Hermann Weyl

itinéraire d’un parcours scientifique et intellectuel

Piste noire Le 8 avril 2012  - Ecrit par  Christophe Eckes Voir les commentaires (2)

Le mathématicien allemand Hermann Weyl (1885-1955) est un témoin essentiel pour mesurer la complexité du développement des sciences mathématiques durant la première moitié du XXe siècle. Son nom est attaché à trois institutions : l’université de Göttingen (1904-1913, puis 1930-1933), l’ETH de Zürich (1913-1930) et l’Institute for Advanced Study à Princeton (1933-1951). En particulier, nous entendons montrer combien il est attaché au milieu intellectuel et scientifique de Göttingen depuis ses années de formation dans cette même université (1904-1908) jusqu’à son exil pour les Etats-Unis en 1933 après l’arrivée d’Hitler au pouvoir.

Les contributions de Hermann Weyl en mathématiques pures ne peuvent pas être circonscrites à une discipline en particulier, ni même à une théorie bien précise. Il existe néanmoins une constante dans son œuvre : il s’est essentiellement intéressé à des cadres théoriques qui impliquent une combinaison entre divers domaines et méthodes (équations intégrales, surfaces de Riemann, théorie analytique des nombres, géométrie différentielle, théorie des représentations des groupes finis et des groupes de Lie et même géométrie des nombres). Corrélativement, son œuvre témoigne d’un intérêt constant pour la physique mathématique. Il participe dès 1916 à la mathématisation de la relativité générale. Il cherche même à la prolonger dès 1918 en élaborant une théorie unifiée des champs gravitationnel et électromagnétique. Pas moins de cinq éditions de sa monographie consacrée aux théories relativistes et intitulée Raum, Zeit, Materie [1] [Espace, temps, matière] paraissent entre 1918 et 1923.
Au milieu des années 1920, il commence à réorienter ses recherches en mécanique quantique et il publie, en 1928, sa deuxième monographie en physique mathématique intitulée Gruppentheorie und Quantenmechanik qui, comme son nom l’indique, répertorie systématiquement les applications de la théorie des groupes en mécanique quantique [2]. Enfin, durant toute sa carrière il prend part aux différents débats qui animent mathématiciens et logiciens sur les fondements des mathématiques. Qui plus est, il entend constamment éclairer ses propres travaux en mathématiques par des réflexions philosophiques qu’il construit à partir d’une diversité de références : la philosophie critique de Kant, l’idéalisme de Fichte et la phénoménologie de Husserl [3].
Dans ce qui suit, nous allons donner quelques repères essentiels sur les parcours institutionnel, scientifique et intellectuel de Weyl, notre but n’étant pas ici d’aborder les aspects techniques de ses productions mathématiques.

I. Weyl et l’université de Göttingen.

A partir du début du XXe siècle, l’université de Göttingen est considérée à bon droit comme l’un des principaux centres de recherche en sciences mathématiques à l’échelle internationale.

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Vue de l’entrée principale de l’université de Göttingen, carte postale du début du XXe siècle.

Toute une série d’initiatives menées par Felix Klein à la fin du XIXe siècle permettent de comprendre le développement significatif que connaissent alors les mathématiques dans cette institution. Klein mène tout d’abord une politique de recrutement qui s’avèrera payante : par exemple David Hilbert intègre l’université de Göttingen en 1895, suivi de Hermann Minkowski en 1902. Ensuite, la politique institutionnelle menée par Klein conduit à une augmentation constante du nombre d’étudiants en mathématiques de 1892 à 1914. Corrélativement, entre 1890 et 1914, l’université de Göttingen ne compte pas moins de 18 Privatdozenten en mathématiques – dont Weyl de 1910 à 1913 [4]. Klein est également à l’initiative pour multiplier les instituts de recherche en mathématiques appliquées et en physique, son but étant d’œuvrer au rapprochement entre les sciences mathématiques et physiques. Ainsi, lorsque Weyl intègre l’université de Göttingen en tant qu’étudiant en 1904, celle-ci se caractérise par son attractivité et son profond dynamisme en termes de recherche et d’enseignement en mathématiques, mais aussi en physique. Enfin, Klein est avec Heinrich Weber et Wilhelm Franz Meyer l’initiateur d’un vaste programme d’Encyclopédie des sciences mathématiques qui, dès la fin du XIXe siècle, renforce le rayonnement international de Göttingen. Ce projet sera poursuivi jusqu’au début des années 1930, soit bien après la mort de Klein.

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Felix Klein (1849-1925).

Les travaux que Weyl mène et les articles qu’il publie entre 1908 et 1913 témoignent d’un attachement aussi complexe que profond à l’institution dans laquelle il s’est formé. Cinq noms doivent ici être mentionnés : Hilbert et Klein, mais aussi Minkowski, Paul Koebe et Ernst Zermelo. Weyl effectue son doctorat (1908) et sa thèse d’habilitation (1910) sous la direction de Hilbert [5]. Weyl se consacre à la théorie des équations intégrales qui constitue alors le principal domaine de recherche développé par Hilbert. On peut aller jusqu’à dire qu’une école se constitue autour de Hilbert sur les équations intégrales. En effet, tout un ensemble de doctorants et de jeunes docteurs travaillent sous sa direction dans ce domaine. Nous pouvons notamment citer les noms d’E. Schmidt, Hellinger, Toeplitz et bien sûr Weyl.

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David Hilbert (1862-1943) en 1912, soit un an avant le départ de Weyl pour l’ETH de Zürich

En outre, dans sa leçon d’habilitation qui est consacrée aux définitions des concepts mathématiques (1910) [6], Weyl se réfère aux premières pages des Grundlagen der Geometrie de Hilbert (1899) et il est convaincu par les travaux de Zermelo sur les fondements des mathématiques. Ce dernier formule en 1908 un système d’axiomes suffisamment contraignant pour écarter les paradoxes qui touchaient alors la théorie des ensembles. Ajoutons qu’en 1913, Weyl publie une monographie sur les surfaces de Riemann intitulée Die Idee der Riemannschen Fläche qui résulte d’un cours de niveau avancé donné lors du semestre d’hiver 1911-1912 [7]. Dans cet ouvrage, il redémontre le théorème d’uniformisation [8] qui est prouvé de manière indépendante en 1907 par Poincaré et Koebe, ce dernier étant Privatdozent à l’université de Göttingen de 1907 à 1910. Die Idee der Riemannschen Fläche est dédié à Klein qui, par ses réflexions en épistémologie et dans l’enseignement des mathématiques, exerce par ailleurs une influence significative sur le jeune Weyl. Enfin, après la mort de Minkowski en 1909, Weyl et Speiser ont en charge l’édition de ses œuvres complètes sous la direction de Hilbert. Elles paraissent en 1911. En particulier, Weyl connaît les résultats de Minkowski sur les fondements géométriques de la relativité restreinte qui jouissent d’une grande notoriété dès 1909.

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Hermann Minkowski (1864-1909)

Certes, les travaux de Hilbert tiennent une place considérable dans l’œuvre de jeunesse de Weyl. Mais, dans le curriculum vitae qu’il rédige en vue de son recrutement à l’ETH de Zürich en 1913, il insiste également sur la figure de Minkowski. Weyl se fera d’ailleurs largement l’écho des travaux que Minkowski a pu consacrer à la mathématisation de la relativité restreinte en 1907 et en 1908 dans Raum, Zeit, Materie. Il est donc simplificateur de penser que Weyl se situe exclusivement dans le prolongement de Hilbert lorsqu’il publie ses premières recherches en 1908-1910. Réciproquement, l’œuvre de jeunesse de Weyl reflète la complexité et la diversité des mathématiques qui sont pratiquées à Göttingen au début du XXe siècle : fondements de la géométrie, géométrie des nombres, équations intégrales, surfaces de Riemann et théorème d’uniformisation, géométrisation de la relativité restreinte, théorie des ensembles, etc. Ajoutons enfin que Weyl restera très attaché à l’université de Göttingen jusqu’à son exil aux Etats-Unis en 1933. En effet, alors même qu’il est à l’ETH de Zürich de 1913 à 1930, il conserve des liens étroits avec l’école de physique mathématique de Göttingen, en particulier au moment où il s’investit dans la formalisation de la relativité générale – essentiellement entre 1917 et 1923. Cet argument est valable à plus long terme puisqu’il initie en 1925 une correspondance avec les physiciens théoriciens Born et Jordan qui travaillent alors à Göttingen sur les fondements de la mécanique quantique. Enfin, Weyl sera recruté en 1930 à l’université de Göttingen après le départ à la retraite de Hilbert et il y restera jusqu’en 1933.

II. Weyl à l’ETH de Zürich : physique mathématique et mathématiques pures

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L’ETH de Zürich (bâtiment de gauche) et l’université de Zürich (bâtiment de droite) Carte postale de 1914.

La trajectoire scientifique de Weyl à l’ETH de Zürich peut schématiquement être divisée en quatre périodes.

(1) Entre 1913 et 1916, Weyl effectue des recherches en théorie des surfaces topologiques et des surfaces de Riemann, mais aussi en théorie analytique des nombres dans le strict prolongement des travaux qu’il avait menés à l’université de Göttingen. Mais la tragédie de la Première Guerre mondiale à laquelle il participe entre le printemps 1915 et le printemps 1916 marque un tournant dans sa carrière scientifique et intellectuelle. Il rompt définitivement avec toute forme de positivisme et il se réoriente en théorie des relativités restreinte et générale. Ce changement d’orientation n’est pas sans lien avec ses années de formation à Göttingen puisqu’il connaît très bien l’œuvre de Minkowski. De plus, l’un de ses collègues à l’ETH de Zürich n’est autre que Grossmann qui, dès 1912-1913, participe à la mathématisation de la relativité générale avec Einstein.

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Marcel Grossmann (1878-1936)

(2) Ainsi, à partir de 1916, Weyl prend connaissance de l’article fondateur d’Einstein intitulé “die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie”  [9] [le fondement de la théorie de la relativité générale]. Il propose l’année suivante un cours en géométrie différentielle et en relativité générale d’où dérive sa célèbre monographie en relativité restreinte et en relativité générale intitulée Raum, Zeit, Materie. Elle est structurée pour s’adresser aussi bien à un public de physiciens que de mathématiciens et elle fait l’objet de cinq éditions entre 1918 et 1923. Dans ses recherches, Weyl ne s’en tient pas à la théorie einsteinienne de la gravitation. Dès 1918, il ambitionne de construire une théorie unifiée des champs gravitationnel et électromagnétique qu’il présente de manière systématique dans deux articles avant de l’intégrer à la troisième édition de Raum, Zeit, Materie. Ce grand projet se heurte presque immédiatement aux critiques scientifiques et épistémologiques d’Einstein, Reichenbach, Pauli, Hilbert, etc. qui s’avèreront justifiées. En effet, la théorie de Weyl est mathématiquement concevable, mais elle se heurte au tribunal de l’expérience. Weyl le reconnaît progressivement au cours de l’année 1921. Cet échec explique pourquoi ses recherches se déplacent peu à peu du côté des mathématiques pures. Ajoutons que, à partir de 1918, Weyl s’engage dans la polémique qui oppose Brouwer et Hilbert sur les fondements des mathématiques. Brouwer estime que Hilbert est un formaliste au sens où ce dernier manipulerait des symboles dépourvus de signification, sans indiquer de procédures pour construire effectivement les objets mathématiques auxquels il renvoie. Brouwer se réclame de l’intuitionnisme, ce qui signifie non pas seulement qu’il fait dépendre les connaissances mathématiques d’une intuition, mais aussi qu’il impose des contraintes drastiques aux raisonnements menés par les mathématiciens. Par exemple, la non-contradiction n’est pas suffisante pour garantir l’existence d’un objet mathématique, il faut en plus indiquer des procédures pour le construire effectivement.

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Lutzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966)

De plus, Brouwer initie le projet d’une logique qui, dans le cas des ensembles infinis, ne ferait plus intervenir le principe du tiers-exclu, ce dernier signifiant que, de deux propositions contradictoires p et non-p, on a soit p, soit non-p, toute autre possibilité est exclue. Comme le précise Largeault

D’un point de vue intuitionniste, la négation d’un énoncé d’existence ou d’un énoncé universel sur des objets en nombre infini n’est pas nécessairement déterminée, en sorte que le principe du tiers-exclu ne peut pas être tenu pour valide [10].

Weyl rejoint les positions intuitionnistes de Brouwer en 1919, avant d’établir une sorte de voie moyenne entre intuitionnisme et formalisme dès l’année 1924.

(3) À partir de cette même date, Weyl focalise l’essentiel de ses travaux en théorie des groupes de Lie et de leurs représentations. Cette nouvelle orientation provient notamment de sa lecture minutieuse de la thèse d’E. Cartan (1894) [11] avec lequel il multiplie les échanges intellectuels après la traduction en français de la quatrième édition de Raum, Zeit, Materie (1922).

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Elie Cartan (1869-1951)

Parallèlement, il entretient une correspondance fructueuse avec I. Schur qui lui montre l’importance des méthodes de Hurwitz pour élaborer une théorie des représentations de certains groupes de Lie. Les recherches de Weyl seront couronnées par son imposant article en quatre parties sur les représentations des groupes de Lie dont le résultat le plus significatif est le théorème de complète réductibilité pour les groupes de Lie semi-simples complexes [12].

(4) Il convient de préciser qu’en parallèle, Weyl côtoie Schrödinger qui exerce à l’université de Zürich de 1921 à 1927. Comme nous l’avons mentionné, Weyl entretient une correspondance avec Born et Jordan durant l’année 1925. Il échange également quelques lettres avec Heisenberg qui travaille à Göttingen auprès de Born, puis à Copenhague avec Bohr, avant d’intégrer l’université de Leipzig en 1927. Enfin, il a une correspondance très suivie avec von Neumann de 1925 à 1931. Ce dernier est Privatdozent à Berlin et à Hambourg de 1926 à 1929, avant de multiplier les séjours à l’université de Princeton jusqu’à son recrutement à l’Institute for Advanced Study en 1933. Tous ces liens vont permettre à Weyl d’assimiler différents points de vue sur les fondements de la mécanique quantique. En outre, Schrödinger et Debye, qui sont alors les deux spécialistes en mécanique quantique à Zürich, partent respectivement à Berlin et à Leipzig en 1927. Weyl décide alors de modifier le contenu de son cours en théorie des groupes à l’ETH de Zürich au cours de l’année 1927-1928. Initialement prévu pour aborder les aspects purement mathématiques de cette théorie, le cours de Weyl décrit également une série d’applications qu’elle admet en mécanique quantique. Heisenberg, Wigner et von Neumann mènent un projet similaire de manière relativement indépendante au cours de cette période.

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Eugène Wigner (1902-1995) et J. von Neumann (1903-1957) participent à la clarification des fondements mathématiques et physiques de la mécanique quantique dès les années 1926-1927. À l’instar de Weyl et de Van der Waerden, ils mettent en avant l’importance de la théorie des groupes en mécanique quantique.

La première édition de Gruppentheorie und Quantenmechanik dérive directement du cours de Weyl. Relue par von Neumann, elle est publiée en septembre 1928. Elle témoigne donc d’une nouvelle incursion de Weyl en physique mathématique qui se prolongera jusqu’au début des années 1930. Dans cet ouvrage, Weyl se réfère constamment à des données empiriques de manière à ne pas réitérer l’erreur qu’il avait commise entre 1918 et 1921 : construire une théorie mathématiquement séduisante, mais physiquement ineffective. A l’instar de Raum, Zeit, Materie, la monographie de Weyl sur la mécanique quantique s’adresse à des mathématiciens et à des physiciens. Néanmoins, plusieurs physiciens témoigneront de leur scepticisme (notamment Schrödinger) voire d’une certaine forme d’hostilité (par exemple Born) à l’encontre des méthodes de théorie des groupes en mécanique quantique. D’une manière générale, il s’avère que la théorie des groupes est alors peu et mal connue des physiciens qui la considèrent comme un artifice dont ils pourraient faire l’économie pour formaliser la mécanique quantique.

III. L’université de Princeton, l’institut des mathématiques de Göttingen et l’IAS

Dans une lettre du 25 janvier 1928, le mathématicien américain Oswald Veblen (1880-1960) propose à Weyl d’être professeur invité à l’université de Princeton sur une chaire de physique mathématique durant l’année universitaire 1928-1929 [13]. Au cours de cette lettre, Veblen fait allusion aux importantes contributions de Weyl en géométrie différentielle, en relativité générale et en théorie unifiée des champs. Veblen fait alors partie, avec Eisenhart et Thomas, de l’Ecole de Princeton en géométrie différentielle [14]. La création de cette chaire dérive d’une volonté de rapprochement entre les départements de physique et de mathématiques à l’université de Princeton. Veblen précise également qu’à l’issue de ce séjour, le poste proposé pourra devenir permanent si Weyl le souhaite. L’invitation officielle signée par Veblen et Karl Taylor Compton est envoyée quelques jours plus tard et elle nous donne des renseignements supplémentaires sur leurs motivations : ils souhaitent développer une école de physique mathématique à Princeton sur le modèle de Göttingen dont il souligne l’exemplarité. Weyl accepte cette offre de séjour et il se conforme à son statut de professeur invité en physique mathématique : durant le semestre d’hiver, il propose un enseignement sur les fondements de la mécanique quantique et il insiste sur la nécessité de la traduire en termes de théorie des groupes ; le cours qu’il dispense pendant le semestre de printemps relève des mathématiques pures et il a pour objet la théorie des groupes au sens large. A l’issue de cette année universitaire, Weyl refuse finalement l’offre de poste permanent que Veblen lui avait suggéré dans ses premières lettres d’invitation et il retourne provisoirement à l’ETH de Zürich. Ce refus traduit en réalité l’attachement de Weyl pour l’université de Göttingen qu’il intègre en remplacement de Hilbert en 1930.
Rappelons que le bâtiment de l’Institut des mathématiques de Göttingen [mathematisches Institut], construit avec le soutien financier de la fondation Rockfeller, est inauguré le 2 décembre 1929. Courant en sera le président jusqu’à son exil en 1933.

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L’institut des mathématiques de Göttingen, le 2 décembre 1929, date de son inauguration

À l’occasion de l’inauguration de l’Institut, Weyl prononce un discours en hommage à F. Klein devant la société des mathématiques de Göttingen [15]. Il revient alors moins sur le rôle institutionnel que Klein a pu jouer dans le développement des sciences mathématiques à Göttingen que sur sa personnalité de mathématicien. Aux yeux de Weyl, l’une des caractéristiques essentielles de l’œuvre de Klein consiste à unifier de proche en proche des domaines très différents des mathématiques pour résoudre un même problème. Le discours de Weyl montre qu’il se considère comme l’un des héritiers de Klein : loin de privilégier une discipline en mathématiques – en particulier l’algèbre abstraite – il entend davantage produire des mathématiques nouvelles en combinant des méthodes qui relèvent de champs théoriques différents conformément à une tradition « kleinéenne ».
Peu après sa nomination en tant que professeur à Göttingen, Weyl déclenche justement une polémique à l’encontre de ceux qu’il appelle les « algébristes », comme en atteste la conférence qu’il tient sur la topologie et l’algèbre en octobre 1931 devant la société suisse des enseignants de lycées [16]. Il vise notamment E. Noether qui est alors sa collègue à l’université de Göttingen. Weyl estime non sans pessimisme que les développements de l’algèbre abstraite conduisent à un tel niveau de généralité que l’on finit par perdre de vue tout contenu mathématique. Il emprunte même à Polya l’expression de « généralisation par dilution » pour critiquer avec véhémence certains tenants de l’algèbre abstraite dont E. Noether. Les témoignages d’Alexandroff et de Weyl lui-même indiquent qu’elle jugera la position de Weyl biaisée et excessive. Notre objectif n’est pas ici de donner tort ou raison à Weyl, mais de montrer que cette polémique traduit un sentiment de relatif isolement au moment où il exerce à Göttingen [17].

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Emmy Noether (1882-1935)

Attaché à une tradition kleinéenne en mathématiques, comme en atteste le discours qu’il prononce en hommage à Klein en décembre 1929, il refuse de considérer l’algèbre abstraite comme une discipline modèle dont les méthodes pourraient s’étendre de proche en proche à tous les autres domaines des mathématiques. Il convient cependant de relativiser la polémique déclenchée par Weyl en 1931 au regard de ses productions mêmes. En effet, le chapitre qu’il consacre à la théorie des groupes dans sa monographie sur la mécanique quantique est un exposé d’algèbre abstraite et il ne diffère guère, dans son style, de la Moderne Algebra de Van der Waerden (1930-1931). Il est donc nécessaire de mesurer l’écart entre les discours de Weyl sur les mathématiques et sa pratique des mathématiques qui montre qu’il reconnaît bel et bien une effectivité à l’algèbre abstraite ne serait-ce que pour formaliser la mécanique quantique.
L’arrivée des nazis au pouvoir en mars 1933 a des conséquences particulièrement dramatiques sur l’Institut des mathématiques de Göttingen. Comme le rappelle N. Schappacher

Le démantèlement par les nazis de l’institut de mathématiques de Göttingen en moins de huit mois, entre avril et novembre 1933, doit retenir l’attention à plus d’un titre : à cause de l’importance exceptionnelle de l’institut en tant que centre mathématique, mais aussi en raison de la rapidité et de la radicalité de cette destruction. Nulle part ailleurs un institut de taille comparable ne fut anéanti par les nazis dès 1933 [18].

La loi allemande sur la restauration de la fonction publique, qui est la première loi mise en place par les nazis contre les juifs, est promulguée le 7 avril 1933 et elle entraîne la destitution des fonctionnaires de confession juive ou politiquement hostiles à l’idéologie national-socialiste. Initialement, cette loi ne s’applique pas au personnel qui a intégré la fonction publique avant la Première Guerre mondiale ou qui a servi pendant la Première Guerre mondiale [19]. Dans les faits, les professeurs titulaires [20] Courant [21], Bernstein, E. Landau [22], qui ne sont pas concernés en théorie par cette loi, sont finalement contraints à la démission et à l’exil au même titre qu’E. Noether qui est pourtant non-titulaire [23]. Courant désigne Neugebauer [24] pour lui succéder. Mais ce dernier refuse de prêter serment devant les nazis et il quitte également l’Allemagne. En octobre 1933, Weyl qui est alors à l’ETH de Zürich refuse à son tour de retourner en Allemagne. En particulier, la loi du 30 juin 1933 « modifiant la réglementation en vigueur sur les fonctionnaires » interdit l’accès à la fonction publique à tous ceux dont le conjoint est « non-aryen » et elle sera durcie par une loi de 1937 exigeant la « révocation des fonctionnaires déjà en place ayant un époux non aryen » [25]. Il accepte la proposition de poste à l’Institute for Advanced Study (Princeton) parce que sa femme est de confession juive et dans la mesure où il craint d’être retenu à Göttingen par le régime nazi. Il officialise cette décision dans une lettre du 9 octobre au ministère des Sciences, de l’Art et de la Culture populaire dont nous reproduisons un extrait [26] :

Je vous prie de bien vouloir me démettre de ma fonction de professeur titulaire de mathématiques à Göttingen ainsi que de toutes les fonctions qui s’y rattachent, pour la fin de l’année. Je suis prêt à renoncer à tous mes droits, honoraires et retraite, à dater de ce moment-là, dès l’instant que ma démission aura été acceptée et que plus rien ne s’opposera au départ de ma famille et de mes biens vers l’Amérique [27].

Sur les cinq professeurs titulaires à l’Institut des mathématiques de Göttingen, il ne reste plus que G. Herglotz à la fin de l’année 1933. Comme le précise J. Olff-Nathan, lorsqu’en 1934

B. Rust, le nouveau ministre de la Science, de l’Education et de la Culture populaire du Reich, demanda au mathématicien David Hilbert si son institut de Göttingen avait vraiment souffert du départ des Juifs et des Judenfreunde (amis des Juifs), celui-ci lui répondit : « Souffert ? Mais il n’a pas souffert, monsieur le ministre ! Il n’existe plus ! » [28]

Le témoignage de Hilbert montre ainsi à quel point la destruction de l’Institut des mathématiques de Göttingen a été brutale et rapide.

L’Institute for Advanced Study est fondé en 1930 par A. Flexner qui le dirige jusqu’en 1939. L’IAS est d’abord hébergé dans les locaux du département de mathématiques de l’université de Princeton (Fine Hall), avant que ne soit édifié en 1939 un bâtiment propre à l’Institute connu sous le nom de Fuld Hall.

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Institute for Advanced Study (Fund Hall) au début des années 1950

Flexner annonce la création de la première école de l’IAS, à savoir l’école de mathématiques à l’automne 1932 dont le premier membre est Veblen. Einstein, von Neumann, Weyl et Gödel intègrent l’IAS dans le courant de l’année 1933. Weyl y reste jusqu’à sa retraite en 1951.
Au cours de cette période, ses travaux de recherches et ses cours demeurent très diversifiés : théorie des représentations des groupes topologiques et des groupes de Lie (1934-1935), théorie des invariants (1935-1937) d’où résultera sa fameuse monographie intitulée Classical groups (1939), théorie algébrique des nombres et géométrie des nombres (1938-1942) auxquels on peut ajouter des cours sur les équations intégrales, en hydrodynamique, en théorie des fonctions. Les enseignements qu’il donne en théorie des groupes en 1946-1949 servent de support à la grande série de conférences qu’il prononce sur les symétries en 1951 avant son départ à la retraite. Il montre alors le caractère transversal des symétries et de la théorie des groupes, en s’appuyant tour à tour sur l’art ornemental, la cristallographie, la théorie de Galois, etc.. Il fait également allusion aux théories physiques qu’il a investies au cours de sa carrière scientifique : relativité restreinte, relativité générale et mécanique quantique. Le thème des symétries lui permet ainsi d’expliciter l’unité de son œuvre mathématique et physique bien qu’il ait investi des domaines a priori très hétérogènes des sciences exactes.

Mathématiques et philosophie

L’un des derniers écrits qu’il nous ait légué s’intitule « comparaison entre procédures axiomatiques et procédures constructives en mathématiques ». Rédigé après 1953 et publié pour la première fois en 1985 [29], ce texte retrace les héritages hilbertien et kleinéen de Weyl lors de ses années de formation à Göttingen, ses réserves à l’égard de la méthode axiomatique qui doit nécessairement être complétée par des processus permettant de construire effectivement des objets mathématiques au lieu de se contenter de manipuler des symboles vides de sens. Mais surtout, Weyl insiste sur la complémentarité entre activité scientifique et réflexion philosophique, ce qui vaut comme testament de son parcours intellectuel.

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Une science sans philosophie serait aveugle ; une philosophie sans les sciences serait stérile :

On peut, me semble-t-il, distinguer deux sphères dans la vie intellectuelle des hommes. L’une, celle de l’action, de la production de formes, de la construction ou de la création, est la sphère de l’artiste, du savant, du technicien, de l’homme d’Etat. L’autre, celle de la réflexion où l’on s’interroge sur le sens de toute activité, peut être considérée comme l’apanage du philosophe. L’activité créative non contrôlée par la réflexion risque de se détacher de toute signification, de perdre contact et perspective, de dégénérer en routine, tandis que le danger de la réflexion est de devenir un irresponsable « parler sur », paralysant la puissance créatrice. [30]

Cet argument résume et éclaire la profonde interdépendance entre mathématiques et philosophie dans l’œuvre même de Weyl. Quelques lignes plus loin, il ajoute cette phrase quelque peu énigmatique que l’on retrouve dans d’autres écrits publiés peu avant sa mort :

Kierkegaard avait fait remarquer que la religion porte sur ce qui concerne inconditionnellement l’homme. Inversement (mais avec une égale exagération) on pourrait soutenir que les mathématiques s’occupent de choses qui ne concernent pas du tout l’homme. Elles ont la qualité inhumaine de la lumière stellaire, brillante, aiguë, mais froide. Il semble que par une ironie de la création l’homme sache s’y prendre avec les choses d’autant mieux qu’elles sont plus éloignées du centre de son existence. [31]

Weyl ne dit pas ici que les mathématiques sont « inutiles » à l’homme. Il est bien conscient que son argument est hyperbolique et qu’il ne doit donc pas être interprété de manière littérale. L’image de la « lumière stellaire » montre le caractère fascinant qu’il prête aux mathématiques. Dans le même temps, son argument exprime une certaine distance : il juge qu’elles ne se suffisent pas à elles-mêmes et il justifie de la sorte l’une des caractéristiques constantes de son écriture : corréler systématiquement mathématiques et philosophie par crainte de s’égarer dans des entités abstraites aussi séduisantes que désincarnées. Weyl ne se réfère pas arbitrairement au philosophe danois Kierkegaard : il montre son attachement à une philosophie de l’existence qu’il refuse de séparer de son activité de mathématicien, quand bien même ces deux pôles semblent diamétralement opposés.

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive Adriano Marmora et
Thierry Barbot.

Notes

[1H. Weyl, Raum, Zeit, Materie, Berlin, éd. Springer 1918 (1ère et 2ème éditions), 1919 (3ème édition), 1921 (4ème édition) et 1923 (5ème édition), Temps, espace, matière, traduction par Juvet et Leroy de la quatrième édition, Paris, éd. Blanchard,1922.

[2H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik, Leipzig, Hirzel 1928 (1ère édition), 1931 (2ème édition).

[3En 1913, Weyl épouse Helene Joseph qui a été élève de Husserl à Göttingen. Elle lui permettra de mieux connaître la phénoménologie de Husserl.

[4Pour plus de détails sur ces données, voir D. Rowe, “Klein, Hilbert and the Göttingen mathematical tradition”, Osiris, 2nd Series, Vol. 5, 1989, p. 202.

[5H. Weyl, “Singuläre Integralgleichungen mit besonderer Berücksichtigung des Fourierschen Integraltheorems”, Thèse de doctorat, Göttingen 1908, in Gesammelte Abhandlungen (GA) Bd. I, Berlin, éd. Springer, 1968, p. 1-87. Plusieurs articles publiés en 1910 seront tirés de sa thèse d’habilitation.

[6H. Weyl, “Über die Definitionen der mathematischen Grundbegriffen”, Leçon d’Habilitation, Mathematisch-naturwissenschaftliche Blätter 7, 1910, GA. I, p. 298-304.

[7H. Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche, Leipzig, éd. Teubner, 1913.

[8Le théorème d’uniformisation de Poincaré-Koebe s’énonce comme suit : toute surface de Riemann simplement connexe est conformément équivalente soit au plan complexe, soit au disque unité ouvert, soit à la sphère de Riemann. Pour plus de détails sur ce théorème, cf. l’ouvrage collectif sous le pseudonyme Henri Paul de Saint-Gervais, Uniformisation des surfaces de Riemann, retour sur un théorème centenaire, Lyon, ENS éditions, 2010.

[9A. Einstein, “Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie”, Annalen der Physik, 49, 1916, p. 769-822.

[10J. Largeault, note d’introduction à l’article de Weyl de 1929 intitulé « Consistency in Mathematics », in H. Weyl, Le continu et autres écrits, notes introductives et traduction par J. Largeault, Paris, éd. Vrin, 1994, p. 162.

[11E. Cartan, Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, thèse de doctorat (1894), in œuvres complètes, I, Paris, éd. du CNRS, 1984, p. 137 à 287.

[12H. Weyl, “Theorie der Darstellung kontinuierlicher halbeinfacher Gruppen durch lineare Transformationen” [Théorie de la représentation des groupes semi-simples continus par des transformations linéaires] I, Mathematische Zeitschrift, 23, p. 271-309, II Mathematische Zeitschrift, 24, p. 328-376, III Mathematische Zeitschrift, 24, p. 377-395. Le contenu de cet article est bien trop technique pour que nous l’abordions ici. Nous renvoyons le lecteur à notre travail de thèse qui s’est construite à partir d’une traduction inédite de cet article.

[13Les lettres de Veblen à Weyl sont reproduites dans G. Frei et U. Stammbach, Hermann Weyl und die Mathematik an der ETH Zürich 1913-1930, Basel, Boston, Berlin, Birkhäuser, p. 101 à 103.

[14Pour plus de détails, voir J. Ritter, “Geometry as physics, Oswald Veblen and the Princeton School”, in K.-H. Schlote, M. Schneider (sous la dir. de), Mathematics meets Physics, A contribution to their interaction in the 19th and the first half of the 20th century, Frankfurt am Main, éd. Harri Deutsch, p. 145 à 179.

[15H. Weyl, “Felix Kleins Stellung in der mathematischen Gegenwart”, Die Naturwissenschaften, 18 (1930), p. 4–11, GA III, p. 292–299.

[16H. Weyl, “Topologie und abstrakte Algebra als zwei Wege des mathematischen Verständnisses”, Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, 38, p. 177-188, “Topology and abstract algebra as two roads of mathematical comprehension” I, The American mathematical monthly, 102 (1995), no. 5, p. 453–460, “Topology and abstract algebra as two roads of mathematical comprehension” II, The American mathematical monthly, 102 (1995), no. 7, p. 646–651. La version en allemand est reproduite dans GA III, p. 348–358.

[17Cet isolement est documenté par N. Schappacher dans “Questions politiques dans la vie des mathématiques en Allemagne (1918-1935)”, in J. Olff-Nathan (sous la dir. de), La science sous le troisième Reich, Paris, éd. du Seuil, 1993, p. 86.

[18Ibid., p. 56.

[19Ibid., p. 54 : “En vertu de l’article raciste n°3, tous les fonctionnaires non aryens devaient être révoqués – à moins qu’ils ne soient concernés par les mesures d’exception du texte de loi, à la demande de l’Association des anciens combattants juifs. Ces mesures épargnaient les « non-aryens » qui étaient déjà fonctionnaires avant le mois d’août 1914 (…) et les anciens combattants de la Première Guerre mondiale”.

[20Le titre de professeur titulaire ou ordentlicher Professor signifie que Landau, Bernstein et Courant ont le statut de fonctionnaires à l’université de Göttingen, ce qui n’est pas le cas d’E. Noether qui est seulement auβerordentlicher Professor.

[21Courant est un ancien combattant de la Première Guerre mondiale.

[22Bernstein et E. Landau sont fonctionnaires avant 1914.

[23Ibid., p. 57.

[24Voir Otto Neugebauer (1899 – 1990) de Christine Proust

[25Ibid., p. 86.

[26Cette lettre est entièrement reproduite par N. Schappacher, op. cit., p. 79 et suiv.

[27Ibid., p. 79.

[28J. Olff-Nathan, introduction à La science sous le troisième Reich, op. cit., p. 8.

[29H. Weyl, “Axiomatic versus constructive procedures in Mathematics”, édité par T. Tonietti, The Mathematical Intelliger, 7, n°4, 1985, p. 12 -17 et 38, trad. J. Largeault in H. Weyl, Le continu et autres écrits, op. cit., p. 265-279.

[30Ibid., p. 267.

[31Ibid., p. 267.

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Pour citer cet article :

Christophe Eckes — «Hermann Weyl » — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Commentaire sur l'article

  • Hermann Weyl

    le 8 avril 2012 à 17:59, par kamel derouiche

    Merci pour l’article cela nous a fait vivre la nostalgie de la sphère savants durant le début du siècle dernier. Bien qu’il manquait quelque formule.

    Répondre à ce message
  • Hermann Weyl

    le 21 décembre 2014 à 19:32, par Desbois Dominique

    Permettez-moi de vous signaler une erreur typographique décelée à la lecture de votre article, dans la légende de la photographie de ce bâtiment de l’Institute for Advanced Study à Princeton : il s’agit bien du Fuld Hall comme le précise votre texte et non du « Fund Hall » ainsi que l’indique de façon erronée la légende.

    Ce bâtiment porte le nom du second mari de Caroline Bamberger qui, avec son frère Louis, financèrent la création de l’IAS à l’instigation du pédagogue Abraham Flexner, auteur de rapports critiques ayant conduit à la réforme des études médicales en Amérique du Nord.

    Répondre à ce message

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