Il n’y a plus de place pour Cauchy !

Le 18 novembre 2015  - Ecrit par  Aziz El Kacimi Voir les commentaires (28)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

Dans un passé pas si lointain, les programmes de mathématiques en Master (anciennement Maîtrise) étaient clairs, consistants et biens garnis. Ils constituaient un bon support sur lequel des générations d’enseignants et de chercheurs ont été formées. Il y avait du contenu ! Mais c’était trop beau pour espérer que ça dure : ces quelques dernières années, ils ont été vidés par les réformes successives, le besoin d’une « fausse économie » qui force la diminution du volume horaire... mais, surtout, victimes de la vision dite innovante que certains décideurs n’arrêtent pas de clamer. Je ne parlerai pas de la géométrie, elle a été enterrée sous le regard des ouvriers de l’enseignement (j’en suis un) démunis de toute décision et le laisser-faire de ceux censés avoir un peu de pouvoir pour contrer. Il y a aussi grave : on le voit sur le terrain et j’en ai découvert récemment.

Le programme du Master Enseignement (MEÉF) est celui des classes préparatoires. Nous sommes d’accord : un enseignant du secondaire n’a pas besoin de plus. Et s’il sait tout cela de façon bien, alors c’est très bien ! Mais pas avec ce nouveau programme, plein de trous et où les démonstrations de pas mal de théorèmes importants sont non exigibles. On y lit quelques interdits dans divers coins du document. Je n’en relève qu’un, déjà assez important : La notion de suite de Cauchy (page 13) et le critère de Cauchy (page 15) sont hors programme.

Les auteurs semblent dire : « Oubliez Cauchy ! Pour démontrer que telle ou telle suite converge ou diverge, trouvez autre chose, ce critère coûte cher ! En plus, il déstabilise les étudiants : à chaque fois qu’on leur demande de l’appliquer, ils ne savent pas par quoi commencer ou alors... ou alors... ! Autant le supprimer pour ne plus avoir à gérer leur angoisse devant par exemple le : Pour tout $\varepsilon >0$, il existe un entier naturel $k$ tel que... »

C’est incompréhensible et un peu faible qu’on ne propose que des « simplifications » et des suppressions pour remettre sur pied un enseignement tombé à terre depuis déjà un certain temps !

Pourtant, dans ce même programme, figure l’étude des séries. On sait que lorsqu’une série converge, son terme général tend vers 0 ; c’est une condition nécessaire. Et une première question va avec : Cette condition est-elle suffisante ? L’exemple le plus simple qu’on prend pour donner une réponse (négative) est la série de terme général ${1\over n}$. Depuis des dizaines d’années, presque tous les enseignants du monde, quand ils dispensent une leçon là-dessus, appliquent le critère de Cauchy et montrent que, pour tout $n\geq 1$, les quantités $Q_n={1\over {n+1}}+\cdots +{1\over {2n}} $ sont minorées par ${1\over 2}$, ce qui met la convergence de la série en défaut. (J’ai été émerveillé la première fois que j’ai appris cette astuce !) Évidemment, on peut toujours passer par la divergence de l’intégrale de la fonction ${1\over x}$ sur l’intervalle $[1,+\infty [$ mais cela suppose au préalable la connaissance de ce qu’est une intégrale généralisée et bien d’autres choses. Une contrainte et un détour non nécessaires à mon avis.

Est-il vraiment compliqué de définir aux étudiants ce qu’est une suite de Cauchy ? De leur parler d’espace complet ? De leur apprendre à utiliser le critère de Cauchy ? Ou alors, est-il tout simplement légitime de le leur interdire ? C’est exactement comme si on interdisait à l’artisan-menuisier d’user de son marteau pour planter les clous !

Les notions d’espace de Banach et d’espace de Hilbert sont aussi bannies ! Est-il scandaleux qu’un étudiant de Master sache que l’espace des fonctions continues sur l’intervalle compact $[0,1]$ est un Banach pour la norme de la convergence uniforme ? Ou que l’espace des suites de carré sommable est un Hilbert pour la norme $L^2$ ?

J’ignore si certains des auteurs de ces programmes se rendent de temps en temps sur le présent site. S’ils le font et s’ils ont l’occasion de lire ce texte, il faudra qu’ils participent au débat et nous expliquent leurs choix !

Et vous ! enseignants, étudiants, chercheurs... ! qu’en pensez-vous ?

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Pour citer cet article :

Aziz El Kacimi — «Il n’y a plus de place pour Cauchy !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 19 novembre 2015 à 13:14, par Aziz El Kacimi

    Cher François,

    Merci pour ton commentaire. J’avoue que je suis incapable de dire qui est l’instigateur de ce critère. Presque tout le monde l’attribue à Cauchy. Alors comment savoir si c’est effectivement lui ou quelqu’un d’autre ? Je préfère laisser de côté la question et continuer à l’appeler « Critère de Cauchy » jusqu’à nouvel ordre !

    Tu dis : Il suffit de savoir utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass et sa réciproque
    partielle : une suite bornée ayant une unique valeur d’adhérence est convergente.

    C’est évidemment faux en général. Soit $\ell^2$ l’espace de Hilbert (séparable) des suites
    réelles de carré sommable. Notons $\{ e_n\}_{n\in {\Bbb N}^\ast }$ sa base hilbertienne canonique et considérons la suite $(z_n)$ définie par $z_n=e_n$ si $n$ est pair et $z_n={{e_n}\over n}$ si $n$ est impair. C’est une suite bornée qui a le vecteur nul comme seule valeur d’adhérence mais qui ne converge pas ! Comme dit Jean dans son commentaire ci-dessous, c’est vrai en dimension finie (tout borné est relativement compact).

    Tu rajoutes : Ce théorème, très beau et très puissant, dispense d’introduire le concept de suite de Cauchy, d’espace complet et donc d’espaces de Banach ou de Hilbert.

    Même avec un énoncé correct, je ne vois pas comment une théorème de ce type pourrait mettre dehors les Banach,
    les Hilbert, les Fréchet... ! Il faudrait faire un tour du côté de l’analyse fonctionnelle pour bien voir que rares sont les théorèmes fondamentaux (pour l’analyse et la géométrie au sens de l’analyse globale sur les variétés) où l’hypothèse de complétude est
    absente. Pour ne citer que quelques-uns :

    — Le théorème de l’application ouverte.

    — Le théorème de Banach Steinhaus.

    — La boule unité fermée du dual d’un Banach est faiblement compacte.

    — Dans le dual d’un Banach, faiblement fermé est équivalent à fortement borné.

    — Tous les Hilbert séparables sont isométriques à $\ell^2$ (dont sort le développement en série de Fourier).

    — Le théorème de Nash-Moser sur les Fréchet.

    — ...

    Je peux bien comprendre que ce n’est pas toujours facile de faire un programme mais pourquoi évacuer systématiquement les choses importantes ? Pourquoi ne pas demander l’avis de beaucoup d’enseignants au lieu de confier la tâche à un groupe restreint ? Ceux qui sont sur le terrain sont aussi compétents, et en plus plus proches des problèmes que vivent les élèves, les étudiants... que n’importe qui d’autre ! Mais je sais que je parle dans le vide... et que je vais finir par me taire !

    Amicalement,

    Aziz

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