition visuelle : on verra qu’il y a toujours un brin plus pâle car situé en fait sur l’« autre côté » du tore.

[14Plus précisément, la « courbure sectionnelle » ou courbure de Gauss est partout strictement négative.

[15Le dessin est tiré de l’article original d’Hadamard. Il s’agit d’une surface percée de deux « trompettes » qu’on doit s’imaginer infinies et s’élargissant.

[16Il existe aussi des trajectoires paraboliques et hyperboliques où la planète, venant de l’infini repart à l’infini.

[17Pour être complet, on a aussi besoin des expressions $A^a$, $B^a$ (avec $a$ encore entier non-nul) et même de l’expression vide ! Cette dernière expression (que les mathématiciens aiment qualifier de triviale) dénote l’espèce des boucles qu’on peut déformer en un point.

[18Mais il existe encore une méthode simple de faire ces simplifications : l’algorithme de Dehn.

[19Sauf pour l’espèce des boucles pouvant être continûment ramenées sur un point, qu’on ignore sans dommage.

[20On doit supposer qu’il ne s’agit pas de l’espèce triviale, celle des boucles concentrées en un point. En effet, les boucles de longueur minimale de cette espèce sont de longueur nulle et ne sont pas des géodésiques !

[21Ceci est presque évident, mais nécessite de vérifier l’absence d’obstructions telles celles qui font que les fonctions de la variable réelle $x$ comme $g(x)=1/(x^2+1)$ ou bien $h(x)=x$ pour $x>0$ n’ont pas de minimum.

[22La longueur de $A^{-5}B^3A^2B^1$ est $5+3+2+1=11$.

[23Sans cette restriction supplémentaire, on aura, comme sur la sphère, une infinite de géodésiques fermées de longueur au plus $\ell$, dès que $\ell$ n’est pas trop petit.

[24Pour mémoire, dans le cas d’une planète soumise à l’attraction du soleil et de lui seul, on avait un seul comportement périodique à déformation près, car les trajectoires périodiques forment une famille continue d’ellipses képleriennes décrites par un nombre fini de paramètres qu’on peut faire varier continûment.

[25Un exemple de passage à la limite est celui du nombre pi comme limite des nombres donnés par les fractions : $3/1$, $22/7=3.1429\dots$, $333/106=3.14.150943\dots$, $355/113=3.14159262\dots$, $103993/33102=3.14159265301\dots$, $104348/33215=3.141592653921\dots$,...

[26En effet, toute géodésique est caractérisée par n’importe lequel de ses vecteurs tangents et, si ces vecteurs convergent, alors le vecteur limite définit une géodésique qu’avec Hadamard on considèrera comme la géodésique limite.

[27Par exemple, un cercle est un ensemble topologiquement fermé mais pas l’ensemble $D$ des points dont la distance à l’origine est strictement plus petite que $1$ : la suite de points du plan de coordonnées $(1/2,0), (3/4,0), (5/6,0), (7/8,0),\dots$ est dans $D$ mais sa limite $(1,0)$ n’y est pas.

[28C’est un fermé sans point isolé (propriété 1), totalement discontinu (propriété 2).

[29De même qu’on ne peut répondre à la question de savoir si la distance entre la terre et la lune divisée par la distance entre la terre et le soleil, est un nombre rationnel ou non.

[30Pierre Duhem, La théorie physique, son objet et sa structure, Chevalier et Rivières, Paris 1906. Consultable sur Gallica., page 225

[31Le premier article faisant suite à celui d’Hadamard semble paru 1912 : Quelques théorèmes sur le mouvement des systèmes dynamiques par George Birkhoff (Bulletin de la Société Mathématique de France, 40 (1912), p. 305-323).

[32On les appelle « uniformément hyperboliques ».

[33On peut rapprocher cela du fait qu’un nombre réel tiré au hasard a une chance nulle d’être rationnel.

[34Les mathématiciens disent : avec probabilité nulle.

[35Le théorème de Kolmogorov-Arnold-Moser fournit une autre illustration de ce rôle des probabilités en systèmes dynamiques.

[36On peut consulter J. Buzzi, Chaos et stabilité, Le Pommier, 2005.

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Pour citer cet article :

Jérôme Buzzi — «Hadamard et les systèmes dynamiques» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Crédits image :

L’écheveau homocline - Dennis V. Perepelitsa (https://pubweb.bnl.gov/ dvp/)

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