Ambiance forêt tropicale, oiseaux, évocation des peuples indigènes d’Amazonie, chants traditionnels et plus récents, c’est chouette et entrainant… Le discours qui suit est un peu convenu, avant de s’aventurer à relier les œuvres graphiques, les dessins, les peintures des tribus d’Amazonie aux spirales logarithmiques, aux fractales, et à toutes les mathématiques.

Cela dure un peu, mais c’est sympa, mis à part qu’il fait froid. Alors passons directement à la suite : pour les médailles Fields, les lauréats sont, dans l’ordre alphabétique :

• Caucher Birkar, spécialiste de géométrie algébrique, mais aussi musicien à ses heures perdues (on trouvait deux de ses compositions sur sa page web par le passé). Il contribue à l’étude des variétés algébriques de grande dimension. Il s’agit d’étudier la géométrie des ensembles qui sont définis par des équations polynomiales de plusieurs variables ; la surface de Markoff $x^2+y^2+z^2= 3 xyz $
  est un exemple de telle « variété algébrique », mais les objets considérés par Birkar nécessitent un nombre arbitraire de variables (pas seulement 3), et font intervenir des monômes de degré arbitraire (comme $x^{100}y^{321}z^6$). Birkar montre notamment des théorèmes de finitude, stipulant que certains algorithmes de la géométrie algébrique s’arrêtent bien en temps fini, que certaines familles de variétés ne dépendent que d’un nombre fini de paramètres, etc.

• Alessio Figalli. Pour faire court, on peut dire que Figalli travaille dans le domaine de l’analyse, et qu’il étudie plus précisément le calcul des variations et les équations aux dérivées partielles qui sont liées au transport optimal. Et tout cela donne de bien jolies choses du côté de la géométrie (inégalités isopérimétriques), des systèmes dynamiques, et des matrices aléatoires.

• Peter Scholze, pour ses travaux en arithmétique. C’est sans doute le seul lauréat potentiel que tout le monde citait ces derniers jours (et il y a quatre ans déjà). Je ne connais pas bien ses travaux, mais je sais que Scholze a introduit de nouveaux espaces mathématiques, les espaces perfectoides, qui permettent notamment de résoudre des problèmes « en caractéristique mixte » ; cette caractéristique mixte signifie que le problème étudié fait intervenir simultanément des corps de différentes caractéristiques, comme le corps fini à $p$ éléments ($p$ premier) dont la caractéristique est précisément $p$, ou le corps des nombres rationnels $\mathbb{Q}$, dont la caractéristique est nulle.

• Akshay Venkatesh. Théorie des nombres, théorie ergodique, … La théorie ergodique, c’est un corpus de méthodes utiles pour l’étude des systèmes dynamiques : il s’agit de décrire la répartition des trajectoires d’un système « physique », du moins de la plupart d’entre elles, avec un point de vue probabiliste ; par exemple, on peut s’intéresser aux orbites des planètes du système solaire. Mais ici, les trajectoires étudiées sont liées à des objets de la théorie des nombres : formes quadratiques, équations cubiques à coefficients entiers, etc. Il étudie aussi certaines fonctions spéciales issues de la théorie des nombres, notamment les fameuses fonctions L… Mais c’est franchement loin de mes compétences.

Tout cela est bien technique.
Quelques remarques en vrac :
— ce n’était pas forcément si difficile de deviner les lauréats la veille ou le matin même, au petit déjeuner. Cherchez les invités qui (1) ont moins de quarante ans, (2) sont accompagnés de leur conjoint(e), et (3) ont pris soin d’enfiler un costume sombre alors que d’habitude ils sont plutôt du genre tongues et bermuda.
Et si jamais l’un des ingrédients manque, alors cherchez les journalistes qui gravitent autour d’eux. Et hop, vous avez la liste.
— Je me suis bien gardé de préciser la nationalité des lauréats ! Allez sur la page Wikipedia des quatre lauréats, et vous verrez la variété des parcours, du Kurdistan à l’Angleterre, de l’Australie aux États-Unis, de l’Italie à la Suisse en passant par la France et les États-Unis…

De Rio de Janeiro, Rio Centro, Pavillon 6.