Il n’y a plus de place pour Cauchy !

Le 18 novembre 2015  - Ecrit par  Aziz El Kacimi Voir les commentaires (28)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

Dans un passé pas si lointain, les programmes de mathématiques en Master (anciennement Maîtrise) étaient clairs, consistants et biens garnis. Ils constituaient un bon support sur lequel des générations d’enseignants et de chercheurs ont été formées. Il y avait du contenu ! Mais c’était trop beau pour espérer que ça dure : ces quelques dernières années, ils ont été vidés par les réformes successives, le besoin d’une « fausse économie » qui force la diminution du volume horaire... mais, surtout, victimes de la vision dite innovante que certains décideurs n’arrêtent pas de clamer. Je ne parlerai pas de la géométrie, elle a été enterrée sous le regard des ouvriers de l’enseignement (j’en suis un) démunis de toute décision et le laisser-faire de ceux censés avoir un peu de pouvoir pour contrer. Il y a aussi grave : on le voit sur le terrain et j’en ai découvert récemment.

Le programme du Master Enseignement (MEÉF) est celui des classes préparatoires. Nous sommes d’accord : un enseignant du secondaire n’a pas besoin de plus. Et s’il sait tout cela de façon bien, alors c’est très bien ! Mais pas avec ce nouveau programme, plein de trous et où les démonstrations de pas mal de théorèmes importants sont non exigibles. On y lit quelques interdits dans divers coins du document. Je n’en relève qu’un, déjà assez important : La notion de suite de Cauchy (page 13) et le critère de Cauchy (page 15) sont hors programme.

Les auteurs semblent dire : « Oubliez Cauchy ! Pour démontrer que telle ou telle suite converge ou diverge, trouvez autre chose, ce critère coûte cher ! En plus, il déstabilise les étudiants : à chaque fois qu’on leur demande de l’appliquer, ils ne savent pas par quoi commencer ou alors... ou alors... ! Autant le supprimer pour ne plus avoir à gérer leur angoisse devant par exemple le : Pour tout $\varepsilon >0$, il existe un entier naturel $k$ tel que... »

C’est incompréhensible et un peu faible qu’on ne propose que des « simplifications » et des suppressions pour remettre sur pied un enseignement tombé à terre depuis déjà un certain temps !

Pourtant, dans ce même programme, figure l’étude des séries. On sait que lorsqu’une série converge, son terme général tend vers 0 ; c’est une condition nécessaire. Et une première question va avec : Cette condition est-elle suffisante ? L’exemple le plus simple qu’on prend pour donner une réponse (négative) est la série de terme général ${1\over n}$. Depuis des dizaines d’années, presque tous les enseignants du monde, quand ils dispensent une leçon là-dessus, appliquent le critère de Cauchy et montrent que, pour tout $n\geq 1$, les quantités $Q_n={1\over {n+1}}+\cdots +{1\over {2n}} $ sont minorées par ${1\over 2}$, ce qui met la convergence de la série en défaut. (J’ai été émerveillé la première fois que j’ai appris cette astuce !) Évidemment, on peut toujours passer par la divergence de l’intégrale de la fonction ${1\over x}$ sur l’intervalle $[1,+\infty [$ mais cela suppose au préalable la connaissance de ce qu’est une intégrale généralisée et bien d’autres choses. Une contrainte et un détour non nécessaires à mon avis.

Est-il vraiment compliqué de définir aux étudiants ce qu’est une suite de Cauchy ? De leur parler d’espace complet ? De leur apprendre à utiliser le critère de Cauchy ? Ou alors, est-il tout simplement légitime de le leur interdire ? C’est exactement comme si on interdisait à l’artisan-menuisier d’user de son marteau pour planter les clous !

Les notions d’espace de Banach et d’espace de Hilbert sont aussi bannies ! Est-il scandaleux qu’un étudiant de Master sache que l’espace des fonctions continues sur l’intervalle compact $[0,1]$ est un Banach pour la norme de la convergence uniforme ? Ou que l’espace des suites de carré sommable est un Hilbert pour la norme $L^2$ ?

J’ignore si certains des auteurs de ces programmes se rendent de temps en temps sur le présent site. S’ils le font et s’ils ont l’occasion de lire ce texte, il faudra qu’ils participent au débat et nous expliquent leurs choix !

Et vous ! enseignants, étudiants, chercheurs... ! qu’en pensez-vous ?

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Pour citer cet article :

Aziz El Kacimi — «Il n’y a plus de place pour Cauchy !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 18 novembre 2015 à 18:00, par Alain Juhel

    Ci-devant professeur en Spéciales MP, je ne puis qu’être d’accord pour déplorer cette disparition, tout particulièrement dans la filière la plus mathématique !
    Commençons par expliquer le mécanisme : ce n’est hélas qu’une des nombreuses absurdités de ce programme, longtemps tramé en secret et ficelé à la hâte avec une apparence démocratique de concertation dans sa dernière ligne droite.

    « ON » a voulu y introduire des probabilités, en prenant pour logique la continuité de la réforme du secondaire. Notons qu’ ON ne se demande pas si elle est bonne, ON dit : « continuons ! » (Mais où est le temps où tout partait de l’école Polytechnique pour redescendre sur le lycée ? Ce n’était sûrement pas bon, mais l’excès inverse ne vaut pas mieux.) Et comme la réforme précédente avait déjà chargé la barque en deuxième année, une petite lueur de raison a fait penser que, décemment, rajouter du volume, pour des élèves toujours moins formés, n’était pas une bonne idée.

    Dès lors, le plus élémentaire principe de conservation le dit : la masse entrante doit être égale à la masse sortante ; il a donc fallu choisir des chapitres ou des paragraphes à fusiller. Reconnaissons qu’à chaque réforme, ce problème certes délicat s’est posé. Il s’est souvent résolu en deux étapes :
    1) Unanimité immédiate pour alléger ;
    2) Chaque participant P(i) objecte : « supprimer, oui, mais surtout pas la rubrique X(i) »
    P(i) a d’ailleurs raison : X(i), c’est très important, c’est essentiel, et le supprimer, une catastrophe irrécupérable. C’est ainsi que, pendant plus de 30 ans, les allégements envisagés se sont traduits, in fine, par des surcharges.

    Mais les temps ont changé, et le consensus mou s’est érigé en principe de gouvernance. Au nom duquel il a fallu, cette fois, trouver des victimes expiatoires. Incroyablement, alors que tous les discours et les intentions générales de programme (aussi vertueuses que les préambules des constitutions des états les plus antidémocratiques) prônent le rapprochement des disciplines, ON a coupé dans tout ce qui unissait les mathématiques et la physique : la géométrie d’abord (négligeant au passage le rôle essentiel qu’elle reprend en imagerie informatique, de première importance pour nos futurs ingénieurs), l’analyse de Fourier ensuite -le comble de l’aberration. En gros, les Physiciens ont été priés « de faire leur tambouille mathématique tous seuls ».
    Lorsqu’on n’arrive plus à supprimer tout un chapitre, quelques tirs isolés sur des paragraphes achèvent l’équilibre général : telle est la triste histoire du critère de Cauchy en Spéciales. Mais après tout, le Master Enseignement n’est peut-être pas tenu de l’imiter à la lettre ?

    Après ce soutien sans réserve, je voudrais dire qu’à mon sens, l’exemple donné sur la série harmonique est mal choisi : c’est pour moi l’exemple où il faut se passer de Cauchy ! Tu l’écris toi-même, cher Aziz, c’est une « astuce ». Que peut faire un étudiant d’une astuce ?
    a) désespérer -à juste titre : il ne l’aurait pas trouvée tout seul !
    b) l’apprendre par coeur pour la resservir, ce qui est tout sauf une démarche d’apprentissage fructueux des mathématiques.
    Donc, là, vive l’intégrale, qui n’a pas besoin d’être généralisée : on fait le dessin, on la prend de n à 2n, et la fonction logarithme est là pour nous tirer d’affaire.
    Idem avec la série des racines d’entiers. Une méthode et un dessin contre une astuce.
    La démonstration du théorème de convergence normale de Weierstrass peut de même se faire sans le critère de Cauchy uniforme, par majoration du reste, montrant au passage que la convergence absolue de la série est une condition nécessaire ; c’est, à mon sens, de meilleure pédagogie pour un premier contact. Plus tard, il faudra se frotter aux espaces de Banach, et là, on aura recours à la puissance du critère : question de progressivité de l’enseignement.

    Car là encore, je ne crois pas que ce soit une bonne idée de rayer Banach et Hilbert des programmes. C’est, une nouvelle fois, l’analyse de Fourier qui en pâtira (le merveilleux billet aller-retour de Frédéric Riesz) alors qu’elle est devenue, pour ainsi dire, le seul passage obligé commun des chercheurs et ingénieurs, toutes disciplines confondues.

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