Les mathématiques dans l’économie

Le 16 décembre 2013  - Ecrit par  Lluis Artal, Josep Sales Voir les commentaires

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré

Cet article a été écrit en partenariat avec RBA

L’Institut Henri Poincaré et Images des Mathématiques ont uni leurs efforts pour superviser la réédition de la collection Le monde est mathématique,
publiée par RBA en partenariat avec Le Monde. En 40 ouvrages, cette collection de qualité, issue
d’un projet collectif de mathématiciens espagnols, vise à présenter,
à travers une grande variété de points de vue, de multiples facettes
des sciences mathématiques, sous un aspect historique, humain, social,
technique, culturel ...

Reprise et améliorée au niveau de la forme, cette nouvelle édition a été
entièrement lue et corrigée par l’équipe d’Images des Mathématiques ;
des préfaces et listes bibliographiques ont été ajoutées. Le Monde consacre un cahier spécial au lancement de cette collection présentée par Cédric Villani, qui en a écrit la préface générale.

Chaque semaine, à l’occasion de la sortie d’un nouveau numéro de la série,
un extrait sélectionné sera présenté sur Images des Mathématiques, suivi du sommaire du livre.

Extrait de la Postface - Les modèles mathématiques en économie

Pourquoi est-il aussi difficile d’agir ensemble ?

[...]

Transports urbains

Passons maintenant à un problème en apparence complètement différent : l’organisation
des transports dans une ville. Il s’agit de comparer l’effet sur les automobilistes
de l’ouverture d’une ligne de bus et d’une ligne de métro. Comme d’habitude,
nous allons construire un petit modèle pour étayer notre réflexion, que nous pourrons
nourrir par la suite. Dans cette première étape, nous allons nous focaliser sur la
durée du transport, en négligeant tous les autres éléments, et notamment son coût.
Le graphique suivant indique le temps nécessaire pour aller en voiture d’un point
A à un point B en fonction du nombre de voitures qui prennent la route. On obtient
une courbe G, dont chaque point associe un temps (mesuré sur l’axe vertical)
à un nombre (sur l’axe horizontal) :

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Voitures seules. Le point d’équilibre est m.

On voit que s’il n’y a personne, on met une demi-heure, et que si toutes les
voitures sont sur la route, il faut 2 heures. Comme il n’y a pas d’alternative, tout le monde prend sa voiture, et tout le monde met 2 heures. Le conseil municipal considère
que la situation est inacceptable, et met en place un service de bus. Au bout de
quelque temps, il s’aperçoit que c’est pire qu’avant : les gens continuent à prendre
leur voiture, le trafic est plus dense à cause des bus, mais ils roulent à vide ! Pourquoi
 ? Le diagramme suivant va nous l’expliquer.

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Voitures et bus. Le point d’équilibre est toujours m.

La courbe supérieure représente le temps nécessaire aux bus pour relier A à B,
en fonction du nombre de voitures qui prennent la route. Disons que dans toutes
les circonstances le bus met plus de temps que la voiture : si la route n’est pas encombrée,
le trajet prend 50 minutes, mais si toutes les voitures sont de sortie, il
prend 2 heures et 20 minutes. Le conseil municipal escomptait que tout le monde
prendrait le bus, laissant sa voiture au garage, et que les bus rouleraient donc sur une
route dégagée : chacun mettrait 50 minutes pour aller de A à B, au lieu de 2 heures
précédemment ! C’est ce qui s’est passé le premier jour. Mais dès le lendemain,
quelques petits malins ont pris leur voiture pour gagner du temps, et sont arrivés 20
minutes plus tôt. Cela a donné des idées à d’autres, qui ont pris leur voiture également,
encombrant la route davantage : les bus ont mis plus de temps, les voitures
aussi, mais elles sont quand même arrivées les premières. De fil en aiguille, les gens
se sont aperçus que l’on avait toujours intérêt à prendre la voiture. Ainsi, tout le
monde a pris sa voiture et s’est retrouvé bloqué dans les embouteillages, mettant
2 heures pour aller de A à B et roulant à côté de bus vides. À l’arrivée, chacun se
félicite de n’avoir pas pris le bus, car cela aurait pris 20 minutes de plus ! Voilà une situation
qui ressemble fort au paradoxe d’Olson : un groupe de personnes qui
choisissent librement de mettre 2 heures pour aller à leur travail, alors qu’elles pourraient
ne mettre que 50 minutes. Il y aurait avantage à les contraindre de prendre le
bus, mais le conseil municipal n’en a pas le pouvoir. Finalement, créer la ligne de
bus n’aura servi à rien.

Comparons cela à ce qui se serait passé si l’on avait construit à la place une ligne
de métro. Le métro, lui, est insensible à la congestion sur la route : disons qu’il met
50 minutes pour aller de A à B. En dessinant sur le même graphique la durée du
trajet en métro (représentée par une horizontale H) et en voiture (la courbe G de
tout à l’heure), on obtient la figure suivante :

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Voitures et bus. Le nouveau point d’équilibre est m’.

Le point d’intersection de G et de D fournit la réponse à la question. Il donne
le nombre n d’automobilistes qui sont sur la route quand le temps de trajet est de
50 minutes. On peut prédire que si l’on met en service la ligne de métro, il y aura
exactement n personnes qui prendront leur voiture, que les autres la laisseront au
garage et prendront le métro, et que tout le monde mettra 50 minutes pour aller
de A à B.

Pourquoi cela ? Eh bien, partons d’une situation quelconque, imaginons par
exemple que le jour où l’on ouvre la ligne, tout le monde prenne sa voiture. Tout
le monde met deux heures, et le soir quelques-uns se disent qu’ils iraient plus vite
en métro. Le lendemain, il y a moins de monde sur la route, on est passé de N
(nombre total d’automobilistes) à N’ < N, les voitures vont plus vite, mais le
temps de parcours reste plus long qu’en métro. Le lendemain, les premiers usagers
reviennent, car ils ont gagné du temps, et de nouveaux se joignent à eux. Les voitures
vont encore plus vite, mais le processus continuera jusqu’à ce que les trajets en
voiture et en métro soient équilibrés, ce qui correspond au point d’intersection de
H et de G, avec n personnes sur la route. À ce moment, tout le monde met 50 minutes,
que ce soit en métro ou en voiture, et la situation est stabilisée. Aucun automobiliste
n’a intérêt à prendre le métro : comme sa voiture n’encombre plus la
route, les autres iront plus vite et mettront (un peu) moins de 50 minutes, alors que
le métro mettra 50 minutes comme avant. Aucun usager du métro n’a intérêt à
prendre sa voiture : elle augmentera la congestion générale, et le trajet prendra donc
(un peu) plus de temps.

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La régulation de la circulation en milieu urbain peut être étudiée avec des modèles mathématiques.

Ainsi, le métro présente un grand avantage sur le bus : il n’est pas ralenti par les
encombrements. Dans la vraie vie, où les gens partent à des heures différentes, peuvent
prendre des itinéraires différents, et où les coûts jouent un rôle prépondérant
(coûts financiers bien sûr, mais aussi coût en temps : il faut pouvoir se rendre à la
station de métro, ou garer la voiture quand on arrive à son travail), la situation est
plus complexe, mais cet avantage subsiste. Cependant, construire une ligne de métro
coûte très cher, et ce n’est pas toujours possible. C’est pourquoi on voit les municipalités tenter par tous les moyens d’en recréer les avantages en adaptant les transports
existants : couloirs réservés pour les bus, qui les isolent du trafic, ou – mieux
encore – création de lignes de tramway.

L’équilibre de Nash

Qu’y a-t-il de commun entre les trois situations que nous avons décrites ? La réponse
est due à John Nash, le génial mathématicien dont la vie a fait l’objet du livre
A Beautiful Mind (Sylvia Nasar), porté à l’écran en 2001. Dans un article de deux
pages, publié en 1950, qui lui valut le prix Nobel d’économie 44 ans après, Nash
définit les « équilibres » qui portent désormais son nom. Un équilibre de Nash est
un contrat que chacun des signataires a intérêt à respecter si tous les autres le font :
les déviations unilatérales sont automatiquement pénalisées.

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John Nash, prix Nobel d’économie, a défini les équilibres nécessaires pour surmonter les paradoxes de Mancur Olson.

[...]

PDF - 1.5 Mo
Sommaire du livre

Pour aller plus loin

Voici quelques articles sur ce sujet :

Post-scriptum :

L’extrait proposé est choisi par le préfacier du livre : Avner Bar-Hen. Celui-ci répondra aux commentaires éventuels.

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Pour citer cet article :

Lluis Artal, Josep Sales — «Les mathématiques dans l’économie» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

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Cet article fait partie du dossier «Le monde est mathématique» voir le dossier

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