Il n’y a plus de place pour Cauchy !

Le 18 novembre 2015  - Ecrit par  Aziz El Kacimi Voir les commentaires (28)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

Dans un passé pas si lointain, les programmes de mathématiques en Master (anciennement Maîtrise) étaient clairs, consistants et biens garnis. Ils constituaient un bon support sur lequel des générations d’enseignants et de chercheurs ont été formées. Il y avait du contenu ! Mais c’était trop beau pour espérer que ça dure : ces quelques dernières années, ils ont été vidés par les réformes successives, le besoin d’une « fausse économie » qui force la diminution du volume horaire... mais, surtout, victimes de la vision dite innovante que certains décideurs n’arrêtent pas de clamer. Je ne parlerai pas de la géométrie, elle a été enterrée sous le regard des ouvriers de l’enseignement (j’en suis un) démunis de toute décision et le laisser-faire de ceux censés avoir un peu de pouvoir pour contrer. Il y a aussi grave : on le voit sur le terrain et j’en ai découvert récemment.

Le programme du Master Enseignement (MEÉF) est celui des classes préparatoires. Nous sommes d’accord : un enseignant du secondaire n’a pas besoin de plus. Et s’il sait tout cela de façon bien, alors c’est très bien ! Mais pas avec ce nouveau programme, plein de trous et où les démonstrations de pas mal de théorèmes importants sont non exigibles. On y lit quelques interdits dans divers coins du document. Je n’en relève qu’un, déjà assez important : La notion de suite de Cauchy (page 13) et le critère de Cauchy (page 15) sont hors programme.

Les auteurs semblent dire : « Oubliez Cauchy ! Pour démontrer que telle ou telle suite converge ou diverge, trouvez autre chose, ce critère coûte cher ! En plus, il déstabilise les étudiants : à chaque fois qu’on leur demande de l’appliquer, ils ne savent pas par quoi commencer ou alors... ou alors... ! Autant le supprimer pour ne plus avoir à gérer leur angoisse devant par exemple le : Pour tout $\varepsilon >0$, il existe un entier naturel $k$ tel que... »

C’est incompréhensible et un peu faible qu’on ne propose que des « simplifications » et des suppressions pour remettre sur pied un enseignement tombé à terre depuis déjà un certain temps !

Pourtant, dans ce même programme, figure l’étude des séries. On sait que lorsqu’une série converge, son terme général tend vers 0 ; c’est une condition nécessaire. Et une première question va avec : Cette condition est-elle suffisante ? L’exemple le plus simple qu’on prend pour donner une réponse (négative) est la série de terme général ${1\over n}$. Depuis des dizaines d’années, presque tous les enseignants du monde, quand ils dispensent une leçon là-dessus, appliquent le critère de Cauchy et montrent que, pour tout $n\geq 1$, les quantités $Q_n={1\over {n+1}}+\cdots +{1\over {2n}} $ sont minorées par ${1\over 2}$, ce qui met la convergence de la série en défaut. (J’ai été émerveillé la première fois que j’ai appris cette astuce !) Évidemment, on peut toujours passer par la divergence de l’intégrale de la fonction ${1\over x}$ sur l’intervalle $[1,+\infty [$ mais cela suppose au préalable la connaissance de ce qu’est une intégrale généralisée et bien d’autres choses. Une contrainte et un détour non nécessaires à mon avis.

Est-il vraiment compliqué de définir aux étudiants ce qu’est une suite de Cauchy ? De leur parler d’espace complet ? De leur apprendre à utiliser le critère de Cauchy ? Ou alors, est-il tout simplement légitime de le leur interdire ? C’est exactement comme si on interdisait à l’artisan-menuisier d’user de son marteau pour planter les clous !

Les notions d’espace de Banach et d’espace de Hilbert sont aussi bannies ! Est-il scandaleux qu’un étudiant de Master sache que l’espace des fonctions continues sur l’intervalle compact $[0,1]$ est un Banach pour la norme de la convergence uniforme ? Ou que l’espace des suites de carré sommable est un Hilbert pour la norme $L^2$ ?

J’ignore si certains des auteurs de ces programmes se rendent de temps en temps sur le présent site. S’ils le font et s’ils ont l’occasion de lire ce texte, il faudra qu’ils participent au débat et nous expliquent leurs choix !

Et vous ! enseignants, étudiants, chercheurs... ! qu’en pensez-vous ?

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Pour citer cet article :

Aziz El Kacimi — «Il n’y a plus de place pour Cauchy !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

  • Et les réels ?

    le 18 novembre 2015 à 09:08, par Bastien Paroisse

    L’article parle d’espaces complets et donne des exemples ... Le premier n’est-il pas R ? La construction des réels n’est donc pas nécessaire pour les enseignants du secondaire ? Je sais que ce n’est pas la seule construction possible, mais cela permettait justement de réinvestir le concept et d’éviter d’introduire des notions uniquement pour cela.

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 18 novembre 2015 à 18:00, par Alain Juhel

    Ci-devant professeur en Spéciales MP, je ne puis qu’être d’accord pour déplorer cette disparition, tout particulièrement dans la filière la plus mathématique !
    Commençons par expliquer le mécanisme : ce n’est hélas qu’une des nombreuses absurdités de ce programme, longtemps tramé en secret et ficelé à la hâte avec une apparence démocratique de concertation dans sa dernière ligne droite.

    « ON » a voulu y introduire des probabilités, en prenant pour logique la continuité de la réforme du secondaire. Notons qu’ ON ne se demande pas si elle est bonne, ON dit : « continuons ! » (Mais où est le temps où tout partait de l’école Polytechnique pour redescendre sur le lycée ? Ce n’était sûrement pas bon, mais l’excès inverse ne vaut pas mieux.) Et comme la réforme précédente avait déjà chargé la barque en deuxième année, une petite lueur de raison a fait penser que, décemment, rajouter du volume, pour des élèves toujours moins formés, n’était pas une bonne idée.

    Dès lors, le plus élémentaire principe de conservation le dit : la masse entrante doit être égale à la masse sortante ; il a donc fallu choisir des chapitres ou des paragraphes à fusiller. Reconnaissons qu’à chaque réforme, ce problème certes délicat s’est posé. Il s’est souvent résolu en deux étapes :
    1) Unanimité immédiate pour alléger ;
    2) Chaque participant P(i) objecte : « supprimer, oui, mais surtout pas la rubrique X(i) »
    P(i) a d’ailleurs raison : X(i), c’est très important, c’est essentiel, et le supprimer, une catastrophe irrécupérable. C’est ainsi que, pendant plus de 30 ans, les allégements envisagés se sont traduits, in fine, par des surcharges.

    Mais les temps ont changé, et le consensus mou s’est érigé en principe de gouvernance. Au nom duquel il a fallu, cette fois, trouver des victimes expiatoires. Incroyablement, alors que tous les discours et les intentions générales de programme (aussi vertueuses que les préambules des constitutions des états les plus antidémocratiques) prônent le rapprochement des disciplines, ON a coupé dans tout ce qui unissait les mathématiques et la physique : la géométrie d’abord (négligeant au passage le rôle essentiel qu’elle reprend en imagerie informatique, de première importance pour nos futurs ingénieurs), l’analyse de Fourier ensuite -le comble de l’aberration. En gros, les Physiciens ont été priés « de faire leur tambouille mathématique tous seuls ».
    Lorsqu’on n’arrive plus à supprimer tout un chapitre, quelques tirs isolés sur des paragraphes achèvent l’équilibre général : telle est la triste histoire du critère de Cauchy en Spéciales. Mais après tout, le Master Enseignement n’est peut-être pas tenu de l’imiter à la lettre ?

    Après ce soutien sans réserve, je voudrais dire qu’à mon sens, l’exemple donné sur la série harmonique est mal choisi : c’est pour moi l’exemple où il faut se passer de Cauchy ! Tu l’écris toi-même, cher Aziz, c’est une « astuce ». Que peut faire un étudiant d’une astuce ?
    a) désespérer -à juste titre : il ne l’aurait pas trouvée tout seul !
    b) l’apprendre par coeur pour la resservir, ce qui est tout sauf une démarche d’apprentissage fructueux des mathématiques.
    Donc, là, vive l’intégrale, qui n’a pas besoin d’être généralisée : on fait le dessin, on la prend de n à 2n, et la fonction logarithme est là pour nous tirer d’affaire.
    Idem avec la série des racines d’entiers. Une méthode et un dessin contre une astuce.
    La démonstration du théorème de convergence normale de Weierstrass peut de même se faire sans le critère de Cauchy uniforme, par majoration du reste, montrant au passage que la convergence absolue de la série est une condition nécessaire ; c’est, à mon sens, de meilleure pédagogie pour un premier contact. Plus tard, il faudra se frotter aux espaces de Banach, et là, on aura recours à la puissance du critère : question de progressivité de l’enseignement.

    Car là encore, je ne crois pas que ce soit une bonne idée de rayer Banach et Hilbert des programmes. C’est, une nouvelle fois, l’analyse de Fourier qui en pâtira (le merveilleux billet aller-retour de Frédéric Riesz) alors qu’elle est devenue, pour ainsi dire, le seul passage obligé commun des chercheurs et ingénieurs, toutes disciplines confondues.

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    • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

      le 18 novembre 2015 à 18:55, par Romain Bondil

      Bonjour,
      je suis d’accord sur le fond, mais l’exemple pris pour la divergence de la série harmonique n’est pas très parlant. On peut continuer à dire que si $(H_n)$ converge vers un réel $l$ alors $H_{2n}-H_n$ tend vers zéro par simple différence de limites, et cela continue de « frapper les étudiants » sans parler de Cauchy pour cet exemple.
      En effet, cet exemple n’utilise pas que les suites de Cauchy convergent, mais simplement qu’une suite convergente est de Cauchy.
      Cordialement
      rb

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      • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

        le 18 novembre 2015 à 20:20, par Aziz El Kacimi

        Bonjour,

        On utilise simplement le fait qu’une suite qui n’est pas de Cauchy n’est pas convergente.
        Pas plus, pas moins ! On peut multiplier les exemples mais je me suis limité à celui auquel
        pensent la plupart des gens ; il est clair et plus que convaincant !

        Cordialement,

        Aziz El Kacimi

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        • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

          le 19 novembre 2015 à 14:57, par Maxime Bourrigan

          Je ne suis pas d’accord : on peut rédiger cet argument en disant simplement i) que la différence de deux suites convergentes converge vers la différence des deux limites et ii) qu’une suite extraite d’une suite convergente converge vers la même limite. Ce sont deux résultats qui ne nécessitent pas la notion de suite de Cauchy et qui sont d’ailleurs vrais dans des espaces non complets.

          Cette preuve est d’ailleurs essentiellement due à Nicolas Oresme, qui est mort plus de 450 ans avant la naissance de Cauchy...

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    • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

      le 18 novembre 2015 à 19:49, par Aziz El Kacimi

      Merci Alain pour ton commentaire. C’est bien que tu aies souligné d’autres points
      de faiblesse de ce nouveau programme des classes préparatoires (et donc du MEÉF). Moi, j’ai choisi exprès de me limiter au critère de Cauchy pour lancer le débat même si j’avais envie de faire un tour global de tout ce qui ne va pas.

      Ceci étant, je ne suis pas d’accord avec toi quand tu dis qu’il faut plutôt passer par l’intégrale de $1\over x$ pour montrer la divergence de la série en question. Je trouve beaucoup plus simple de minorer la somme que j’ai mentionnée par ${1\over 2}$ (ça se voit facilement) que de passer par : i) une intégrale ; ii) un logarithme... Il me semble d’ailleurs que ce qu tu suggères n’est pas autre chose que le critère de Cauchy pour une intégrale généralisée. On y est encore !

      Ce que dans ma tête je qualifiais d’astuce est de sommer entre les indices $n+1$ et $2n$ pour faire apparaître le $1\over 2$ et non pas le critère de Cauchy qui est un outil puissant et simple.

      Mais quelles que soient nos points de vue sur ces questions, nous avons tous constaté les coups durs apportés à l’enseignement des mathématiques à des niveaux où il a le plus besoin d’être renforcé. Que pouvons-nous faire ? Sans doute pas grand chose, hélas !

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    • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

      le 21 novembre 2015 à 19:12, par ROUX

      Et, au lycée pré-bac, ON a, figurez-vous, coupé la physique de... La physique en supprimant l’étude des équations différentielles !!!

      La date de naissance de la physique moderne est la date de l’établissement par Newton de l’équation différentielle à laquelle obéit la position du centre de gravité d’un objet soumis à une somme de forces extérieures.

      J’explique, en vain, que sans les équations différentielles, ce que font les élèves en terminale est quelque chose qui, naviguant dans l’intervalle [Galilée,Newton[, n’est en tous les cas pas de la physique...

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 18 novembre 2015 à 18:43, par Gris-gris le Maribu

    Une simple remarque de forme : il n’est pas nécessaire d’évoquer les suites de Cauchy pour exploiter l’« astuce » qui vous a jadis émerveillé. Si la n-ième somme partielle H(n) de la série harmonique tend vers une limite finie S, alors H(2n) aussi, et Q(n)=H(2n)-H(n) tend vers 0 alors qu’elle est minorée par 1/2.

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    • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

      le 19 novembre 2015 à 11:15, par Aziz El Kacimi

      Bonjour,

      Ce dont vous parlez est exactement le critère de Cauchy ! Si on l’utilise, pourquoi ne pas le nommer ? (Comme on dit habituellement : « Il faut appeler un chat un chat » !)

      Cordialement,

      Aziz El Kacimi

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 18 novembre 2015 à 18:57, par François Sauvageot

    Cher Aziz,

    voici un point de vue de professeur n’ayant pas participé à la conception des programmes mais les utilisant.

    Tout d’abord j’aimerais rappeler que le critère de Cauchy est une idée de José Anastacio da Cunha, que Cauchy s’est appropriée, comme un certain nombre d’autres idées ... mais c’est sans doute un autre débat.

    La démonstration de Nicole d’Oresme est bien antérieure à Cauchy et à son critère. Elle se fonde sur le théorème de convergence monotone. Rien à voir avec Cauchy, et pas besoin de faire une comparaison avec une intégrale (même si c’est un bon point de départ pour expliquer cet outil) : il suffit de minorer les sommes partielles.

    On n’a en général jamais besoin du critère de Cauchy, ni des suites de Cauchy, même si c’est un bel outil de pensée (et c’est agréable pour prolonger les applications uniformément continues). Il suffit de savoir utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass et sa réciproque partielle : une suite bornée ayant une unique valeur d’adhérence est convergente. Ce théorème, très beau et très puissant, dispense d’introduire le concept de suite de Cauchy, d’espace complet et donc d’espaces de Banach ou de Hilbert.

    Personnellement si je trouve une utilité aux suites de Cauchy, c’est pour répondre à la question : qu’est-ce qu’un nombre ?
    J’en parle donc en cours. Mais tu conviendras que ça dépasse largement le cadre de la complétude.

    Je montre que la meilleure façon d’utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass est de considérer $|u_n-u_m|$ pour $n$ et $m$ quelconques et de tenter de majorer cet écart. C’est suffisant. Avec plus d’heure, on pourrait développer plus, c’est certain.

    Si je suis gêné par des éléments de programme manquants, j’en parle, et je rappelle que c’est hors-programme. J’aimerais bien disposer de limites supérieure et inférieure ... un truc plus utile (nettement !) que les suites de Cauchy. D’une façon générale, les valeurs d’adhérence sont peu travaillées. Et, quant à ces limites supérieure et inférieure, elles servent pour étudier les séries entières, mais aussi très souvent en probabilités.

    Autre point gênant : la disparition des séries de Fourier alors même que la physique introduit la mécanique quantique. Tout à fait incohérent, c’est sûr. Maintenant que fait-on en un nombre d’heures données ?
    Pourquoi un programme figé et non tournant ? Pourquoi un programme ?

    François.

    P.S. : Note que faire un programme est difficile ! Chacun(e) a probablement sa vision du problème et j’estime qu’il est de mon devoir d’user de ma liberté pédagogique pour adapter ce programme à ma façon de faire des maths et de les partager.
    Par ailleurs ce qu’en pensent ou en font les étudiant(e)s ou les examinateur(trice)s de concours est parfois très différent de ce qu’on peut imaginer à la lecture du programme.
    A quoi ça sert un programme ? et de sélectionner par les maths ? et de former par les maths ? Et après le « à quoi ça sert ? » vient le « comment ? ».
    Ce que je peux dire c’est que dans ma classe ... on fait des maths !

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    • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

      le 18 novembre 2015 à 21:44, par Jean

      Toute suite bornée qui n’a qu’une valeur d’adhérence converge. Théorème très beau et très puissant qui ne fonctionne malheureusement qu’en dimension finie. Jeter les espaces complets aux orties n’est-ce pas confondre complétude et compacité ?

      Cordialement

      JV

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      • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

        le 19 novembre 2015 à 12:07, par François Sauvageot

        Non.

        (réponse compacte, à défaut d’être complète !)

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        • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

          le 19 novembre 2015 à 13:59, par Jean

          Bonjour François,

          Réponse précompacte et incomplète....

          Bien évidemment je n’ai pas cru un instant que tu aies pu confondre compacité et complétude !

          Ce qui m’a gêné, c’est que tu as écrit quelque chose qui puisse engendrer cette confusion : plus besoin de Banach, on s’en tirera en forçant à converger les suites bornées qui n’ont qu’une valeur d’adhérence et qui, pourtant, se refusent souvent à converger !

          J’ai l’habitude d’insister devant mes étudiants de l’aspect « novateur » de l’analyse fonctionnelle, où l’on oublie (partiellement) qu’une fonction est une correspondance pour la considérer comme un point dans un espace où on mesurera des distances, fera de la géométrie (regrettées séries de Fourier, mais c’est un autre débat...), approchera etc...

          Bien sûr, dans ce contexte, on pourra probablement souvent composer les opérateurs avec une évaluation, se ramener à des opérateurs réels ou complexes, sortir son BW, raccorder les nombreux morceaux et revenir à l’origine du problème.... Mais on perd un peu l’aspect que j’évoque plus haut sur l’analyse fonctionnelle, et c’est, à mon sens, regrettable.

          J’ai récemment donné un problème pour montrer qu’une application de R2 dans R2 était bijective et bicontinue et approcher sa réciproque, en utilisant le théorème du point fixe. N’ayant pas encore traité les séries absolument convergentes (bon, OK, c’est connu dans R, alors R2.... mais à quoi sert-il de parler d’espace vectoriel si c’est pour toujours revenir dans R ?) je l’ai posé à grands coups de BW, ce qui m’a un peu gêné. J’ai surtout été gêné de ne pouvoir élargir rapidement à des espaces de fonctions.

          \beginprovoc
          Ne pas parler de complétude dans ce cas, c’est un peu comme de ne pas parler de séries puisqu’étudier une série, c’est étudier la suite des sommes partielles (ce que j’ai fait dans mon devoir....) ! Et puis, tant qu’on y est, puisqu’on peut toujours arriver à des suites réelles, pourquoi ne pas se limiter aux suites réelles monotones, puisqu’on peut toujours s’y ramener par l’intermédiaire de la limite sup. Même plus besoin de BW !
          \endprovoc

          Bien cordialement

          Jean Voedts

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          • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

            le 19 novembre 2015 à 15:56, par François Sauvageot

            Bonjour Jean,

            j’évoque personnellement dans mon cours (mais ça ne parle pas à tou(te)s mes étudiant(e)s, même s’ils sont très fort(e)s ...) d’espaces complets, de critère de Cauchy (enfin je l’attribue à J. A. da Cunha) etc. mais c’est surtout parce que je sais que certain(e)s examinateur(trice)s ne lisent pas les programmes et pensent que c’est toujours au programme, d’autant que c’est manifestement étudié dans de nombreuses CPGE. [A noter que certain(e)s universitaires ne savent pas non plus qu’il y a eu des réformes à l’école ou dans le secondaire et distribuent des polys datant de 2003, par exemple.]

            Puisque tu fais allusion aux espaces fonctionnels, bien sûr que c’est une source inépuisable de choses intéressantes, nouvelles et profondes. Je constate néanmoins que $L_c(E,F)$ avec $F$ de dimension finie pose déjà pas mal de problèmes bien que la complétude y soit « gratuite ». En fait $E^*$ pose déjà des problèmes ... et pour cause, ce n’est pas au programme. Alors voilà, j’ai envie d’être rassuré sur la maîtrise de la notion de valeur d’adhérence et de coordonnées dans un espace vectoriel voire, soyons fous, de forme linéaire avant de charger un peu plus la barque.

            La beauté, la profondeur, la pertinence en maths ne viennent pas, à mon sens, de la complexité technique, ni de l’empilement des définitions, mais de la diversité des situations. Quand j’ai vraiment assez tourné autour du pot et qu’une notion permet de dire les obstacles, de dire les errances et d’éclairer, je m’appuie dessus ... programme ou pas programme. Mais ce qui m’éclaire moi, n’éclaire pas toujours mes étudiant(e)s et je suis bien content que les opérateurs de concours qui respectent le programme (théorème d’existence ?) n’exigent pas la même maturité de la part de mes étudiant(e)s que celle que je pense être la mienne.

            Bien à toi,

            François.

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    • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

      le 19 novembre 2015 à 13:14, par Aziz El Kacimi

      Cher François,

      Merci pour ton commentaire. J’avoue que je suis incapable de dire qui est l’instigateur de ce critère. Presque tout le monde l’attribue à Cauchy. Alors comment savoir si c’est effectivement lui ou quelqu’un d’autre ? Je préfère laisser de côté la question et continuer à l’appeler « Critère de Cauchy » jusqu’à nouvel ordre !

      Tu dis : Il suffit de savoir utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass et sa réciproque
      partielle : une suite bornée ayant une unique valeur d’adhérence est convergente.

      C’est évidemment faux en général. Soit $\ell^2$ l’espace de Hilbert (séparable) des suites
      réelles de carré sommable. Notons $\{ e_n\}_{n\in {\Bbb N}^\ast }$ sa base hilbertienne canonique et considérons la suite $(z_n)$ définie par $z_n=e_n$ si $n$ est pair et $z_n={{e_n}\over n}$ si $n$ est impair. C’est une suite bornée qui a le vecteur nul comme seule valeur d’adhérence mais qui ne converge pas ! Comme dit Jean dans son commentaire ci-dessous, c’est vrai en dimension finie (tout borné est relativement compact).

      Tu rajoutes : Ce théorème, très beau et très puissant, dispense d’introduire le concept de suite de Cauchy, d’espace complet et donc d’espaces de Banach ou de Hilbert.

      Même avec un énoncé correct, je ne vois pas comment une théorème de ce type pourrait mettre dehors les Banach,
      les Hilbert, les Fréchet... ! Il faudrait faire un tour du côté de l’analyse fonctionnelle pour bien voir que rares sont les théorèmes fondamentaux (pour l’analyse et la géométrie au sens de l’analyse globale sur les variétés) où l’hypothèse de complétude est
      absente. Pour ne citer que quelques-uns :

      — Le théorème de l’application ouverte.

      — Le théorème de Banach Steinhaus.

      — La boule unité fermée du dual d’un Banach est faiblement compacte.

      — Dans le dual d’un Banach, faiblement fermé est équivalent à fortement borné.

      — Tous les Hilbert séparables sont isométriques à $\ell^2$ (dont sort le développement en série de Fourier).

      — Le théorème de Nash-Moser sur les Fréchet.

      — ...

      Je peux bien comprendre que ce n’est pas toujours facile de faire un programme mais pourquoi évacuer systématiquement les choses importantes ? Pourquoi ne pas demander l’avis de beaucoup d’enseignants au lieu de confier la tâche à un groupe restreint ? Ceux qui sont sur le terrain sont aussi compétents, et en plus plus proches des problèmes que vivent les élèves, les étudiants... que n’importe qui d’autre ! Mais je sais que je parle dans le vide... et que je vais finir par me taire !

      Amicalement,

      Aziz

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      • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

        le 19 novembre 2015 à 15:30, par François Sauvageot

        Cher Aziz,

        euh, je crois encore être capable d’interroger sur la seule vraie leçon d’agrégation : utilisation de la compacité en analyse. Et aussi de la distinguer de la seule autre vraie leçon d’agrégation : utilisation de la complétude en analyse. Même si on peut regretter que ne figure pas ce qui devrait être l’unique leçon d’analyse (et sans doute de maths) : utilisation du théorème de Paley-Wiener (spéciale dédicace à un ex-membre du jury qui se reconnaîtra, ou pas).

        Le point est que je suis presque sûr (peut-être $G_\delta$-sûr ?) que je n’ai plus envie de l’écouter, cette leçon (n’importe laquelle des trois). On pourrait penser que c’est parce qu’elle est bâclée, même par les plus brillant(e)s candidat(e)s. Oui et non. C’est aussi que je veux m’assurer que l’impétrant(e) n’imagine pas que toute fonction continue est dérivable, mais que la réciproque est fausse. Et en veut pour preuve la fonction valeur absolue (dédicace anonyme à de trop nombreux cas, pas encore denses, mais pas tout à fait isolés).

        Car si des profs en exercice pensent cela, le nombre de futur(e)s profs qui le penseront ne peut qu’être encore plus important. L’urgence est à ce niveau. Comme je l’ai écrit en réponse à Karen : tout est nécessaire. Mais on peut aussi faire beaucoup de choses avec presque rien. Commençons donc par faire plein de maths. Et voyons ensuite.

        Tu donnes comme lien le programme de MP. D’une part en CPGE scientifique il n’y a pas que des classes suivant ce programme, d’autre part nombre des étudiant(e)s en MP ont des ambitions plus modestes que la maîtrise du théorème de Nash-Moser, voire des intérêts qui concurrencent la convergence faible ... sur laquelle ils n’osent marquer un temps d’arrêt (référence à un vieil exposé de Paul André Meyer). Je pense que si on étudie une notion, il faut le faire bien, pas au rabais. Il y en a marre des pizzas que l’on étale à l’envi ! Vive les pavés ! OK la surface est plus restreinte, mais on y gagne en profondeur.

        Alors il faut faire des choix. OK. Vivre c’est faire des choix (mourir aussi, malheureusement, parfois). L’important reste, à mon sens, qu’une personne ayant envie de faire des maths sa profession ... en fasse. Il n’est pas clair, soit dit au passage, que prendre appui sur les étudiant(e)s de CPGE soit la meilleure façon d’imaginer de futur(e)s professionnel(le)s des maths ! Et même, chut ! on doit pouvoir trouver des chercheur(se)s en maths qui n’ont pas entendu parler de Cauchy.

        Amicalement,

        François.

        P.S. Voici quelques informations sur J. A. da Cunha : http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/%7ehistory/Biographies/Cunha.html

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        • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

          le 19 novembre 2015 à 19:53, par Aziz El Kacimi

          Cher François,

          Je donne le programme de CPGE parce que c’est ce qu’on nous demande de traiter
          en MEÉF. Suis-je d’accord avec ? Oui, mais pas avec ses trous ! Je le suis à la lettre ?
          Non, absolument pas ! Je reste encore attaché au vrai enseignement des mathématiques
          pas celui où on ne dispense que des recettes. J’ai déjà eu l’occasion d’exprimer ce point de vue dans un courrier des lecteurs (voir ici) et dans d’autres billets (ici ou par exemple). Que certains pensent qu’on n’a pas besoin du « critère de Cauchy » pour telle ou telle suite, c’est leur droit. Mais que les étudiants (et presque tous) de Licence 3 et de Master aient encore à ce niveau du mal à comprendre rien que le sens de la proposition : Pour tout $\varepsilon >0$, il existe un entier positif $k$ tel que $n,p\geq k\Longrightarrow \vert x_n-x_p\vert <\varepsilon $ (ou toute autre du même type), je trouve cela dramatique !

          Que les jeunes et les vieux se rassurent : ce n’est pas de leur faute ; c’est celle d’un système.

          Et même, chut ! on doit pouvoir trouver des chercheur(se)s en maths qui n’ont pas entendu parler de Cauchy.

          Cela n’est pas exclu !

          Amicalement,

          Aziz

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 18 novembre 2015 à 23:30, par Karen Brandin

    Merci Aziz pour cet article et cet exemple dont on a compris qu’il était la manifestation de quelque chose de bien plus général et inquiétant ; sans grande surprise, je partage ton désarroi mais j’ai le sentiment que la situation est désormais trop grave pour que l’on puisse espérer inverser la tendance.

    Aux petits, on dit : « quand on veut, on peut » ; seulement nous, on est grands alors on n’y croit plus vraiment.

    Ce qui est incontestable, c’est que les aptitudes au raisonnement, la capacité de concentration des élèves a très largement baissé ces dernières années et qu’on ne peut pas ne pas en tenir compte. Bien sûr, faire descendre les exigences jusqu’à eux au lieu de les hisser vers ces mêmes exigences n’est une solution qu’à court terme et en outre « une fausse solution » mais j’imagine qu’elle est guidée par l’urgence et la nécessité de recruter malgré tout voire, « envers et contre tout. »

    Je suis de mon côté confrontée à un public en général issu de la section prétendue scientifique mais je reconnais être complètement démunie face à l’ampleur des lacunes au point de ne pas avoir d’autres choix désormais que de renoncer à certains exercices plus évolués et pourtant riches d’enseignement.

    On ne doit pas se mentir : c’est une forme de lâcheté doublée d’un aveu d’impuissance mais ...

    Reste que lorsqu’on a le malheur de déplorer un peu vivement que les élèves ne connaissent toujours pas l’aire d’un triangle en 1S, confondent médiatrice et médiane, cercle et disque, on nous dit que ce n’est pas si grave, qu’on doit modérer nos exigences ; qu’un mot pour autre, ce n’est pas si important finalement.
    Du moment que le champ lexical n’est pas trop éloigné, il faut valoriser l’intention !

    Après dix jours sur les équations de droites (en 1S, pas en troisième), on a toujours des élèves qui ne comprennent fondamentalement pas ce que représente une équation de droite ; on croule sous les jeunes qui ne parviennent tout simplement pas à intégrer cette notion « de liaison », « de contrainte » si bien que celle, plus générale d’ensembles de points est devenue inaccessible et lorsqu’elle est évoquée en terminale lors du chapitre (sacrifié) sur les nombres complexes, les élèves procèdent trop souvent par identification en mémorisant les deux cas au programme : « cercle et médiatrice » sans aucun discernement ou conviction.

    Pas plus tard que cet après-midi, j’ai été prise à partie par des élèves de tale ES révoltées qu’on ait osé leur demander de résoudre à la main un système linéaire « deux équations, deux inconnues » avant de leur autoriser la résolution dite « matricielle » (outil complètement démesuré d’ailleurs dans ce cas) c’est-à-dire à l’aide de la calculatrice tout simplement car on en se permettrait pas de demander d’inverser une matrice, même 2x2.

    Elles ne savent plus faire et ne souhaitent pas réapprendre ; pour quoi faire ? puisqu’il y a (selon elles) plus simple (en fait non mais c’est leur ressenti qui est la preuve de l’ampleur de l’incompréhension).

    Être un consommateur en fin de chaîne et surtout ignorer le maximum de choses, voici le Saint Graal désormais.

    Il y a tellement de cas où l’on veut, on voudrait donner mais où clairement, ils ne souhaitent pas recevoir. D’une certaine manière, ils n’en demandent pas tant. Autour de cet éternel défi qui consiste à faire boire un cheval qui n’a pas soif, je me permets de citer P. Meirieu dans « Comment aider nos enfants à réussir » Bayard) :
    « Dans le cas du cheval, ce dernier finira toujours par avoir soif ! Alors qu’un élève que l’on prive de mathématiques ne viendra pas réclamer spontanément le théorème de Pythagore. Quand il s’agit de faire boire des chevaux, on peut se contenter d’attendre ; quand il s’agit d’enseigner les mathématiques à des enfants qui n’en veulent pas, nous ne pouvons pas nous croiser les bras. »
    Mais alors que faire ?

    On est plus que jamais me semble-t-il tenus (es) responsables de la difficulté de la discipline et finalement les élèves (mais parfois aussi les parents) nous reprochent de les « mettre en échec » alors que l’erreur, le doute font partie intégrante de l’apprentissage. On ne cesse d’y être confrontés de notre côté, à des échelles différentes simplement.

    Les maths ne sont pas un langage naturel pour la plupart d’entre nous, c’est une langue qu’il faut pratiquer, expérimenter, qui a ses codes, ses exigences. C’est vrai qu’il faut du temps, un peu d’envie et de courage aussi pour la parler assez correctement. C’est difficile comme tout ce qui vaut la peine.

    Quand j’entends que c’est lamentable qu’un élève de fin de lycée doivent travailler le week-end, je ne sais plus quoi répondre sinon qu’ on n’est pas encore à l’ère de l’enseignement par intraveineuse !

    Il faut enfin penser qu’un enseignant est un être humain, rien de plus ou de mieux et c’est presque devenu un problème. On se demande parfois
    si une machine ne serait plus indiquée tant ce métier est devenu répétitif et éprouvant lorsqu’il est dispensé par des Hommes, c’est-à-dire accompagné d’émotions (à ranger surtout parmi les échecs et les déceptions).
    C’est usant de tenter de convaincre, d’encourager un esprit jeune, volatile et souvent très expansif, très franc dans la résistance à rester concentré sur un problème abstrait dont il ne voit pas l’intérêt immédiat (immédiateté : le maître-mot) puisqu’un exercice ne se consomme pas ... encore.

    Nous avons depuis longtemps épuisé les arguments concrets qui devaient soit-disant tout arranger tels les téléphones portables, GPS et autres imageries médicales ... Tout les laisse sceptiques ; il faut une énergie extraordinaire pour compenser, contrer une indifférence qu’ils ne cessent de revendiquer et d’entretenir.

    De cette ’énergie vitale (puisque le cours finit par prendre des allures de lutte avec de vraies stratégies d’attaque et de riposte), on finit par manquer cruellement. Les réserves de motivation des profs sincères ne sont pas inépuisables et quand elles existent encore, elles sont désormais très largement entamées au point qu’un endettement menace.

    Beaucoup ont depuis longtemps « démissionné » et ont intégré que la donne a changé tout simplement, qu’il faut l’accepter pendant que quelques irréductibles gaulois se retrouvent sans potion magique plus isolés que jamais.

    Il reste quelques rares élèves réellement investis, volontaires (pas forcément doués d’ailleurs, c’est à dire que l’apprentissage pour eux demandent un effort véritable et sincère) mais en général, il y a une famille derrière qui pour des raisons en général très variées encourage, cultive ce goût de l’étude, y voit et y fait voir une manière de grandir, de s’affranchir d’une forme de servilité.

    Apprendre est plus que jamais un état d’esprit voire une vertu. Platon avait peut-être tort lorsqu’il affirmait
    que « la faculté d’apprendre et l’organe à cet usage résident dans l’âme de chacun. »

    Une chose les embête pourtant un peu et les fait (enfin) réagir : que j’écrive sur eux (car je ne me prive pas de leur dire), qu’on écrive sur cette attitude -la leur- qui génère une solitude usante, épuisante, une lassitude tout simplement. Donc, « J’ÉCRIS » au cas où ...

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    • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

      le 19 novembre 2015 à 20:24, par Aziz El Kacimi

      Merci Karen pour ton texte qui relate de façon précise les difficultés de l’enseignement
      des mathématiques au lycée. Nous en avons discuté à plusieurs reprises et tu sais
      parfaitement que je suis entièrement d’accord avec ce que tu dis. On retrouve le même genre de problèmes dans les deux premières années d’université (en L1 et L2).

      Pas plus tard que cet après-midi, j’ai été prise à partie par des élèves de tale ES
      révoltées qu’on ait osé leur demander de résoudre à la main un système linéaire « deux
      équations, deux inconnues » avant de leur autoriser la résolution dite « matricielle »
      (outil complètement démesuré d’ailleurs dans ce cas) c’est-à-dire à l’aide de la
      calculatrice tout simplement car on en se permettrait pas de demander d’inverser une
      matrice, même $2\times 2$
      .

      Elles ne savent plus faire et ne souhaitent pas réapprendre ; pour quoi faire ? puisqu’il
      y a (selon elles) plus simple (en fait non mais c’est leur ressenti qui est la preuve de
      l’ampleur de l’incompréhension).

      C’est un peu la question que j’ai posée à la fin de mon texte du Débat du 18 juin (voir ici).

      Amicalement,

      Aziz

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 19 novembre 2015 à 12:55, par François Sauvageot

    Bonjour Karen,

    j’aimerais faire deux ou trois remarques, qui se résument parfois à des anecdotes.

    • En 1990, Vladirmir Arnold est sorti furieux d’un cours qu’il donnait à des élèves-professeur(e)s de l’ENS Paris en vitupérant : “Les normaliens ne savent pas ce qu’est une droite !” ...
    • l’erreur est constitutive de l’apprentissage, je suis bien d’accord, mais elle n’est pas binaire, alors qu’elle se réduit trop souvent à la notion de faute, chargée émotionnellement ; pourquoi l’y réduire ? comment évaluer et faire évoluer le discours ?
    • bien sûr que l’on peut avoir soif de maths ! Mais il y a, à mon sens, deux écueils importants : ne pas croire que l’on peut amener cette soif de maths en justifiant artificiellement à quoi elles servent, cette soif, cette nécessité doit être ressentie, expérimentée ; ne pas croire qu’elle est universelle et qu’il n’y a qu’une seule façon d’accéder au paradis de la pensée et de la culture.

    L’équation est difficile et l’inconnue que j’identifie sous forme de question est la suivante : comment se débarrasser de la sélection par les maths et amener à la fois plus de culture générale et de pensée rationnelle (à distinguer des exercices de bachotage) une plus forte proportion d’individus, et à plus de connaissances approfondies et de questionnements celles et ceux qui en font le choix ?

    Faut-il revenir en arrière sur la suppression de la filière C (ou des Math Elem) ? accentuer les formules à option à l’intérieur de filières fourre-tout (voire en supprimant la notion de filière) ? inventer un autre lycée ? un autre collège ? une autre école ? et qui fera vivre ces inventions ? combien de formations et combien de nouveaux profs ? qui seront ces profs ? quelle sera leur culture, leurs savoirs, leurs compétences ?

    Et, au fait, qu’est-ce qui est nécessaire en maths ? Tout ! L’homme est un puits où le vide toujours recommence.
    Tout est nécessaire. Tout, c’est-à-dire, peu de chose. Et avec ce peu de chose, on peut faire bien des mathématiques ... J’aimerais compléter les vers de Victor Hugo à sa fille : à choisir, je préfère tout aimer que tout plaindre !

    François.

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    • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

      le 19 novembre 2015 à 22:29, par Karen Brandin

      Bonsoir François,

      Parce que j’ai regardé beaucoup d’intérêt et apprécié dans « Comment j’ai détesté les maths » cette version (votre version) très affective, très impliquée, voire « habitée » de l’enseignement, je pense -j’espère- de mon côté être très proche de mes élèves (je cumule 35h de cours par semaine sans compter le temps de préparation parce que je dois suivre toutes les sections, toutes les spécialités avec quelques séances dans le supérieur qui viennent diversifier l’ensemble) et je crois savoir qu’ils sont proches de moi donc je ne leur veux pas de ne pas comprendre ce qu’est une droite (c’est à dire que je n’aime pas plus les maths qu’eux, c’est un attachement différent et complémentaire), je leur reproche de ne pas s’interroger, de ne pas m’interroger et je m’en veux avant tout de ne pas parvenir à leur donner l’intuition de l’importance de ce lien entre « moralement » une abscisse et une ordonnée pour revenir à cet exemple (dans le cas classique pour abréger) parce que je sais ce que cela risque de leur coûter lorsqu’ils seront confrontés aux espaces vectoriels deux ans plus tard.

      Comme Arnold donc (et sans doute Aziz ! ;-) ), je sors en colère de cours bien sûr et tant mieux ; en fait, je regrette qu’il y ait si peu de profs en colère, si peu de profs ambitieux pour ces jeunes.

      Le jour où je n’aurai plus le courage de me révolter contre tout ce qui se perd et tout ce qui ne se crée plus, j’espère que j’aurai celui de changer de métier.

      J’enseigne depuis dix ans mais je n’ai pas une formation de prof puisque je suis issue d’un doctorat en théorie algébrique des nombres donc même si j’ai une expérience très conséquente, je considère ma légitimité modérée mais malgré tout, il y a un problème fondamental avec cette vraie-fausse section scientifique dans laquelle désormais tout le monde s’engouffre, pas par conviction mais simplement parce que c’est possible. En effet, en 1S, il y a seulement 4 h de maths donc même si cette discipline vous indiffère, le créneau n’est pas dissuasif.

      Comment dès lors peut-on envisager d’initier durablement ces jeunes à une discipline tentaculaire sans jamais avoir le temps de les immerger ? C’est impossible ; la frustration est donc partout et elle est légitime.
      Je ne sais pas si « je plains tout », je sais que je suis épuisée et forcément un peu abîmée mais ce qui est certain, c’est que je ne peux pas tout aimer.

      Amicalement

      Karen

      PS : Décidément, les temps sont durs pour les éditeurs (je pense aux publications chez Cassini sans cesse différées depuis plus de deux ans parfois) car nous attendons de feuilleter et de faire feuilleter : « Je n’ai jamais rien compris aux maths mais ça je comprends » dont la date de parution vient encore d’être repoussée apparemment. :-(

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 19 novembre 2015 à 16:18, par Frédéric Millet

    Je ne suis pas prof de prépa mais j’ai suivi en cours particulier de nombreux étudiants en sup, spé et prépa HEC. Ma question est la suivante : qu’est ce qui vous empêche de déborder du programme ? N’est-ce pas ce qui se fait à Louis-Legrand, Fénelon ou Ginette ?

    Je suis étonné que tout le monde s’arque-boute sur le déclin du programme officiel de formation des futurs ingénieurs alors même que les sujets de concours tels qu’ils sont conçus depuis bien longtemps laissent peu de chance de réussite à ceux qui n’ont pas eu la possibilité de suivre les filières d’élite.

    Le problème n’est pas tant le contenu de formation des futurs ingénieurs ou enseignants, mais plus ce qu’il engendre comme distorsion entre les « petits » qui suivent à la lettre le programme et les « grands » qui prennent toutes les libertés possibles pour réussir des concours qu’ils rédigent eux-même pour leur « descendance ».

    Le débat sur ce sujet aurait beaucoup à y gagner en s’écartant un peu du domaine technique (Cauchy ou pas Cauchy) et en intégrant les conséquences graves de discriminations qu’engendre l’élitisme mathématique via le programme (entre autres...). On y gagnerai aussi de nombreux alliés qui pensent que l’école a un rôle émancipateur et intégrateur, ce qui est loin d’être le cas aujourd’hui.

    Enfin pour répondre aux lamentations sur la génération d’aujourd’hui, je rappellerai que cette génération est le produit des générations précédentes. Les événements de vendredi nous montrent à quelle point la génération des trentenaires (la mienne) est paumée. Et cela ne présage rien de bon si aucune résistance ne se mobilise pour les générations à venir.

    Pour conclure, il faut en finir avec les débats techniques sur les mathématiques, mais plutôt regarder en face avec tous les outils des sciences humaines la place que la discipline mathématique a prise dans notre monde.

    Répondre à ce message
    • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

      le 20 novembre 2015 à 08:13, par Karen Brandin

      Bonjour,

      Votre billet est assez foisonnant et je ne suis pas sûre d’en comprendre la structure mais on peut sans doute vous répondre (même sans enseigner en prépa) en ce qui concerne le respect du programme, ce que vous faîtes au demeurant très bien quelques lignes plus bas.

      Un programme, c’est un choix qu’on espère motivé mais « choisir, c’est renoncer » donc il est évident que même avec la meilleure volonté du monde, il y aura toujours des incohérences, des objets ou concepts sacrifiés. Suivant notre parcours et notre sensibilité, on est plus ou moins interpellés(ées) par ces césures et heureusement.

      Vue la culture, le recul et le passé mathématique d’Aziz, je ne croix pas qu’il fasse une fixation sur Cauchy (indépendamment du débat historique que j’ai aussi rencontré avec le théorème de Bézout en fait dû à Bachet et finalement appelé « Bachet-Bézout » pour que tout le monde y trouve son compte en spé maths en S) ; il a choisi un exemple qui éveille quelque chose (même de vague) chez la plupart des lecteurs de ce site.

      Ensuite un programme scolaire, c’est aussi un cadre (un cadre nécessaire). Est-ce qu’on peut écarter les bords du cadre ? Oui bien sûr ... si l’auditoire le permet, ce qui est nécessairement le cas si c’est un public averti car sélectionné pour l’être.

      Dans le cadre des classes préparatoires, cela ne me choque pas du tout. On ne peut pas tout avoir, on peut reculer le moment où on sélectionne mais indéfiniment et il y a de très nombreux élèves qui sont (seront) heureux de pouvoir intégrer de « petites » prépas comme on dit pudiquement, ces classes moins prestigieuses alors qu’avec quelque chose de plus uniforme, ce type de formation, d’ambiance de travail leur aurait été refusé.

      C’est au lycée que je suis (surtout cette année où c’est flagrant) interpellée par la différence du degré d’exigence d’un établissement à l’autre, voire d’une classe d’un même établissement à l’autre. Dire que les inégalités se creusent est alors une évidence. En première et terminale S, je suis des élèves de sept lycées et il m’est impossible à chapitre équivalent d’envisager des séances qui ne seraient pas « sur-mesure ». Les cas de hors programme dans les classes « euro » notamment, font légion. Pas plus tard que la semaine dernière, on a dû traiter les équations différentielles du premier ordre à coefficients constants et second membre (contant ou pas) alors que cet aspect du programme a été abandonné en 2012.

      Alors sans doute que l’on va vers une école très inégalitaires où les faibles seront de plus en plus faibles et les moins faibles, de moins en moins faibles.

      Bien Sincèrement

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    • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

      le 20 novembre 2015 à 09:55, par Aziz El Kacimi

      Bonjour,

      Je crois que Karen a parfaitement répondu à votre commentaire. Vous n’avez peut-être pas compris l’objectif de ce billet du Débat du 18 novembre : il est question du contenu du programme des classes préparatoires et ce qu’il implique sur le reste, en particulier sur l’enseignement en MEÉF. Je comprends que certains cèdent à leur passion (comme vous le faites) et fassent déborder la discussion vers des problèmes plus généraux mais ce n’est pas le propos ici.

      Le problème n’est pas tant le contenu de formation des futurs ingénieurs ou enseignants, mais plus ce qu’il engendre comme distorsion entre les « petits » qui suivent à la lettre le programme et les « grands » qui prennent toutes les libertés possibles pour réussir des concours qu’ils rédigent eux-même pour leur « descendance ».

      Ceci est un autre problème dont je ne vois pas a priori de rapport direct avec les questions concrètes sur l’enseignement soulevées (par un exemple) dans le texte du débat. Il mérite certainement d’être discuté mais dans un autre cadre. Idem pour vos trois derniers paragraphes.

      Cordialement,

      Aziz El Kacimi

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      • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

        le 20 novembre 2015 à 10:59, par Frédéric Millet

        Bonjour,

        J’ai parfaitement compris les termes du débat. Ce qui me chagrine en voyant les débats se succéder sur ce site mais aussi sur de nombreux blogs, c’est l’absence de vision de l’impact qu’a notre discipline sur la société.

        A quand de vrais débats ouverts sur mathématiques et société.

        Vous avez la main, faites-le ! Il me semble qu’il y a urgence.

        Cordialement.

        Frédéric Millet.

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 19 novembre 2015 à 16:43, par FDesnoyer

    Pardon de ne pas lire tous les commentaires probablement bien plus éclairés ci-dessus, je suis enseignant dans le secondaire et sans la notion de suite de Cauchy, de quoi parlé-je à mes élèves ?
    le programme de TS nous fait revenir à la définition « avec les epsilon » (et je la donne), définition qui était, à mon époque, LA nouveauté du début de prépa.
    Juste une question : est-ce que les Master n’ont une certaine liberté dans les programmes ? quel peut bien être l’argumentaire achevant ce pauvre Cauchy ? venger l’honneur de Galois à titre posthume ?

    Mes compétences en probabilités me permettent juste de rappeler l’importance de la notion de suite de Cauchy et de suite convergente dans les espaces probabilisés (quiconque ayant tâtonné sur les liens entre différentes convergences de V.A. m’accordera le point). Ce ne peut quand même pas être ça ?
    A mon époque (15 ans en arrière ce n’est rien), j’avais acquis le programme du CAPES en Licence sauf pour la Géométrie et il y avait déjà des probas à l’écrit du concours !!!

    Non, définitivement, je ne comprends pas cette logique de faire le vide dans la science que nous aimons tant.

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 28 novembre 2015 à 11:28, par Desbois

    Je suis professeur dans le secondaire et donne des colles dans diverses classes prépas.
    Je me souviens avoir rencontré les suites de Cauchy en sup, dans les années 80, et non pas en spé. C’était un objet bizarre que j’ai mis du temps à apprivoiser et qui prit tout son sens en spé avec la construction de R, qui était déjà du HP mais notre professeur s’en fichait pas mal.
    Aujourd’hui je ne trouve pas son absence indispensable dans l’exemple cité par l’article : on montre seulement avec l’astuce que la suite des sommes partielles n’est pas majorée puisque la somme des 2^n premiers termes est minorée par n/2 : rien de Cauchy là-dedans.
    Par contre, c’est plus difficile d’utiliser le critère d’Abel, par exemple pour l’étude de séries entières sur le disque de convergence, ou pour montrer que la somme des sin(n)/n converge...

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    • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

      le 1er décembre 2015 à 09:12, par Aziz El Kacimi

      Bonjour,

      Il me semble que pour établir l’inégalité $S_n=1+{1\over 2}+\cdots +{1\over {2^n}}\geq {n\over 2}$, on utilise le fait que, pour tout $k\geq 1$, la quantité $Q_k={1\over {2^{k-1}+1}}+\cdots +{1\over {2^k}}$ est minorée par ${1\over 2}$. Mais si on a ça, Cauchy dit tout de suite que la série diverge ! Pourquoi revenir à la somme $S_n$ alors qu’on a déjà ce qu’on cherche ?

      Apparemment, on peut s’y prendre de différentes manières pour montrer que la série $\sum_{n=1}^\infty {1\over n}$ diverge mais on passe presque toujours par la minoration de blocs du type ${1\over p}+\cdots +{1\over {p+s}}$, donc par une variante de Cauchy !

      L’exemple de la série harmonique, sur lequel certains commentateurs se sont focalisés, n’était qu’un prétexte pour lancer le débat autour de la (vraie) question : Le critère de Cauchy est-il désuet ? (Les auteurs de ce programme ont-ils raison de le supprimer ?) Il faut être totalement ignorant de l’analyse pour répondre OUI. On nous a toujours répété aux bancs des amphis : Dans un espace complet, et en l’occurrence ${\Bbb R}$, le critère de Cauchy permet de montrer qu’une suite converge sans en connaître forcément la limite. D’accord, c’était en mon temps ! mais je ne crois pas qu’il y ait eu jusqu’à présent un super matheux qui ait pu changer quoi que ce soit à cela !

      Pour enseigner à un niveau, même élémentaire, moi je dirais qu’il est nécessaire de connaître plus ! On voit mieux quand on est en hauteur. La transmission du savoir à travers une leçon (un cours ou un TD) est beaucoup plus facile quand le maître domine ce qu’il doit communiquer. Et comme disait Gustave Flaubert « Si vous saviez précisément ce que vous voulez dire, vous le diriez bien ! » Une belle maxime pour illustrer cette évidence : pour enseigner bien, il faut bien connaître ce que l’on enseigne.

      Cordialement,

      Aziz El Kacimi

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