Il n’y a plus de place pour Cauchy !

Le 18 novembre 2015  - Ecrit par  Aziz El Kacimi Voir les commentaires (28)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

Dans un passé pas si lointain, les programmes de mathématiques en Master (anciennement Maîtrise) étaient clairs, consistants et biens garnis. Ils constituaient un bon support sur lequel des générations d’enseignants et de chercheurs ont été formées. Il y avait du contenu ! Mais c’était trop beau pour espérer que ça dure : ces quelques dernières années, ils ont été vidés par les réformes successives, le besoin d’une « fausse économie » qui force la diminution du volume horaire... mais, surtout, victimes de la vision dite innovante que certains décideurs n’arrêtent pas de clamer. Je ne parlerai pas de la géométrie, elle a été enterrée sous le regard des ouvriers de l’enseignement (j’en suis un) démunis de toute décision et le laisser-faire de ceux censés avoir un peu de pouvoir pour contrer. Il y a aussi grave : on le voit sur le terrain et j’en ai découvert récemment.

Le programme du Master Enseignement (MEÉF) est celui des classes préparatoires. Nous sommes d’accord : un enseignant du secondaire n’a pas besoin de plus. Et s’il sait tout cela de façon bien, alors c’est très bien ! Mais pas avec ce nouveau programme, plein de trous et où les démonstrations de pas mal de théorèmes importants sont non exigibles. On y lit quelques interdits dans divers coins du document. Je n’en relève qu’un, déjà assez important : La notion de suite de Cauchy (page 13) et le critère de Cauchy (page 15) sont hors programme.

Les auteurs semblent dire : « Oubliez Cauchy ! Pour démontrer que telle ou telle suite converge ou diverge, trouvez autre chose, ce critère coûte cher ! En plus, il déstabilise les étudiants : à chaque fois qu’on leur demande de l’appliquer, ils ne savent pas par quoi commencer ou alors... ou alors... ! Autant le supprimer pour ne plus avoir à gérer leur angoisse devant par exemple le : Pour tout $\varepsilon >0$, il existe un entier naturel $k$ tel que... »

C’est incompréhensible et un peu faible qu’on ne propose que des « simplifications » et des suppressions pour remettre sur pied un enseignement tombé à terre depuis déjà un certain temps !

Pourtant, dans ce même programme, figure l’étude des séries. On sait que lorsqu’une série converge, son terme général tend vers 0 ; c’est une condition nécessaire. Et une première question va avec : Cette condition est-elle suffisante ? L’exemple le plus simple qu’on prend pour donner une réponse (négative) est la série de terme général ${1\over n}$. Depuis des dizaines d’années, presque tous les enseignants du monde, quand ils dispensent une leçon là-dessus, appliquent le critère de Cauchy et montrent que, pour tout $n\geq 1$, les quantités $Q_n={1\over {n+1}}+\cdots +{1\over {2n}} $ sont minorées par ${1\over 2}$, ce qui met la convergence de la série en défaut. (J’ai été émerveillé la première fois que j’ai appris cette astuce !) Évidemment, on peut toujours passer par la divergence de l’intégrale de la fonction ${1\over x}$ sur l’intervalle $[1,+\infty [$ mais cela suppose au préalable la connaissance de ce qu’est une intégrale généralisée et bien d’autres choses. Une contrainte et un détour non nécessaires à mon avis.

Est-il vraiment compliqué de définir aux étudiants ce qu’est une suite de Cauchy ? De leur parler d’espace complet ? De leur apprendre à utiliser le critère de Cauchy ? Ou alors, est-il tout simplement légitime de le leur interdire ? C’est exactement comme si on interdisait à l’artisan-menuisier d’user de son marteau pour planter les clous !

Les notions d’espace de Banach et d’espace de Hilbert sont aussi bannies ! Est-il scandaleux qu’un étudiant de Master sache que l’espace des fonctions continues sur l’intervalle compact $[0,1]$ est un Banach pour la norme de la convergence uniforme ? Ou que l’espace des suites de carré sommable est un Hilbert pour la norme $L^2$ ?

J’ignore si certains des auteurs de ces programmes se rendent de temps en temps sur le présent site. S’ils le font et s’ils ont l’occasion de lire ce texte, il faudra qu’ils participent au débat et nous expliquent leurs choix !

Et vous ! enseignants, étudiants, chercheurs... ! qu’en pensez-vous ?

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Pour citer cet article :

Aziz El Kacimi — «Il n’y a plus de place pour Cauchy !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 18 novembre 2015 à 23:30, par Karen Brandin

    Merci Aziz pour cet article et cet exemple dont on a compris qu’il était la manifestation de quelque chose de bien plus général et inquiétant ; sans grande surprise, je partage ton désarroi mais j’ai le sentiment que la situation est désormais trop grave pour que l’on puisse espérer inverser la tendance.

    Aux petits, on dit : « quand on veut, on peut » ; seulement nous, on est grands alors on n’y croit plus vraiment.

    Ce qui est incontestable, c’est que les aptitudes au raisonnement, la capacité de concentration des élèves a très largement baissé ces dernières années et qu’on ne peut pas ne pas en tenir compte. Bien sûr, faire descendre les exigences jusqu’à eux au lieu de les hisser vers ces mêmes exigences n’est une solution qu’à court terme et en outre « une fausse solution » mais j’imagine qu’elle est guidée par l’urgence et la nécessité de recruter malgré tout voire, « envers et contre tout. »

    Je suis de mon côté confrontée à un public en général issu de la section prétendue scientifique mais je reconnais être complètement démunie face à l’ampleur des lacunes au point de ne pas avoir d’autres choix désormais que de renoncer à certains exercices plus évolués et pourtant riches d’enseignement.

    On ne doit pas se mentir : c’est une forme de lâcheté doublée d’un aveu d’impuissance mais ...

    Reste que lorsqu’on a le malheur de déplorer un peu vivement que les élèves ne connaissent toujours pas l’aire d’un triangle en 1S, confondent médiatrice et médiane, cercle et disque, on nous dit que ce n’est pas si grave, qu’on doit modérer nos exigences ; qu’un mot pour autre, ce n’est pas si important finalement.
    Du moment que le champ lexical n’est pas trop éloigné, il faut valoriser l’intention !

    Après dix jours sur les équations de droites (en 1S, pas en troisième), on a toujours des élèves qui ne comprennent fondamentalement pas ce que représente une équation de droite ; on croule sous les jeunes qui ne parviennent tout simplement pas à intégrer cette notion « de liaison », « de contrainte » si bien que celle, plus générale d’ensembles de points est devenue inaccessible et lorsqu’elle est évoquée en terminale lors du chapitre (sacrifié) sur les nombres complexes, les élèves procèdent trop souvent par identification en mémorisant les deux cas au programme : « cercle et médiatrice » sans aucun discernement ou conviction.

    Pas plus tard que cet après-midi, j’ai été prise à partie par des élèves de tale ES révoltées qu’on ait osé leur demander de résoudre à la main un système linéaire « deux équations, deux inconnues » avant de leur autoriser la résolution dite « matricielle » (outil complètement démesuré d’ailleurs dans ce cas) c’est-à-dire à l’aide de la calculatrice tout simplement car on en se permettrait pas de demander d’inverser une matrice, même 2x2.

    Elles ne savent plus faire et ne souhaitent pas réapprendre ; pour quoi faire ? puisqu’il y a (selon elles) plus simple (en fait non mais c’est leur ressenti qui est la preuve de l’ampleur de l’incompréhension).

    Être un consommateur en fin de chaîne et surtout ignorer le maximum de choses, voici le Saint Graal désormais.

    Il y a tellement de cas où l’on veut, on voudrait donner mais où clairement, ils ne souhaitent pas recevoir. D’une certaine manière, ils n’en demandent pas tant. Autour de cet éternel défi qui consiste à faire boire un cheval qui n’a pas soif, je me permets de citer P. Meirieu dans « Comment aider nos enfants à réussir » Bayard) :
    « Dans le cas du cheval, ce dernier finira toujours par avoir soif ! Alors qu’un élève que l’on prive de mathématiques ne viendra pas réclamer spontanément le théorème de Pythagore. Quand il s’agit de faire boire des chevaux, on peut se contenter d’attendre ; quand il s’agit d’enseigner les mathématiques à des enfants qui n’en veulent pas, nous ne pouvons pas nous croiser les bras. »
    Mais alors que faire ?

    On est plus que jamais me semble-t-il tenus (es) responsables de la difficulté de la discipline et finalement les élèves (mais parfois aussi les parents) nous reprochent de les « mettre en échec » alors que l’erreur, le doute font partie intégrante de l’apprentissage. On ne cesse d’y être confrontés de notre côté, à des échelles différentes simplement.

    Les maths ne sont pas un langage naturel pour la plupart d’entre nous, c’est une langue qu’il faut pratiquer, expérimenter, qui a ses codes, ses exigences. C’est vrai qu’il faut du temps, un peu d’envie et de courage aussi pour la parler assez correctement. C’est difficile comme tout ce qui vaut la peine.

    Quand j’entends que c’est lamentable qu’un élève de fin de lycée doivent travailler le week-end, je ne sais plus quoi répondre sinon qu’ on n’est pas encore à l’ère de l’enseignement par intraveineuse !

    Il faut enfin penser qu’un enseignant est un être humain, rien de plus ou de mieux et c’est presque devenu un problème. On se demande parfois
    si une machine ne serait plus indiquée tant ce métier est devenu répétitif et éprouvant lorsqu’il est dispensé par des Hommes, c’est-à-dire accompagné d’émotions (à ranger surtout parmi les échecs et les déceptions).
    C’est usant de tenter de convaincre, d’encourager un esprit jeune, volatile et souvent très expansif, très franc dans la résistance à rester concentré sur un problème abstrait dont il ne voit pas l’intérêt immédiat (immédiateté : le maître-mot) puisqu’un exercice ne se consomme pas ... encore.

    Nous avons depuis longtemps épuisé les arguments concrets qui devaient soit-disant tout arranger tels les téléphones portables, GPS et autres imageries médicales ... Tout les laisse sceptiques ; il faut une énergie extraordinaire pour compenser, contrer une indifférence qu’ils ne cessent de revendiquer et d’entretenir.

    De cette ’énergie vitale (puisque le cours finit par prendre des allures de lutte avec de vraies stratégies d’attaque et de riposte), on finit par manquer cruellement. Les réserves de motivation des profs sincères ne sont pas inépuisables et quand elles existent encore, elles sont désormais très largement entamées au point qu’un endettement menace.

    Beaucoup ont depuis longtemps « démissionné » et ont intégré que la donne a changé tout simplement, qu’il faut l’accepter pendant que quelques irréductibles gaulois se retrouvent sans potion magique plus isolés que jamais.

    Il reste quelques rares élèves réellement investis, volontaires (pas forcément doués d’ailleurs, c’est à dire que l’apprentissage pour eux demandent un effort véritable et sincère) mais en général, il y a une famille derrière qui pour des raisons en général très variées encourage, cultive ce goût de l’étude, y voit et y fait voir une manière de grandir, de s’affranchir d’une forme de servilité.

    Apprendre est plus que jamais un état d’esprit voire une vertu. Platon avait peut-être tort lorsqu’il affirmait
    que « la faculté d’apprendre et l’organe à cet usage résident dans l’âme de chacun. »

    Une chose les embête pourtant un peu et les fait (enfin) réagir : que j’écrive sur eux (car je ne me prive pas de leur dire), qu’on écrive sur cette attitude -la leur- qui génère une solitude usante, épuisante, une lassitude tout simplement. Donc, « J’ÉCRIS » au cas où ...

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