Hermosos entrelazados

Asombre a sus amigos góticos

Piste verte Le 12 février 2009  - Ecrit par  Christian Mercat
Le 30 mai 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Des beaux entrelacs Voir les commentaires
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Ya sea en los márgenes de las biblias iluminadas irlandesas, en los azulejos de La Alhambra o (menos anticuado para los de 15 o 20 años) en los tatuajes ’’tribales’’, los hilos mezclados de los entrelazados fascinan. ¡Domínelos !

Introducción sociológica : ¿las matemáticas como magia ?

Cuando se trata de explicar a los adolescentes qué son las matemáticas, uno siempre está confrontado con la dificultad de identificar un tema que :

  • sea tan simple como para que lo comprendan,
  • sea tan sofisticado como para que les interese.

La mayoría del tiempo uno se va por las ramas y :

  • les explica cómo resolver un problema de manera un poco rebuscada, mientras que en la vida corriente ellos encuentran una solución aproximada satisfactoria, por lo tanto están medianamente interesados en nuestras explicaciones ; todo resulta como el truco de un prestidigitador de feria a quien se le ven los hilos que mueve ;
  • la pregunta les interesa, es un problema que no saben resolver y cuya solución es deseable, pero la técnica está fuera de alcance, y queda como algo totalmente mágico para ellos, con su montón de encantamientos, de fórmulas incomprensibles y la invocación de potentes hechizos.
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Cruz celta
GPL Andreas F. Borchert wikimedia

La topología y la teoría de nudos de base permiten una exposición ’’al alcance de la mano’’ de este proceso de matemático como mago, que hace posible cosas antes imposibles y las explica. Hay juego y un poco de orgullo al comprender y reproducir el ’’truco’’ del prestidigitador.

La fascinación por los entrelazados es inmediata cuando se los ve. Se necesita un ojo adiestrado para captar las sutilezas de los motivos. Es lo que la mayoría de los jóvenes busca en esas camisetas, tatuajes y joyas : eso da el aire tenebroso de un iniciado.

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Mosaico de la Ca d’Oro, Venecia
© Colección privada

Cuando uno dice que domina el arte de su creación, lo miran como a un sacerdote en el púlpito. Pero cuando uno agrega que las matemáticas elementales permiten explicar esta técnica, a muchos les da miedo. Este miedo tiene que ver con el miedo al cura que le promete el infierno de la repitencia si usted no recita solemnemente su tabla de multiplicación. Hay que lograr convencerles de que las matemáticas no son magia negra y que ellos también pueden aprender, ganar el aura ante sus amigos y simplemente disfrutar. De hecho, después de haber sido iniciados, ellos entreven el aspecto explicativo y eficiente de las matemáticas, que hacen más simple cualquier cosa aparentemente compleja.

El libro de Kells es una biblia irlandesa iluminada del siglo VIII.

Entrelazados y grafos

El truco de magia para diseñar hermosos entrelazados es reemplazar esta estructura complicada de hilos por arriba y abajo por una mucho más simple, un grafo. Un grafo es simplemente puntos (que uno llama vértices) unidos por trazos (que uno llama aristas). Los grafos son fáciles de reproducir, deformar e inventar. Cada grafo ’’codifica’’ un entrelazado. En términos científicos, hay una biyección entre las proyecciones regulares de entrelazados y los grafos planares de aristas marcadas con un signo. Cuál es y cómo usarla es la pregunta que vamos a explicar.

La idea para pasar de un grafo a un entrelazado consiste en colocar un cruce en medio de cada arista, unir los hilos unos con otros con ayuda de un algoritmo de tipo laberinto, decidir cuál pasa encima con ayuda de una guía y finalmente adornar todo.

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Friso
Todo el método sobre una imagen : del grafo a los cruces, los caminos, los puentes y los espesados.
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Trébol
El triángulo está asociado al nudo de trébol.

Por ejemplo, el grafo sencillo compuesto por tres vértices ordenados en un triángulo está asociado al nudo de trébol, el nudo más simple de entre los que están efectivamente anudados (¡saber si un nudo está verdaderamente anudado no es fácil !).

Un cruce por arista

Considere un grafo simple, de 5 a 10 vértices, cuyas aristas son de tamaños semejantes ; por ejemplo, un cuadrado con dos triángulos sobre cada lado.

Coloque luego un cruce justo en medio de cada arista, de buen tamaño y de modo que cada hilo haga un ángulo de 45º en relación con la arista. Hay muchas maneras de no hacer bien esta parte del trabajo : un cruce demasiado pequeño, descentrado, mal orientado, o con hilos que no se cruzan. Por el contrario, hay solo una manera de hacerlo bien : justo en el medio, de buen tamaño y correctamente orientado.

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Sobre cada arista un cruce, y cada cruce al medio de una arista

El hilo de Ariana

Luego, se trata de unir esos hilos unos con otros. La técnica es simple : imagine que su grafo es un laberinto cuyas aristas son muros que uno no puede atravesar, salvo por el medio, ahí donde hay un cruce en el centro. Considere ahora un hilo libre. Si su cruce está correctamente orientado, entonces apunta en una dirección bien definida. Siga el muro en esa dirección, tocándolo con una mano y sosteniendo su hilo con la otra.

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El laberinto 1
Un hilo libre apunta enuna dirección : ¡sígalo !

Siga el muro, gire en la esquina, y siga el nuevo muro hasta llegar al medio de la siguiente arista, donde tiene lugar un cruce. Uno de los cuatro hilos apunta hacia usted, y es ahí cuando hay que conectarse. Tenga mucho cuidado para que los hilo solo corten las aristas al medio : no hay otra forma de « saltar la muralla ». Los hilos deben también quedar « cerca » de una arista, yendo de un cruce al siguiente sin saltárselos. No introduzca tampoco nuevos cruces : todos los cruces han sido establecidos en la etapa anterior.

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El laberinto 2
Para unir los hilos entre ellos siga el muro, voltee en la esquina, y siga nuevamente el muro.

Sobre cada arista un cruce, y cada cruce al medio de una arista

Cuando usted haya comprendido la trayectoria de un hilo, rediséñelo bien hasta que comprenda qué va adónde. Los ángulos de cruce pueden variar un poco, sin embargo mantenga bien los cruces en el medio de las aristas.

Siga la guía

Ahora hay que decidir cuándo el hilo pasa por encima y cuándo por abajo. Esto es similar a modificar los cruces de los dos caminos en un ’’puente’’ con una ruta que pasa por encima y otra que pasa por debajo, cada una con sus veredas a cada lado.

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La guía
Alinie su arista con la de su grafo y la guía le dirá quién pasa por abajo y quién por arriba.

Dibuje la guía sobre un pequeño cuadrado de papel -del tamaño promedio de las aristas de su grafo- y recórtela. De esta manera puede resolver un cruce dado, colocando la guía sobre el cruce de tal manera de alinear su arista con la de su grafo. Los dos hilos resultantes del cruce están asociados a cada hilo de la guía y permiten comprender cuál de los dos está encima y cuál debajo.

Observe que la guía no cambia si usted le da un medio giro. Por el contrario, si rota su papel y lo mira a contraluz, lo que verá es otra guía que es simétrica a la anterior, tal como su mano izquierda es simétrica a su mano derecha. Un entrelazado donde interviene un solo tipo de cruce se llama entrelazado alternado : cada hilo pasa por turnos por encima y luego por debajo. No todos los entrelazados son alternados : por ejemplo, el nudo plano o de rizo de los marinos no es alternado. Usted puede -sobre un mismo dibujo- hacer figurar los dos tipos de cruce eligiendo, por ejemplo, diseñar el otro tipo con ayuda de un trazo segmentado y no continuo.

Dibuje luego los cruces arriba-abajo como las veredas izquierda y derecha de un camino de buen ancho (1/4 de arista más o menos). Tenga cuidado que si el ’’camino’’ gira, entonces las veredas deben seguirlo. Una vez que haya dibujado cada puente, puede prolongar esas ’’veredas’’ y unirlas todas.

Puede ejercitarse con grafos simples como los siguientes :

Ejemplos simples

Los muros

Si todo va bien, usted ahora se lo pasa haciendo grafos en todas partes y produciendo hermosos entrelazados... y otros que no son tan lindos. Pero, ¿cómo cubrir grandes zonas ?

Usted puede tratar de basarse en partes de redes, ya sea cuadradas, triangulares o hexagonales. Estas dos últimas dan resultados similares (más tarde se entenderá por qué). Estas trenzas son más o menos apretadas según la red, pero, en general, los entrelazados asociados son bastante decepcionantes, ya que son demasiado regulares.

Escalera de triángulos

Las partes de una red son demasiado tranquilas.

Una pequeña curiosidad : si usted considera un rectángulo compuesto por cuadrados, con pxq vértices, entonces ¿cuántos hilos diferentes tiene ? Si solo hay un vértice, es un círculo simple alrededor del vértice, el nudo trivial, es decir una componente. Con 2 vértices (una sola arista), es un 8, con una sola componente. En general, 1xq da una trenza tonta con un solo hilo. 2x2 es un símbolo elegido por una tribu Masai de Kenia, más conocido bajo el nombre de ’’nudo de Salomón’’, compuesto por dos óvalos imbricados. En general, 2xq da una o dos componentes, dependiendo de si q es impar o par. Si ahora se toma 3x3, se tiene 3 componentes : un círculo y dos diagonales ovales.

¿Cuál es, entonces, esta función de p y q ? ¡Es el máximo común divisor (p,q), evidentemente !

Un rectángulo de pxq vértices y sus (p,q) hilos.

Para más variedad, necesitamos desordenar la red. Por ejemplo, olvidando algunas aristas, vea cómo la omisión de un barrote cada tres en la escalera de triángulos modifica profundamente su aspecto :

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Pero el problema de dejar de trazar tal o cual arista es que, luego de algunos borrones, usted ya no sabe si esa arista está ausente por diseño o debido a un borrado de más... Para señalar que una arista no debería está ahí, tomemos la convención de hacer figurar la arista y ponerle una raya atravesada. Por otra parte, para impedir un cruce, simplemente ’’cerremos’’ la puerta correspondiente, lo que se indicará engrosando la arista. Desde el punto de vista del grafo, esto significa identificar los dos vértices de la arista como uno solo, ’’delocalizando’’ el vértice en dos lugares. Es una modificación métrica y no topológica, a menudo útil para tener un grafo ’’que se vea bien’’, sin aristas torcidas.

Ahora tenemos 4 tipos de aristas, lo que permite una gran variedad de motivos, incluso sobre la base de la red cuadrada, la preferida por los monjes irlandeses. En lo que se refiere al trabajo de esos monjes, tuve la oportunidad de ver el original del libro de Kells en la biblioteca del Trinity College en Dublín, y se puede notar los trazos de construcción de los iluminadores. Ellos trabajaban en realidad sobre dos grafos simultáneamente, los que presentaremos un poco más adelante. Se trata del par primario/dual.

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Arista espesada, puerta cerrada.
Ejemplos con muros

Para considerar como biblioteca de motivos a utilizar para crear un friso.

Entrelazados en paquetes

Usted seguramente ha tratado de combinar dos entrelazados que le gustaban y el resultado tal vez le asombró, porque no tenía nada que ver con los originales. Necesariamente se pregunta cómo hacer para lograr que aparezca el motivo que usted tanto quería en tal lugar, mezclándolos como se debe, para unificarlos sin que por ello pierdan su carácter.

La solución está en la construcción del grafo dual :

Dualidad

A una cara se asocia un vértice dual, y a una arista que separa dos caras se asocia una arista dual.

El dual de un grafo es otro grafo que se le asocia. Está definido por sus vértices y aristas como se explica a continuación. Primeramente, se debe pensar en el grafo de inicio (que uno llama el grafo primario cuando quiere lucirse...) como si viviera no en el plano sino sobre la esfera. Entonces ya no hay cara exterior infinita : es una cara como las otras. Coloque (a ojo), un vértice dual ’’en el centro’’ de cada cara, incluida la cara que antes era de tamaño infinito. Ahora, para cada arista del grafo de inicio -que separa por lo tanto dos caras primarias, es decir dos vértices duales- trace una arista dual entre esos dos vértices.

Olvide el grafo primario y usted habrá construido así su dual.

Esta construcción permite ’’empaquetar’’ sus entrelazados. Traiga su grafo de la esfera al plano. Cada arista hacia el punto al infinito se convirtió en una semi-recta. Deténgala simplemente posicionando un vértice fuera de su grafo de inicio que sea simétrico en relación a la arista por encima de la cual usted pasa. Una todos esos puntos exteriores mediante aristas cerradas, formando así un ’’muro perimetral’’ que encierra su motivo. Recuerde que unir dos vértices mediante una arista cerrada significa « delocalizar » ese vértice en dos.

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La cara infinita es proyectada sobre el Polo Norte de la esfera
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Dual del triángulo
El trébol subyace en un triángulo con una pequeña estrella triangular en su centro.

Lo anterior es un aspecto de una noción más general que los matemáticos llaman la dualidad de Poincaré. Ahora usted tiene un grafo en una caja, y su entrelazado asociado es el mismo que el entrelazado del grafo de inicio. En resumen, dos grafos para un mismo entrelazado (el grafo original y su dual).

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Croix composée de quatre trèfles

Para utilizar sus motivos preferidos, empaquételos y luego tesele su espacio con esos paquetes. Copie dentro de cada uno el grafo dual del motivo. Si usted no hiciera nada, tendría una yuxtaposición de sus motivos. Es necesario, por lo tanto, mezclarlos sin que por eso pierdan sus individualidades. Para esto, abra algunos muros perimetrales lo suficiente como para que los entrelazados se mezclen, sin abrir demasiado para que no queden irreconocibles. Hay que encontrar un equilibrio para un matrimonio exitoso. Se puede, por ejemplo, hacer una cruz con cuatro tréboles, luego de nuevo una cruz con esta cruz... ¡Diviértase !

Construir el grafo y su dual al mismo tiempo, como lo hacían los monjes irlandeses, tiene una gran ventaja : se puede ’’calibrar’’ el tamaño del hilo, ya que se debe bordear entre los vértices del grafo alrededor del cual da vuelta (acuérdese del ’’yo soy el muro, yo doblo en la esquina, yo soy el muro’’) y los vértices del grafo dual que son igual de legítimos. En lo que se refiere a la última etapa de la iluminación, los monjes irlandeses pintaban el entrelazado mismo con un color pastel, y por el contrario cubrían los vértices del grafo de construcción con una buena capa de pintura opaca.

Copia

Por lo tanto, crear sus propios motivos a partir de otros más pequeños que uno compone es posible, pero usted puede estar corto de inspiración o desear ’’rendirle un homenaje’’ a tal o cual artista. Cuidado, los matemáticos/cas pueden ser muy susceptibles en cuanto a la maternidad o paternidad de sus descubrimientos, y seguramente pasa lo mismo con los diseñadores, editores o tatuadores :-)

¿Cómo entonces reconocer el grafo asociado a un entrelazado complicado que usted tenga ante sus ojos, con todos sus cruces por encima y por debajo ? Pues basta con tomar la construcción al revés : usted tiene los cruces, es decir las aristas, ¡encuentre los vértices !

Mueble de Joseph Savina

Colección privada de la familia.

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Grafo extraído

He aquí cómo proceder : elija un extremo del hilo cerca del borde, una oreja de gato a la irlandesa en una esquina. Visualice mentalmente toda la zona que ese hilo libre rodea. Coloque en su centro un punto, primer vértice de su grafo. Identifique todos los cruces que salen de esta zona, trace una arista por encima de cada uno de esos cruces y coloque un nuevo vértice en el centro de la zona donde aterriza. No es grave si esas aristas son un poco torcidas (los vértices pueden no estar muy al centro). En cada uno de esos nuevos vértices comience de nuevo el proceso : trace una arista por encima de cada cruce, hasta que todos los cruces tengan sus aristas. Entrecierre un poco los ojos, rectifique las aristas para enderezarlas, reposicione los vértices y delocalícelos en varios vértices unidos por un muro si es necesario.

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El motivo de base del entrelazo

Referencias :

  • Nudos de Alexei Sossinsky en editorial Seuil 1997
Article original édité par Arnaud Chéritat

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Hermosos entrelazados» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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