Hexagones et démocratie

Le 11 mars 2010  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires (2)

On verra comment le problème de la représentation des partis au système proportionnel mène à décomposer un triangle équilatéral à l’aide d’hexagones réguliers.

Pour commencer, je voudrais préciser que, même si en France on est à nouveau en période éléctorale, mon sujet ne sera pas ici la
démocratie dans l’Hexagone
.

Il s’agira en fait d’hexagones réguliers, et de
démocratie en général. Plutôt de la base de la démocratie, la présence de
plusieurs partis en concurrence, se disputant des sièges lors d’élections.

Je vous parlerai de l’un des derniers livres que j’ai lus et d’un article de
recherche de plus de 90 ans qu’il m’a fait découvrir.
Le livre est Mathématiques en instantanés
de Hugo Steinhaus, paru chez Flammarion en 1964. Il s’agit de l’édition finale,
sérieusement augmentée en texte, en photos et en dessins par rapport à la première, datant de 1938.

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Certains titres de chapitres peuvent sembler au premier abord surréalistes
(par exemple “Solides de Platon, cristaux, têtes d’abeilles et savons”,
ou “Écureuils, vis, bougies, accords musicaux et ombres portées”,
Grenouilles, étudiants de première année et héliotropes”).
Et peut-être qu’en 1938 c’était l’intention de l’auteur de donner cette
impression. Mais en lisant, on découvre bien vite que toutes les courtes
histoires mathématiques se succédant à un rythme alerte dans chaque
chapitre ont un thème commun. L’auteur n’enseigne pas sèchement, mais il raconte plaisamment une multitude de mathématiques qui
éclairent et relient entre eux des objets ou des problèmes quotidiens.

L’une des histoires est accompagnée de
l’image qui illustre le présent billet. L’histoire traite de démocratie et
l’image montre un triangle équilatéral recouvert par des hexagones réguliers.

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On la trouve dans le chapitre “Pesées, mesures et partages équitables”.
Voici comment elle démarre :

« Autre problème : l’attribution des sièges lors d’une élection au système
proportionnel. Nous l’expliquerons dans le cas de trois partis, A, B et C, en
supposant que la répartition des suffrages enregistrés est calculée
exactement et les sièges à l’Assemblée distribués proportionnellement
à ces suffrages. Pour éviter d’avoir des « fractions de siège », on attribue d’abord à
chaque parti autant de sièges qu’en comporte sa part, en chiffres entiers.
Puis, les fractions qui reviennent à chaque concurrent sont classées par
ordre décroissant de grandeur et chaque parti reçoit, dans l’ordre, un siège
supplémentaire, jusqu’à ce que tous les sièges soient attribués.
 »

Pour mieux expliquer la règle, Steinhaus prend un cas particulier, dans lequel il faut élire $5$ députés :

« Prenons par exemple une circonscription de 150 000 votants, qui doit
élire 5 députés. Les partis A, B, C ont obtenu respectivement 43 500,
69 000 et 37 000 voix. Les nombres théoriques de sièges qui leur
reviennent à chacun sont donc : 1,45 ; 2,3 et 1,25 respectivement.
On leur attribue d’abord 1, 2 et 1 siège respectivement et, étant donné
les parties fractionnaires 0,45, 0,3 et 0,25, le cinquième siège reviendra
au parti A.
 »

Le principe précédent d’attribution des sièges, convenablement
interprété géométriquement, mène tout droit au triangle équilatéral et à
son recouvrement par des hexagones réguliers. La base de l’interprétation
est le théorème de géométrie élémentaire affirmant que
dans un triangle équilatéral, la somme des distances d’un point aux
trois côtés est constante
 [1].

Voyons maintenant comment Steinhaus explique l’apparition des hexagones :

« Si nous considérons un triangle équilatéral de hauteur $5$ unités, la somme des
distances aux trois côtés A, B, C d’un point quelconque intérieur au triangle est
toujours égale à 5 unités. [...] les distances [d’un point du triangle] aux côtés
A, B, C, mesurés avec l’unité choisie, donnent le nombre des sièges qui reviennent
théoriquement aux partis A, B, C. [...] Tous les points qui conduisent en pratique
à la même répartition des sièges se trouvent dans un hexagone régulier. [...]
La distribution des sièges étant inscrite dans chaque hexagone, nous pouvons
en comptant les suffrages, obtenir le résultat final du vote sur le graphique sans
avoir à calculer les parties fractionnaires. La flèche portée sur le graphique
montre comment il peut arriver que, avec le même nombre total de votants, le parti A,
au cours de l’élection suivante, gagne des voix et perde un siège, ce siège ne pouvant
être gagné que par un parti dont le nombre de voix a augmenté.
 »

Les hexagones (éventuellement tronqués par les bords du triangle) représentent
donc les résultats des élections aboutissant à une même attribution de sièges. Ils apparaissent pour n’importe quel nombre de sièges à
pourvoir, pourvu qu’il y ait trois partis en compétition. Si le nombre
de sièges est noté $m$, on choisit l’unité de mesure des longueurs
pour que la hauteur du triangle équilatéral vaille $m$ unités. Les
résultats possibles de l’attribution de sièges sont les points dont les
distances aux côtés sont toutes entières. Ils forment les sommets
d’un réseau de triangles équilatéraux $m$ fois plus petits que le triangle
de départ [2]. L’hexagone régulier centré en l’un de ces points $P$
est simplement le lieu des points du triangle situés plus près de $P$
que de tout autre point du réseau [3] !

Les notes du livre de Steinhaus donnent les sources des histoires qu’il raconte.
On découvre ainsi que la précédente est tirée de l’article “Sur la
représentation proportionnelle en matière électorale
” de G. Pólya, publié dans
la revue L’Enseignement Mathématique No. 20 (1918), pages 355-379.

Il s’agit d’un article élégant, dans lequel sont comparées bien des règles
(une infinité) d’attribution des sièges (la précédente étant celle
“des plus grands restes”). Pólya y utilise avec virtuosité
des propriétés des fonctions convexes, de la géométrie, des probabilités. D’un point de vue géométrique,
toute règle aboutit à une décomposition d’un triangle (s’il y a trois partis
en jeu), d’un tétraèdre (s’il y en a quatre) ou plus généralement d’un
simplexe de dimension $n-1$ (s’il y en a $n$)
en régions d’égale attribution des sièges [4]. Il y a donc inévitablement
des frontières entre ces régions [5].
L’ensemble des frontières est le lieu
d’indétermination
de la règle employée. Une bonne règle doit avoir
“peu” d’indéterminations. Pólya discute entre autres aussi ce problème
(à la section 6).

Je voudrais achever ce billet par un extrait de la section 5, qui éclaire
le problème soulevé à la fin du deuxième extrait du livre de Steinhaus
donné précédemment.

«  [On peut adresser] à la règle des plus grands restes le reproche suivant : en adoptant
cette règle de répartition, il peut arriver qu’un parti A luttant deux fois de suite
contre des adversaires B et C obtienne à la seconde élection une plus faible
partie de sièges, quoique ayant une plus forte partie de suffrages. [On] aurait pu
adresser ce reproche à tous les systèmes imaginables de répartition
proportionnelle. C’est impossible que toutes les lignes d’indétermination soient
parallèles à un des côtés du triangle. On peut donc bien dépasser
quelques-unes de ces lignes en se mouvant parallèlement à un des côtés
du triangle ou même passer d’une cellule à une cellule voisine, appartenant
à un sommet moins élevé du réseau en suivant une direction
légèrement ascendante.
 »

Notes

[1On peut démontrer facilement cela à l’aide de la formule exprimant l’aire d’un triangle comme demi-produit d’une hauteur par la longueur du côté opposé. Dans notre cas, les trois distances sont des hauteurs des trois triangles dans lesquels se décompose le triangle équilatéral en joignant le point aux sommets. Et les côtés opposés sont les côtés du triangle équilatéral, donc ils ont des longueurs égales. On achève en disant que la somme des aires des trois triangles est constante, car elle est égale à l’aire du triangle entier !

[2Pour les obtenir, on peut mener $m-1$ parallèles à chaque côté du triangle, divisant la hauteur correspondante en $m$ segments de longueur $1$. Les points recherchés sont les points d’intersection de ces systèmes de parallèles. Faites le dessin pour $m=2, 3, 4$ et $5$, c’est instructif !

[3Si on part des points du réseau, c’est-à-dire des résultats possibles de l’attribution des $m$ sièges, les petits triangles forment la triangulation de Delaunay associée et la décomposition en hexagones est la décomposition de Voronoï duale.

[4Au sujet des partages des espaces en cellules, on pourra lire sur ce même site l’article Triangulations : de la terre au nœud de trèfle de Julien Marché.

[5Au sujet des frontières en général, on pourra lire sur ce même site l’article Les lacs de Wada d’Etienne Ghys et Jos Leys, ainsi que l’article Coloriages de cartes : mathématiques, droit, géographie et politique de Pierre de la Harpe.

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Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «Hexagones et démocratie» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

  • Hexagones et démocratie

    le 11 mars 2010 à 10:21, par Gouanelle

    Bonjour,

    Une précision concernant la note (1) de votre article : il s’agit du théorème de VIVIANI.
    Une remarque : il se généralise à un point extérieur au triangle équilatéral, en retranchant le(s) segment(s) perpendiculaire(s) au(x) côté(s)et qui ne traverse(nt) pas le triangle. Démonstration évidente.

    Les prochaines élections dans notre Hexagone-France, nous donneront peut-être l’occasion (en cas de triangulaires au second tour) d’« hexagoner » un triangle équilatéral.

    Merci d’avoir exhumé ce texte Cl G

    Répondre à ce message
  • Hexagones et démocratie

    le 12 mars 2010 à 09:58, par Rémi Peyre

    Ça donne envie de tracer les diagrammes associés aux autres méthodes de répartition des sièges, pour comparer... et pour l’intérêt esthétique :-)

    Répondre à ce message

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