Hugo Duminil-Copin y las transiciones de fase

Piste rouge Le 4 février 2017  - Ecrit par  Nicolas Curien
Le 4 février 2017  - Traduit par  Andrés Navas
Article original : Hugo Duminil-Copin et les transitions de phase Voir les commentaires
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Este artículo fue originalmente publicado en 2017. Lo republicamos en julio de 2022, días después del otorgamiento de la Medalla Fields a Hugo Duminil-Copin.

Hugo Duminil-Copin ha obtenido recientemente dos prestigiosos premios de matemáticas : el premio de la European Mathematical Society (EMS) y el premio nuevo horizonte de la Fundación Breakthrough. ¡Otro buen ejemplo de la extraordinaria vitalidad de las matemáticas francesas ! (Vincent Calvez también recibió un premio EMS este año, al igual que 20 franceses de los 70 ganadores anteriores desde la creación de este premio). Estos galardones se suman a la larga lista de reconocimientos que Hugo ya ha cosechado a pesar de su corta edad (31). Ex-alumno de la École Normale Supérieure (promoción de 2005) Hugo Duminil-Copin se especializó en probabilidades y más precisamente en ’’física estadística en redes de baja dimensión’’. Hugo realizó su tesis bajo la supervisión de Stanislas Smirnov en la Universidad de Ginebra, donde subió alegremente la escala universitaria, pasando de doctorado a posdoctorado, luego profesor asistente y finalmente profesor titular entre 2008 y 2014... ¡apenas más que el tiempo necesario para que un matemático promedio termine su tesis ! Pero recientemente, Hugo Duminil-Copin ha vuelto a sus raíces y ahora ocupa una cátedra permanente en el IHES, el instituto que Alexandre Grothendieck hizo famoso.

La constante de conectividad de la red del panal de abejas.

Comencemos describiendo un resultado famoso (y fácilmente explicable) de Hugo Duminil-Copin y Stanislas Smirnov. Se trata de contar los caminos que se evitan a sí mismos, es decir, los caminos que no se vuelven a cruzar, en la red del panal de abejas, que además comienzan en el origen de la red ; ver la Figura 1.

Fig.1 Un camino de longitud $31$ que se evita a sí mismo sobre la red del panal de abejas.

Bernard Nienhuis, un físico teórico, predijo en 1982 que el número de tales caminos de largo $n$ debía comportarse [1] como \[ \sqrt{ 2 + \sqrt{2}}^{n} \approx (1.847...)^{n}.\] Este número $\sqrt{2+\sqrt{2}}$ es llamado constante de conectividad de la red. Desafortunadamente, los argumentos de Nienhuis no fueron rigurosos, y Hugo Duminil-Copin y Stanislas Smirnov tardaron hasta 2010 en demostrar finalmente que la conjetura de Nienhuis era correcta [2].

Además de este hermoso resultado, las contribuciones de Hugo y sus colaboradores [3] en el campo de la probabilidad y la física estadística son numerosos y variados, pero un tema recurrente en su obra es el estudio pormenorizado de transiciones de fase. Tranquilícese el lector : el propósito de este artículo no es exponer todas las contribuciones de Hugo Duminil-Copin (sería incapaz de hacerlo), sino ilustrar con la ayuda de ejemplos simples (incluso simplistas) y artículos ya publicados en Paisajes Matemáticos esta noción de transición de fase.

Las transiciones de fase

Una definición "física’

Todos hemos experimentado con las transiciones de fase : el agua líquida se convierte en hielo cuando la temperatura cae por debajo de $0^{°}$Celsius (con presión atmosférica estándar). En física hablamos de transición de fase cuando el sistema (aquí, el agua de nuestro recipiente) sufre una transformación provocada por la variación de un parámetro (aquí, la temperatura). Más precisamente, esta transformación debe ser “brutal” e inducida por un cambio infinitesimal del parámetro. Volvamos a nuestro ejemplo : las propiedades físicas del agua a $0,1^{°}$C son casi idénticas a las del agua a $2^{°}$C, y nadie podría distinguir dos vasos de agua a $0,1^{ °}$C y a $2^{°}$C sin termómetro. Pero si la temperatura se reduce un poco para llegar a $-0.1^{°}$C, entonces esta pequeña variación en el parámetro ha inducido un cambio repentino en las propiedades físicas del modelo : ¡el agua en el vaso se ha congelado ! Hay muchos otros ejemplos de transición de fase en física (cambio de estado de un fluido, pérdida de magnetización de un metal a alta temperatura, aparición de superconductividad a baja temperatura, etc).

Un primer modelo simplista

Comenzaremos con un modelo matemático simplista del fenómeno de transición de fase : el ascenso a una gran potencia. Para explicarlo, tomemos un número real $p\geq 0$ y elevémoslo a la potencia $n \geq 1$ para obtener $p\, \times\, p\, \times ... \times\, p = p^{n}$. En este ejemplo, el ’’sistema’’ es $p^{n}$ y el parámetro es $p \geq 0$. Por supuesto, no hay transición de fase porque una pequeña variación del parámetro $p$ para pasar de $p$ a $p' \approx p$ no induce un gran cambio, pues $p^{n} \approx (p') ^{n}$ (decimos que la función $p \mapsto p^{n}$ es continua en el parámetro $p \geq 0$). Pero imaginemos, como en la física, que nuestro sistema es muy grande (un vaso de agua contiene ’’casi una infinidad’’ de moléculas), es decir, que $n$ es ’’infinito’’. En términos matemáticos, se dice que tomamos el límite cuando $n \to \infty$. Denotando $p^{\infty}$ este límite, es bien sabido que
\[ p^{\infty} = \lim_{n \to \infty} p^{n} = \left\{ \begin{array}{ll} \infty & \mbox{ si }p >1\\ 1 & \mbox{ si }p=1\\ 0 & \mbox{ si } 0 \leq p <1.\end{array}\right.\]
Podemos decir entonces que este sistema $p^{\infty}$ tiene una transición de fase en $p$, porque si partimos de un parámetro $p=0.999$ entonces nuestro sistema devuelve $p^{\infty} =0$, pero si este parámetro inicial cambia en una pequeña cantidad a $p=1,001$, de repente el sistema pasa de $0,999^{\infty}=0$ a $1,001^{\infty} = \infty$. Así, el valor $p =1$ es crítico para este sistema. Aunque todo esto sea trivial, constituye el arquetipo de una transición de fase, en particular de un comportamiento singular en el punto crítico (volveremos a esto).

El modelo de Bienaymé—Galton—Watson

El ejemplo anterior nos enseña una cosa : si queremos diseñar un modelo matemático de transición de fase, es mejor que este modelo sea infinito (de lo contrario, corre el riesgo de ser continuo en su parámetro). Sin embargo, el ejemplo de $p^{\infty}$ es decepcionante porque es totalmente determinista y no físico. Por tanto, vamos a describir un nuevo modelo, un poco menos simplista y que incorpora una buena dosis de aleatoriedad : se trata del modelo poblacional de Bienaymé—Galton—Watson. Este modelo ya fue descrito en este excelente artículo de Paisajes Matemáticos, al cual remitimos al lector para obtener más detalles. Sin embargo, redefinimos brevemente el contexto para su conveniencia. Consideramos la evolución (¡aleatoria !) de una población de individuos en tiempo discreto $n= 0,1,2, ...$. Inicialmente comenzamos con un solo individuo (el ancestro) y, en cada paso de tiempo $n \to n+1$, cada uno de los individuos presentes en el tiempo $n$ se reproduce al morir en $0$ o $2$ hijos de la generación $n+ 1$ con probabilidades respectivas $(1-p)$ y $p$. Aquí, $p$ varía entre $0$ y $1$, y es el parámetro de nuestro sistema. Esta es una posible realización del árbol genealógico (aleatorio) de tal población :

Fig. 2. Ejemplo de realización de un árbol genealógico aleatorio obtenido con las reglas anteriores. En este ejemplo, el antepasado tuvo $2$ hijos. El primero de estos hijos no tuvo descendencia, mientras que el segundo tuvo dos hijos, cada uno de los cuales tuvo dos hijos... La genealogía aquí se extingue después de $4$ generaciones. Las probabilidades correspondientes a cada reproducción se indican en la figura.

Por supuesto, en este modelo, la genealogía depende del azar, y nos interesará la probabilidad de que la genealogía no se detenga o, de manera equivalente, que el árbol genealógico sea infinito. En este artículo está muy bien explicado que esta probabilidad es la solución más grande $x$ entre $0$ y $1$ de la ecuación
\[ (1 - x) = p (1-x)^{2}+(1-p).\]
Esta es una ecuación cuadrática, y un ejercicio muestra que sus dos raíces son $x=0$ y $x= \frac{2p-1}{p}$. Como debemos tomar la solución más grande entre $0$ y $1$, deducimos el siguiente teorema :

Teorema : Si $0\leq p \leq \frac{1}{2}$, entonces la genealogía aleatoria se extingue en cierto tiempo [4]. En cambio, si $ \frac{1}{2}< p \leq 1$, hay una probabilidad estrictamente positiva (igual a $(2p-1)/p$) para que la genealogía sobreviva indefinidamente.

Rescribamos este resultado en lenguaje corriente notando que, en este modelo, la cantidad promedio de niños por individuo es igual a $2p + 0 (1-p) = 2p$.

Teorema : En el modelo anterior, si el promedio de hijos de un individuo es menor o igual que $1$, entonces la población eventualmente se extinguirá con probabilidad igual a 1. Por otro lado, si el promedio de hijos por individuo es $ >1$, entonces hay una probabilidad estrictamente positiva de que la genealogía persista indefinidamente.

Se trata efectivamente de una transición de fase para el sistema, porque si cambiamos el parámetro, digamos el número promedio de niños, de $0.999$ a $1.001$, entonces, aunque este cambio es casi invisible desde el punto de vista de un individuo, tiene efectos dramáticos en la población en general (o se extingue, o puede continuar ad vitam aeternam). Este resultado tiene importantes consecuencias filosóficas para la demografía mundial, pero este no es nuestro propósito aquí.

Interpretación en modelo de percolación

Reinterpretemos el modelo del apartado anterior como un modelo de percolación para acercarnos a la obra de Hugo Duminil-Copin. Primero consideramos el árbol binario completo, que es simplemente el árbol genealógico determinista de una población a partir de un solo ancestro y donde todos los individuos tienen exactamente $2$ hijos. Luego procedemos a una percolación (independiente y por sitio) sobre este modelo con parámetro $p$. En otras palabras, cada vértice del gráfico se mantiene con probabilidad $p$ o se destruye con probabilidad $( 1-p)$, donde nuevamente $0 \leq p \leq 1$.

Fig. 3. De izquierda a derecha : el árbol binario completo (sus $4$ primeras generaciones), una percolación sobre este grafo en que los vértices destruidos son marcados con cruces rojas y la componente del origen bloqueada por los vértices destruidos.

En la teoría de la percolación, la cuestión fundamental es si la componente del origen (es decir, el subgrafo más grande que se puede visitar partiendo del ancestro en el origen y sin cruzar vértices destruidos) es infinito o no. Si esto sucede con probabilidad estrictamente positiva, decimos que hay percolación. En el modelo anterior, podemos convencernos de que la componente del origen está exactamente descrita por el modelo de Bienaymé—Galton—Watson de la sección anterior con el mismo parámetro $0 \leq p \leq 1$. Por lo tanto, el teorema anterior se puede reinterpretar de la siguiente manera :

Teorema : En el modelo anterior, si $p \leq 1/2$, entonces no hay percolación, y si $p >1/2$, hay percolación.

Aquí también diremos que hay una transición de fase para la percolación por sitio en el árbol binario completo en el punto crítico $p= \frac{1}{2}$, porque una variación mínima del parámetro en la vecindad del valor $p= \frac{1}{2}$ tiene influencias dramáticas en la geometría de la percolación en el árbol (por ejemplo, la existencia o no de componentes infinitas).

Las contribuciones de Hugo Duminil-Copin

La mayoría de los trabajos de Hugo Duminil-Copin estudian fenómenos de transición de fase para modelos de percolación que generalizan el modelo anterior (por ejemplo, el modelo de Ising o la percolación de Fortuin-Kasteleyn) en redes periódicas de tamaño $ 2 $ y $ 3 $ (ver la figura a continuación).

Fig. 4. La red periódica ’’cuadrada’’ estándar en dimensión $2$ y $3$.

Estos modelos están mucho más cerca de la naturaleza y fueron introducidos por los físicos a principios del siglo pasado para modelar las transiciones de fase en la física del estado sólido. Desafortunadamente (o afortunadamente), las pruebas son mucho más complicadas en estas redes que en el árbol binario completo, y muchas preguntas matemáticas quedan sin respuesta. Incluso, identificar el valor crítico del parámetro en el que se produce la transición de fase (recuerde que este es el $0^{°}$C para la transición agua-hielo) suele ser un problema muy complicado. Vincent Beffara y Hugo Duminil-Copin han identificado el parámetro crítico para algunos modelos importantes [5] que había resistido los esfuerzos de los matemáticos durante varias décadas. Otra cuestión que han abordado Hugo Duminil-Copin y sus colaboradores es entender qué sucede exactamente en el punto crítico en los diferentes modelos. En el ejemplo de percolación por sitio en el árbol binario en el parámetro crítico $p= \frac{1}{2}$, el teorema muestra que no hay percolación. Pero para otros modelos, puede haber percolación en el punto crítico, como lo muestran Hugo y sus colaboradores [6].

¿Qué mejor para hacerse una idea de estos trabajos que leer el artículo de Hugo Duminil-Copin en Paisajes Matemáticos ?

Fig. 5. Imágenes de percolación en el retículo cuadrado de dimensión 2. De izquierda a derecha, a medida que aumentamos la probabilidad $p$ de la presencia de los vértices, el cúmulo conectado a las aristas (en rojo) aumenta y, de repente, ocupa casi todo el espacio. La figura central, tomada en el punto crítico, sugiere formas fractales que han sido estudiadas en particular por Stanislas Smirnov y Wendelin Werner. Consulte el artículo anterior para obtener más información..

Post-scriptum :

Gracias a Jérôme Buzzi y a Hugo Duminil-Copin, así como a los relectores C. Caubel y F. Guéritaud por sus relecturas atentas de este artículo y sus comentarios.

Article original édité par Jérôme Buzzi

Notes

[1Si $M_{n}$ es el número de caminos sin autointersección de longitud $n$, entonces la conjetura decía que $\log M_{n}/n \to \log( \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ cuando $n \to \infty$. De hecho, Nienhuis conjeturó que, más precisamente, $M_{n} \sim C \sqrt{2 + \sqrt{2}}^{\hspace{0.2cm} n} n^{ \frac{11}{32}}$ para cierta constante $C>0$. Esta conjetura sigue abierta hasta nuestros días.

[3Hugo me dijo un día que cuando era adolescente había dudado entre la carrera de matemáticas o el balonmano. ¿Será acaso de la práctica de este deporte colectivo de donde guardó un fuerte gusto por las matemáticas colaborativas ?

[4Es decir, el árbol se extingue en un tiempo finito con probabilidad de 100%

[5Para los conocedores, esta es la filtración de ’’Fortuin-Kesteleyn’’ en $\mathbb{Z}^2$.

[6Más precisamente, demostraron que para el modelo Ising, en dimensión $3$ no hay percolación en el punto crítico, mientras que hay percolación en el punto crítico para el ’’Fortuin—Kasteleyn de parámetro $q >4$’’ en dimensión $2$

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «Hugo Duminil-Copin y las transiciones de fase» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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