Hermann Weyl à Göttingen (1904-1913) : une triple référence à Hilbert, Klein et Zermelo

Hors piste Le 24 juillet 2012  - Ecrit par  Christophe Eckes Voir les commentaires

En complément de notre portrait général de Weyl, nous proposons une série de deux articles plus détaillés qui permettent de comprendre la complexité de son parcours philosophique jusqu’au début des années 1920. Dans ce premier article, nous revenons sur ses premières années de formation à l’université de Göttingen. Nous montrons que ses productions traduisent la variété des pratiques mathématiques dans cette même université au début du XXe siècle. Weyl est alors attaché à une certaine forme de positivisme d’un point de vue philosophique. Dans un second article à venir, nous décrirons ses premières années en tant que professeur à la Eidgenössische technische Hochschule [Ecole polytechnique] de Zürich. Nous essayerons de savoir pourquoi il réoriente ses recherches en relativité générale à partir de 1916. Nous chercherons également à déterminer les raisons qui le poussent à se distancier du positivisme : il est alors très marqué par la philosophie de Fichte via son collègue F. Medicus qui est professeur de philosophie à l’ETH de Zürich.

Après une scolarité au altsprachliches Gymnasium Christianeum [1] situé dans le quartier Altona à Hambourg qui lui assure une solide culture classique, Weyl commence ses études de mathématiques à l’université de Göttingen en 1904.

JPEG - 198.2 ko
Le collège-lycée Christianeum vers 1897

Comme il le précise dans la notice nécrologique qu’il consacre à Hilbert en 1944, pour intégrer cette université, Weyl reçoit le précieux soutien du directeur de son lycée qui n’est autre que le cousin de Hilbert [2].

JPEG - 159 ko
Université de Göttingen
début du XXe siècle

Nous entendons tout d’abord montrer que l’œuvre de jeunesse de Weyl reflète au moins partiellement la complexité des pratiques mathématiques au sein de l’université de Göttingen au début du XXe siècle, mais aussi les tensions qui y animent les mathématiciens sur les fondements des sciences mathématiques. En particulier, les premiers travaux de Weyl en mathématiques pures sont influencés par trois figures tutélaires : David Hilbert (1862-1943) dont il est l’élève, Ernst Zermelo (1871-1953) dont il accueille les dernières avancées en théorie des ensembles avec enthousiasme, Felix Klein (1849-1925) qui exerce sur lui une influence plus indirecte mais tout aussi importante. Nous laissons ici de côté l’héritage du mathématicien et physicien mathématicien Hermann Minkowski (1864-1909) dans l’œuvre de Weyl. Nous l’aborderons dans un second article consacré aux premières années de Weyl à l’ETH de Zürich : la référence à Minkowski permettra d’expliquer l’intérêt de Weyl pour la géométrisation des théories relativistes. Ensuite, nous souhaitons montrer que, dès cette période, Weyl s’approprie une diversité de thèses épistémologiques, philosophiques et pédagogiques. Nous pensons en particulier au positivisme d’E. Mach, à la phénoménologie de Husserl et, enfin, aux réflexions menées par Klein sur le statut des connaissances mathématiques et les pratiques d’enseignement des mathématiciens.

Dans un premier temps, nous reviendrons sur l’importance que représente l’œuvre mathématique de Hilbert au cours des années de formation de Weyl. Nous montrerons également que ce dernier est convaincu par les travaux de Zermelo visant à fonder la théorie des ensembles sur des bases rigoureuses. Dans un second temps, nous tenterons de rendre compte de la participation de Weyl au séminaire de Klein consacré à la psychologie et aux mathématiques durant le semestre d’hiver 1909-1910. Enfin, dans un dernier temps, nous essaierons de mesurer l’impact des réflexions pédagogiques et épistémologiques de Klein dans l’œuvre de jeunesse de Weyl.

Weyl, élève de Hilbert et défenseur de Zermelo

JPEG - 13.7 ko
David Hilbert (1862-1943) en 1912, soit un an avant le départ de Weyl pour l’ETH de Zürich

Dès son admission à l’université de Göttingen, Weyl décide de suivre les cours de niveau avancé que Hilbert consacre à la notion de nombre et à la quadrature du cercle [3]. Bien que trop techniques pour le jeune Weyl, ces cours l’incitent immédiatement à prendre connaissance d’une partie des contributions mathématiques de Hilbert. Ainsi, dès la fin de sa première année d’études, Weyl se procure un exemplaire du Zahlbericht qui, précisons-le, est un vaste rapport rédigé par Hilbert en théorie algébrique des nombres (1897) [4]. Weyl oriente finalement ses premières recherches en théorie des équations intégrales qui constitue le domaine que Hilbert privilégie entre 1903 et 1912. Hilbert s’appuie d’ailleurs sur cette théorie pour lancer un grand programme d’unification de l’analyse et de l’algèbre en mathématiques pures. Ses investigations sont prolongées par plusieurs de ses élèves, parmi lesquels E. Schmidt, Hellinger et Toeplitz. De manière similaire, Weyl effectue sa thèse sur les équations intégrales sous la direction de Hilbert et il la soutient en 1908 [5]. Il poursuit d’ailleurs ses investigations dans ce domaine, avec des prolongements aux équations différentielles ordinaires et des applications à des problèmes de physique mathématique jusqu’à sa thèse d’habilitation [Habilitationsschrift] (1910).

En parallèle, sa leçon d’habilitation [6] porte sur un problème épistémologique : elle est consacrée au statut des définitions des concepts en mathématiques. Il évoque en particulier les définitions par abstraction qui sont fondées sur la notion de relation d’équivalence. Soit $ E $ un ensemble, une relation $ R $ sur $ E $ est une relation d’équivalence si elle est réflexive – pour tout $x$ de $ E $, on a $ x R x $ –, symétrique – pour tous $ x $, $ y $ de $ E $, $ x R y $ implique $ y R x $ – et transitive – pour tous $ x $, $ y $, $ z $ de $ E $, si $ x R y $ et $ y R z $, alors $ x R z $. Weyl montre que les concepts mathématiques les plus élémentaires, à commencer par le parallélisme entre des droites dans le plan usuel, reposent sur une relation d’équivalence. Weyl montre en particulier que les droites du plan peuvent être réparties en classes d’équivalence suivant la relation « être parallèle à » et il montre que des droites appartenant à la même classe ont toutes la même direction. Il introduit également un autre type de définition auquel Hilbert a recours en particulier dans ses Grundlagen der Geometrie (1899), à savoir les définitions implicites par axiomes [implizite Definitionen durch Axiome] : un concept mathématique est alors défini par une liste d’axiomes indépendants les uns des autres, sans que l’on se préoccupe de la nature des objets qui sont susceptibles de réaliser ce même concept. Il est question de définitions implicites au sens où elles ne renvoient pas à un objet déterminé ; on ne peut donc pas dire a priori quel objet mathématique tombe ou non sous un concept défini implicitement. Pour illustrer ce second type de définition, on peut mentionner la notion de groupe abstrait qui est axiomatisée de manière définitive par H. Weber en 1893. [7] Un ensemble non vide $ G $ est un groupe [8] s’il existe une opération $ \ast $ sur $ G $ telle que :

  1. pour tous $ x $, $ y $, $ z $ de $ G $, $ (x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z) $ (associativité),
  2. il existe un élément $ e $ de $ G $ tel que $ e \ast x = x \ast e = x $ pour tout $ x $ de $ G $,
  3. pour tout $ x $ de $ G $, il existe un élément $ x^{-1} $ de $ G $ tel que $ x \ast x^{-1} = x^{-1} \ast x = e $.

A la lecture de cette seule définition, nous ne pouvons pas mesurer la grande diversité des objets mathématiques – relevant d’ailleurs de domaines distincts – qui satisfont à ces trois axiomes.

Au début de sa leçon d’habilitation, Weyl paraphrase presque littéralement les premières lignes des Grundlagen der Geometrie [les fondements de la géométrie] de Hilbert : les points, les droites et les plans doivent être considérés comme des objets abstraits désignés par des symboles ; certaines relations entre ces objets sont ensuite introduites par une série de mots (« être situés », « entre », « parallèles », etc.) ; enfin, les propositions de la géométrie doivent pouvoir être déduites à partir d’axiomes en nombre réduit dont il s’agit de décrire la structure logique [9].

Dans ses Grundlagen der Geometrie, Hilbert ne rejette pas toute représentation intuitive, il entend analyser rigoureusement notre intuition de l’espace grâce à deux ingrédients : la méthode axiomatique et un langage bien déterminé, comme en témoigne la série de mots qu’il introduit pour fixer les relations entre objets géométriques. Un axiome n’est pas pour Hilbert une vérité évidente, il s’agit seulement d’une hypothèse logiquement première dans l’ordre de déduction des propositions mathématiques et elle s’insère dans un système d’axiomes appelé axiomatique. L’axiomatique proposée par Hilbert dans les Grundlagen der Geometrie a essentiellement pour fonction de fonder une théorie, en particulier la géométrie euclidienne. Précisons cependant que le but de Hilbert n’est pas seulement d’identifier les groupes d’axiomes qui président à cette géométrie mais d’analyser les propriétés logiques du système qu’ils forment. Il s’assure ainsi que cette axiomatique ne débouche sur aucune contradiction et il montre l’indépendance d’un axiome donné en construisant un système logiquement cohérent qui ne le fait pas intervenir.

On peut donc identifier deux fonctions de la méthode axiomatique dans l’œuvre de Hilbert en mathématiques pures : (1) il l’utilise tout d’abord pour définir des concepts, (2) il s’appuie également sur elle pour fonder des théories mathématiques et étudier leur structure logique. Dans sa pratique mathématique, Weyl considère la méthode axiomatique avant tout comme une méthode de définition des concepts mathématiques. En même temps, certains passages de sa leçon d’habilitation nous montrent qu’il s’intéresse également à la méthode axiomatique comme moyen pour fonder des théories mathématiques. En témoigne le fait qu’il se réfère aux Grundlagen der Geometrie de Hilbert et aux contributions de Zermelo en théorie des ensembles.

JPEG - 11.6 ko
Ernst Zermelo (1871-1953)

Il convient de rappeler ici que Zermelo soutient sa thèse d’habilitation à l’université de Göttingen en 1897. D’abord Privatdozent, il obtient un poste de professeur dans cette même université en 1905. Dès 1900, il s’intéresse à la théorie des ensembles qu’il entend fonder de manière rigoureuse. Quasiment au même moment, à savoir entre 1897 et 1900, Hilbert entretient une correspondance avec Cantor sur la théorie des ensembles ; il s’approprie progressivement le langage ensembliste et il reconnaît la nécessité de fonder cette théorie sur des bases solides. Cette préoccupation est donc partagée par Hilbert et Zermelo. Inversement, ce dernier réalise que la méthode axiomatique telle qu’elle est utilisée par Hilbert dans ses Grundlagen der Geometrie constitue la clé pour clarifier la théorie des ensembles [10]. Ainsi, dans un article publié en 1908 qui fera date, Zermelo propose une série d’axiomes qui doivent être suffisamment contraignants pour mettre cette théorie à l’abri de tout paradoxe et suffisamment larges pour ne pas exclure des pans entiers des mathématiques [11]. L’élimination des paradoxes en théorie des ensembles justifie en partie le fait que Zermelo s’appuie sur la méthode axiomatique dans son article de 1908 [12]. Il suppose que l’analyse et l’arithmétique dérivent tout entières de la théorie des ensembles. Voilà pourquoi celle-ci doit être formulée de manière parfaitement rigoureuse. La méthode axiomatique constitue, aux yeux de Zermelo et de Hilbert, un instrument essentiel pour sonder la structure logique d’une théorie et s’assurer qu’elle ne conduit à aucun vice de raisonnement.

Ces rappels étant faits, on peut d’abord supposer que, dans sa leçon d’habilitation, Weyl se situe dans le strict prolongement des Grundlagen der Geometrie de Hilbert [13] et des contributions décisives de Zermelo en théorie des ensembles. Il s’agit alors des travaux les plus représentatifs d’une exigence de rigueur à l’université de Göttingen. Nous verrons pourtant qu’à la fin de ce même texte, Weyl fait allusion à une autre figure très importante des mathématiques à Göttingen, à savoir Klein. Or, si ce dernier ne s’oppose pas frontalement à l’usage de la méthode axiomatique en mathématiques, il défend une conception des sciences mathématiques qui se singularise par rapport aux points de vue de Hilbert et de Zermelo.

En première approximation, on peut dire que le jeune Weyl travaille essentiellement dans une veine hilbertienne : il s’approprie les aspects les plus divers de l’œuvre de Hilbert : théories des corps de nombres, fondements de la géométrie (et des mathématiques en général), théorie des équations intégrales. La monographie que Weyl publie sur les surfaces de Riemann en 1913 ne peut que confirmer ce point : il reprend à son compte la première définition rigoureuse d’une surface topologique proposée par Hilbert dans deux suppléments aux Grundlagen der Geometrie [14]. Weyl s’appuie également sur la méthode axiomatique pour définir en général les surfaces de Riemann : il établit de la sorte qu’elles sont des variétés analytiques complexes de dimension un, etc. Weyl emprunte donc à ce dernier une méthode de définition (les définitions par axiomes) et une grande variété de cadres théoriques. En outre, dans sa leçon d’habilitation, Weyl défend avec enthousiasme les travaux de Zermelo. Par exemple, il écrit dans une note que « Zermelo est seul à avoir proposé un système d’axiomes de la théorie des ensembles formulé en langage exact » [15]. L’expression « langage exact » renvoie à une exigence de rigueur qui permet de neutraliser les paradoxes engendrés par une théorie naïve des ensembles. Weyl ne formule donc pas l’ombre d’une critique à l’encontre des fondements ensemblistes des mathématiques lorsqu’il est étudiant puis Privatdozent à Göttingen.

Présence de Klein : mathématiques, psychologie et positivisme

JPEG - 11.8 ko
Felix Klein (1849-1925)

Pourtant, si nous nous en tenions à ces constats, notre description du parcours universitaire de Weyl à Göttingen serait simplificatrice. Notre portrait ne rendrait pas compte des diverses facettes d’un mathématicien qui, au fur et à mesure de sa carrière intellectuelle et scientifique, sera tiraillé entre une exigence de rigueur – notamment incarnée par la promotion de la méthode axiomatique – et une référence constante à un support intuitif, par crainte que les sciences mathématiques ne se réduisent à des combinaisons de symboles vides de sens.

Or, déjà au moment où il est Privatdozent à Göttingen, Weyl ne défend pas sans réserve l’idée selon laquelle les sciences mathématiques doivent s’exprimer dans un langage mathématique formellement rigoureux. Ces réserves lui viennent essentiellement de Klein qui joue alors un rôle institutionnel central à l’université de Göttingen, bien que sa carrière de mathématicien soit essentiellement derrière lui. Plusieurs faits doivent retenir notre attention pour caractériser l’héritage de Klein dans l’œuvre de jeunesse de Weyl. Tout d’abord, ce dernier dédie son ouvrage sur les surfaces de Riemann à Klein.

Cette dédicace vient du fait qu’à l’instar de Klein, Weyl envisage les surfaces de Riemann au fondement de l’étude des fonctions d’une variable complexe. L’influence de Klein sur Weyl est plus profonde, plus complexe, mais aussi plus implicite que ne le suggère cette dédicace.

JPEG - 102.6 ko
Page de garde de Die Idee der Riemannschen Fläche et dédicace à Klein

Rappelons tout d’abord une donnée factuelle. Au cours du semestre d’hiver 1909-1910, Klein organise un séminaire intitulé « Mathematik und Psychologie » auquel participent plusieurs Dozenten, dont Weyl. Ce séminaire est consacré à des réflexions épistémologiques et pédagogiques visant à clarifier la genèse psychologique des concepts et des vérités mathématiques. L’intérêt de Klein pour la psychologie et en particulier pour la psychologie expérimentale n’est pas nouveau. En effet, déjà dans sa célèbre conférence sur l’arithmétisation des mathématiques (1895), Klein estime que des recherches psychologiques permettront d’expliquer à l’avenir le rôle et les fonctions de l’intuition et de la logique dans la construction des connaissances mathématiques. On peut lire en effet :

Peut-être un jour la Psychologie et la Psychologie expérimentales nous renseigneront-elles exactement sur les relations plus intimes qui peuvent exister entre les processus dérivant de l’intuition et ceux qui sont du domaine du pouvoir logique. (…) Nous avons l’espoir que maintes différences d’opinion sur notre Science et son exercice, différences qui restent maintenant inébranlables, disparaîtront lorsque nous serons plus exactement renseignés sur les conditions psychologiques de la pensée mathématique et sur ce qui les différencie individuellement entre elles [16].

La psychologie expérimentale qu’invoque Klein dans ce passage consiste à fonder l’étude des sensations, des affects et des processus d’intellection sur une méthode scientifique. Elle se caractérise par l’observation empirique des comportements individuels et l’étude du substrat organique – en l’occurrence le système nerveux et cérébral – dont dépendent les réactions psychologiques. W. Wundt est considéré comme le fondateur de la psychologie expérimentale en Allemagne. Il crée en 1879 le premier laboratoire de psychologie expérimentale à l’université de Leipzig. Rappelons justement que, de 1880 à 1886, Klein est professeur à l’université de Leipzig. Il est donc très probable qu’il ait pris connaissance des premiers développements de la psychologie expérimentale dès cette période. Il convient également d’ajouter que le développement de la psychologie expérimentale doit être rattaché à une certaine forme de positivisme, c’est-à-dire une thèse philosophique selon laquelle il faut bannir tout questionnement sur le pourquoi des choses pour s’en tenir à une explication rationnelle du comment des phénomènes observables. La promotion de la méthode expérimentale montre que la psychologie expérimentale relève d’une philosophie de style positiviste. Ajoutons que Klein adhère à une certaine forme de positivisme tout au long de sa carrière scientifique [17].

Au moment où Weyl est Privatdozent, non seulement l’intérêt de Klein pour la psychologie expérimentale demeure extrêmement vif, mais plus généralement une philosophie de style positiviste est alors prédominante parmi les scientifiques à l’université de Göttingen. Précisons ces deux points.
(1) Tout d’abord, dans son séminaire de 1909-1910 sur la psychologie et les mathématiques, Klein accorde une large place à la psychologie expérimentale. De plus, au début des années 1910, il travaille avec le psychologue D. Katz. Ce dernier participe en 1913 à l’ouvrage collectif sur l’enseignement des mathématiques en Allemagne qui est dirigé par Klein. Le chapitre rédigé par D. Katz s’intitule à juste titre Psychologie et enseignement mathématique [18].

Pour en revenir au séminaire de 1909-1910, un résumé de chaque séance est reporté par Klein dans un cahier qui est actuellement conservé à la bibliothèque de l’université de Göttingen. On y apprend que le 3 novembre 1909, Weyl présente un rapport sur une vaste « Enquête » internationale dont l’objectif est de décrire « la méthode de travail des mathématiciens ». Il s’agit d’un questionnaire adressé à des mathématiciens pour saisir leur goût pour les mathématiques, leur manière de les pratiquer, les ressorts psychologiques de leurs découvertes, leur mode d’accès à des vérités générales, leur quotidien et leurs habitudes de travail. On peut compter une centaine de répondants, tous mathématiciens de profession [19]. Ce questionnaire reprend et généralise une première enquête menée par le mathématicien E. Maillet sur le rôle des représentations inconscientes dans la pratique des mathématiques [20].

Voici quelques-unes des questions qui composent l’« Enquête sur la méthode de travail des mathématiciens » :

1. A quelle époque, d’après vos souvenirs, et dans quelles circonstances, le goût des sciences mathématiques s’est-il emparé de vous ?

8. Avez-vous remarqué parfois que des découvertes ou des solutions, sur un sujet complètement étranger à vos recherches du moment, vous soient apparues, alors qu’elles correspondaient à des recherches antérieures infructueuses ?

9. Estimez-vous que vos principales découvertes aient été le résultat d’un travail voulu, dirigé dans un sens précis, ou bien que se soient présentées à votre esprit spontanément pour ainsi dire ?

14. Quand vous abordez une question cherchez-vous à étudier de suite d’une façon aussi générale que possible les problèmes plus ou moins précis que vous vous posez ? Préférez-vous habituellement traiter d’abord des cas particuliers, ou un cas étendu, pour généraliser ensuite progressivement ? [21]

Certaines réponses à ce questionnaire sont sélectionnées et diffusées dans L’Enseignement mathématique entre 1905 et 1908. Elles sont ensuite regroupées dans un ouvrage aux éditions Gauthier-Villars qui paraît en 1908. Cet ouvrage est publié sous la direction de H. Fehr, professeur de mathématiques à l’université de Genève et cofondateur avec G.-A. Laisant de L’Enseignement mathématique. Pour mener à bien ce projet, Fehr s’entoure de deux autres collègues, à savoir Th. Flournoy, professeur de psychologie expérimentale, et Ed. Claparède, directeur du laboratoire de psychologie de Genève. Cette indication confirme l’importance que joue alors la psychologie expérimentale dans la description des connaissances mathématiques et de leur genèse. Non seulement Weyl assiste au séminaire de Klein sur les mathématiques et la psychologie, mais de plus il présente une synthèse sur cette fameuse « Enquête » qui, précisément, est menée par des professeurs de mathématiques et des professeurs de psychologie expérimentale.

JPEG - 148.3 ko
Extrait du Protokollbuch de F. Klein pour le séminaire « Mathematik und Psychologie » durant le semestre d’Hiver 1909-1910.
On peut observer que le nom de « Weyl » est souligné et qu’il est fait mention d’un rapport
de l’Enquête sur la méthode de travail des mathématiciens dans la revue L’enseignement mathématique.
Une transcription de ce document, effectuée par H. Hoch, G. Schubring et Günter Törner est disponible à l’adresse suivante :
http://www.uni-bielefeld.de/idm/arge/klein29f_cst.pdf

On retrouve d’ailleurs dans les propres écrits de Weyl publiés en 1910 et 1913 quelques traces de son investissement dans le séminaire de Klein. Par exemple, dans sa leçon d’habilitation [22] comme dans son ouvrage sur les surfaces de Riemann, il affirme que les définitions fondées sur une relation d’équivalence tirent leur « racines psychologiques du processus d’abstraction ». Autrement dit, Weyl pointe ici du doigt un processus psychologique qui serait au fondement d’un certain type de définition mathématique. Ces considérations d’ordre psychologique proviennent probablement de son investissement dans le séminaire de Klein. En effet, l’objectif principal de ce séminaire est de décrire l’ensemble des processus psychologiques qui accompagnent les processus logiques [23].

(2) Nous avons souligné que la psychologie expérimentale va de pair avec une philosophie de style positiviste qui, d’après le témoignage de Weyl, est alors largement prédominante parmi les scientifiques à l’université de Göttingen. Dans une conférence intitulée « Erkenntnis und Besinnung » [Connaissance et réflexion] prononcée à l’université de Lausanne en mai 1954, soit un an avant sa mort, Weyl reconnaît son adhésion à une certaine forme de positivisme durant ses études et ses premières années en tant que Privatdozent à Göttingen [24]. Nous pouvons donner deux éléments d’explication à ce propos. D’une part, comme nous l’avons vu, Klein est positiviste. D’autre part l’œuvre du physicien et épistémologue autrichien E. Mach (1838-1916), l’un des champions du positivisme, fait alors autorité aux yeux du jeune Weyl. Ainsi, dans le chapitre V de la Mécanique, on peut lire :

Nous devons limiter notre science physique à l’expression des faits observables, sans construire des hypothèses derrière ces faits, où plus rien n’existe qui puisse être conçu ou prouvé. Nous avons donc simplement à découvrir les dépendances réelles des mouvements des masses, des variations de la température, des variations de valeur de la fonction potentielle, des variations chimiques, sans nous imaginer rien d’autre sous ces éléments, qui sont les caractéristiques physiques directement ou indirectement données dans l’observation [25].

Nous reconnaissons dans cet argument une forme de positivisme en ce sens que Mach exclut de l’investigation rationnelle toute considération métaphysique sur le pourquoi des choses. De plus, il fonde les connaissances scientifiques sur l’observation empirique des phénomènes.

Précisons par anticipation qu’entre 1913 et 1916, Weyl rompt doublement avec le positivisme d’E. Mach et avec la psychologie expérimentale à laquelle Klein est attaché. Nous pouvons donner deux éléments d’explication à cette rupture. (a) Weyl s’intéresse de plus en plus à la phénoménologie grâce à sa femme Helene qui est justement une élève de Husserl à Göttingen. Or, sans évoquer les lignes directrices de la phénoménologie de Husserl, nous pouvons au moins préciser que le programme philosophique de Husserl suppose un rejet préalable de toute forme de psychologisme et une réfutation du positivisme d’E. Mach. Husserl fait notamment allusion à l’épistémologie d’E. Mach qu’il critique frontalement dans ses Idées directrices pour une phénoménologie [26]. (b) Weyl s’intéresse par ailleurs à l’idéalisme de Fichte au contact de son collègue philosophe F. Medicus à l’ETH de Zürich. En reprenant à son compte la philosophie de Fichte au cours des années 1916-1921, Weyl s’éloigne définitivement de toute épistémologie de style positiviste.

Présence de Klein : épistémologie et pédagogie

Nous avons montré que Weyl s’approprie jusqu’à un certain point les contributions de Hilbert et de Zermelo entre 1910 et 1913. S’il admet la nécessité de fonder rigoureusement l’analyse en s’appuyant sur les méthodes de Weierstrass et la topologie en se référant aux dernières avancées en théorie des ensembles, il craint que cette exigence de rigueur ne devienne à elle-même sa propre fin. De plus, les cours de Weyl montrent qu’il est très sensible aux prescriptions de Klein en matière d’enseignement. Voilà pourquoi, il nous semble nécessaire de détailler cet aspect de l’héritage kleinéen pour compléter le portrait du jeune Weyl et de mesurer par là même toute la complexité de ses années de formation à l’université de Göttingen.
Au début de sa monographie sur les surfaces de Riemann, Weyl affirme que son ouvrage reprend le contenu d’un cours effectué lors du semestre d’hiver 1911-1912 dont le principal motif était de

développer les idées fondamentales de Riemann en théorie des fonctions [d’une variable complexe] sous une forme qui satisfasse à toutes les exigences modernes en termes de rigueur. Cette présentation rigoureuse, qui ne fait pas appel à l’incertitude intuitive, mais qui donne des preuves exactes, issues de la théorie des ensembles, à l’appui des concepts et propositions fondamentaux de l’analysis situs en jeu en théorie des fonctions, reste encore à faire [27].

Mais, quelques lignes plus loin, la tonalité de son argument est un peu différente :

On ne peut pas le dénier, la mise au jour d’un niveau de généralité qui dépasse de loin toutes nos représentations à propos des concepts de « fonction », de « courbes », etc. d’une part, l’usage de la rigueur logique d’autre part, aussi salutaires soient-elles pour notre science, ont également eu des effets indésirables dans le développement de la mathématique contemporaine. [28]

Weyl reconnaît que la méthode axiomatique et un langage symbolique bien défini permettent d’écarter certaines confusions engendrées par nos intuitions, mais la rigueur logique ne peut pas être à elle-même sa propre fin, car elle ne suffit pas pour produire des connaissances mathématiques nouvelles. De plus, il estime que nos concepts mathématiques sont devenus si généraux qu’ils peuvent sembler vides de sens ou sans aucun rapport avec des objets particuliers donnés dans l’intuition. On peut retrouver un argument du même ordre dans les remarques finales de sa leçon d’habilitation. La question est de savoir d’où vient ce scepticisme contre une tendance au formalisme qui vise à ériger un simple moyen (l’exigence de rigueur) au rang de fin et à manipuler des concepts dont le niveau de généralité est tel qu’ils ne semblent plus renvoyer à aucun contenu. Pour résoudre cette difficulté, il convient de prêter attention à la métaphore utilisée par Weyl à la fin de sa leçon d’habilitation pour décrire les sciences mathématiques :

Je crois que l’esprit humain ne peut pas s’élever vers les concepts mathématiques autrement qu’en façonnant la réalité donnée. L’applicabilité de notre science n’apparaît alors que comme un symptôme de son enracinement et non comme une véritable mesure de sa valeur ; il serait funeste pour les mathématiques que cet arbre qui déploie fièrement sa large cime dans le ciel mais qui, dans le même temps, puise sa force grâce à ses nombreuses racines dans le sol des intuitions et des représentations réelles soit élagué par un utilitarisme trop étroit ou qu’il soit arraché du sol dont il est issu. [29]

Cette image n’est pas neuve, elle est déjà utilisée par Klein dans une célèbre conférence qu’il prononce à Göttingen en 1895 sous le titre « Über Arithmetisierung der Mathematik » [sur l’arithmétisation des mathématiques] :

Je compare la science mathématique à un arbre dont les racines s’enfoncent chaque jour plus profondément dans la terre, tandis qu’au-dessus les feuilles s’étendent librement et nous ombragent. Devons-nous regarder les racines ou les branches comme la partie la plus essentielle ? Le botaniste nous enseigne que la question est mal posée et que la vie de l’organisme dépend plutôt de l’échange mutuel entre ses différentes parties. [30]

La proximité entre Klein et Weyl est ici manifeste. Elle mérite commentaire : par cette métaphore, ils soulignent la complémentarité entre la rigueur logique et la recherche de généralité d’une part, l’intuition « raffinée » et l’étude d’objets particuliers d’autre part. l’intuition raffinée est acquise au cours d’une pratique régulière des mathématiques et elle n’a donc rien de commun avec de simples pressentiments ou de vagues impressions, c’est-à-dire l’intuition naïve qui conduit à des confusions conceptuelles, des vices de raisonnement et, en particulier, des généralisations abusives. L’arithmétisation des mathématiques désigne, sous la plume de Klein, un processus complexe qui consiste à réduire les sciences mathématiques aux opérations élémentaires de l’arithmétique et à leur garantir une véritable rigueur logique. Klein associe à ce processus des mathématiciens aussi différents que Weierstrass, Kronecker, Peano ou encore Cantor.

Bien qu’ils en reconnaissent la nécessité, Weyl et Klein expriment une certaine réserve à l’égard de cette arithmétisation des mathématiques : nécessaire pour écarter erreurs et confusions, elle est insuffisante pour produire des connaissances nouvelles en mathématiques, d’où l’importance d’une intuition « raffinée » qui aurait un double avantage selon Klein : elle ne comporte pas les défauts de l’intuition naïve et elle garantit un « contenu » à la connaissance mathématique.

Notons cependant qu’à la fin de sa leçon d’habilitation, Weyl ne se contente pas d’expliciter la métaphore de Klein, il rejette dos-à-dos deux écueils diamétralement opposés qui seraient « funestes » pour les mathématiques. D’un côté, elles ne sauraient se réduire à un formalisme éthéré, où généralité et rigueur deviennent à elles-mêmes leur propre fin. Il s’agit là de l’effet pervers de « l’arithmétisation des mathématiques » dès lors qu’elle conduit à se couper de toute intuition (raffinée). De l’autre, Weyl critique tout aussi frontalement une dérive utilitariste qui consisterait à évaluer les sciences mathématiques en fonction de leurs seules applications empiriques, techniques et industrielles. On se rend alors compte que Weyl ne paraphrase pas servilement Klein à la fin de sa leçon d’habilitation.

Si, avec Klein, il souscrit à l’idée d’une complémentarité entre la logique et l’intuition en revanche, d’un point de vue institutionnel et politique, il se distancie du grand projet de Klein visant à rapprocher systématiquement les sciences mathématiques et physiques des milieux industriels. Rappelons par exemple que la « Göttinger Vereinigung zur Förderung der angewandten Physik » [association de soutien à la physique appliquée à Göttingen] est fondée en 1898 et elle sera élargie aux mathématiques appliquées en 1900. Il s’agit là de l’aboutissement d’un projet initié par Klein et qu’il mène à bien en s’entourant d’industriels, parmi lesquels Henry Theodore Böttinger qui est spécialisé dans l’industrie de la chimie [31]. Donc, en critiquant toute forme d’utilitarisme, le jeune Weyl se distancie de l’héritage kleinéen d’un point de vue tant institutionnel que politique alors qu’il le reprend à son compte sur un plan épistémologique.

Ajoutons enfin que, dans l’organisation même de ses cours en analyse complexe (1910-1911) et sur les surfaces de Riemann (1911-1912), Weyl suit au moins partiellement les prescriptions de Klein en matière d’enseignement dans les universités. Il convient donc de résumer succinctement les réflexions de Klein sur un plan pédagogique pour ensuite montrer comment Weyl se les approprie. Dans un rapport présenté devant un congrès de scientifiques à Breslau en septembre 1904, Klein formule quatre exigences dans l’organisation du contenu d’un cours en mathématiques : (1) le recours à une méthode génétique ou constructive, fondée sur l’étude d’objets particuliers ou de situations intuitivement appréhendables avant d’adopter un ordre déductif guidé par la méthode axiomatique ; (2) l’usage d’intuitions spatiales afin de permettre aux étudiants de « visualiser » les concepts et les objets sur lesquels ils raisonnent ; (3) la nécessité de se référer à des applications dans les sciences de la nature – en particulier en physique – dès que cela est possible ; (4) une introduction progressive de l’ « élément logique » pour contrer les éventuelles confusions générées par l’intuition naïve [32].

Autrement dit, Klein estime qu’il est impossible qu’un cours d’introduction satisfasse d’emblée à toutes les exigences en termes de rigueur, celles-ci ne pouvant pas être assimilées immédiatement par la plupart des étudiants. Klein ne fait ici que reprendre et préciser des arguments qu’il avait déjà exposés dans sa célèbre conférence sur l’arithmétisation des mathématiques :

Je laisse une entière liberté à chaque Dozent académique, et j’ai, par conséquent, toujours refusé les règles générales pour l’enseignement mathématique supérieur. Ce qui ne m’empêche pas d’affirmer hautement qu’il y a en tout cas deux catégories de cours en mathématiques qui doivent prendre nécessairement leur point de départ dans l’intuition. Ce sont premièrement les cours élémentaires, qui préparent le commençant aux hautes mathématiques ; car le maître doit, conformément à la nature des choses, parcourir en petit la même voie de développement que la Science a suivie en grand. Ce sont ensuite les cours (...) pour ceux qui étudient les sciences de la nature et pour les ingénieurs. [33]

Weyl propose en 1910-1911 un cours d’introduction en analyse complexe qui satisfait à ces prescriptions [34] : certains concepts mathématiques ne sont introduits qu’au cours d’une étude détaillée de fonctions particulières ; une large place est accordée à des représentations physico-géométriques, conformément au mode de présentation adopté par Klein dans son cours sur les fonctions algébriques d’une variable complexe [35]

JPEG - 47 ko
JPEG - 45.4 ko
Figures tirées de l’ouvrage de Klein sur les fonctions algébriques d’une variable complexe,
in Gesammelte mathematische Abhandlungen, Bd. III, Berlin, éd. Springer, 1923, p. 550.
Klein représente ici les lignes de courant sur un tore qu’il suppose constitué en un matériau conducteur.

Dans un chapitre de La valeur de la science consacré à l’intuition et à la logique en mathématiques, Poincaré s’appuie d’ailleurs sur l’approche kleinéenne en analyse complexe pour classer le mathématicien allemand du côté des « géomètres » qu’il oppose aux « analystes ». Il affirme ainsi :

[M. Klein] étudie une des questions les plus abstraites de la théorie des fonctions ; il s’agit de savoir si sur une surface de Riemann donnée, il existe toujours une fonction admettant des singularités données. Que fait le célèbre géomètre allemand ? Il remplace sa surface de Riemann par une surface métallique dont la conductibilité électrique varie suivant certaines lois. Il met deux de ses points en communication avec les deux pôles d’une pile. Il faudra bien, dit-il, que le courant passe, et la façon dont ce courant sera distribué sur la surface définira une fonction dont les singularités seront précisément celles qui sont prévues par l’énoncé.
Sans doute, M. Klein sait bien qu’il n’a donné là qu’un aperçu : toujours est-il qu’il n’a pas hésité à le publier ; et il croyait probablement y trouver sinon une démonstration rigoureuse, du moins je ne sais quelle certitude morale. [36]

Poincaré insiste sur le fait qu’une telle approche, fondée sur des intuitions physico-géométriques, serait rejetée comme non-rigoureuse par les « logiciens » ou les « analystes » dans la mesure où l’existence d’une telle fonction n’est pas prouvée mathématiquement. Pourtant, comme le souligne S. Patterson dans la préface au cours de Weyl en théorie des fonctions, ce dernier reconnaît les mérites et la pertinence de la démarche de Klein pour initier les étudiants à l’étude des fonctions d’une variable complexe. Weyl s’appuie d’ailleurs sur des représentations intuitives pour introduire la notion de surface de Riemann à la toute fin de ce cours élémentaire. Le concept de surface de Riemann n’est défini rigoureusement par voie axiomatique que dans le cours de niveau plus avancé que Weyl donne lors du semestre d’hiver 1911-1912 et d’où résultera sa monographie sur les surfaces de Riemann.

Weyl, élève de Hilbert et de Klein

L’œuvre mathématique du jeune Weyl reflète partiellement la complexité de l’institution même dans laquelle il se forme, à savoir l’université de Göttingen. Dans sa leçon d’habilitation il reconnaît la valeur des travaux de Zermelo visant à axiomatiser la théorie des ensembles. Du point de vue de la recherche, il se situe dans une veine hilbertienne, comme en témoignent ses travaux sur les équations intégrales. Nous avons montré en outre que Weyl s’approprie tout un pan de l’œuvre de Hilbert, qu’il s’agisse du Zahlbericht ou des Grundlagen der Geometrie. Il serait néanmoins réducteur de voir seulement en Weyl l’élève de Hilbert au cours de sa formation à Göttingen. En effet, d’un point de vue épistémologique et pédagogique, nous avons montré que l’incidence de Klein sur Weyl est tout aussi significative : Weyl reconnaît avec Klein l’importance de représentations physico-géométriques dans des cours d’introduction aux hautes mathématiques. De plus, il va dans le sens des réserves formulées par Klein à l’encontre du processus d’arithmétisation des mathématiques.

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive, les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Daniel Massart, gammella et Christophe Boilley.

Article édité par Sébastien Gauthier

Notes

[1Dans le système scolaire allemand, un “altsprachliches Gymnasium” est un collège-lycée dans lequel l’enseignement des langues anciennes – latin et grec – fait partie du cursus obligatoire des élèves.

[2H. Weyl, “David Hilbert and his mathematical work”, Bulletin of the American mathematical Society, 50, (1944), p. 614.

[3Ibid., p. 614.

[4D. Hilbert, « Die Theorie der algebraischen Zahlkörper », Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 4, 1897, p. 175–546.

[5H. Weyl, « Singuläre Integralgleichungen mit besonderer Berücksichtigung des Fourierschen Integraltheorems », Thèse de doctorat, Göttingen 1908, in Gesammelte Abhandlungen (GA), Bd. I, Berlin, éd. Springer, 1968, p. 1-87.

[6H. Weyl, « Über die Definitionen der mathematischen Grundbegriffen », Leçon d’habilitation, Mathematisch-naturwissenschaftliche Blätter, 7, 1910, GA. I, p. 298-304, « Sur les définitions des concepts mathématiques fondamentaux », in Le continu et autres écrits, traduits et annotés par J. Largeault, Paris, éd. Vrin, 1994, p. 20 à 32.

[7H. Weber, « Die allgemeinen Grundlagen der Galoisschen Gleichungstheorie » (les fondements généraux de la théorie galoisienne des équations), mathematische Annalen, 43, 1893, p. 521-549.

[8Voir l’article de Caroline Ehrhardt ici.

[9D. Hilbert, Die Grundlagen der Geometrie (1899), deuxième édition, Leipzig, éd. Teubner, 1903, p. 1.

[10Pour plus de précisions, cf. V. Peckhaus, « Pro and Contra Hilbert : Zermelo’s set theory », Philosophia Scientiae, p. 202 à 207.

[11E. Zermelo, « Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre », mathematische Annalen, 65, 1908, p. 261-281.

[12Pour une synthèse plus complète à propos de l’article de Zermelo, voir en particulier F. Longy, « Mathématiques et intuitions : Zermelo et Poincaré face à la théorie axiomatique des ensembles et à l’axiome du choix », Philosophia Scientiae, 5, 2001, p. 54 : « A l’origine de l’axiomatisation de la théorie des ensembles on trouve au moins autant la nécessité pour Zermelo de justifier son « axiome du choix » que la volonté d’éliminer des paradoxes qui grèveraient la théorie cantorienne des ensembles ».

[13H. Weyl, « Sur les définitions des concepts mathématiques fondamentaux », op. cit., p. 21.

[14D. Hilbert, « Über die Grundlagen der Geometrie », mathematische Annalen, 56, p. 234-235.

[15H. Weyl, « Sur les définitions des concepts mathématiques fondamentaux », op. cit., p. 30.

[16F. Klein, « Sur l’arithmétisation des mathématiques », (1895), Nouvelles Annales de Mathématiques, 16, troisième série, 1897, p. 126.

[17Voir à ce propos D. Rowe, “Klein, Hilbert and the Göttingen mathematical tradition”, Osiris, 2nd Series, Vol. 5, p. 188.

[18D. Katz, Psychologie und mathematischer Unterricht, in. F. Klein (éd.), Abhandlungen über den mathematischen Unterricht in Deutschland, Bd. III, H. 8, IV, Leipzig, éd. Teubner 1913. L’ouvrage de Katz est tiré d’une série de volumes consacrés à l’enseignement des mathématiques en Allemagne dont la publication débute en 1910. Pour préciser les raisons d’être de ces volumes, rappelons que la Commission internationale de l’enseignement mathématique est créée lors du congrès international des mathématiciens qui se tient à Rome en 1908. Elle est alors présidée par F. Klein. L’objectif de cette commission est de comparer la situation de l’enseignement des mathématiques dans divers Etats. L’ouvrage de D. Katz fait partie des volumes initiés par Klein pour faire l’état des lieux de l’enseignement des mathématiques spécifiquement en Allemagne.

[19Parmi les mathématiciens qui ont répondu à ce questionnaire, on peut mentionner les noms de L. Boltzmann, L.-E. Dickson, C. Meray, E. Maillet, C. A. Laisant, H. Fehr, Moritz Cantor, etc.

[20E. Maillet (ingénieur des ponts et chaussées, répétiteur à l’Ecole Polytechnique), « Les rêves et l’inspiration mathématique », in Bulletin de la Société Philomathique, neuvième série, Tome VII, premier fascicule, p. 19 à 62. L’enquête par questionnaire de Maillet s’adresse à des mathématiciens qui ont au moins dix ans d’expérience dans la pratique des mathématiques. Maillet reporte in extenso certaines des réponses qui lui ont été fournies, parfois sous couvert d’anonymat. Celles-ci sont censées nous éclairer sur la « psychologie des mathématiciens ». Dans une note de bas de page, Maillet renvoie à l’Enquête sur la méthode de travail des mathématiciens qui vient tout juste d’être initiée.

[21« L’Enquête sur la méthode de travail des mathématiciens », questionnaire publié dans L’Enseignement mathématique, 1902, p. 208 à 210.

[22H. Weyl, “Über die Definitionen der mathematischen Grundbegriffen”, op. cit., p. 303.

[23Felix Klein, Seminarprotokolle Winter 1909-1910, Psychologie und Mathematik, p. 1.

[24H. Weyl, « Erkenntnis und Besinnung » Studia Philosophica 15, 1955, GA, Bd. IV, op. cit., p. 631-649, une traduction en anglais de cette conférence se trouve dans H. Weyl, Mind and Nature, selected writings on philosophy mathematics and physics, Princeton, Princeton University Press, 2009, p. 208 et 209 pour les passages concernant l’adhésion de Weyl au positivisme d’E. Mach.

[25E. Mach, La mécanique (1883 pour la première édition) trad. de la quatrième édition (1901) par E. Bertrand, Paris, éd. Hermann, 1904, p. 466.

[26E. Husserl, Idées directrices pour une phénoménologie (1913), traduction de la troisième édition (1928) par Ricœur, Paris, éd. Gallimard, 1950, p. 79-80.

[27H. Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche [litt. L’idée de surface de Riemann], Leipzig, éd. Teubner, 1913, p. V.

[28Ibid., p. VI.

[29H. Weyl, « Über die Definitionen der mathematischen Grundbegriffen », op. cit., p. 304.

[30F. Klein, « Sur l’arithmétisation des mathématiques », op. cit., p. 128.

[31Pour plus détails, voir en particulier H. Mehrtens, Moderne Sprache Mathematik, Frankfurt am Main, éd. Suhrkamp, 1990, p. 386.

[32F. Klein, “Bericht an die Breslauer Naturforscherversammlung über den Stand des mathematischen und physikalischen Unterrichts an den höheren Schulen” [rapport sur l’état de l’enseignement des mathématiques et de la physique dans les écoles supérieures – universités, écoles d’ingénieurs, etc. – devant le congrès des chercheurs en sciences de la nature à Breslau], Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, XIV, cahier 1, p. 38.

[33F. Klein, « Sur l’arithmétisation des mathématiques », op. cit., p. 127.

[34H. Weyl, Einführung in die Funktionentheorie [Introduction à la théorie des fonctions], cours dispensé lors du semestre d’hiver 1910-1911 à Göttingen, transcrit sous la direction de R. Meyer et S. J. Patterson, Basel, éd. Birkhäuser, 2008.

[35F. Klein, Über Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale [Sur la théorie riemannienne des fonctions algébriques et leurs intégrales], Leipzig, éd. Teubner, 1882.

[36H. Poincaré, « Du rôle de l’intuition et de la logique en mathématiques », Compte-rendu du deuxième Congrès international des mathématiciens (1900), p. 116, reproduit dans La valeur de la science, (1905), Paris, éd. Flammarion, 1970, p. 28.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Christophe Eckes — «Hermann Weyl à Göttingen (1904-1913) : une triple référence à Hilbert, Klein et Zermelo» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM