Il n’y a plus de place pour Cauchy !

Le 18 novembre 2015  - Ecrit par  Aziz El Kacimi Voir les commentaires (28)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

Dans un passé pas si lointain, les programmes de mathématiques en Master (anciennement Maîtrise) étaient clairs, consistants et biens garnis. Ils constituaient un bon support sur lequel des générations d’enseignants et de chercheurs ont été formées. Il y avait du contenu ! Mais c’était trop beau pour espérer que ça dure : ces quelques dernières années, ils ont été vidés par les réformes successives, le besoin d’une « fausse économie » qui force la diminution du volume horaire... mais, surtout, victimes de la vision dite innovante que certains décideurs n’arrêtent pas de clamer. Je ne parlerai pas de la géométrie, elle a été enterrée sous le regard des ouvriers de l’enseignement (j’en suis un) démunis de toute décision et le laisser-faire de ceux censés avoir un peu de pouvoir pour contrer. Il y a aussi grave : on le voit sur le terrain et j’en ai découvert récemment.

Le programme du Master Enseignement (MEÉF) est celui des classes préparatoires. Nous sommes d’accord : un enseignant du secondaire n’a pas besoin de plus. Et s’il sait tout cela de façon bien, alors c’est très bien ! Mais pas avec ce nouveau programme, plein de trous et où les démonstrations de pas mal de théorèmes importants sont non exigibles. On y lit quelques interdits dans divers coins du document. Je n’en relève qu’un, déjà assez important : La notion de suite de Cauchy (page 13) et le critère de Cauchy (page 15) sont hors programme.

Les auteurs semblent dire : « Oubliez Cauchy ! Pour démontrer que telle ou telle suite converge ou diverge, trouvez autre chose, ce critère coûte cher ! En plus, il déstabilise les étudiants : à chaque fois qu’on leur demande de l’appliquer, ils ne savent pas par quoi commencer ou alors... ou alors... ! Autant le supprimer pour ne plus avoir à gérer leur angoisse devant par exemple le : Pour tout $\varepsilon >0$, il existe un entier naturel $k$ tel que... »

C’est incompréhensible et un peu faible qu’on ne propose que des « simplifications » et des suppressions pour remettre sur pied un enseignement tombé à terre depuis déjà un certain temps !

Pourtant, dans ce même programme, figure l’étude des séries. On sait que lorsqu’une série converge, son terme général tend vers 0 ; c’est une condition nécessaire. Et une première question va avec : Cette condition est-elle suffisante ? L’exemple le plus simple qu’on prend pour donner une réponse (négative) est la série de terme général ${1\over n}$. Depuis des dizaines d’années, presque tous les enseignants du monde, quand ils dispensent une leçon là-dessus, appliquent le critère de Cauchy et montrent que, pour tout $n\geq 1$, les quantités $Q_n={1\over {n+1}}+\cdots +{1\over {2n}} $ sont minorées par ${1\over 2}$, ce qui met la convergence de la série en défaut. (J’ai été émerveillé la première fois que j’ai appris cette astuce !) Évidemment, on peut toujours passer par la divergence de l’intégrale de la fonction ${1\over x}$ sur l’intervalle $[1,+\infty [$ mais cela suppose au préalable la connaissance de ce qu’est une intégrale généralisée et bien d’autres choses. Une contrainte et un détour non nécessaires à mon avis.

Est-il vraiment compliqué de définir aux étudiants ce qu’est une suite de Cauchy ? De leur parler d’espace complet ? De leur apprendre à utiliser le critère de Cauchy ? Ou alors, est-il tout simplement légitime de le leur interdire ? C’est exactement comme si on interdisait à l’artisan-menuisier d’user de son marteau pour planter les clous !

Les notions d’espace de Banach et d’espace de Hilbert sont aussi bannies ! Est-il scandaleux qu’un étudiant de Master sache que l’espace des fonctions continues sur l’intervalle compact $[0,1]$ est un Banach pour la norme de la convergence uniforme ? Ou que l’espace des suites de carré sommable est un Hilbert pour la norme $L^2$ ?

J’ignore si certains des auteurs de ces programmes se rendent de temps en temps sur le présent site. S’ils le font et s’ils ont l’occasion de lire ce texte, il faudra qu’ils participent au débat et nous expliquent leurs choix !

Et vous ! enseignants, étudiants, chercheurs... ! qu’en pensez-vous ?

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Pour citer cet article :

Aziz El Kacimi — «Il n’y a plus de place pour Cauchy !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 1er décembre 2015 à 09:12, par Aziz El Kacimi

    Bonjour,

    Il me semble que pour établir l’inégalité $S_n=1+{1\over 2}+\cdots +{1\over {2^n}}\geq {n\over 2}$, on utilise le fait que, pour tout $k\geq 1$, la quantité $Q_k={1\over {2^{k-1}+1}}+\cdots +{1\over {2^k}}$ est minorée par ${1\over 2}$. Mais si on a ça, Cauchy dit tout de suite que la série diverge ! Pourquoi revenir à la somme $S_n$ alors qu’on a déjà ce qu’on cherche ?

    Apparemment, on peut s’y prendre de différentes manières pour montrer que la série $\sum_{n=1}^\infty {1\over n}$ diverge mais on passe presque toujours par la minoration de blocs du type ${1\over p}+\cdots +{1\over {p+s}}$, donc par une variante de Cauchy !

    L’exemple de la série harmonique, sur lequel certains commentateurs se sont focalisés, n’était qu’un prétexte pour lancer le débat autour de la (vraie) question : Le critère de Cauchy est-il désuet ? (Les auteurs de ce programme ont-ils raison de le supprimer ?) Il faut être totalement ignorant de l’analyse pour répondre OUI. On nous a toujours répété aux bancs des amphis : Dans un espace complet, et en l’occurrence ${\Bbb R}$, le critère de Cauchy permet de montrer qu’une suite converge sans en connaître forcément la limite. D’accord, c’était en mon temps ! mais je ne crois pas qu’il y ait eu jusqu’à présent un super matheux qui ait pu changer quoi que ce soit à cela !

    Pour enseigner à un niveau, même élémentaire, moi je dirais qu’il est nécessaire de connaître plus ! On voit mieux quand on est en hauteur. La transmission du savoir à travers une leçon (un cours ou un TD) est beaucoup plus facile quand le maître domine ce qu’il doit communiquer. Et comme disait Gustave Flaubert « Si vous saviez précisément ce que vous voulez dire, vous le diriez bien ! » Une belle maxime pour illustrer cette évidence : pour enseigner bien, il faut bien connaître ce que l’on enseigne.

    Cordialement,

    Aziz El Kacimi

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