Histoires de nombres premiers

Le 29 décembre 2009  - Ecrit par  Pierre Colmez Voir les commentaires

Si on utilise le crible d’Erathostène
pour faire la liste des nombres premiers [1],
on peut difficilement ne pas remarquer que le nombre de nombres premiers
se terminant par un $1$ est à peu près le même que celui des nombres premiers
se terminant par un $3$, un $7$ ou un $9$. On est donc naturellement amené
à penser qu’il y a une infinité de nombres premiers de la forme $10n+a$, si
$a=1$, $3$, $7$ ou $9$, et plus généralement, qu’il y a une infinité de nombres
premiers dans les progressions arithmétiques de la forme $Dn+a$, si $a$ est
premier à $D$.

Le théorème de la progression arithmétique

En adaptant la preuve des grecs de l’existence d’une
infinité [2]
de nombres premiers, il n’est pas difficile de prouver qu’il en existe une infinité
de la forme [3] $4n-1$ ; avec un peu plus de technologie, on montre sans trop de
peine qu’il en existe une infinité de la forme [4] $4n+1$.

Il a fallu attendre 1837 pour que Dirichlet démontre le résultat attendu, à savoir
que les nombres premiers s’équirépartissent dans les progressions
arithmétiques de la forme $Dn+a$, pour $a$ premier à $D$ (théorème de
la progression arithmétique), grâce à un mélange d’analyse de Fourier sur les
groupes finis (avant que la notion de groupe n’ait été dégagée), d’analyse et
de géométrie des nombres : un magnifique résultat avec une splendide démonstration.

Le théorème de Tchebotarev

Alors, fin de l’histoire ? Eh bien non car la théorie de Galois permet de réinterpréter
le résultat de Dirichlet sous une forme [5] qui admet une généralisation naturelle
sous la forme du théorème [6] de Tchebotarev (1926), un des points d’orgue de la théorie
du corps de classes qui a occupé les arithméticiens pendant une quarantaine
d’années autour de 1900. Ce théorème est l’outil le plus puissant dont on dispose
pour produire [7]
des nombres premiers avec des propriétés étranges, ce qui a été
utilisé avec profit par différentes personnes dont Wiles pour sa démonstration
du théorème de Fermat (1994).

La conjecture de Sato-Tate

Fin de l’histoire ? Eh bien non, car Sato (à partir de calculs sur ordinateur pour la
fonction $\Delta$, voir plus loin) et Tate (en s’inspirant du théorème de Tchebotarev),
ont conjecturé (conjecture de Sato-Tate, début des années 1960), que
les nombres premiers s’équirépartissent dans les groupes de Galois motiviques [8].
Le cas de la fonction $\Delta$, qui avait motivé Sato, vient d’être démontré
au début de cet été par Harris et Taylor avec l’aide d’un grand nombre de gens,
en adaptant les méthodes de Wiles et en utilisant une grande partie de ce qui
a été démontré du programme que Langlands a mis sur pieds en 1967,
vaste généralisation de la théorie du corps de classes qui occupe
les arithméticiens depuis lors. Le cas général reste encore largement hors d’atteinte.

La fonction $\Delta$ et la fonction $\tau$ de Ramanujan

La fonction $\Delta$ est l’objet romantique de la théorie des formes modulaires.
Elle est définie par la formule
\[\Delta=q\prod_{n\ge 1}(1-q^n)^{24}\], où $q=e^{2i\pi\,z}$
et
${\rm Im}(z)>0$. On peut développer le produit et écrire $\Delta$ sous la forme
$\Delta=\sum_{n\ge 1}\tau(n) q^n$, où $\tau$ est la fonction de Ramanujan,
ainsi nommée à cause de l’intérêt qu’il lui a porté.

On doit à Ramanujan
deux conjectures (vers 1916) à son sujet, dont l’influence a été considérable.
Selon la première, démontrée très vite par Mordell, on a $\tau(ab)=\tau(a)\tau(b)$,
si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, et
\[ \tau(p^{n+1})-\tau(p)\tau(p^n)+p^{11}\tau(p^{n-1})=0, \]
si $p$ est un nombre premier et $n\ge 1$. La seconde, plus profonde, dit que
$|\tau(p)|\le 2p^{11/2}$, si $p$ est un nombre premier ; elle a été démontrée
par Deligne en 1973 comme conséquence de la conjecture de Riemann pour les
variétés sur les corps finis énoncée par Weil en 1949, et qui a occupé
les géomètres algébristes pendant près de 25 ans.

En combinant un des ingrédients
de Deligne et le théorème de Tchebotarev, on peut
par exemple prouver que si $\ell$ est un nombre premier $>691$, et si $a\in{\mathbf Z}/\ell{\mathbf Z}$ et
$b\in ({\mathbf Z}/\ell {\mathbf Z})^*$, il
existe une infinité de nombres premiers $p$ tel que $\tau(p)=a$ modulo $\ell$
et $p^{11}=b$ modulo $\ell$.

Le théorème de Deligne montre que les racines du polynôme
$X^2-p^{-11/2}\tau(p)X+1$ sont de module $1$. Comme leur produit
vaut $1$, il y a un élément $f_p$ du groupe ${\rm SU}_2$ (bien défini à conjugaison
près) dont ce
sont les valeurs propres, et la conjecture de Sato-Tate dit que les $f_p$ s’équirépartissent
dans ${\rm SU}_2$, ce qui se traduit, de manière plus concrète (mais moins conceptuelle)
par l’énoncé suivant, qui est un théorème depuis cet été : si
$-1\le a\le b\le 1$,

\[\lim_{x\to +\infty}\frac{|\{p\ {\rm premier},\ p\le x \ {\rm et}\ 2a\le p^{-11/2}\tau(p)\le 2b\}|}{|\{p\ {\rm premier},\ p\le x\}|}=\frac{2}{\pi}\int_a^b\sqrt{1-t^2}\,dt.\]

Notes

[1Ceux-ci se trouvent sur une colline mathématique
assez éloignée de celle qui permet de prédire la fréquence moyenne des ouragans
qui vont déferler sur la France si la température continue
à augmenter, mais ils pourraient être à l’origine d’un séisme dans le monde virtuel
si un petit malin trouve le moyen de factoriser les entiers aussi vite
que l’on produit de nouveaux nombres premiers.

[2Il semble bien, à la lecture des programmes officiels, que l’on
puisse entrer à l’École Polytechnique sans avoir rencontré cette preuve.

[3Si l’ensemble des nombres premiers de la forme
$4n-1$ est fini, constitué de $p_1,\dots, p_r$, alors tout diviseur
premier de $4p_1\cdots p_r-1$ est de la forme $4n+1$, ce qui conduit
à une absurdité.

[4Si un nombre premier $p$ divise
$4k^2+1$, alors $-1\equiv (2k)^2$ modulo $p$, et on déduit
du petit théorème de Fermat que $(-1)^{(p-1)/2}\equiv (2k)^{p-1}\equiv 1$
modulo $p$, et donc que $p$ est de la forme $4n+1$. Maintenant,
si l’ensemble des nombres premiers de la forme
$4n+1$ est fini, constitué de $p_1,\dots, p_r$, alors l’ensemble des $4k^2+1$, pour $k\in{\mathbf N}$, est
inclus dans celui des $p_1^{k_1}\cdots p_r^{k_r}$, avec $k_1,\dots, k_r\in {\mathbf N}$.
On aboutit à une contradiction car la somme des inverses des
racines carrées des éléments du premier ensemble
vaut $+\infty$, alors que la somme de ceux du second est finie.

[5Les nombres premiers s’équirépartissent
dans le groupe de Galois du polynôme $X^D-1$ (qui est égal à $({\mathbf Z}/D{\mathbf Z})^*$).

[6Les nombres premiers s’équirépartissent
dans les groupes de Galois ; énoncé qui demanderait à être précisé, mais cela
nous entrainerait un peu loin.

[7I.e. montrer l’existence ; en exhiber explicitement est une autre histoire...

[8Que
je n’ai pas l’intention de définir ici.

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Pour citer cet article :

Pierre Colmez — «Histoires de nombres premiers» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

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