Il n’y a plus de place pour Cauchy !

Le 18 novembre 2015  - Ecrit par  Aziz El Kacimi Voir les commentaires (28)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

Dans un passé pas si lointain, les programmes de mathématiques en Master (anciennement Maîtrise) étaient clairs, consistants et biens garnis. Ils constituaient un bon support sur lequel des générations d’enseignants et de chercheurs ont été formées. Il y avait du contenu ! Mais c’était trop beau pour espérer que ça dure : ces quelques dernières années, ils ont été vidés par les réformes successives, le besoin d’une « fausse économie » qui force la diminution du volume horaire... mais, surtout, victimes de la vision dite innovante que certains décideurs n’arrêtent pas de clamer. Je ne parlerai pas de la géométrie, elle a été enterrée sous le regard des ouvriers de l’enseignement (j’en suis un) démunis de toute décision et le laisser-faire de ceux censés avoir un peu de pouvoir pour contrer. Il y a aussi grave : on le voit sur le terrain et j’en ai découvert récemment.

Le programme du Master Enseignement (MEÉF) est celui des classes préparatoires. Nous sommes d’accord : un enseignant du secondaire n’a pas besoin de plus. Et s’il sait tout cela de façon bien, alors c’est très bien ! Mais pas avec ce nouveau programme, plein de trous et où les démonstrations de pas mal de théorèmes importants sont non exigibles. On y lit quelques interdits dans divers coins du document. Je n’en relève qu’un, déjà assez important : La notion de suite de Cauchy (page 13) et le critère de Cauchy (page 15) sont hors programme.

Les auteurs semblent dire : « Oubliez Cauchy ! Pour démontrer que telle ou telle suite converge ou diverge, trouvez autre chose, ce critère coûte cher ! En plus, il déstabilise les étudiants : à chaque fois qu’on leur demande de l’appliquer, ils ne savent pas par quoi commencer ou alors... ou alors... ! Autant le supprimer pour ne plus avoir à gérer leur angoisse devant par exemple le : Pour tout $\varepsilon >0$, il existe un entier naturel $k$ tel que... »

C’est incompréhensible et un peu faible qu’on ne propose que des « simplifications » et des suppressions pour remettre sur pied un enseignement tombé à terre depuis déjà un certain temps !

Pourtant, dans ce même programme, figure l’étude des séries. On sait que lorsqu’une série converge, son terme général tend vers 0 ; c’est une condition nécessaire. Et une première question va avec : Cette condition est-elle suffisante ? L’exemple le plus simple qu’on prend pour donner une réponse (négative) est la série de terme général ${1\over n}$. Depuis des dizaines d’années, presque tous les enseignants du monde, quand ils dispensent une leçon là-dessus, appliquent le critère de Cauchy et montrent que, pour tout $n\geq 1$, les quantités $Q_n={1\over {n+1}}+\cdots +{1\over {2n}} $ sont minorées par ${1\over 2}$, ce qui met la convergence de la série en défaut. (J’ai été émerveillé la première fois que j’ai appris cette astuce !) Évidemment, on peut toujours passer par la divergence de l’intégrale de la fonction ${1\over x}$ sur l’intervalle $[1,+\infty [$ mais cela suppose au préalable la connaissance de ce qu’est une intégrale généralisée et bien d’autres choses. Une contrainte et un détour non nécessaires à mon avis.

Est-il vraiment compliqué de définir aux étudiants ce qu’est une suite de Cauchy ? De leur parler d’espace complet ? De leur apprendre à utiliser le critère de Cauchy ? Ou alors, est-il tout simplement légitime de le leur interdire ? C’est exactement comme si on interdisait à l’artisan-menuisier d’user de son marteau pour planter les clous !

Les notions d’espace de Banach et d’espace de Hilbert sont aussi bannies ! Est-il scandaleux qu’un étudiant de Master sache que l’espace des fonctions continues sur l’intervalle compact $[0,1]$ est un Banach pour la norme de la convergence uniforme ? Ou que l’espace des suites de carré sommable est un Hilbert pour la norme $L^2$ ?

J’ignore si certains des auteurs de ces programmes se rendent de temps en temps sur le présent site. S’ils le font et s’ils ont l’occasion de lire ce texte, il faudra qu’ils participent au débat et nous expliquent leurs choix !

Et vous ! enseignants, étudiants, chercheurs... ! qu’en pensez-vous ?

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Pour citer cet article :

Aziz El Kacimi — «Il n’y a plus de place pour Cauchy !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 19 novembre 2015 à 22:29, par Karen Brandin

    Bonsoir François,

    Parce que j’ai regardé beaucoup d’intérêt et apprécié dans « Comment j’ai détesté les maths » cette version (votre version) très affective, très impliquée, voire « habitée » de l’enseignement, je pense -j’espère- de mon côté être très proche de mes élèves (je cumule 35h de cours par semaine sans compter le temps de préparation parce que je dois suivre toutes les sections, toutes les spécialités avec quelques séances dans le supérieur qui viennent diversifier l’ensemble) et je crois savoir qu’ils sont proches de moi donc je ne leur veux pas de ne pas comprendre ce qu’est une droite (c’est à dire que je n’aime pas plus les maths qu’eux, c’est un attachement différent et complémentaire), je leur reproche de ne pas s’interroger, de ne pas m’interroger et je m’en veux avant tout de ne pas parvenir à leur donner l’intuition de l’importance de ce lien entre « moralement » une abscisse et une ordonnée pour revenir à cet exemple (dans le cas classique pour abréger) parce que je sais ce que cela risque de leur coûter lorsqu’ils seront confrontés aux espaces vectoriels deux ans plus tard.

    Comme Arnold donc (et sans doute Aziz ! ;-) ), je sors en colère de cours bien sûr et tant mieux ; en fait, je regrette qu’il y ait si peu de profs en colère, si peu de profs ambitieux pour ces jeunes.

    Le jour où je n’aurai plus le courage de me révolter contre tout ce qui se perd et tout ce qui ne se crée plus, j’espère que j’aurai celui de changer de métier.

    J’enseigne depuis dix ans mais je n’ai pas une formation de prof puisque je suis issue d’un doctorat en théorie algébrique des nombres donc même si j’ai une expérience très conséquente, je considère ma légitimité modérée mais malgré tout, il y a un problème fondamental avec cette vraie-fausse section scientifique dans laquelle désormais tout le monde s’engouffre, pas par conviction mais simplement parce que c’est possible. En effet, en 1S, il y a seulement 4 h de maths donc même si cette discipline vous indiffère, le créneau n’est pas dissuasif.

    Comment dès lors peut-on envisager d’initier durablement ces jeunes à une discipline tentaculaire sans jamais avoir le temps de les immerger ? C’est impossible ; la frustration est donc partout et elle est légitime.
    Je ne sais pas si « je plains tout », je sais que je suis épuisée et forcément un peu abîmée mais ce qui est certain, c’est que je ne peux pas tout aimer.

    Amicalement

    Karen

    PS : Décidément, les temps sont durs pour les éditeurs (je pense aux publications chez Cassini sans cesse différées depuis plus de deux ans parfois) car nous attendons de feuilleter et de faire feuilleter : « Je n’ai jamais rien compris aux maths mais ça je comprends » dont la date de parution vient encore d’être repoussée apparemment. :-(

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