Hilbert était-il kantien ?

Le 7 octobre 2010  - Ecrit par  Joël Merker Voir les commentaires (4)

D’après Kant, l’apparence dialectique ou illusion de l’entendement
consiste à traiter les Idées ou concepts que forme nécessairement la
raison comme des concepts ayant une valeur objective, et c’est ce
qu’ont fait toutes les métaphysiques qui précédaient Kant, et auxquelles
il reprochait de prendre la nécessité subjective d’une liaison
de nos concepts pour une nécessité objective de la détermination des
choses en soi.

« Le fait remarquable, écrit Hilbert, dont nous venons de parler, et
certains raisonnements philosophiques ont fait naître en nous la
conviction que partagera certainement tout mathématicien, mais
que jusqu’ici personne n’a étayée d’aucune preuve
, la
conviction
, dis-je, que tout problème mathématique déterminé doit
être forcément susceptible d’une solution rigoureuse, ... ».

Là pour le coup, comme disait Gilles Châtelet, c’est pan dans le
mille : Hilbert commettrait précisément l’erreur que Kant fustigeait
déjà plus d’un siècle auparavant ! Pour autant, ce credo hilbertien se
positionne-t-il nécessairement dans une relation antagonique par
rapport à la critique kantienne de la métaphysique ? Aussi bien que
Riemann un demi-siècle auparavant dans ses Fragmente
Philosophische Inhalts
, Hilbert aurait-t-il seulement le devoir de se
positionner philosophiquement par rapport aux grands systèmes, ou bien
est-il exonéré d’un tel dialogue nécessairement exposé à la
controverse, en tant que les mathématiques sont une métaphysique qui
se réalise de manière imprévisible et potentiellement architecturale ?

Ainsi ces Idées de la raison, ajoute Kant (telles que par exemple,
en mathématiques, ce surprenant principe de
non-ignorance absolue édicté par Hilbert, lequel aurait dit à la fin
de sa vie que s’il avait dû ressusciter après sa mort, il aurait
demandé aux générations qui lui ont survécu, immédiatement et en tout
premier lieu, si l’hypothèse de Riemann avait été établie pendant la
durée de son sommeil dans l’au-delà), si précieuses qu’elles soient en
tant que principes régulateurs pour l’action de la pensée, ne peuvent
aucunement constituer des principes pour des connaissances objectives.
Il n’est nulle démonstration possible a priori de l’existence de
Dieu, de l’immatérialité ou de l’immortalité de l’âme, de l’infinité
du monde observable, de la continuité pure des mouvements des corps
physiques, de la liberté de l’homme, ou de la vérité éternelle et
ubiquitaire des mathématiques, et ce dernier point peut certes nous
apparaître regrettable, à nous, mathématiciens, mais le système
kantien est ferme quant à la congédiation des métaphysiques. Pour être
clair et un peu simpliste, tous les raisonnements de la métaphysique
« dogmatique » sont erronés, fallacieux, tendancieux, bref, ils
répondent à une exigence naïve d’apporter rapidement des réponses
simples à des questions qui sont en fait profondes et difficiles, ils
expriment une tendance naturelle de la raison, et ils limitent
l’ouverture purement « riemannienne » des mathématiques. Alors en
définitive, la conviction subjective a bien peu de poids face à ces
arguments. En effet et par ailleurs, chez Kant, la dialectique
transcendantale propose essentiellement de nous guérir de l’apparence
des jugements transcendantaux, et en même temps, de parvenir à
empêcher qu’ils ne nous trompent encore ultérieurement. Mais à
l’époque de Hilbert, cette tendance en direction de la métaphysique et
de la vérité était toujours coprésente dans la seule science qui sait
encore et toujours créer les conditions d’autonomisation de ses
propres certitudes, à savoir la mathématique.

Or depuis Kant, depuis la contre-attaque cinglante de Brouwer, et
aussi depuis les théorèmes de complétude et d’incomplétude de Gödel,
la question de la nature essentiellement vraie et intemporelle
des mathématiques n’est absolument pas résolue
, et encore moins
traitée, et certainement hors ANR, hors NSF [1] , hors CNRS, hors du réseau
global et international de la science qui a rétréci l’envergure
philosophique de ses enjeux à l’échelle de l’histoire récente. Le
besoin intrinsèquement urgent d’une critique de la raison
mathématique
n’est plus jamais ressenti comme il l’était dans les
années 1900-1940, et dès qu’il pointe implicitement dans un discours,
on doit le mettre entre parenthèses, on doit le considérer comme
obsolète et propre à des temps anciens, il fait partie maintenant de
l’Histoire de la philosophie ; lettre morte de pensées commentées par
des universitaires, il doit être masqué. En effet, s’exerce
actuellement une espèce de conformisme du non-engagement philosophique
qui nous fait à la fois admirer les croyances élégantes des temps
anciens et nous en détourner, avec une « coquetterie de la
simplicité » qui dissimule une superficialité possible de nos pensées,
un appauvrissement inavouable.

Mais pourquoi cela ? Pourquoi circulation, internétisation,
distribution, reproduction et banalisation estompent (occultent ?)
encore mieux que Kant ne l’a fait avec son système toutes les origines
problématiques de la pensée métaphysique spontanée de la raison qui
mobilisaient Hilbert ?

Ironie du sort, donc, de voir ce phénix faible pour nous, désormais
presque impuissant, ressurgir sur nos écrans le temps d’un clic, avant
de redisparaître muet dans ses cendres à cause de l’obnubilation
(puérile ?) des nouvelles technologies.

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Pour citer cet article :

Joël Merker — «Hilbert était-il kantien ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

  • Hilbert était-il kantien ?

    le 7 octobre 2010 à 10:36, par Damien Gayet

    Salut Joël, tu écris : Il n’est nulle démonstration possible a priori de [...] la vérité éternelle et ubiquitaire des mathématiques. Je ne comprends pas bien : les mathématiques chez Kant sont l’exemple numéro 1 du synthétique a priori, valable pour toute Raison quelconque, donc éternelle et universelle, non ? Je veux bien que Hilbert s’oppose dans sa citation au caractère synthétique, mais pas au caractère aprioriste... Ou bien sous-entends tu que Kant aurait bien dû appliquer son principe de congédiation métaphysique à son propre système, en particulier sa position aprioriste sur les mathématiques...?

    Répondre à ce message
    • Hilbert était-il kantien ?

      le 8 octobre 2010 à 15:36, par Joël Merker

      Damien, merci tout d’abord pour ton message et ta réaction, mais je ne
      sache pas que le caractère éternel, ubiquitaire ou a priori des
      mathématiques ne reste pas problématique en soi, et aussi qu’il n’ait
      jamais jusqu’à présent été démontré effectivement (sinon, on
      enseignerait une telle démonstration dans tous les départements de
      mathématiques du globe), ne serait-ce que parce qu’il se peut fort bien
      que d’autres mathématiques dont nous ne connaissons rien soient déjà
      développées sur des exoplanètes lointaines et inobservables, et il est
      certain alors à l’avance que si nos manières de faire des
      mathématiques étaient confrontées à d’autres manières d’en
      faire, alors tout ce que nous nous imaginions jusqu’à présent au sujet
      de l’a priori devrait être encore plus radicalement remis en question
      que par la thèse d’inanité des questions proprement métaphysiques
      développée sur la Terre
      par le positivisme logique il y a un peu moins d’un
      siècle. Comme tu le dis, Hilbert ne s’oppose pas du tout à un
      caractère aprioristique des mathématiques (cette affirmation est une
      véritable litote !), car il croit que quelque chose de profond se joue
      derrière le fait que les mathématiques se sont toujours donné les
      moyens de produire des raisonnements vrais, rigoureux, indubitables,
      et qu’elles en auront toujours les moyens. C’est une conviction,
      dit-il, partagée par les mathématiciens, et aussi par nous,
      mathématiciens contemporains (certains constructivistes la remettent
      intelligemment en cause, mais seulement afin d’exhiber des questions
      plus fines d’effectivité en regard de théorèmes abstraits et
      imparfaits car ineffectifs, et de tels théorèmes abondent, comme nous
      le savons bien), mais ce caractère a priori ne provient toujours que
      d’une conviction interne quant à l’essence des mathématiques en
      elles-mêmes, et aussi en même temps, cette conviction subjective (qui
      est peut-être seulement aussi intersubjective), ne provient en rien de
      raisonnements que l’on parviendrait à rendre objectifs et
      indubitables.

      Afin de faire bien prendre conscience des problématiques
      philosophiques, il était donc nécessaire de souligner dans ce billet
      le contraste frappant entre l’une des racines de la critique kantienne
      de la raison pure (l’illusion transcendantale : Descartes, Leibniz) et
      ce credo hilbertien tout aussi profond et fort, que l’on pourrait
      qualifier d’ouvertement métaphysique, bien que, comme tout
      mathématicien en activité, Hilbert ne se soit pas consacré à étayer
      cette conviction par un système de pensée, car en fait, il a plutôt
      fait évoluer son fameux programme de constitution axiomatique des
      mathématiques vers un certain finitisme censé garantir un meilleur
      contrôle de la rigueur et de la vérité dans les développements formels. Il
      est en effet clair que convictions et visions, chez les
      mathématiciens, ne peuvent et ne doivent être que productrices de
      théories mathématiques (cesser de bavarder et se mettre au travail !),
      et que l’on a maintenant tout à fait conscience que les Graal de la
      philosophie des mathématiques sont inatteignables.

      À mon avis, cet état de fait : humilité et simplicité quant à la
      portée des théorèmes que l’on démontre chaque année témoigne que nous
      n’avons plus la force, à l’échelle individuelle, de remonter vers les
      grandes questions originaires, et comme il est toujours plus
      confortable psychologiquement d’oublier des exigences trop fortes
      quant à ce qu’on pourrait imposer à sa propre pensée, la philosophie
      des mathématiques subit actuellement de plein fouet l’ Atlantide
      de l’originaire
      .

      En définitive, quel est l’aspect qui est le plus fascinant dans la
      conférence de Hilbert en 1900 ? C’est, je crois, le fait qu’y sont
      formulées en toutes lettres des caractères d’ouverture vers le
      questionnement mathématique impulsé par une métaphysique
      d’inspiration riemannienne que Hilbert reprend à son compte
      en y ajoutant sa propre touche.

      C’est un peu comme le destin du problème de l’espace après Lie :
      Helmholtz était persuadé qu’il devait exister des raisons
      métaphysiques profondes et démontrables qui expliqueraient la
      structure tridimensionnelle à courbure constante de l’espace de la
      physique expérimentale et de la nouvelle géométrie de son époque. Il
      est bien entendu évident, pour la raison, que l’existence de ce qui
      est là dans le monde doit pouvoir en appeler à une raison d’être de
      son être-là, pour reprendre le ``Pourquoi y a-t-il quelque chose
      plutôt que rien ?’’ de Leibniz. Mais ce qui est particulièrement
      inattendu et frustrant pour le philosophe, c’est que ces intuitions
      légitimes d’après lesquelles des causalités supérieures devraient être
      à l’\oeuvre voient rapidement leur horizon assombri par la
      prolifération déraisonnable de l’ontologie mathématique. Sophus Lie
      qui s’était donné comme objectif principal d’élaborer une théorie
      continue des groupes de transformation afin de réaliser rigoureusement
      certaines idées de Helmholtz (programme d’Erlangen) est responsable
      d’une genèse, au sens lautmanien, qui se ramifie toujours
      actuellement. Et comme je le disais à l’instant, après des milliers
      de pages et des centaines de théorèmes foisonnants, Lie ne prend pas
      de position sur le problème de Helmholtz, il se situe ``en simplicité
      et en humilité’’ par rapport à la grande question de Helmholtz
      (pseudo-résolue naïvement par Helmholtz),
      et en vérité, il est peut-être bien déçu
      de constater que l’ontologie de son système de pensée ait proliféré à
      ce point, car il cherchait vraiment à résoudre complètement les
      questions, aussi bien que Hilbert lui-même, et il dit explicitement à
      la fin du Volume I de la Theorie der Transformationsgruppen
      qu’il reste débordé par une question qu’il n’arrive pas à résoudre,
      signe qu’il existe peut-être une branche indéfiniment imprévisible
      dans l’arbre de la théorie des groupes continus. C’est émouvant de
      voir un mathématicien avoir conscience, en vision systématique, d’une
      prolifération ontologique non maîtrisable.

      Pour terminer, en écho à la critique hégélienne de la métaphysique des
      m\oeurs chez Kant, je rappellerai que la congédiation des systèmes
      est une nécessité imprévisible de fait dans l’histoire, mais j’ajoute
      en m’inspirant de Riemann, et c’est là ma thèse, impersonnelle,
      principale, que l’ouverture et la non-réponse sont bien souvent
      maintenues à travers l’histoire, même quand une époque donnée souhaite
      oublier ce qui l’a précédée. Cette thèse contredit quelque peu la
      Phénoménologie de l’esprit
      , mais seulement parce que je ne l’articule
      que par rapport aux mathématiques.

      Répondre à ce message
  • Hilbert était-il kantien ?

    le 7 octobre 2010 à 11:51, par Gouanelle

    Bonjour,

    Tout ce que la raison produit en Mathématiques peut être appréhendé d’un double point de vue : phénoménal et nouménal. La vérité et l’intemporalité en découlent. Mais la difficulté vient de ce que nulle frontière nette ne sépare ces deux aspects.

    Toute transcendance de la pensée dans ce domaine nécessite un travail analytique et synthétique qui, à mon humble avis, est impossible pour un seul individu et dans une durée donnée.
    Heureusement, les mathématiciens peuvent avancer dans leurs travaux, même détachés des préoccupations métaphysiques.

    Quant aux techniques nouvelles, les outils qu’elles nous fournissent ne sont cause de rien. C’est l’usage que nous en faisons qui est critiquable. L’éphémère, le superficiel, la facilité... Mais aussi la possibilité d’échanger positivement, constructivement, nos pensées comme ici.

    Puis-je vous suggérer, Monsieur Merker, d’utilser ces outils pour lancer une réflexion ouverte sur Internet, avec l’objectif d’en tirer cette « critique de la raison mathématique » que vous réclamez ? Ou du moins une esquisse...

    Répondre à ce message
    • Frontière libre entre phénome et noumène

      le 11 octobre 2010 à 13:11, par Joël Merker

      Bonjour, et merci pour votre message, signe peu fréquent que la philosophie des mathématiques intéresse quelques internautes sur le site IdM, dont les préoccupations courantes réveillent régulièrement des questions d’ordre philosophique qui ont été méditées en profondeur par le passé et qui exigent une culture littéraire assidue, sans qu’on ait véritablement l’impression que le site IdM, en tant que corps vivant de pensées partagées, manifeste vraiment clairement la conscience du fait que de tels enjeux philosophiques sont bien connus.

      Je souhaiterais rebondir tout d’abord sur l’observation fort pertinente que nulle frontière nette ne sépare l’aspect phénoménal, expérimental, corporel des réalités qui sont intelligibles par la raison de leur contrepartie proprement nouménale, idéale et relative à des choses en elles-mêmes possiblement existantes, et ce, en poursuivant quelque peu cette observation par des analyses qui ne se placeront pas en position d’érudition par rapport à la pensée, disons, kantienne.

      C’est en effet le fonctionnement de l’intuition mathématique en acte et dans l’expérience de la recherche qui constitue l’épine la moins analysable par la philosophie, l’inconnue la plus inconnue, car en elle, les hétéronomies abondent et s’entrecroisent, le mystère qui demeure obstacle et les astuces techniques qui le percent croisent le fer sur le même terrain, et l’on ignore complètement comment un chercheur trouve et élabore des résultats dans le chaos de ses représentations mentales (John Nash le déchiffreur de codes secrets affectionnait particulièrement ses « périodes de folie »). Une autre preuve que la frontière n’est pas nette est fournie par la nécessité que nous éprouvons tous à assister à des cours et à écouter des exposés en séminaires ou en conférences afin de mieux comprendre les énoncés que nous le ferions par des lectures solitaires et austères, car ce sont des moments pendant lesquels ce qui est de l’ordre de l’idéalité voulue dans l’écrit éclate en mille morceaux heuristiques, panoramiques, explicatifs, déictiques et sensibles, dans le langage « primatique » que nous comprenons le mieux, celui qui est propre à notre être biologique.

      On aimerait bien aussi, certes, que les contenus soient absolus, que nos théorèmes soient purs et définitifs, que le formalisme soit limpide, que les textes entrent en nous comme par le flash immédiat dans nos yeux quand nous ouvrons la lumière en pleine nuit dans notre chambre, mais il n’en est rien, et au contraire, dans la pensée mathématique qui cherche, celle pour laquelle on doit se priver des fonctionnements automatiques et autres réflexes de l’habitude, eh bien dans la pensée mathématique que tant de nos concitoyens ont du mal à appréhender dès leur première jeunesse, le mélange sous-entendu des aspects doit s’exercer à plein régime pour progresser dans une viscosité de pensées pures et impures, partiellement vraies et partiellement fausses, presque rigoureuses et quasiment spéculatives, calculatoires et figurales, tout cela à la fois, et d’autres choses encore.

      Ainsi ce qu’on appelle le « platonisme » n’est-il ni une thèse ni un credo sur la dynamique de la pensée mathématique, mais il n’est que question problématique maintenue dans le temps long de l’histoire des mathématique, il demeure toujours question non résolue, ramifiée, vivante dans le corps vivant des mathématiques, et aussi, question trop fondamentale et trop vaste pour être traitée en se référant seulement à des mathématiques restreintes. Autrement dit, la question du platonisme, et donc l’espoir qu’une frontière nette et incontestable sépare le phénoménal du nouménal, cette question reste enracinée, comme l’aurait suggéré Riemann, à son statut de question ouverte en tant que l’on ne sait toujours pas déduire, de ce que l’on voit et de ce que l’on étudie, certaines certitudes incontestables quant aux réponses dont cette question est susceptible, bien que l’on se rassénère régulièrement de constater que certains énoncés mathématiques convergent vers des énoncés adéquats, et donc que les signes probatoires quant à l’existence indépendante du nouménal se confirment quelque peu.

      Mais que les choses soient claires : il ne s’agit pas ici d’une thèse analogue à un agnosticisme affirmé, voire dogmatique, il s’agit juste, comme cela est si souvent le cas en mathématiques (hypothèse de Riemann, existence de singularités dans les équations de Navier-Stokes, conjectures de Lang sur les points rationnels des équations diophantiennes, complexité algorithmique dans le problème P versus NP, programme de Langlands, conjectures standard de Grothendick, conjectures des périodes en théorie des motifs, etc.), d’affirmer, à un niveau qui engloberait les mathématiques terrestres dans leur ensemble contingent et vivant (bien que personne ne puisse le faire individuellement), qu’il faut accepter ne pas savoir répondre à des questions vraiment difficiles. Riemann avec ses « masses-pensées » avait suggéré lui aussi que la frontière n’avait rien de net, mais il a peu été étudié par les philosophes qui lui ont été postérieurs.

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