Hormigas auto-obstaculizantes

Piste verte Le 17 juin 2020  - Ecrit par  Aurélien Alvarez, Jos Leys
Le 17 mars 2020  - Traduit par  Andrés Navas
Article original : Fourmis auto-tamponneuses Voir les commentaires
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Una colonia de hormigas cae repentinamente sobre un pedazo de rama abandonada en la tierra y todas se ponen en movimiento : algunas van a la izquierda, otras a la derecha.

  • Cuando dos hormigas se encuentran de frente, ellas rebotan como bolas de billar y parten en sentidos opuestos : aquella que iba hacia la derecha (resp. izquierda) comienza a moverse hacia la izquierda (resp. derecha). La siguiente imagen ilustra la situación.
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  • Cuando una hormiga llega a uno de los extremos, ella cae de la rama.

Problema :
¿ Cuánto tiempo es necesario como máximo para que todas las hormigas caigan de la rama ?

Respuesta al enigma

La respuesta al enigma se vuelve evidente cuando uno tiene la idea de pestañear cada vez que dos hormigas se encuentran de frente. En efecto, si hacemos esto, resulta imposible saber qué sucedió realmente : las dos hormigas pudieron repartir en direcciones opuestas, pero también pudieron haber pasado una sobre la otra siguiendo la misma dirección que llevaban. Esto es ilustrado por la siguiente animación : sobre la rama de abajo las hormigas avanzan imperturbablemente en linea recta.

Se deduce entonces que el tiempo empleado por la colonia de hormigas para caer de la rama es a lo más igual al tiempo que necesita una única hormiga para recorrer toda la rama, y esto independientemente del número de hormigas de la colonia.

Sencillo, ¿ no ? Pero había que pensar... [1]

Una observación sobre el tiempo de giro de las hormigas

Como habrán notado, hemos escogido cuidadosamente el tiempo de giro de las hormigas : este es igual al tiempo requerido por una hormiga para recorrer su propia longitud. Así, en la animación anterior, las secuencias que se desarrollan en las ramas se sincronizan perfectamente. Mientras más pequeñas son las hormigas, más corto es el tiempo de giro. El caso límite de hormigas ’’infinitamente pequeñas’’ corresponde a la situación de un billar ideal.

Para los amantes de las fórmulas...

Si se quiere, se puede dar una fórmula explícita para el tiempo de caída. Para esto, denotemos $v$ la rapidez común de las $N$ hormigas, e identifiquemos la rama al intervalo $[0,L]$. Denotemos además $x_k$ la posición aleatoria de la hormiga $k$-ésima en el instante inicial, y sea $\epsilon_k = \pm 1$ según si esta parte hacia la derecha ($+1$) o a la izquierda ($-1$). El tiempo de caída de la colonia de hormigas es el mayor de los tiempos siguientes : el tiempo empleado por la hormiga más a la izquierda que parte hacia la derecha, y el tiempo que usa la hormiga más a la derecha que parte hacia la izquierda. Esto queda expresado por la fórmula :

\[T_{\text{caída}} = \frac{1}{v}\text{máx}\left\{\text{máx}_{k | \epsilon_k = +1} \{L-x_k\},\text{máx}_{k | \epsilon_k = -1} \{x_k\}\right\}.\]

Se obtiene así la siguiente cota superior :

\[T_{\text{caída}} \leq \frac{L}{v}.\]

Post-scriptum :

Muchas gracias a Serge Cantat por habernos enseñado este problema, así como a los relectures François Guéritaud, Reynald Thelliez y Thomas Sauvaget por sus comentarios y observaciones.

Article original édité par Andrés Navas

Notes

[1Los lectores con problemas para pestañear en los momentos justos pueden imaginar que cada hormiga lleva una banderita, de modo que cuando dos hormigas se encuentran de frente intercambian sus banderitas. Si olvidamos las hormigas y solo nos concentramos en las banderas, todo sucede como si estas se desplazaran en linea recta, independientemente unas de otras.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «Hormigas auto-obstaculizantes» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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