¿Hay que botar a Pitágoras a una papelera ?

Un título voluntariamente provocador con el deseo de iniciar un animado debate en IdM. 

Le 18 février 2015  - Ecrit par  Étienne Ghys
Le 10 mars 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ? Voir les commentaires
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Los numerosos problemas que se plantean en la enseñanza de las matemáticas no dejan indiferente a nadie. Muchas personas hablan, pero pocas los presentan de manera concreta. Es que el debate ya es difícil de llevar ante la comunidad matemática, y lo es aún más a nivel del público. Es por esta razón que el sitio Images des Mathématiques desea ofrecer un espacio de discusiones abierto a todos aquellos que se sienten tocados por estos temas. Ahí podrán intercambiar sus ideas, sus puntos de vista, y eventualmente aportar elementos de respuesta.

Como preámbulo, para evitar un malentendido, me gustaría decir que yo soy matemático, y más exactamente geómetra. Por supuesto, admiro la hermosa estructura que representa la geometría del plano, con sus joyas, entre ellas el famosísimo teorema de Pitágoras. Diría incluso que es el descubrimiento de esta parte de las matemáticas en el colegio lo que probablemente despertó mi interés por las matemáticas. Dicho esto, las cosas han cambiado, el tiempo ha pasado, y la Francia del general De Gaulle no se parece mucho a la de Emmanuel Macron. Por otra parte, todos coincidiremos en que el objetivo principal de la enseñanza de las matemáticas en el colegio no es formar investigadores científicos.

¿Qué hay que enseñar hoy en día ? Un alumno que llega a graduarse de secundaria ha padecido [1] dos mil horas de clases de matemáticas. No hay que esconder la cara : el resultado es un fracaso. Para hacerse una idea, tomo el ejemplo del teorema de Pitágoras del cual escribí un poco más arriba que es ’’famosísimo’’. El nombre de Pitágoras sin ninguna duda es conocido por una vasta mayoría de la población. Yo estaría dispuesto a apostar que al menos 80% de las respuestas a la pregunta ’’cuáles teoremas podría usted citar’’ contendrían a Pitágoras o a Tales. Por el contrario, estoy igualmente dispuesto a apostar que menos del 20% de la población sería capaz de enunciarlo (correctamente) y tal vez menos de 5% podría demostrarlo. ¿Qué ocurrió ? ¿Por qué razón esta joya matemática pasa al olvido tan pronto ? ¿No es necesario sacar conclusiones y preguntarse si es verdaderamente útil enseñar a todos algo que casi todos se apresuran en olvidar ?

Por supuesto, el teorema de Pitágoras es útil para un montón de gente, como por ejemplo... los científicos. Se podría esperar también que los arquitectos lo utilicen, pero los ángulos rectos se han vuelto tan escasos en los edificios de hoy en día y los programas computacionales de diseño son tan eficaces. Uno puede vivir muy bien sin conocer el teorema de Pitágoras, y hay una infinidad de otras cosas más importantes. Entonces, ¿para qué enseñarlo ? Según yo, habría solo una justificación : poder demostrarlo. La mayoría de los manuales escolares ha abandonado la idea misma de demostrar un teorema, y el pobre Pitágoras ha quedado reducido a una ’’propiedad’’ que hay que aprender de memoria, sin buscar comprenderla. ¿Por qué cuadrados y no cubos ? ¿Porque está escrito en el manual ? A veces uno le pregunta al alumno que mida los lados con su regla, o con su programa de geometría dinámica y que ’’verifique el teorema’’ [2]. Me parece que uno de los roles principales de la enseñanza de las matemáticas es enseñar a los alumnos a distinguir una verdad indiscutible de un punto de vista, una opinión o una creencia. Podemos tener ideas que divergen acerca de esto o lo otro, pero las matemáticas son uno de los medios para concordar acerca de un cierto número de verdades indiscutibles. Un antídoto para el dogmatismo del cual tenemos mucha necesidad. Los programas actuales de matemáticas han suprimido casi todas las demostraciones. Según yo, el teorema de Pitágoras sin una demostración (¡tiene varias !) carece de interés en el colegio.

Evidentemente, hay que seleccionar, y no se puede enseñar todo. Cuando yo estaba en el colegio, la informática no existía y la biología aún no había hecho los progresos espectaculares que uno conoce actualmente. Es normal que los matemáticos dejen lugar a todos esos nuevos campos de conocimiento, y eso implica automáticamente las disminuciones de horarios que hemos conocido. Pero entonces, ¿cómo elegir la parte de las matemáticas que se enseña ? Hasta el momento, con excepción de la desastrosa aventura de las matemáticas modernas [3], se ha procedido por continuidad modificando localmente esto o esto otro. El teorema de Pitágoras ha perdido su gracia, su razón de ser, su demostración, pero aún está ahí, un poco por inercia, transformado en una triste ’’propiedad’’ que hay que aprender de memoria. Desgraciadamente este enunciado no forma parte de día a día de nuestros jóvenes, que no le ven ningún interés, la mayoría de ellos. ¿No es necesario tomar en cuenta el mundo en el cual esos jóvenes viven y tratar de encontrar las matemáticas que les ayuden a situarse mejor ? Encontrar una referencia en el mundo, ¿no es acaso la definición de la geometría ?

Aquí hay un ejemplo, seguramente muy discutible, de una ’’nueva geometría’’ que se podría abordar en la escuela y que sería más cercana a las preocupaciones de los alumnos : la geometría de las redes. Ha llegado a ser una banalidad : vivimos en redes múltiples, Internet, Facebook, líneas de transporte, Skype, etc. Los adolescentes (y otros) cuentan sus ’’amigos’’ en Facebook. Las grandes redes tienen geometrías que no tienen nada de euclidiano. Las matemáticas que están implicadas son variadas : teoría de grafos y combinatoria por supuesto, pero también probabilidades, sin olvidar los aspectos informáticos y algorítmicos. Obviamente yo no propongo una clase estructurada acerca de la teoría de grafos en el colegio, pero me parece que se pueden abordar algunos puntos muy simples y muy instructivos. Más que obligar a los colegiales a aprender de memoria y sin explicación que el volumen de una bola de radio $R$ es $\frac{4}{3} \pi R^3$, ¿no sería preferible hacerles reflexionar acerca del crecimiento exponencial de las bolas en las redes sociales ? (¿cuántos amigos de los amigos de mis amigos hay ?) ¿Cómo se propaga la información (o las falsas informaciones) dentro de una red ? ¿Qué es el fenómeno del mundo pequeño ? ¿Qué es un triángulo rectángulo dentro de una red ferroviaria o de metro [4] ? ¿Qué algoritmo utiliza Google Maps para proponerme el mejor itinerario para ir de A a B ? Evidentemente, de la misma manera en que un teorema sin demostración es una cáscara vacía, un algoritmo requiere una prueba, y uno no puede conformarse con utilizarlo a ciegas.

La geometría ha cambiado. Ya no manipula los triángulos y los círculos. Se preocupa del mundo que nos rodea, que -por fortuna- es muy raramente euclidiano.

En fin, ¿era Léo Ferré un visionario ?

’’Hay que matar la inteligencia de las palabras antiguas
Con palabras del todo relativas, curvas, como usted quiera
Hay que botar a Euclides a una papelera
Póngalo justo en la curvatura.’’

El perro, 1969

Post-scriptum :

Evidentemente el teorema de Pitágoras aparece a menudo en IdM. Haga clic aquí, acá, acá, o incluso aquí.

Notes

[1Pienso que es la palabra adecuada para la mayoría de los alumnos.

[2En las mejores obras se encuentra a veces al final del capítulo un boceto de prueba con puzzles, pero estoy convencido de que los profesores no tienen el tiempo para discutirlo seriamente, ni siquiera para aprovechar la ocasión de explicar el concepto de demostración en matemáticas.

[3Mi época.

[4A menudo se asimila una red ferroviaria, exagerando un poco, a una estructura arborescente. El lector interesado podrá inspirarse en este artículo para mostrar que en un ’’triángulo rectángulo ferroviario’’ la hipotenusa es la suma de los otros dos lados...sin necesidad de elevar al cuadrado. Extraño :-)

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «¿Hay que botar a Pitágoras a una papelera ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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