Hugo Duminil-Copin et les transitions de phase

Piste rouge Le 4 février 2017  - Ecrit par  Nicolas Curien Voir les commentaires

Hugo Duminil-Copin vient d’obtenir récemment deux prestigieuses récompenses en mathématiques : le prix de la société mathématique européenne (EMS) et le prix new horizon de la fondation Breakthrough. Encore un bel exemple de l’extraordinaire vitalité des mathématiques françaises ! (Vincent Calvez a également reçu un prix EMS cette année, tout comme 20 français sur 70 précédents lauréats depuis la création de ce prix). Ces prix s’ajoutent à la longue liste des honneurs qu’Hugo a déjà glanés malgré son jeune âge (31 ans). Ancien élève de l’École Normale Supérieure (promotion 2005) Hugo Duminil-Copin s’est spécialisé dans les probabilités et plus précisément « la physique statistique sur réseaux en basse dimension ». Hugo a effectué sa thèse sous la direction de Stanislas Smirnov à l’université de Genève où il a gravi allègrement les échelons universitaires passant de thésard à post-doc puis professeur assistant et enfin professeur ordinaire entre 2008 et 2014 ; guère plus que le temps nécessaire à un mathématicien moyen pour finir sa thèse ! Mais depuis peu, Hugo Duminil-Copin a effectué un retour aux sources et occupe désormais un poste de Professeur permanent à l’IHES, institut qu’Alexandre Grothendieck a rendu célèbre.

La constante de connectivité du réseau en nid d’abeille.

Décrivons pour commencer un résultat fameux (et facilement explicable) d’Hugo Duminil-Copin et de Stanislas Smirnov. Il s’agit de compter les marches auto-évitantes, c’est-à-dire les chemins simples qui ne se recroisent pas, sur le réseau en nid d’abeille et qui démarrent de l’origine du réseau, voir Figure 1.

Fig.1 Une marche auto-évitante de longueur $31$ sur le réseau en nid d’abeille.

Bernard Nienhuis, un physicien théoricien, prédit en 1982 que le nombre de telles marches autoévitantes de longueur $n$ devait se comporter [1] comme \[ \sqrt{ 2 + \sqrt{2}}^{n} \approx (1.847...)^{n}.\] Ce nombre $ \sqrt{2+\sqrt{2}}$ est appelé la constante de connectivité du réseau. Les arguments de Nienhuis n’étaient hélas pas rigoureux et il a fallu attendre 2010 pour que Hugo Duminil-Copin et Stanislas Smirnov prouvent finalement que la conjecture de Nienhuis était correcte [2].

Outre le joli résultat décrit ci-dessus, les apports d’Hugo et de ses collaborateurs [3] dans le domaine des probabilités et de la physique statistique sont nombreux et variés, mais un thème récurrent dans ses travaux est l’étude fine des transitions de phase. Que le lecteur se rassure, le but de cet article n’est pas d’exposer toutes les contributions d’Hugo Duminil-Copin (j’en serais bien incapable) mais d’illustrer à l’aide d’exemples simples (voire simplistes) et d’articles déjà parus dans IdM cette notion de transition de phase.

Les transitions de phase

Une définition "physique’’

Vous avez tous rencontré une transition de phase dans votre vie : l’eau liquide se transforme en glace lorsque la température passe sous les $0^{°}$Celsius (sous la pression atmosphérique standard). En physique on parle d’une transition de phase lorsque le système (ici l’eau dans notre récipient) subit une transformation provoquée par la variation d’un paramètre (ici la température). Plus précisément, cette transformation doit être « brutale » et induite par un changement infinitésimal du paramètre. Reprenons notre exemple : les propriétés physiques de l’eau à $0,1^{°}$C sont quasiment identiques à celle de l’eau à $2^{°}$C et vous seriez bien incapables de distinguer deux verres d’eau à $0,1^{°}$C et à $2^{°}$C (sans thermomètre). Mais si l’on baisse la température d’un chouïa pour atteindre $-0,1^{°}$C alors cette petite variation du paramètre a induit un changement brusque des propriétés physiques du modèle : l’eau du verre a gelé !!! Il existe bien d’autres exemples de transition de phase en physique (changement d’état d’un fluide, perte de l’aimantation d’un métal à haute température, apparition de la supraconductivité à basse température...).

Un premier modèle simpliste

Nous allons commencer par un modèle mathématique simpliste du phénomène de transition de phase : l’élévation à une grande puissance. Je m’explique : prenez un nombre réel $p\geq 0$ et élevez-le à la puissance $n \geq 1$, vous obtenez alors $p \, \times \, p \, \times ... \times \, p = p^{n}$. Dans cet exemple le « système » est $p^{n}$ et le paramètre est $p \geq 0$. Il n’y a bien entendu pas de transition de phase car une petite variation du paramètre $p$ pour passer de $p$ à $p' \approx p$ n’induit pas de gros changement car $p^{n} \approx (p')^{n}$ (on dit que la fonction $p \mapsto p^{n}$ est continue en le paramètre $p \geq 0$). Mais imaginons, comme en physique, que notre système soit très grand (un verre d’eau contient « quasiment une infinité » de molécules) c’est-à-dire que $n$ est "infini’’. En termes mathématiques, on dit que l’on prend la limite quand $n \to \infty$. En notant $p^{\infty}$ cette limite il est bien connu que
\[ p^{\infty} = \lim_{n \to \infty} p^{n} = \left\{ \begin{array}{ll} \infty & \mbox{ si }p >1\\ 1 & \mbox{ si }p=1\\ 0 & \mbox{ si } 0 \leq p <1.\end{array}\right.\]
On peut alors dire que ce système $p^{\infty}$ possède une transition de phase en $p$ car si l’on part d’un paramètre $p=0,999$ alors notre système renvoie $p^{\infty} =0$, mais si ce paramètre initial change d’une quantité infime pour passer à $p=1,001$ alors soudainement le système passe de $0,999^{\infty}=0$ à $1,001^{\infty} = \infty$. On dit alors que la valeur $p =1$ est critique pour ce système. Bien que trivial, ceci constitue l’archétype d’une transition de phase, notamment un comportement singulier au point critique (nous y reviendrons).

Le modèle de Bienaymé—Galton—Watson

L’exemple précédent nous a appris une chose : si l’on veut concevoir un modèle mathématique avec une transition de phase, mieux vaut que ce modèle soit infini (sinon il risque d’être continu en son paramètre). Cependant l’exemple $p^{\infty}$ était décevant car totalement déterministe et non physique. Nous allons donc décrire un nouveau modèle, un peu moins simpliste et incorporant une bonne dose d’aléatoire : il s’agit du modèle de population de Bienaymé—Galton—Watson. Ce modèle a été déjà été décrit dans IdM ici et nous renvoyons le lecteur à ce bel article pour les détails. Nous redéfinissons tout de même brièvement le cadre pour votre confort. On considère l’évolution (aléatoire !) d’une population d’individus en temps discret $n= 0,1,2, ...$. Initialement on démarre avec un seul individu (l’ancêtre) et à chaque étape de temps $n \to n+1$ chacun des individus présents au temps $n$ se reproduit en mourant et a $0$ ou $2$ enfants à la génération $n+1$ avec probabilités respectives de $(1-p)$ et $p$. Ici $p$ qui varie entre $0$ et $1$ est le paramètre de notre système. Voici une réalisation possible de l’arbre généalogique (aléatoire) d’une telle population :

Fig. 2. Exemple de réalisation d’un arbre généalogique aléatoire obtenu avec les règles précédentes. Dans cet exemple, l’ancêtre a eu $2$ enfants. Le premier de ces enfants n’a pas eu de descendance, alors que le second a eu deux enfants qui ont eu chacun deux enfants... La généalogie est ici éteinte après $4$ générations. Les probabilités correspondantes à chaque reproduction sont indiquées sur la figure.

Bien entendu, dans ce modèle, la généalogie dépend du hasard, et l’on va s’intéresser à la probabilité que la généalogie ne s’arrête pas ou de manière équivalente que l’arbre généalogique soit infini. Il est alors très bien expliqué dans cet article que cette probabilité est la plus grande solution $x$ entre $0$ et $1$ à l’équation
\[ ( 1 - x) = p (1-x)^{2}+(1-p).\]
C’est une équation du second degré et un exercice de classe de seconde montre que les deux racines de cette équation sont $x=0$ et $x= \frac{2p-1}{p}$. Puisque l’on doit prendre la plus grande solution entre $0$ et $1$ on en déduit le théorème suivant :

Théorème : Si $0\leq p \leq \frac{1}{2}$ alors la généalogie aléatoire s’éteint au bout d’un certain temps [4]. En revanche quand $ \frac{1}{2}< p \leq 1$ il y a une probabilité strictement positive (et égale à $(2p-1)/p$) pour que la généalogie survive indéfiniment.

Ré-écrivons ce résultat en langage courant en remarquant que dans ce modèle le nombre moyen d’enfants d’un individu est égal à $2p + 0 (1-p) = 2p$.

Théorème : Dans le modèle précédent, si le nombre moyen d’enfants d’un individu est plus petit ou égal à $1$ alors la population finira par s’éteindre avec probabilité égale à 1. En revanche si le nombre moyen d’enfants par individu est $>1$ alors il y a une probabilité strictement positive pour que la généalogie perdure indéfiniment.

C’est effectivement une transition de phase pour le système car si l’on change le paramètre, disons le nombre moyen d’enfants, pour passer de $0.999$ à $1.001$ bien que ce changement soit quasiment invisible du point de vue d’un individu, il a des effets dramatiques sur la population générale (soit celle-ci s’éteint, soit elle peut perdurer ad vitam aeternam). Ce résultat a des conséquences philosophiques importantes sur la démographie mondiale, mais ce n’est pas notre propos ici.

Interprétation en modèle de percolation

Ré-interprétons le modèle de la section précédente comme un modèle de percolation afin de se rapprocher des travaux d’Hugo Duminil—Copin. On considère tout d’abord l’arbre binaire complet qui est simplement l’arbre généalogique déterministe d’une population partie d’un unique ancêtre et où tous les individus ont exactement $2$ enfants. On procède alors à une percolation (indépendante et par site) sur ce modèle de paramètre $p$, c’est-à-dire que chaque sommet du graphe est gardé avec probabilité $p$ ou détruit avec probabilité $(1-p)$, ici encore $0 \leq p \leq 1$.

Fig. 3. De gauche à droite : l’arbre binaire complet (ses $4$ premières générations), une percolation sur ce graphe où les sommets détruits sont signalés par des croix rouges et enfin la composante de l’origine bloquée par les sommets détruits.

Dans la théorie de la percolation, la question fondamentale est de savoir si la composante de l’origine (c’est-à-dire le plus grand sous graphe que l’on peut visiter en partant de l’ancêtre à l’origine et sans traverser de sommets détruits) est infinie ou pas. Si cela arrive avec probabilité strictement positive on dit qu’il y a percolation. Dans le modèle ci-dessus, on peut se convaincre que la composante de l’origine est exactement décrite par le modèle Bienaymé—Galton—Watson de la section précédente avec le même paramètre $0 \leq p \leq 1$. Ainsi le théorème ci-dessus peut se ré-interpréter de la façon suivante :

Théorème : Dans le modèle ci-dessus si $p \leq 1/2$ alors il n’y a pas percolation, et si $p >1/2$ il y a percolation.

Là aussi, on dira qu’il y a une transition de phase pour la percolation par site sur l’arbre binaire complet au point critique $p= \frac{1}{2}$ car la variation infime du paramètre au voisinage de la valeur $p= \frac{1}{2}$ a des influences dramatiques sur la géométrie de la percolation sur l’arbre (par exemple l’existence ou non de composantes infinies).

Les apports d’Hugo Duminil-Copin

La plupart des travaux d’Hugo Duminil-Copin étudient des phénomènes de transitions de phase pour des modèles de percolation généralisant le modèle ci-dessus (par exemple le modèle d’Ising ou la percolation de Fortuin—Kasteleyn) sur les réseaux périodiques en dimension $2$ et $3$ (voir figure ci-dessous).

Fig. 4. Le réseau périodique ``carré’’ standard en dimension $2$ et $3$.

Ces modèles sont bien plus proches de la nature et ont été introduits par les physiciens au début du siècle dernier pour modéliser les transitions de phase de la physique du solide. Malheureusement (ou heureusement) les preuves sont bien plus compliquées sur ces réseaux que sur l’arbre binaire complet et beaucoup de questions mathématiques restent sans réponse. Ne serait-ce que l’identification de la valeur critique du paramètre à laquelle la transition de phase apparaît (rappelez-vous c’est le $0^{°}$C pour la transition eau-glace) est un problème en général très compliqué. Vincent Beffara et Hugo Duminil-Copin ont identifié le paramètre critique pour certains modèles importants
 [5] qui avaient résisté aux
efforts des mathématiciens depuis plusieurs dizaines d’années. Une autre question sur laquelle Hugo Duminil-Copin et ses collaborateurs se sont penchés est la compréhension de ce qui se passe exactement au point critique dans les différents modèles. Dans l’exemple de la percolation par site sur l’arbre binaire au paramètre critique $p= \frac{1}{2}$ le théorème montre qu’il n’y a pas de percolation. Mais pour d’autres modèles, il peut y avoir percolation au point critique comme l’ont montré Hugo et ses collaborateurs [6].

Quoi de mieux pour se faire une idée sur ces travaux que de lire l’article d’Hugo Duminil-Copin dans Images des maths ?

Fig. 5. Images de percolation dans le réseau carré de dimension 2. De gauche à droite, à mesure que l’on augmente la probabilité $p$ de présence des sommets, l’amas connecté aux bords (en rouge) augmente et occupe brusquement quasiment tout l’espace. La figure centrale, prise au point critique, suggère des formes fractales qui ont été étudiées notamment par Stanislas Smirnov et Wendelin Werner, voir l’article ci dessus pour en savoir plus.

Post-scriptum :

Merci à Jérôme Buzzi et à Hugo Duminil-Copin, ainsi qu’aux relecteurs C. Caubel et F. Guéritaud pour leurs relectures attentives de cet article et pour leurs commentaires.

Article édité par Jérôme Buzzi

Notes

[1plus précisément si $M_{n}$ est le nombre de marches auto-évitantes de longue $n$ alors la conjecture était que $\log M_{n}/n \to \log( \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ quand $n \to \infty$. En fait, Nienhuis a même conjecturé que plus précisément $M_{n} \sim C \sqrt{2 + \sqrt{2}}^{n} n^{ \frac{11}{32}}$ pour une certaine constante $C>0$ et cette conjecture est encore ouverte de nos jours.

[3Hugo m’a confié un jour qu’adolescent il avait hésité entre une carrière dans les mathématiques ou le handball. C’est peut-être de la pratique de ce sport collectif qu’il a gardé un goût prononcé pour la pratique des mathématiques collaboratives ?

[4c’est-à-dire que l’arbre s’éteint au bout d’un certain temps avec une probabilité de 100%

[5Pour les connaisseurs, il s’agit de la percolation de ``Fortuin—Kesteleyn’’ sur $\mathbb{Z}^2$.

[6Plus précisément ils ont montré que pour le modèle d’Ising en dimension $3$ il n’y a pas percolation au point critique alors qu’il y a percolation au point critique pour la percolation "Fortuin—Kasteleyn de paramètre $q >4$’’ en dimension $2$

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Pour citer cet article :

Nicolas Curien — «Hugo Duminil-Copin et les transitions de phase» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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