Ibn al-Yāsamīn et son poème algébrique

Le 13e siècle en Occident Musulman

Piste bleue Le 22 février 2015  - Ecrit par  Mahdi Abdeljaouad Voir les commentaires (3)

Ibn al-Yāsamīn (mort en 1204) a poursuivi une formation supérieure au Maghreb Extrême et aussi pendant un certain temps à Séville. On rapporte que dans cette cité andalouse, il aurait utilisé vers 1190 al-urjūza fī l-jabr wa l-muqābala comme base de son enseignement de l’algèbre.
Dans cet article, nous présentons la traduction en français de cette urjūza accompagnée d’une analyse mathématique de son contenu replacée dans le contexte de l’algèbre arabe.

1. L’évolution des recherches concernant Ibn al-Yāsamīn

La notoriété dont a bénéficié Ibn al-Yāsamīn est essentiellement due à l’extraordinaire diffusion qu’a connu son poème didactique al-urjūza fī l-jabr wa l-muqābala [Poème sur la restauration et la comparaison], enseigné et commenté jusqu’au XIXe siècle. À la fin de ce siècle, des copies du manuscrit d’al-urjūza sont décrites par les Orientalistes européens et Ibn al-Yāsamīn commence, alors, à figurer dans les biobibliographies modernes.

À partir des années 1980, les travaux d’Ibn al-Yāsamīn et des commentateurs de ses poèmes didactiques sont l’objet d’études approfondies.

2. L’épopée almohade : un apogée culturel, artistique et scientifique

Carte de l'Empire Almohade (1180) - en vert

Ibn al-Yāsamīn a vécu pendant une époque considérée par les historiens comme la plus brillante de l’Occident musulman ; celle qui commence après la conquête du pouvoir par les Almohades (1146-1248), unifiant toute l’Afrique du Nord et la partie de la péninsule ibérique sous domination musulmane, l’Andalus. Durant cette période, Séville fut la capitale occidentale de l’Empire almohade et Marrakech sa capitale africaine.

À partir de l’héritage légué par leurs prédécesseurs (Zirides, Taïfas et Almoravides), les quatre premiers califes almohades créent un état puissant qu’ils consolident.
En mathématiques, quelques ouvrages écrits pendant la période almohade nous sont parvenus, comme ceux d’al-Qurashī (m. 1184), d’al-Haṣṣār (qui a vécu à Seuta vers 1175), Ibn al-Yāsamīn (m. 1204) et d’Ibn Mun’im (m. 1228).

3. Éléments biographiques concernant Ibn al-Yāsamīn

Nous n’avons que très peu d’informations sur la vie d’Ibn al-Yāsamīn, car rares sont les biobibliographes arabes qui en ont parlé.
Ibn al-Yāsamīn, Abū M. cAbd Allah b. M. b. Hajjāj al-Adrīnī est d’origine berbère, appartenant à la tribu des Banū Hajjāj. Né à Fès au cours du XIIe siècle, il poursuivrait ensuite des études de haut niveau à Séville ; il cite occasionnellement le nom d’un de ses professeurs de mathématiques (Abū cAbd Allah b. Qāsim).

Versé dans différents savoirs, il fut surtout reconnu par ses contemporains d’abord comme juriste et documentaliste, puis comme mathématicien (logique, géométrie, astronomie, astrologie et plus particulièrement arithmétique et calcul) tout en étant un poète accompli et l’auteur de célèbres muwashshaḥāt vivement appréciées [1].

Il fut également proche de deux califes almohades : Yacqūb al-Manṣūr (1184-1199) et Muḥammad al-Nāṣir (1199-1213) et plus particulièrement apprécié à la cour du premier qu’il accompagne dans ses voyages. Il semblerait qu’Ibn al-Yāsamīn polémiquait souvent avec ses compagnons, par exemple au sujet de la couleur de sa peau, qui était noire comme celle de sa mère. Il est aussi connu pour ses mœurs particulières et, ne s’en cachant pas, il en plaisantait volontiers. Il est mort égorgé sur le seuil de son domicile à Marrakech en 1204.

4. L’œuvre mathématique d’Ibn al-Yāsamīn

Ibn al-Yāsamīn est l’auteur d’un traité en prose : le Talqīh al-afkār fī l-camal bi rushūm hurūf al-ghubār [La fécondation des esprits dans l’utilisation des symboles des chiffres de poussière]. Bien que cet ouvrage soit relativement volumineux, il a été ignoré par les biobibliographes arabes et ne fut découvert qu’au XXe siècle. Il est présenté par son auteur comme étant un manuel pour débutants, rassemblant l’essentiel de ce qu’il doivent connaître de l’arithmétique des entiers, des fractions et des racines carrées. De nombreux problèmes sont résolus par différentes méthodes : numériques, double fausse position et algébrique. Un chapitre de géométrie y est inclus [2].
À propos de ce traité, Djebbar et Moyon précisent que :

« Son importance tient également à la nature de ses matériaux et de ses outils mathématiques qui en font un livre original dans son agencement mais tout à fait significatif de cette période de transition où se juxtaposent, avant de se fondre dans un même moule, trois pratiques mathématiques : celle d’Orient, celle d’al-Andalus et celle du Maghreb » [3].

Première de couverture de l'ouvrage de Shawqi offrant l'édition arabe des poèmes d'Ibn al-Yāsamīn Mais la renommée d’Ibn al-Yāsamīn vient de la diffusion extraordinaire de son poème didactique sur l’algèbre, al-urjūza fī l-jabr wa l-muqābala, tant en Occident qu’en Orient musulman. Le biographe Ibn al-Abbār précise que, vers 1190-91, Ibn al-Yāsamīn l’a récité, enseigné et commenté quelque temps avant de rejoindre Marrakech, la capitale de l’empire almohade. Deux autres poèmes didactiques lui sont attribués ; le premier, sur les racines carrées al-urjūza fī l-judhūr, est un poème de 55 vers et le second traite de la méthode des plateaux al-urjūza fī l-kaffāt, c’est-à-dire la double fausse position et ne comporte que huit vers [4].

Ces poèmes didactiques font partie d’un nouveau genre de manuels, les mukhtaṣarāt [abrégés] qui peuvent également être des textes en prose, comme le Talkhīṣ acmāl al-ḥisāb [L’abrégé des opérations du calcul] d’Ibn al-Bannā (m. 1321). Textes extrêmement concis, ils résument des connaissances dans des expressions faciles à retenir et rassemblent la terminologie et les règles utiles. Ils visent au départ à venir en aide à des étudiants terminant l’étude d’un domaine particulier dans des ouvrages détaillés et techniques et heureux de trouver à leur disposition un aide-mémoire rassemblant termes et règles à se rappeler pour les utiliser directement dans la résolution des problèmes. Arazi et Ben Chamai signalent un autre public visé par ces condensés : « Ils s’adressaient à des publics de spécialistes et à des lettrés pressés d’en apprendre le plus possible, dans le temps le plus court » [5].
Cependant, ces textes concis deviennent par la suite, eux-mêmes, objet principal d’apprentissage aux dépens des ouvrages fondamentaux ; un apprentissage par cœur dans lequel la compréhension est souvent absente et nécessite des explications plus détaillées. C’est le rôle des professeurs qui, après avoir fait réciter un passage du texte abrégé, l’expliquent en de longs commentaires, parfois linguistiques et parfois mathématiques.
L’importance croissante des concis révoltait déjà, à la fin du XIVe siècle, l’historien maghrébin Ibn Khaldūn qui les considéraient comme étant préjudiciables à une saine pédagogie permettant un apprentissage réel [6].

5. Al-urjūza fī-l-jabr wa l-muqābala [Le poème sur la restauration et la comparaison]

Présentation du poème

L’urjūza [7] est un poème de 54 vers de type rajaz [8]. Après les salutations, remerciements et prières d’usage, le poète mathématicien y introduit d’abord la terminologie algébrique, suivie par les algorithmes de résolution des équations canoniques, puis par les règles de calcul sur les expressions algébriques et par une dernière prière.

On connaît aujourd’hui au moins 13 commentaires de l’urjūza d’Ibn al-Yāsamīn, dont plusieurs ont été édités. Dans un commentaire très élaboré mathématiquement et enrichi des apports des algébristes arabes, orientaux et occidentaux, Ibn al-Hā’im constate que l’urjūza, apprise par cœur, nécessite des explications et des illustrations détaillées. Ce poème a continué à être enseigné au XIVe siècle à Tlemcen, au XVe à Tunis et aux XVIe et XVIIe siècles au Caire et a été commenté jusqu’en 1863 [9].

Manuscrit d'un commentaire du poème d'Ibn al-Yāsamīn

Début d’al-urjūza fī l-jabr (vers 1-3)

Organisation du poème

al-urjūza fī l-jabr wa l-muqābala se compose de sept chapitres :

1. Louanges à Dieu et à son Prophète (vers 1-2), hommage au professeur Muḥammad Ibn Qāsim à qui le poème est dédié. Hésitations et justifications (vers 3-10)

2. La terminologie algébrique (vers 11-13)

3. Les six types d’équations canoniques de degrés 1 et 2 (vers 14-15)
Les solutions des trois types d’équations simples (vers 16-21)
Les solutions des trois types d’équations composées (vers 22-34)
Les solutions d’équations du second degré non normalisées (vers 35-38)

4. La restauration et la confrontation (vers 39-40)

5. Les opérations sur les expressions monômes (vers 41-50)

6. La règle des signes (vers 51-52)

7. La prière finale (vers 54)

Place du poème dans la tradition algébrique arabe

La commande du calife al-Ma’mūn (813-833) à Muḥammad Ibn Mūsā al-Kwārizmī (m. ca. 850) d’un traité synthétisant les connaissances éparses permettant la résolution des problèmes de la vie courante marque la naissance de l’algèbre [10]. L’objectif de l’ouvrage d’al-Kwārizmī : Kitāb al-jabr wa l-muqābala [Livre de la restauration et de la comparaison] est de codifier une pratique partagée par les calculateurs : la mise en équation des problèmes et la résolution des équations linéaires et quadratiques à coefficients entiers ou fractionnaires positifs. Al-Kwārizmī identifie six équations canoniques auxquelles, en principe, tout problème doit se ramener et propose un algorithme pour la résolution de chacune d’entre elles. Il établit un vocabulaire pour désigner les objets mathématiques de l’algèbre : māl (bien), jidhr (racine) et (’adād) (un nombre donné) et ses deux techniques spécifiques : al-jabr (la restauration) qui, en termes modernes, désigne l’opération de se débarrasser, en les ajoutant dans les deux membres de l’équation, des termes négatifs apparaissant dans l’un des membres de l’équation et al-muqābala (la comparaison) l’opération de réduction des termes semblables de même degré [11].

Par la suite, Abū Kāmil (m. 930) généralise les calculs algébriques aux équations dont les coefficients peuvent être irrationnels et justifie les algorithmes de résolution des équations par la géométrie euclidienne.

Dans al-Fakhrī (ouvrage dédié au ministre Fakhr al-Mulk), al-Karājī (m. 1029) partage les objets mathématiques susceptibles d’être utilisés dans les calculs algébriques en deux champs : al-ma’lūmāt (les connus) et al-majhūlāt (les inconnues). Le champ des connus contient deux espèces : les entiers et les fractions d’une part, et les irrationnels d’autre part (tous nécessairement positifs). L’arithmétique est alors généralisée à toutes les espèces de nombres connus.

Reprenant presque mot pour mot le prologue de l’Arithmetica de Diophante, traduit en arabe par Qusta Ibn Lūqa (m. 912), al-Karājī fixe définitivement la terminologie algébrique arabe : les inconnues sont composées de shay’ (la chose), de ses puissances successives (māl , kacb, māl-māl, māl-kacb, etc.) et de leurs inverses. On y opère formellement en multipliant et divisant les inconnues entre elles, mais aussi en ajoutant ou soustrayant les unes aux autres et en extrayant leurs racines carrées, ce qui permet de définir de nouvelles inconnues (qui ne sont autre, en termes modernes) que les expressions polynomiales : monômes, binômes, trinômes, etc.) [12].

Dans al-Kitāb al-badic fī l-jabr [Le livre des merveilles en algèbre], al-Karājī précise :

« Sache qu’effectuer des opérations sur les connus les maintient dans leur champ quelle que soit l’opération et, de même, dans les opérations, les inconnues restent dans leur champ ; cela veut dire qu’elles continuent à être inconnues tant qu’elles ne figurent pas dans une équation. » [13]

Cela revient à dire qu’une expression inconnue placée dans une équation a vocation à devenir connue.

La présence du traité d’Abū Kāmil se retrouve à Séville au XIIe siècle, comme en témoigne le traité – certes perdu - écrit par al-Qurashī. On connaît peu d’informations sur ce mathématicien et spécialiste de la science des héritages né à Séville où il a étudié et enseigné. Il rejoint Béjaïa où il enseigne également avant d’y mourir en 1184. Le traité d’algèbre d’Al-Qurashī est « l’un des meilleurs traités qui aient été écrits sur le livre d’Abū Kāmil » [14]. Selon les rares témoignages des mathématiciens qui l’ont étudié, ce traité se distingue des précédents par l’exposé préliminaire des objets et des opérations de l’algèbre avant celui des équations canoniques et de leur résolution [15]. Les informations qui nous sont parvenues ne suffisent pas pour savoir si Al-Qurashī connaissait quelque ouvrage d’al-Karājī.

L’œuvre d’Ibn al-Yāsamīn s’inscrit dans la même tradition algébrique qu’Al-Qurashī, son contemporain. L’auteur ne cite aucun de ses prédécesseurs, mais, dans Talqīḥ al-afkār, il signale seulement qu’il ne s’est pas étendu sur les irrationnels car ce chapitre est bien développé dans les livres d’algèbre. Par ailleurs, Djebbar montre qu’à l’époque d’Ibn al-Yāsamīn, les ouvrages classiques d’algèbre avaient circulé du Moyen-Orient vers l’Occident musulman [16].

Traduction d’al-urjūza fī l-jabr wa l-muqābala.

| 1 Louange à Dieu pour tout ce qu’Il a inspiré | et offert comme enseignements et explications.|
 
|2 Que les bénédictions multiples de Dieu | Soient accordées éternellement au Prophète Muḥammad.|
 
|3 Mes remerciements au brillant, intelligent et érudit | Muḥammad Ibn Qāsim notre maître.|
 
|4 Il a élucidé ce qui posait problème, | et rendu compréhensibles et faciles les subtilités déconcertantes. |
 
|5 Que Dieu le récompense pour cela, | et le rétribue dans l’Au-delà.|
 
|6 Chargé par celui qui a besoin d’être aidé,| et pour qui je ne vois aucun moyen de le contrarier,|
 
|7 De clarifier l’algèbre par une présentation | sous forme de quelques phrases versifiées, |
 
|8 Et aménagées en vers de type rajaz, | aux significations riches et en termes concis. |
 
|9 Bien que ne cessant de chercher à l’éviter, | je n’ai pu que me mettre à la tâche ; |
 
|10 (Je l’ai récité, tout en m’excusant, | pour que le lecteur pardonne toute défaillance.) |
 
|11 L’algèbre repose sur trois (espèces) :| les biens, les nombres, puis les racines.|
 
|12 Le bien est tout nombre carré, | et sa racine l’un de ses côtés.|
 
|13 Le nombre absolu n’a aucun rapport | avec le carré et la racine. Comprend cela et va (au but). |
 
|14 Chose et racine sont synonymes,| tout comme les termes père et géniteur. |
 
|15 Certaines (espèces)égalent un nombre, | Composé à d’autres, ou (simplement) isolé.|
 
|16 Il en résulte six (types d’équations), dont la moitié est composée | et l’(autre) moitié simple, (tous) ordonnés. |
 
|17 Selon l’usage courant, le premier (type d’équations) correspond à | des biens qui égalent les racines.|
 
|18 Et lorsqu’ils égalent des nombres,| c’est le (type d’équations) qui suit. Comprend ce qui est recherché.|
 
|19 Et lorsque tu égales un nombre à des racines, | tu obtiens le type suivant, selon ce qui a été établi.|
 
|20 Divise par les biens, s’ils existent ;| mais, s’ils sont absents, divise par les racines. |
 
|21 Ce sont là les équations simples ;| leur solution est une racine, exceptée pour l’équation intermédiaire. |
 
|22 Dans ce cas, la solution est un bien,| et ceci compte-tenu de la nature de la question.|
 
|23 Sache, Dieu te guidant, que le nombre | est isolé dans la première équation composée. |
 
|24 Et, de même, dans le second type (d’équation), ils ont esseulé les racines, | et isolé les biens dans le type suivant. |
 
|25 Élève au carré la moitié des choses, | et, avec attention, ajoute le résultat aux nombres. |
 
|26 De la somme obtenue, extrais-en la racine, | puis, soustrais-en la(dite) moitié. Son secret t’est ainsi dévoilé. |
 
|27 Le reste (de la soustraction) est la racine du bien.| Ceci est le quatrième type (d’équation).|
 
|28 Dans l’autre, du carré soustrais le nombre. | La racine du reste sera utile par la suite). |
 
|29 Retranche-la de la moitié des racines.| Mais, tu peux également choisir de l’ajouter. |
 
|30 Dans un cas, c’est la racine du bien par défaut,| Et dans l’autre, la racine du bien par excès. |
 
|31 Si le carré est égal au nombre, | alors, la moitié (des racines) sans diminution est sa racine.|
 
|32 Et s’il est surpassé par le nombre, | tu te rendras compte qu’il n’y a pas de solution. |
 
|33 Puisque nous avons terminé la résolution du cinquième type, | explicitons la solution du sixième. |
 
|34 A tes nombres, ajoute le carré | et, de toute leur somme, extrais la racine.|
 
|35 Au résultat obtenu, ajoute la moitié (des racines),| tu obtiens la racine que tu cherches.|
 
|36 Réduis les biens surabondants, | et restaure ses fractions incomplètes,|
 
|37 Afin de ramener tous (les biens) à un bien unique,| et prend ce dernier en compte dans les calculs restants. |
 
|38 Ou bien, multiplie les biens par les nombres| et procède, comme précédemment, |
 
|39 En divisant la racine auxiliaire obtenue par | le nombre de biens. Ta solution en résulte. |
 
|40 A chaque fois que tu introduis un retranchement dans un problème,| rend-le abondant dans (l’autre membre de) l’égalité. |
 
|41 La restauration terminée, tu compares| en retranchant chaque espèce de son semblable.|
 
|42 Ensuite, je vais discuter des positions,| en termes concis, mais d’une manière globale.|
 
|43 La racine vient en premier, suivi par le bien.| Suit le cube, qui est autonome. |
 
|44 A partir des précédents, s’agencent pareillement | (les positions), quelque soit leur rang, et indéfiniment. |
 
|45 Dans les multiplications, considère les positions (des facteurs),| tu connaitras ainsi le rang de leur produit. |
 
|46 (Note) trois pour chaque cube répété,| et deux, pour le bien chaque fois qu’il advient. |
 
|47 (Et pour chaque racine, compte précisément un.| Les nombres ne possèdent aucun rang connu.) |
 
|48 Si tu multiplies un nombre par une espèce, | le résultat est, sans aucun doute, cette même espèce. |
 
|49 Dans la division de deux espèces, (de même rang), | le quotient est un nombre, sans aucun déni. |
 
|50 Dans la division d’une espèce par une de rang inférieur, | le quotient est obtenu par ajout des deux rangs. |
 
|51 (Par rang), je veux dire sa position. | Le résultat de la division (par une espèce de rang supérieur) reste l’énoncé initial. |
 
|52 La multiplication du surabondant ou de l’incomplet | par un terme de même nature, apparaît surabondant pour l’examinateur. |
 
|53 Sa multiplication par un terme de nature contraire est incomplète.| Comprend cela. Que Dieu te guide ! |
 
|54 Ensuite, que les bénédictions de Dieu et son salut | soient sur le Prophète, aussi longtemps que s’éloigne l’obscurité.|

6. Analyse mathématique du poème

Un texte extrêmement succinct

L’analyse mathématique de l’urjūza fī l-jabr ne peut être qu’une interprétation de ce texte car, comme il a été dit au paragraphe 3, ce poème a été conçu comme un aide-mémoire pour des personnes déjà initiées et non comme un manuel pour débutants. Les définitions explicites des termes utilisés sont rares et, la plupart d’entre eux sont employés en situation dans des formules lapidaires ou par allusions fulgurantes [17].

La terminologie fondatrice de l’algèbre (vers 11-14)

Dans les vers 11 à 14, il s’agit de présenter la terminologie algébrique : al-jidhr (la racine), c’est-à-dire l’inconnue x , al-māl (le bien), c’est-à-dire le carré de l’inconnue x2 , et al-cadad al-muṭlaq (le nombre absolu), c’est-à-dire la constante qui n’est fonction ni de l’inconnue ni de son carré. Ibn al-Yāsamīn précise que : al-jidhr (la racine) et al-shay’ (l’inconnue) sont synonymes. Le terme kacb (le cube), c’est-à-dire le cube de l’inconnue x3 , n’est employé qu’au vers 46.

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Vers 11-12 d’al-Urjūza fī ‘l-jabr / Manuscrit de Jerba

Dans le poème, le terme le plus usité est jidhr (racine), utilisé vingt fois. Il est également le terme le plus polysémique, en effet c’est :

  • Une des trois espèces (racines, biens et nombres absolus) sur lesquelles repose l’algèbre (al-jabr).
  • L’inconnue. Il est le synonyme de shay’ (chose) qui n’est employé que deux fois.
  • La racine carrée du māl (bien ou quantité de biens) qu’il soit numérique ou inconnu.
  • Au pluriel, al-‘ajdhār (les racines) correspond à une des multiples espèces d’inconnues, celle de rang un qui est, en termes modernes, un monôme de degré 1.
  • L’extraction de la racine carrée.
  • La racine d’une des six équations canoniques.
  • La solution d’un problème faisant intervenir l’une des six équations canoniques.

Le terme māl (bien – quantité de biens) ou son pluriel ‘amwāl apparaissent seize fois ; en effet, c’est :

  • Une des trois espèces (racines, biens et nombres absolus) sur lesquelles repose l’algèbre (al-jabr).
  • Le carré de l’inconnue.
  • Le nombre ou l’inconnue dont on extrait la racine carrée.
  • Au pluriel, al-‘amwāl (les biens) correspond à une des multiples espèces d’inconnues, celle de rang deux qui est, en termes modernes, un monôme de degré 2.
  • Le carré de la racine d’une des six équations canoniques.
  • Lorsque l’auteur écrit : « divise par les biens » (vers 20), il veut dire divise par « le nombre de biens », c’est-à-dire en termes modernes, « divise par le coefficient b du monôme bx2. »

Ibn al-Yāsamīn réserve le verbe cādala (égaler) à l’égalité des membres de l’équation (vers 15) et le terme mas’ala (problème – question) à l’équation (vers 21).

Les six équations canoniques et leur résolution (vers 15-41)

Comme ses prédécesseurs, Ibn al-Yāsamīn distingue six types d’équations partagés en deux catégories, les trois équations simples (c’est-à-dire un monôme égale un monôme) et les trois équations composées (c’est-à-dire un binôme égale un monôme).
Les algorithmes de résolution de tous les types d’équations (simples ou composées) sont ceux d’al-Khwārizmī, mais là où son prédécesseur utilise des exemples numériques à valeur générale, Ibn al-Yāsamīn, comme al-Karājī, décrit la procédure en termes généraux.

Les équations simples (vers 15-22)

L’ordre des équations simples adopté par Ibn al-Yāsamīn est celui d’al-Khwārizmī et d’Abū Kāmil [18].

  • Type I : Des biens égalent racines $(ax^2 = bx$ où $a$ et $b \in \mathbb{Q}_{+})$
  • Type II : Des biens égalent un nombre $(ax^2 = c$ où $a$ et $c \in \mathbb{Q}_{+})$
  • Type III : Des racines égalent un nombre $(bx = c$ où $b$ et $c \in \mathbb{Q}_{+})$
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Les trois équations simples en symboles
maghrébins d’après le manuscrit de Jerba.
 [19]

Résolution des équations simples (vers 20-22)

$ ax^2 = bx \rightarrow \frac{a{x^2}}{a} = \frac{bx}{a} \rightarrow x=\frac{b}{a}.$

$ ax^2 = c \rightarrow \frac{a{x^2}}{a} = \frac{c}{a} \rightarrow x^2 = \frac{c}{a}.$

$bx = c \rightarrow \frac{bx}{b} = \frac{c}{b} \rightarrow x = \frac {c}{b}.$

Les équations composées (vers 23-35)

L’ordre de présentation des équations composées est inchangé depuis al-Khwārizmī.

  • Type IV : Des biens et racines égalent un nombre $(ax^2 + bx = c$ où $a,$ $b$ et $c \in \mathbb{Q}_{+})$
  • Type V : Des biens et un nombre égalent racines $(ax^2 + c = bx$ où $a$, $b$ et $c \in \mathbb{Q}_{+})$
  • Type VI : Des racines et un nombre égalent biens $(bx + c = ax^2$ où $a$, $b$ et $c \in \mathbb{Q}_{+})$

Résolution de l’équation de type IV : $ax^2 + bx = c $ (vers 25-27)

$\frac{b}{2} \rightarrow (\frac{b}{2})^2 \rightarrow (\frac{b}{2})^2 + c \rightarrow \sqrt{(\frac{b}{2})^2+ c} \rightarrow x = \sqrt{(\frac{b}{2})^2+ c} - \frac{b}{2}.$

Résolution de l’équation de type V : $ax^2 + c = bx$ (vers 28-33)

$\frac{b}{2} \rightarrow (\frac{b}{2})^2 \rightarrow (\frac{b}{2})^2 – c \rightarrow \sqrt{(\frac{b}{2})^2- c}$

Vers 29-30 :

si $(\frac{b}{2})^2 > c $, deux solutions :

Première solution : $ x = \frac{b}{2} – \sqrt{(\frac{b}{2})^2 - c} $ (racine par défaut)

Seconde solution : $x= \frac{b}{2} + \sqrt{(\frac{b}{2})^2- c} $ (racine par excès)

Vers 31 :

si $(\frac{b}{2})^2 = c $ , alors la solution est : $ x = \frac{b}{2}$.

Vers 32 :

si $(\frac{b}{2})^2 < c $ , alors l’équation n’a pas de solution.

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Résolution de l’équation de type V (vers 28-31)
Manuscrit de Jerba

Résolution de l’équation de type VI : $bx + c = ax^2 $ (vers 34-35)

$(\frac{b}{2})^2 \rightarrow (\frac{b}{2})^2 + c \rightarrow \sqrt{(\frac{b}{2})^2+ c} \rightarrow x = \frac{b}{2} + \sqrt{(\frac{b}{2})^2+ c}$

La normalisation des équations quadratiques non unitaires (vers 36-39)

Lorsqu’il aborde la normalisation des équations quadratiques, par exemple le passage de l’équation $ ax^2 + bx = c$ à I’équation $x^2 + b'x =c' $, Ibn al-Yāsamīn propose deux méthodes, la première utilise la division par le nombre de biens et la seconde le concept de racine auxiliaire.

La normalisation classique (vers 36-37)

Un nombre inconnu est kathīr (surabondant) si son coefficient est plus grand que 1. La fraction d’un nombre est qaṣīra (incomplète) si elle est inférieure à 1. Les opérations consistant à ramener le nombre surabondant de biens (‘amwāl) à l’unité et celle d’élever à 1 ce nombre s’il est fractionnaire sont désignés par les termes hatt (réduire) et jabr (restaurer). Ibn al-Yāsamīn ne suit ni al-Khwārizmī ni ses successeurs orientaux, qui utilisent les termes radd (conversion) et ikmal (complétion).

$ ax^2 + bx = c \rightarrow x^2 + \frac{bx}{a} = \frac{c}{a}$ lorsque $ ~a>1 ~$ ou $ ~a<1$.

La normalisation par racine auxiliaire (vers 38-39)

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Résolution par racine auxiliaire (vers 38-39)
Manuscrit de Jerba

Dans l’urjūza fī l-jabr, Ibn al-Yāsamīn utilise une formule lapidaire pour décrire le deuxième algorithme. C’est la première fois que le concept de racine auxiliaire est nommé, bien qu’il existe déjà chez al-Karājī, dans al-Fakhrī. Ce dernier en recommande l’emploi, dans toutes les équations composées, chaque fois que les coefficients sont des fractions complexes et nombreuses et démontre géométriquement la validité de l’algorithme à partir de plusieurs cas numériques [20]. Dans Talqiḥ al-afkār, Ibn al-Yāsamīn détaille la démarche, également, mais sans faire appel au concept de racine auxiliaire.

Illustrons la méthode de la racine auxiliaire pour l’équation : $(ax^2 + bx = c$ où $a$, $b$ et $c \in \mathbb{Q}_{+})$

On multiplie le nombre de biens ’$a$’ par le nombre ’$c$’, on obtient ‘$ca$’.

On cherche la racine (positive) $X_0$ de l’équation auxiliaire $X^2 + bX = ca.$

La racine $X_0$ est désignée comme étant nadhīr al-jidhr (la racine auxiliaire).

La racine cherchée $x_0$ est obtenue en divisant $X_0$ par $a$, c’est-à-dire $x_0 = \frac{X_0}{a}.$

Les commentateurs de l’urjūza reprennent la démarche en en comprenant, plus ou moins, l’originalité. Ibn Qunfudh la considère « plus générale » que la méthode par simplification des coefficients mais n’évoque pas la notion de racine auxiliaire.
Seul Ibn al-Hā’im prend le temps d’expliquer les termes utilisés et de décrire pas à pas la démarche [21]. Reprenons ses explications :

Explicitons ce qu’il dit (dans l’urjūza) : tu multiplies le nombre de māl par le nombre donné dans l’équation, qu’il soit isolé ou ajouté à d’autres, et tu considères le produit obtenu comme étant le nombre donné dans cette équation. Puis, tu détermines la solution comme indiqué précédemment et comme le dit lui-même le poète (…). La racine trouvée est alors divisée par le coefficient des māl, celui par lequel tu as multiplié le nombre. Le quotient obtenu est la racine cherchée.
Lorsque (le poète) dit : « divise la racine auxiliaire », il veut dire par racine auxiliaire, la solution de l’équation dont le nombre est le produit du nombre initial par le nombre de māl et, par racine, la solution de l’équation initiale dans laquelle le nombre n’aurait pas été changé. Il a dénommé le premier racine auxiliaire et non pas racine parce que ce n’est pas la racine cherchée et parce que l’on ne le calcule pas pour lui-même [22].

Restauration et comparaison (vers 40-41)

Al-jabr (la restauration) est la transformation de l’équation pour ne plus y avoir de termes retranchés. Al-muqābala (la comparaison) est l’opération qui consiste à simplifier des termes de même espèce contenus dans les deux membres d’une équation. Nous retrouvons les termes fondateurs d’un art, le premier devenant le nom même de la science qui en a résulté, l’algèbre.

Exemple d’al-jabr (restauration) :

$ax^2 - bx = c$

devient

$ax^2 = c +bx.$

Exemple d’al-muqābala (comparaison) :

$ax^2 + bx + c = dx^2 + ex + f$ (avec $a > d \;, \;b > e\;$ et $ \;c = f$)

devient

$(a - d)x^2 = (e-b)x.$

L’arithmétique des inconnues (vers 42-53)

Douze vers sont consacrés à l’introduction de plusieurs termes de l’arithmétique des inconnues : al-manāzil (les positions), al-uss (le fondement – le rang), al-jins (le genre) et al-naw’ (l’espèce). La brièveté du texte ne permet pas au poète d’expliciter les définitions formelles ; Il indique seulement le contexte dans lequel le terme est évoqué. Par exemple, les termes jins et naw’ signifient, en termes modernes, que les deux monômes, tels que $ ax^n $ et $ bx^n $, ont même inconnue et même degré ($x$ et $n$).

Vers 42-43-44 :

Considérant les positions, la racine est placée en première position, le bien en seconde, le cube en troisième et les espèces suivantes, indéfiniment, dans les positions suivantes. En termes modernes, les positions respectives des monômes $ ax $ , $ bx^2 $, $ c x^3 $, … , $ d x^n $ sont $1$ , $2$ , $3$ , … , $n$. C’est donc le degré du monôme.
Utilisant le terme marātib (ordonnancement), al-Karājī

« compare ces puissances aux unités, dizaines, centaines, etc. ; car, ainsi que 1 :a = a :a2 = a2 :a3 = etc. à l’infini, de même on a 1:10 = 10:100 = 100:1000 = 1000:10000 = 1000 :100000 ; où 10 correspond au jidhr, 100 au māl, 1000 au kacb, 10000 au māl-māl et 100000 au māl-kacb » [23].

Vers 45-46-47-48-49-50

Le rang d’une espèce est, implicitement, le nombre associé à sa position. Le rang de la racine est 1, celui du bien est 2 et celui du cube est 3, celui de bien-bien est 4, celui de bien-cube est 5, celui de cube-cube ou de bien-bien-bien est 6, etc.. Un nombre absolu n’a pas de rang connu, c’est l’expression utilisée pour dire que son rang est nul. L’auteur se contente de préciser que le rang d’un produit de deux espèces est exprimé en fonction du nombre de biens et de cubes répétés dans le résultat.
Les monômes $ a x^n$ et $ bx^n $ sont de même espèce (uss), c’est-à-dire de même genre (naw’) pour tout inconnue $x$ et toute constante $n$, ils ont le même rang. Il est clair, qu’en termes modernes, le rang est le degré du monôme comme le confirment les règles explicitement énoncées (vers 48-51) pour la multiplication (ou la division) d’une espèce par une espèce de même rang ou d’un rang inférieur ou supérieur.

Vers 48 : Le produit d’un nombre par un monôme est un monôme de même type.

Vers 49 : $ax^n : bx^n = a:b$.

Vers 50 : Si $n>m $, alors $x^n : x^m = x^{n-m} $.

Vers 51  : Si $ n > m $ , alors le résultat est la phrase : “ $x^m$ divisé par $x^n$ ”. Par exemple, si l’on veut diviser des biens par des cubes, on dira le résultat est « des biens divisés par des cubes ».

La règle des signes (vers 52-53)

Ibn al-Yāsamīn reprend aux vers 52-53 une règle appartenant à l’arithmétique des inconnues depuis al-Khwārizmī.
Si $a>0 $ et $ b > 0 $ , alors $ab>0$ , $ a(-b)=(-a)b=-ab <0$ et $(-a)(-b)= ab > 0$ .
Les notions d’espèce surabondante (zā’id) et d’espèce incomplète (nāqiṣ), non définies formellement, sont suivies par la règle des signes bien explicitée.

7. Conclusion

Conçu comme un aide-mémoire que l’on apprend par cœur pour se remémorer les définitions, les règles et les algorithmes algébriques, l’urjūza al-yāsamīniyya fī l-jabr wa l-muqābala est devenu, au cours des siècles, si populaire que son rôle mnémotechnique oublié, il s’est transformé, lui-même, en un objet de savoir que l’on étudie et que l’on commente. Les commentaires nombreux et tardifs retrouvés et la qualité de certains d’entre eux, comme celui d’Ibn al-Hā’im, attestent de la permanence de la tradition algébrique arabe dans l’enseignement des pays musulmans.

Post-scriptum :

Je remercie vivement Sabine Rommevaux et Marc Moyon pour leurs conseils et remarques judicieuses, Carole Gaboriau et Maï Sauvageot pour avoir si bien finalisé l’édition de ce travail, et enfin Pierre Baumann et Michel Mouyssinat pour leurs commentaires et propositions de correction.

A lire aussi autour des mathématiques au Moyen-Age, l’article de Marc Moyon, Apprendre les mathématiques au Moyen Âge : l’importance des traductions arabo-latines.

Article édité par Marc Moyon

Notes

[1Les muwashshaḥāt sont des poèmes panégyriques ou des poèmes d’amour inventés en Andalus au XIe siècle. Les rimes y sont multiples et le nombre de strophes varient de 5 à 7. Ils sont souvent mis en musique et chantés. Cet art reste aujourd’hui en vogue au Maghreb.

[2Touhami Zemouli a édité et analysé ce traité dans sa thèse de magistère de l’E.N.S. d’Alger (1993) ; ZEMOULI, T., al-’Acmāl ar-riyādhiyya li Ibn al-Yāsamīn [Les écrits mathématiques d’Ibn al-Yāsamīn], Magister d’histoire des mathématiques, École normale supérieure d’Alger, 1993 (non publié).

[3DJEBBAR, A. et MOYON, M., Les sciences arabes en Afrique. Mathématiques et astronomie, XIe - XIXe siècles. Brinon-sur-Sauldre : Grandvaux, 2011, p. 72.

[4Tous ces poèmes ont été édités par Jalal Shawqi qui les a publiés en 1988, et figurent également dans la thèse de magistère de Zemouli soutenue en 1993 ; SHAWQI, J., Mandhumāt Ibn al-Yāsamīn fī acmāl al-jabr wa l-ḥisāb [Les poèmes d’Ibn al-Yāsamīn sur les procédés de l’algèbre et du calcul], Kuwait. Mu’assasat al-Kuwayt li t-taqaddum al-cilmi, 1988.

[5ARAZI, A. et BEN CHAMAI, H., « Mukhtasar » Encyclopédie de l’Islam, Vol. VII. Leiden : E. J. Brill., 1993, pp. 536-538.

[6IBN KHALDUN, A., Le Livre des exemples, A. Cheddadi (trad.), Paris : Gallimard, 2002, pp. 1066-67.

[7Edition du texte arabe dans ABDELJAOUAD, M., « 12th Century algebra in an Arabic poem : Ibn al-Yâsamîn’s urjûza fī ’l-jabr wa ’l-muqâbala », LLuLL, vol. 28 (n°61), 2005, pp. 181-194. Disponible ici.

[8En métrique arabe classique, une urjūza est un poème de type rajaz. C’est le plus ancien des mètres, le plus utilisé dans les poèmes panégyriques et les poèmes d’amour et le plus facile à mettre en musique et à chanter. Chaque vers est constitué de deux hémistiches, eux-mêmes formés de trois pieds. De plus, la rime du premier hémistiche est identique à la rime du second.

[9ABDELJAOUAD, M., « Issues in the history of mathematics teaching in Arab countries », Paedagogica Historica, Vol. 42, n°4-5, 2006. pp. 629-664. Disponible ici.

[10Ce traité a été établi, traduit et commenté dans RASHED, R., Al-Kwārizmī. Le commencement de l’algèbre. Librairie Albert Blanchard, 2007.

[11Pour plus de détails, on peut lire : RASHED, R., « L’algèbre », Histoire des sciences arabes, R. Rashed (ed.) Vol. 2. Paris : Seuil, 1997, pp. 31-54 ou DJEBBAR, A., L’algèbre arabe, genèse d’un art, Paris : Vuibert, 2005.

[12WOEPCKE, F., Extrait du Fakhrī. New York : G. O. Verlag, 1982, p. 48.

[13ANBOUBA, A., Kitāb al-Badīc fī l-ḥisāb [Le Livre du merveilleux en calcul], Beyrouth : Université libanaise, 1964, p. 47 (notre traduction).

[14DJEBBAR et MOYON 2011, p. 69.

[15DJEBBAR et MOYON 2011, p. 69.

[16DJEBBAR 2005, p. 82.

[17Dans son commentaire du vers 43, Ibn al-Hā’im écrit :

« Ne suffisant pas à étancher la soif et ne pouvant pas convaincre les apprenants, ce qui, en général, a été écrit nécessite qu’on soulève le couvercle sur les intentions . » ; IBN AL-HA’IM, Sharḥ al-urjūza al-yāsmīniyya [Commentaire sur le poème al-Yāsamīniya], M. Abdeljaouad (édit.), Tunis, Publications de l’Association Tunisienne des Sciences Mathématiques,2003, p. 121 (notre traduction).

[18Par ailleurs, Al-Karājī, as-Samaw’al (12e s.), al-Kāshī (15e s.) et al-cĀmilī (17e s.) adoptent l’ordre III – I – II. Al-Birūnī (11e s.), al-Khayyām (12e s.), al-Qurāshī (12e s.) et Sharaf ad-Dīn at-Tūsī (13e s.) suivent la séquence III-II-I ; DJEBBAR, A. (1981), Enseignement et recherche mathématiques dans le Maghreb des XIIIe-XIVe siècles, Paris, Université Paris-Sud, Publications Mathématiques d’Orsay, 1980, n° 81-02, pp.9-10. Disponible ici.

[19Pour plus de détails voir M. Abdeljaouad 2002. Disponible ici.

[20WOEPCKE 1982, pp. 64-65.

[21IBN AL-HA’IM 2003, partie française, pp. 33-35.

[22IBN AL-HA’IM 2003, partie française, pp. 34-35.

[23WOEPCKE 1982, p. 48.

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Pour citer cet article :

Mahdi Abdeljaouad — «Ibn al-Yāsamīn et son poème algébrique» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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Carte de l’Empire Almohade (1180) - en vert - http://www.qantara-med.org/qantara4/public/show_document.php?do_id=600

Commentaire sur l'article

  • Ibn al-Yāsamīn et son poème algébrique

    le 22 février 2015 à 10:37, par B !gre

    Merci pour cet article passionnant !

    J’ai un petit doute : n’y a-t-il pas une erreur dans l’« Exemple d’al-muqābala (comparaison) » ? Je verrais plutôt la chose suivante :

    $ax^2+bx+c = dx^2+ex+f$ (avec $a>d$, $e>b$ et $c=f$)

    devient

    $(a-d)x^2 = (e-b)x$

    ou alors peut-être que je rate quelque chose !

    Répondre à ce message
    • Ibn al-Yāsamīn et son poème algébrique

      le 22 février 2015 à 15:32, par Maï Huong Pham-Sauvageot

      Merci pour votre lecture attentive et votre commentaire !

      Il y a en effet une erreur que nous venons de corriger.

      Secrétariat IDM

      Carole Gaboriau et Maï Sauvageot

      idm-secretariat listes.math.cnrs.fr

      Répondre à ce message
  • Ibn al-Yāsamīn et son poème algébrique ... du XIIIème au XIXème siècle ?

    le 2 mars 2015 à 10:44, par Lorenzo B

    C’est étonnant comment la pointe de la science au XIIIème siècle peut devenir une ritournelle rabâchée cinq siècles plus tard ! Espérons qu’il n’arrive pas la même chose avec les découvertes du XXème ... l’intégrale de Lebesgue devenant un refrain au XXVème siècle ?

    Répondre à ce message

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Cet article fait partie du dossier «Mathématiques et littérature» voir le dossier

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