Il n’y a plus de place pour Cauchy !

Le 18 novembre 2015  - Ecrit par  Aziz El Kacimi Voir les commentaires (28)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

Dans un passé pas si lointain, les programmes de mathématiques en Master (anciennement Maîtrise) étaient clairs, consistants et biens garnis. Ils constituaient un bon support sur lequel des générations d’enseignants et de chercheurs ont été formées. Il y avait du contenu ! Mais c’était trop beau pour espérer que ça dure : ces quelques dernières années, ils ont été vidés par les réformes successives, le besoin d’une « fausse économie » qui force la diminution du volume horaire... mais, surtout, victimes de la vision dite innovante que certains décideurs n’arrêtent pas de clamer. Je ne parlerai pas de la géométrie, elle a été enterrée sous le regard des ouvriers de l’enseignement (j’en suis un) démunis de toute décision et le laisser-faire de ceux censés avoir un peu de pouvoir pour contrer. Il y a aussi grave : on le voit sur le terrain et j’en ai découvert récemment.

Le programme du Master Enseignement (MEÉF) est celui des classes préparatoires. Nous sommes d’accord : un enseignant du secondaire n’a pas besoin de plus. Et s’il sait tout cela de façon bien, alors c’est très bien ! Mais pas avec ce nouveau programme, plein de trous et où les démonstrations de pas mal de théorèmes importants sont non exigibles. On y lit quelques interdits dans divers coins du document. Je n’en relève qu’un, déjà assez important : La notion de suite de Cauchy (page 13) et le critère de Cauchy (page 15) sont hors programme.

Les auteurs semblent dire : « Oubliez Cauchy ! Pour démontrer que telle ou telle suite converge ou diverge, trouvez autre chose, ce critère coûte cher ! En plus, il déstabilise les étudiants : à chaque fois qu’on leur demande de l’appliquer, ils ne savent pas par quoi commencer ou alors... ou alors... ! Autant le supprimer pour ne plus avoir à gérer leur angoisse devant par exemple le : Pour tout $\varepsilon >0$, il existe un entier naturel $k$ tel que... »

C’est incompréhensible et un peu faible qu’on ne propose que des « simplifications » et des suppressions pour remettre sur pied un enseignement tombé à terre depuis déjà un certain temps !

Pourtant, dans ce même programme, figure l’étude des séries. On sait que lorsqu’une série converge, son terme général tend vers 0 ; c’est une condition nécessaire. Et une première question va avec : Cette condition est-elle suffisante ? L’exemple le plus simple qu’on prend pour donner une réponse (négative) est la série de terme général ${1\over n}$. Depuis des dizaines d’années, presque tous les enseignants du monde, quand ils dispensent une leçon là-dessus, appliquent le critère de Cauchy et montrent que, pour tout $n\geq 1$, les quantités $Q_n={1\over {n+1}}+\cdots +{1\over {2n}} $ sont minorées par ${1\over 2}$, ce qui met la convergence de la série en défaut. (J’ai été émerveillé la première fois que j’ai appris cette astuce !) Évidemment, on peut toujours passer par la divergence de l’intégrale de la fonction ${1\over x}$ sur l’intervalle $[1,+\infty [$ mais cela suppose au préalable la connaissance de ce qu’est une intégrale généralisée et bien d’autres choses. Une contrainte et un détour non nécessaires à mon avis.

Est-il vraiment compliqué de définir aux étudiants ce qu’est une suite de Cauchy ? De leur parler d’espace complet ? De leur apprendre à utiliser le critère de Cauchy ? Ou alors, est-il tout simplement légitime de le leur interdire ? C’est exactement comme si on interdisait à l’artisan-menuisier d’user de son marteau pour planter les clous !

Les notions d’espace de Banach et d’espace de Hilbert sont aussi bannies ! Est-il scandaleux qu’un étudiant de Master sache que l’espace des fonctions continues sur l’intervalle compact $[0,1]$ est un Banach pour la norme de la convergence uniforme ? Ou que l’espace des suites de carré sommable est un Hilbert pour la norme $L^2$ ?

J’ignore si certains des auteurs de ces programmes se rendent de temps en temps sur le présent site. S’ils le font et s’ils ont l’occasion de lire ce texte, il faudra qu’ils participent au débat et nous expliquent leurs choix !

Et vous ! enseignants, étudiants, chercheurs... ! qu’en pensez-vous ?

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Pour citer cet article :

Aziz El Kacimi — «Il n’y a plus de place pour Cauchy !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 20 novembre 2015 à 08:13, par Karen Brandin

    Bonjour,

    Votre billet est assez foisonnant et je ne suis pas sûre d’en comprendre la structure mais on peut sans doute vous répondre (même sans enseigner en prépa) en ce qui concerne le respect du programme, ce que vous faîtes au demeurant très bien quelques lignes plus bas.

    Un programme, c’est un choix qu’on espère motivé mais « choisir, c’est renoncer » donc il est évident que même avec la meilleure volonté du monde, il y aura toujours des incohérences, des objets ou concepts sacrifiés. Suivant notre parcours et notre sensibilité, on est plus ou moins interpellés(ées) par ces césures et heureusement.

    Vue la culture, le recul et le passé mathématique d’Aziz, je ne croix pas qu’il fasse une fixation sur Cauchy (indépendamment du débat historique que j’ai aussi rencontré avec le théorème de Bézout en fait dû à Bachet et finalement appelé « Bachet-Bézout » pour que tout le monde y trouve son compte en spé maths en S) ; il a choisi un exemple qui éveille quelque chose (même de vague) chez la plupart des lecteurs de ce site.

    Ensuite un programme scolaire, c’est aussi un cadre (un cadre nécessaire). Est-ce qu’on peut écarter les bords du cadre ? Oui bien sûr ... si l’auditoire le permet, ce qui est nécessairement le cas si c’est un public averti car sélectionné pour l’être.

    Dans le cadre des classes préparatoires, cela ne me choque pas du tout. On ne peut pas tout avoir, on peut reculer le moment où on sélectionne mais indéfiniment et il y a de très nombreux élèves qui sont (seront) heureux de pouvoir intégrer de « petites » prépas comme on dit pudiquement, ces classes moins prestigieuses alors qu’avec quelque chose de plus uniforme, ce type de formation, d’ambiance de travail leur aurait été refusé.

    C’est au lycée que je suis (surtout cette année où c’est flagrant) interpellée par la différence du degré d’exigence d’un établissement à l’autre, voire d’une classe d’un même établissement à l’autre. Dire que les inégalités se creusent est alors une évidence. En première et terminale S, je suis des élèves de sept lycées et il m’est impossible à chapitre équivalent d’envisager des séances qui ne seraient pas « sur-mesure ». Les cas de hors programme dans les classes « euro » notamment, font légion. Pas plus tard que la semaine dernière, on a dû traiter les équations différentielles du premier ordre à coefficients constants et second membre (contant ou pas) alors que cet aspect du programme a été abandonné en 2012.

    Alors sans doute que l’on va vers une école très inégalitaires où les faibles seront de plus en plus faibles et les moins faibles, de moins en moins faibles.

    Bien Sincèrement

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