Como es bien sabido, un Premio Nobel de Matemáticas no existe, pero el Premio Abel sería el equivalente perfecto tanto por su prestigio como por galardonar la labor de toda una vida matemática, a diferencia de la todavía mejor conocida Medalla Fields, que no recompensa más que logros excepcionales de matemáticos menores de 40 años y por lo que no puede tener entonces el mismo alcance del Nobel, con el cual a menudo se la compara.

El nombre del galardón proviene de Niels Henrik Abel, matemático noruego decimonónico cuyo apellido se conserva en grupo abeliano como sinónimo de grupo conmutativo. A él se le debe sobre todo la primera demostración satisfactoria del teorema general del binomio [1], así como la primera respuesta a la pregunta de la resolución por radicales de las ecuaciones polinómicas de quinto grado, al mostrar que esto es imposible para algunas de ellas [2], y en honor a la extensa y profunda obra matemática que dejó a pesar de haber muerto prematuramente a la edad de tan sólo 26 años, en 2002, bicentenario de su nacimiento, el gobierno noruego instauró el Premio Abel.

A continuación mencionamos algunas de las contribuciones más célebres de ambos premiados de 2020, tratando de dar una cierta idea del asunto, pero sin aspirar por supuesto a ninguna completez. No obstante, prevenimos al lector que arrancando cómodamente en pista roja, la exposición remata deliberadamente en fuera de pista.

En línea se puede ver el anuncio, al igual que las entrevistas con los laureados. Debido a la crisis del coronavirus la ceremonia de entrega fue pospuesta para un momento ulterior, cuando la contingencia haya concluido.

H. Fürstenberg

Hillel Fürstenberg delante del Facultad de Matemáticas de la Universidad Hebrea de Jerusalén.

Hillel Fürstenberg nació en 1935 en Berlín cuando ésta era capital de la Alemania nazi, y justo antes de que la segunda guerra mundial estallara, la familia de Fürstenberg, que era judía, huye hacia los Estados Unidos, donde él estudiará y comenzará su carrera. En 1965 parte a Israel, y allí fue profesor de la Universidad Hebrea de Jerusalén hasta su jubilación.

Fürstenberg saltó a la fama en 1955, siendo todavía estudiante, con una demostración radicalmente nueva de la infinidad de los números primos. Una buena parte de las pruebas hasta entonces habían seguido la pauta de la clásica contenida en los Elementos de Euclides, como la siguiente que se atribuye a Charles Hermite [3]: los dos números naturales consecutivos $n!= 1\times 2\times\dotsb \times n$ y $n! + 1$ no poseen más divisores comunes que $\pm 1$, así que el divisor primo más pequeño de $n! + 1$ debe ser forzosamente mayor que $n$. De este modo, para cada entero positivo siempre hay un primo todavía más grande; en suma, una infinidad de ellos.

La demostración de Fürstenberg no es mucho más larga, pero sí totalmente distinta de la precedente porque recurre a la topología, rama de las matemáticas que estudia las propiedades de objetos geométricos preservadas por deformación continua, sin arrancar ni pegar nada. A priori, la relación con los números primos parecería inexistente, pero allí es donde reside la huella de Fürstenberg: utilizar herramientas de un campo de las matemáticas para responder a problemas de otro.

Lo único que se requiere para entender esta prueba es saber lo que caracteriza a los abiertos y cerrados de una topología, así que dejamos al lector interesado desplegar el apartado a continuación para leer una adaptación de la demostración original, que de hecho no fue más que una nota de doce líneas del American Mathematical Monthly.

Las doce líneas de la famosa prueba de la infinidad de los números primos, tal y como aparecieron en el American Mathematical Monthly de mayo de 1955.

Para más detalles y otras pruebas, véase este artículo de A. Alvarez.

Otra insigne nueva demostración de Fürstenberg es la que diera de un teorema de Endre Szemerédi [5], el cual afirma que para todo conjunto $E$ de enteros positivos, si la densidad de $E$ en $\mathbf{N}$ es estrictamente positiva, entonces $E$ contiene progresiones aritméticas finitas de longitud tan grande como se desee, esto es, sucesiones de la forma $(b, a+b, 2a+b,\dots, ka+b)$, donde $b$ es el primer término, $a$ la razón y $k$ la longitud. En cuanto a la densidad de un conjunto $E$ en $\mathbf{N}$, ésta se define como el máximo límite de oscilación de la proporción de elementos de $E$ entre los $n$ primeros enteros, lo cual de manera más sabionda se escribe como
\[ \limsup_{n\to \infty}\frac{\lvert E\cap\{\, 1,2,\dots, n\,\}\rvert}{n}. \]

Para esta prueba, el instrumento novedoso ya no es la topología, ¡sino las probabilidades! El argumento clave fue mostrar que el teorema de Szemerédi es equivalente al teorema de recurrencia múltiple de Fürstenberg, extensión a su vez del teorema de recurrencia de Poincaré, que es una herramienta indispensable de la teoría ergódica, estudio de sistemas dinámicos en presencia de una medida invariante, como lo sería la evolución de un gas de volumen constante.

El interés de esta demostración alternativa del teorema de Szemerédi no solamente radica en su originalidad, sino en que precisamente el teorema de recurrencia múltiple abrió una nueva rama de las matemáticas vinculando teoría ergódica y combinatoria de números, uno de cuyos prototipos más acabados es el teorema de Green y Tao del año 2004, que establece que a pesar de tener densidad nula en $\mathbf{N}$, los números primos contienen progresiones aritméticas finitas de longitud arbitrariamente grande.

El concepto más importante que lleva el nombre del homenajeado es el de frontera de Fürstenberg, que surgió del estudio de procesos estocásticos en espacios homogéneos, y del cual daremos dos ejemplos para mejor ilustrarlo. El primero de ellos, y entre los más sencillos, está dado por una función integrable $f$ definida sobre el círculo unitario $C$ de $\mathbf{R}^2$, y una función $u$ armónica sobre el disco $D$ cuyo borde es $C$, y tal que la restricción de $u$ a $C$ coincida con $f$; que $u$ sea armónica quiere decir que $\partial_x^2 u + \partial_y^2 u = 0$ sobre $D$. Por medio de la fórmula de Poisson, los valores de $u$ están enteramente determinados al interior de $D$ a partir de los de $f$ en el contorno $C$, y el límite radial de $u$ coincide con $f$ casi en todas partes de $C$, por lo que $u$ extiende $f$ al interior de $D$ de manera única; por ejemplo, en régimen estacionario la temperatura sobre $D$ es una función armónica, según lo prescribe la ecuación del calor, y está completamente especificada entonces por la temperatura del borde $C$.

Una manera probabilista de ver el mismo fenómeno constituye el segundo ejemplo. Desde un punto interior $x$ cualquiera del disco unitario $D$, pero ahora visto como el disco de Poincaré, comencemos una caminata al azar (movimiento browniano) y detengámonos al alcanzar el círculo unitario $C$ que lo delimita; de este modo obtenemos una medida de probabilidad $\mu_x$ sobre $C$, que a cada una de sus partes asigna la posibilidad de acabar aleatoriamente en ella a partir de $x$. El círculo $C$ dotado de la familia $\{\, \mu_x\,\}_{x\in D}$ de todas estas probabilidades es la frontera de Fürstenberg del disco de Poincaré. El grupo de matrices $\operatorname{SL}_2(\mathbf{R})$ actúa por isometrías sobre $D$ de manera transitiva, y hay que pensar al círculo unitario $C$ como una frontera del grupo $\operatorname{SL}_2(\mathbf{R})$ en el sentido de que casi seguramente toda caminata aleatoria sobre $\operatorname{SL}_2(\mathbf{R})$ converge hacia una matriz identificable unívocamente a un punto de $C$.

Caminata aleatoria sobre el disco de Poincaré.

Fürstenberg generaliza esta construcción a los grupos de Lie, es decir, grupos continuos de transformaciones, cuyas operaciones son diferenciables, como lo es $\operatorname{SL}_n(\mathbf{R})$; y también a grupos discretos, como $\operatorname{SL}_n(\mathbf{Z})$. El entendimiento de la existencia, unicidad e identificación para los grupos de Lie de estas fronteras será un instrumento clave en la obra de Margulis; justamente una medida de la envergadura de la obra de Fürstenberg son los numerosos resultados que ha inspirado a muchos otros matemáticos.

G. A. Margulis

Grigori Alexándrovich Margulis.

Grigori Alexándrovich Margulis nació en 1946 en Moscú, entonces capital de la Unión Soviética. En 1970 defiende una tesis muy original en teoría ergódica dirigida por Yákov Grigórevich Sinái, quien a su vez, por cierto, también fue galardonado en 2014 con el Premio Abel «por sus contribuciones fundamentales a los sistemas dinámicos, la teoría ergódica y la física matemática.» [6]

Durante la primera mitad de los años setenta, Margulis resolvió las conjeturas de Atle Selberg y de Iliá I. Piatetski-Shapiro sobre la artimeticidad de los retículos de grupos de Lie semisimples de rango superior, las cuales puestas juntas dicen lo siguiente: si $G$ es un tal grupo, que siempre se puede ver como un subgrupo cerrado de matrices de $\operatorname{GL}_n(\mathbf{R})$ para algún $n$, entonces todo retículo $\Gamma$ de $G$, o sea, un subgrupo discreto tal que el cociente $G/\Gamma$ posea una medida finita invariante bajo la acción multiplicativa de $G$, son esencialmente las matrices de $G$ con entradas enteras. Por citar un caso, nos volvemos a topar con $\operatorname{SL}_n(\mathbf{Z})$ como retículo aritmético de $\operatorname{SL}_n(\mathbf{R})$ cuando $n\geq 3$.

Para dar una idea de lo que se trata, consideremos los subgrupos discretos de $(\mathbf{R}^n, +)$ que contienen una base de $\mathbf{R}^n$, como el subgrupo $\mathbf{Z}^n$, desde luego. El grupo continuo $\mathbf{R}^n$ es de Lie, y el subgrupo $\mathbf{Z}^n$ es un retículo suyo porque el cociente $\mathbf{R}^n/\mathbf{Z}^n$ es un toro de dimensión $n$ compacto, y por ende de medida finita [7]; en otras palabras, $\mathbf{R}^n/\mathbf{Z}^n$ equivale [8] al cubo unitario $E = \mathopen{[}0,1\mathclose{[}^n$, cuya medida es finita y no varía cuando se traslada $E$ por todo elemento de $\mathbf{Z}^n$, y el cual cubre $\mathbf{R}^n$ enteramente bajo tales traslaciones (lo que se escribe $\mathbf{R}^n = E + \mathbf{Z}^n$). Prototipos más complicados los hay como el famoso retículo hexagonal en dimensión $2$, que se muestra más abajo en una imagen. Finalmente, todos los retículos $\Gamma$ de $\mathbf{R}^n$ son aritméticos porque siempre existe una base adaptada de $\mathbf{R}^n$ en la cual los elementos de $\Gamma$ tienen todos coordenadas enteras. Pero esta situación se extiende a otros grupos continuos, donde sus retículos deben ser pensados como los andamios sobre los cuales los edificios erigidos son dichos grupos continuos, según la bella imagen de George Mostow. La dificultad radica pues en recobrar el todo continuo a partir de lo discreto.

El retículo cuadrado de $\mathbf{R}^2$ que corresponde a los puntos con coordenadas enteras en la base canónica.

El retículo hexagonal de $\mathbf{R}^2$ que corresponde a los puntos con coordenadas enteras en la base $(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})$.

Entre 1969 y 1975, su prueba de la conjetura de Selberg será paulatinamente publicada, y las técnicas de Margulis, no demasiado sofisticadas pero rebosantes de inventiva, deslumbran a los especialistas en Occidente, quienes a cada nueva entrega de la demostración se percatan de cuán lejos aún estaban de obtener el resultado.

En 1974, Margulis es invitado al Congreso Internacional de Matemáticos para dar una conferencia plenaria en la que por fin terminaría con su demostración de la conjetura de Selberg. Sin embargo, las autoridades soviéticas no le permitieron acudir al evento (entre las arcanas y sórdidas razones, antisemitismo), y Margulis se contenta con enviar, para gran sorpresa de todos, ya no la prueba completa de la conjetura de Selberg, sino la de la conjetura de Piatetski-Shapiro, que es complemento de la de Selberg, y ciertamente aquella de la que nadie se ocupaba en aquel entonces por estimarla inatacable para la época. Una noción fundamental de esta demostración es un resultado de Margulis mejor conocido hoy en día como el teorema de superrigidez, ya que es mucho más robusto que el teorema de rigidez fuerte de Mostow, quien así bautizó a cada uno. La prueba del teorema de superrigidez es una sucesión de ingeniosos argumentos sirviéndose de diversos instrumentos de la teoría ergódica, la teoría de representaciones, la geometría algebraica, la aproximación $p$-ádica y demás; otra versión que el proprio Margulis diera tiempo después utiliza precisamente las fronteras de Fürstenberg.

Por su demostración de las conjeturas de Selberg y de Piatetski-Shapiro, en 1978 a Margulis le fue otorgada la Medalla Fields, pero las autoridades soviéticas de nuevo le impidieron asistir al Congreso Internacional de Matemáticos, que se celebraba esta vez en Helsinki, para recibirla. Jacques Tits [9] concluyó la conferencia plenaria en la que presentó la obra de Margulis expresando su profunda admiración por este matemático que jamás había visto y del que deploraba la ausencia en la convención que tenía lugar allí mismo donde fueron firmados los acuerdos de 1975 que supuestamente marcaban un nuevo diálogo entre los bloques del Este y del Oeste.

Portada de Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups (1991), en donde por primera vez se encuentra la totalidad de la demostración de las conjeturas de Selberg y de Piatetski-Shapiro.

A partir de 1979, Margulis fue autorizado a viajar por Europa occidental, y en 1991 se convierte en profesor de la Universidad de Yale en EE. UU., en donde permaneció hasta su retiro.

Otra pieza maestra de la obra de Margulis es la resolución en 1986 de la conjetura de Oppenheim, formulada en 1929 y concerniente a la representación de números enteros mediante formas cuadráticas reales de varias variables. Una forma cuadrática real $Q(X) = Q(X_1,X_2\dots, X_n)$ es un polinomio cuadrático homogéneo de $n$ variables y con coeficientes reales, como $Q_1(X) = X_1^2 + X_2^2 - X_3^2 - X_4^2 - X_5^2$, o bien $Q_2(X) = \sqrt{2}\, X_1 X_2 + \pi\, X_3^2$, y uno se interesa en saber si $Q(X)$ representa cero sobre $\mathbf{Z}$ de manera no trivial, es decir, si la ecuación $Q(X) = 0$ tiene soluciones enteras no nulas, o lo que es lo mismo, si existen puntos de coordenadas enteras $x = (x_1,\dots, x_n)\neq 0$ de $\mathbf{R}^n$ tales que $Q(x) = 0$. Para $Q_1$ no es difícil de hallar tales puntos (vayan por caso $(1,1,1,1,0)$ y todos sus múltiplos enteros no nulos), mientras que para $Q_2$ esto no es posible; quizás el ejemplo más antiguo que haya de forma cuadrática real representando cero sobre $\mathbf{Z}$ sea $Q_3(X) = X_1^2 + X_2^2 - X_3^2$, ya que si los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo tienen respectivamente longitudes enteras $a, b$ y $c$, el teorema de Pitágoras asegura precisamente que $Q_3(a,b,c) = 0$ [10].

A finales del siglo XIX, Arnold Meyer probó que si la forma cuadrática $Q(X)$ es de $n\geq 5$ variables y todos sus coeficientes son racionales, entonces $Q(X)$ representa cero sobre $\mathbf{Z}$ de manera no trivial, y unos cincuenta años después Alexander Oppenheim se percató de que si los coeficientes de $Q(X)$ fueran reales cualesquiera, entonces $Q(X)$ ya no necesariamente representaría cero sobre $\mathbf{Z}$, pero elucubró que siempre se podrían encontrar puntos $x\neq 0$ de $\mathbf{Z}^n$ tales que el valor $Q(x)$ se acercara de cero tanto como se desee [11], lo cual se conoce como aproximar soluciones de la ecuación $Q(X) = 0$ diofánticamente. Allí donde el abordaje con los métodos tradicionales permaneció encallado durante décadas, ya no es de sorprender que Margulis desatolle el asunto con las mismas herramientas que para la precedente conjetura de aritmeticidad, a saber, retículos de grupos de Lie semisimples, teoría ergódica y dinámica topológica.

Terminemos recordando el lema de Margulis, como Mijaíl L. Grómov [12] vino a denominarlo. Aquí ya no se trata de teoría ergódica, sino de geometría, y en lugar de enunciarlo, demos una aplicación que esclarecerá mejor las cosas. Una variedad hiperbólica es un espacio geométrico donde los triángulos geodésicos son más puntiagudos que los euclidianos, porque sus lados son los segmentos hiperbólicamente más cortos entre sus vértices. El triángulo hiperbólico por antonomasia es el que se obtiene cuando se estiran tres bandas elásticas entre tres puntos de una silla de montar.

Un pedazo de superficie hiperbólica con un triángulo geodésico encima.

Un corolario importante del lema de Margulis es la descomposición en partes gruesa y delgada de una variedad hiperbólica; en la siguiente imagen, la parte delgada de la superficie hiperbólica está en azul, y la gruesa, en rosa. El lema de Margulis permite afirmar pues que la parte delgada está constituida de dos tipos de componentes, tubos y puntas, y cuyos volúmenes respectivos son menores que una constante positiva $\epsilon$ que depende sólo de la dimensión y la curvatura de dicha variedad, la constante de Margulis; mientras que el volumen de cada componente de la parte gruesa es mayor que $\epsilon$.

La descomposición en partes gruesa y delgada de una superficie hiperbólica.

Para saber más

En seguida se encuentran algunas referencias que fueron utilizadas en este texto y que permitirán al lector interesado profundizar sobre el tema.

1. Sitio del Premio Abel 2020, con biografías de los laureados y sendas entrevistas.
2. Biografía de Hillel Fürstenberg en MacTutor History of Mathematics archive.
3. Biografía de Grigori Alexándrovich Margulis en MacTutor History of Mathematics archive.
4. Presentación escrita por Jacques Tits de la obra de Margulis para el Congreso Internacional de Matemáticos de 1978 (pág. 57).
5. Presentación de Margulis escrita por George Mostow para la revista Science, de 1978 (suscripción necesaria).
6. Compendio casi exhaustivo de la obra de Margulis, escrito por Lizhen Ji en 2008.
7. Exposición de la demostración de Margulis de la conjetura de Oppenheim, escrita por Armand Borel en 1995.
8. Una prepublicación reciente de David Fisher sobre la superrigidez de Margulis e investigaciones relacionadas.