Il n’y a plus de place pour Cauchy !

Le 18 novembre 2015  - Ecrit par  Aziz El Kacimi Voir les commentaires (28)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

Dans un passé pas si lointain, les programmes de mathématiques en Master (anciennement Maîtrise) étaient clairs, consistants et biens garnis. Ils constituaient un bon support sur lequel des générations d’enseignants et de chercheurs ont été formées. Il y avait du contenu ! Mais c’était trop beau pour espérer que ça dure : ces quelques dernières années, ils ont été vidés par les réformes successives, le besoin d’une « fausse économie » qui force la diminution du volume horaire... mais, surtout, victimes de la vision dite innovante que certains décideurs n’arrêtent pas de clamer. Je ne parlerai pas de la géométrie, elle a été enterrée sous le regard des ouvriers de l’enseignement (j’en suis un) démunis de toute décision et le laisser-faire de ceux censés avoir un peu de pouvoir pour contrer. Il y a aussi grave : on le voit sur le terrain et j’en ai découvert récemment.

Le programme du Master Enseignement (MEÉF) est celui des classes préparatoires. Nous sommes d’accord : un enseignant du secondaire n’a pas besoin de plus. Et s’il sait tout cela de façon bien, alors c’est très bien ! Mais pas avec ce nouveau programme, plein de trous et où les démonstrations de pas mal de théorèmes importants sont non exigibles. On y lit quelques interdits dans divers coins du document. Je n’en relève qu’un, déjà assez important : La notion de suite de Cauchy (page 13) et le critère de Cauchy (page 15) sont hors programme.

Les auteurs semblent dire : « Oubliez Cauchy ! Pour démontrer que telle ou telle suite converge ou diverge, trouvez autre chose, ce critère coûte cher ! En plus, il déstabilise les étudiants : à chaque fois qu’on leur demande de l’appliquer, ils ne savent pas par quoi commencer ou alors... ou alors... ! Autant le supprimer pour ne plus avoir à gérer leur angoisse devant par exemple le : Pour tout $\varepsilon >0$, il existe un entier naturel $k$ tel que... »

C’est incompréhensible et un peu faible qu’on ne propose que des « simplifications » et des suppressions pour remettre sur pied un enseignement tombé à terre depuis déjà un certain temps !

Pourtant, dans ce même programme, figure l’étude des séries. On sait que lorsqu’une série converge, son terme général tend vers 0 ; c’est une condition nécessaire. Et une première question va avec : Cette condition est-elle suffisante ? L’exemple le plus simple qu’on prend pour donner une réponse (négative) est la série de terme général ${1\over n}$. Depuis des dizaines d’années, presque tous les enseignants du monde, quand ils dispensent une leçon là-dessus, appliquent le critère de Cauchy et montrent que, pour tout $n\geq 1$, les quantités $Q_n={1\over {n+1}}+\cdots +{1\over {2n}} $ sont minorées par ${1\over 2}$, ce qui met la convergence de la série en défaut. (J’ai été émerveillé la première fois que j’ai appris cette astuce !) Évidemment, on peut toujours passer par la divergence de l’intégrale de la fonction ${1\over x}$ sur l’intervalle $[1,+\infty [$ mais cela suppose au préalable la connaissance de ce qu’est une intégrale généralisée et bien d’autres choses. Une contrainte et un détour non nécessaires à mon avis.

Est-il vraiment compliqué de définir aux étudiants ce qu’est une suite de Cauchy ? De leur parler d’espace complet ? De leur apprendre à utiliser le critère de Cauchy ? Ou alors, est-il tout simplement légitime de le leur interdire ? C’est exactement comme si on interdisait à l’artisan-menuisier d’user de son marteau pour planter les clous !

Les notions d’espace de Banach et d’espace de Hilbert sont aussi bannies ! Est-il scandaleux qu’un étudiant de Master sache que l’espace des fonctions continues sur l’intervalle compact $[0,1]$ est un Banach pour la norme de la convergence uniforme ? Ou que l’espace des suites de carré sommable est un Hilbert pour la norme $L^2$ ?

J’ignore si certains des auteurs de ces programmes se rendent de temps en temps sur le présent site. S’ils le font et s’ils ont l’occasion de lire ce texte, il faudra qu’ils participent au débat et nous expliquent leurs choix !

Et vous ! enseignants, étudiants, chercheurs... ! qu’en pensez-vous ?

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Pour citer cet article :

Aziz El Kacimi — «Il n’y a plus de place pour Cauchy !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 19 novembre 2015 à 13:59, par Jean

    Bonjour François,

    Réponse précompacte et incomplète....

    Bien évidemment je n’ai pas cru un instant que tu aies pu confondre compacité et complétude !

    Ce qui m’a gêné, c’est que tu as écrit quelque chose qui puisse engendrer cette confusion : plus besoin de Banach, on s’en tirera en forçant à converger les suites bornées qui n’ont qu’une valeur d’adhérence et qui, pourtant, se refusent souvent à converger !

    J’ai l’habitude d’insister devant mes étudiants de l’aspect « novateur » de l’analyse fonctionnelle, où l’on oublie (partiellement) qu’une fonction est une correspondance pour la considérer comme un point dans un espace où on mesurera des distances, fera de la géométrie (regrettées séries de Fourier, mais c’est un autre débat...), approchera etc...

    Bien sûr, dans ce contexte, on pourra probablement souvent composer les opérateurs avec une évaluation, se ramener à des opérateurs réels ou complexes, sortir son BW, raccorder les nombreux morceaux et revenir à l’origine du problème.... Mais on perd un peu l’aspect que j’évoque plus haut sur l’analyse fonctionnelle, et c’est, à mon sens, regrettable.

    J’ai récemment donné un problème pour montrer qu’une application de R2 dans R2 était bijective et bicontinue et approcher sa réciproque, en utilisant le théorème du point fixe. N’ayant pas encore traité les séries absolument convergentes (bon, OK, c’est connu dans R, alors R2.... mais à quoi sert-il de parler d’espace vectoriel si c’est pour toujours revenir dans R ?) je l’ai posé à grands coups de BW, ce qui m’a un peu gêné. J’ai surtout été gêné de ne pouvoir élargir rapidement à des espaces de fonctions.

    \beginprovoc
    Ne pas parler de complétude dans ce cas, c’est un peu comme de ne pas parler de séries puisqu’étudier une série, c’est étudier la suite des sommes partielles (ce que j’ai fait dans mon devoir....) ! Et puis, tant qu’on y est, puisqu’on peut toujours arriver à des suites réelles, pourquoi ne pas se limiter aux suites réelles monotones, puisqu’on peut toujours s’y ramener par l’intermédiaire de la limite sup. Même plus besoin de BW !
    \endprovoc

    Bien cordialement

    Jean Voedts

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