Il n’y a plus de place pour Cauchy !

Le 18 novembre 2015  - Ecrit par  Aziz El Kacimi Voir les commentaires (28)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

Dans un passé pas si lointain, les programmes de mathématiques en Master (anciennement Maîtrise) étaient clairs, consistants et biens garnis. Ils constituaient un bon support sur lequel des générations d’enseignants et de chercheurs ont été formées. Il y avait du contenu ! Mais c’était trop beau pour espérer que ça dure : ces quelques dernières années, ils ont été vidés par les réformes successives, le besoin d’une « fausse économie » qui force la diminution du volume horaire... mais, surtout, victimes de la vision dite innovante que certains décideurs n’arrêtent pas de clamer. Je ne parlerai pas de la géométrie, elle a été enterrée sous le regard des ouvriers de l’enseignement (j’en suis un) démunis de toute décision et le laisser-faire de ceux censés avoir un peu de pouvoir pour contrer. Il y a aussi grave : on le voit sur le terrain et j’en ai découvert récemment.

Le programme du Master Enseignement (MEÉF) est celui des classes préparatoires. Nous sommes d’accord : un enseignant du secondaire n’a pas besoin de plus. Et s’il sait tout cela de façon bien, alors c’est très bien ! Mais pas avec ce nouveau programme, plein de trous et où les démonstrations de pas mal de théorèmes importants sont non exigibles. On y lit quelques interdits dans divers coins du document. Je n’en relève qu’un, déjà assez important : La notion de suite de Cauchy (page 13) et le critère de Cauchy (page 15) sont hors programme.

Les auteurs semblent dire : « Oubliez Cauchy ! Pour démontrer que telle ou telle suite converge ou diverge, trouvez autre chose, ce critère coûte cher ! En plus, il déstabilise les étudiants : à chaque fois qu’on leur demande de l’appliquer, ils ne savent pas par quoi commencer ou alors... ou alors... ! Autant le supprimer pour ne plus avoir à gérer leur angoisse devant par exemple le : Pour tout $\varepsilon >0$, il existe un entier naturel $k$ tel que... »

C’est incompréhensible et un peu faible qu’on ne propose que des « simplifications » et des suppressions pour remettre sur pied un enseignement tombé à terre depuis déjà un certain temps !

Pourtant, dans ce même programme, figure l’étude des séries. On sait que lorsqu’une série converge, son terme général tend vers 0 ; c’est une condition nécessaire. Et une première question va avec : Cette condition est-elle suffisante ? L’exemple le plus simple qu’on prend pour donner une réponse (négative) est la série de terme général ${1\over n}$. Depuis des dizaines d’années, presque tous les enseignants du monde, quand ils dispensent une leçon là-dessus, appliquent le critère de Cauchy et montrent que, pour tout $n\geq 1$, les quantités $Q_n={1\over {n+1}}+\cdots +{1\over {2n}} $ sont minorées par ${1\over 2}$, ce qui met la convergence de la série en défaut. (J’ai été émerveillé la première fois que j’ai appris cette astuce !) Évidemment, on peut toujours passer par la divergence de l’intégrale de la fonction ${1\over x}$ sur l’intervalle $[1,+\infty [$ mais cela suppose au préalable la connaissance de ce qu’est une intégrale généralisée et bien d’autres choses. Une contrainte et un détour non nécessaires à mon avis.

Est-il vraiment compliqué de définir aux étudiants ce qu’est une suite de Cauchy ? De leur parler d’espace complet ? De leur apprendre à utiliser le critère de Cauchy ? Ou alors, est-il tout simplement légitime de le leur interdire ? C’est exactement comme si on interdisait à l’artisan-menuisier d’user de son marteau pour planter les clous !

Les notions d’espace de Banach et d’espace de Hilbert sont aussi bannies ! Est-il scandaleux qu’un étudiant de Master sache que l’espace des fonctions continues sur l’intervalle compact $[0,1]$ est un Banach pour la norme de la convergence uniforme ? Ou que l’espace des suites de carré sommable est un Hilbert pour la norme $L^2$ ?

J’ignore si certains des auteurs de ces programmes se rendent de temps en temps sur le présent site. S’ils le font et s’ils ont l’occasion de lire ce texte, il faudra qu’ils participent au débat et nous expliquent leurs choix !

Et vous ! enseignants, étudiants, chercheurs... ! qu’en pensez-vous ?

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Pour citer cet article :

Aziz El Kacimi — «Il n’y a plus de place pour Cauchy !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 18 novembre 2015 à 18:57, par François Sauvageot

    Cher Aziz,

    voici un point de vue de professeur n’ayant pas participé à la conception des programmes mais les utilisant.

    Tout d’abord j’aimerais rappeler que le critère de Cauchy est une idée de José Anastacio da Cunha, que Cauchy s’est appropriée, comme un certain nombre d’autres idées ... mais c’est sans doute un autre débat.

    La démonstration de Nicole d’Oresme est bien antérieure à Cauchy et à son critère. Elle se fonde sur le théorème de convergence monotone. Rien à voir avec Cauchy, et pas besoin de faire une comparaison avec une intégrale (même si c’est un bon point de départ pour expliquer cet outil) : il suffit de minorer les sommes partielles.

    On n’a en général jamais besoin du critère de Cauchy, ni des suites de Cauchy, même si c’est un bel outil de pensée (et c’est agréable pour prolonger les applications uniformément continues). Il suffit de savoir utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass et sa réciproque partielle : une suite bornée ayant une unique valeur d’adhérence est convergente. Ce théorème, très beau et très puissant, dispense d’introduire le concept de suite de Cauchy, d’espace complet et donc d’espaces de Banach ou de Hilbert.

    Personnellement si je trouve une utilité aux suites de Cauchy, c’est pour répondre à la question : qu’est-ce qu’un nombre ?
    J’en parle donc en cours. Mais tu conviendras que ça dépasse largement le cadre de la complétude.

    Je montre que la meilleure façon d’utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass est de considérer $|u_n-u_m|$ pour $n$ et $m$ quelconques et de tenter de majorer cet écart. C’est suffisant. Avec plus d’heure, on pourrait développer plus, c’est certain.

    Si je suis gêné par des éléments de programme manquants, j’en parle, et je rappelle que c’est hors-programme. J’aimerais bien disposer de limites supérieure et inférieure ... un truc plus utile (nettement !) que les suites de Cauchy. D’une façon générale, les valeurs d’adhérence sont peu travaillées. Et, quant à ces limites supérieure et inférieure, elles servent pour étudier les séries entières, mais aussi très souvent en probabilités.

    Autre point gênant : la disparition des séries de Fourier alors même que la physique introduit la mécanique quantique. Tout à fait incohérent, c’est sûr. Maintenant que fait-on en un nombre d’heures données ?
    Pourquoi un programme figé et non tournant ? Pourquoi un programme ?

    François.

    P.S. : Note que faire un programme est difficile ! Chacun(e) a probablement sa vision du problème et j’estime qu’il est de mon devoir d’user de ma liberté pédagogique pour adapter ce programme à ma façon de faire des maths et de les partager.
    Par ailleurs ce qu’en pensent ou en font les étudiant(e)s ou les examinateur(trice)s de concours est parfois très différent de ce qu’on peut imaginer à la lecture du programme.
    A quoi ça sert un programme ? et de sélectionner par les maths ? et de former par les maths ? Et après le « à quoi ça sert ? » vient le « comment ? ».
    Ce que je peux dire c’est que dans ma classe ... on fait des maths !

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