Un pionnier: D’Arcy Thompson

D’Arcy Thompson, naturaliste
et mathématicien Ecossais, développe en 1917 dans son ouvrage «Growth and
Forms» [Tho42] les bases d’une véritable «science de la
forme» pour appréhender l’apparente infinie diversité des
formes du vivant. Son idée centrale est de placer la physique et la
géométrie (et donc les mathématiques!) au centre du dispositif pour
réduire la variabilité des formes du vivant à quelques
modèles simples sur lesquels agissent des transformations géométriques
contrôlées par une certain nombre de contraintes physiques.

"In a very large part of morphology, our essential task lies in the
comparison of related forms rather in the precise definition of each; and
the deformation of a complicated figure may be a phenomenon easy of
comprehension, though the figure itself may have to be left unanalyed
and undefined. This process of comparison, of recognizing in one form
a definite permutation or deformation of another, apart altogether
from a precise and adequate understanding of the original ’type’ or
standard of comparison, lies within the immediate province of mathematics
and finds its solution in the elementary use of a certain method of the
mathematician. This method is the Method of Cordinates, on which
is based the Theory of Transformations."
D’arcy Thompson.

Cent ans
plus tard, les idées de d’Arcy Thompson, après les formidables avancées de
la biologie et de la génétique au XXieme siecle, continuent d’être
fécondes. La puissance des ordinateurs actuels
rend maintenant possible le calcul explicite de telles
transformations en 3D, leurs comparaisons quantitatives avec des retombées
concrètes:
un même organe sur des patients différents, ou sur un seul
patient à des instants différents ou dans des positions différentes,
est soumis à des variations de formes qu’il convient de modéliser et
de caractériser, parfois parce qu’elles interviendraient dans un
diagnostic (lorsque certaines variations sont susceptibles de
correspondre à une pathologie) ou bien simplement parce qu’elles
doivent être corrigées pour pouvoir analyser d’autres aspects des
images dans une représentation normalisée. Le contexte de
l’imagerie médicale n’est pas le seul domaine d’applications: la prise
en compte de la variabilité géométrique des objets perçus
est au coeur des problématiques de la vision artificielle.

Figure 1.

(D’après d’Arcy Thompson (1917)). Les formes en apparence différentes (A) et (B) n’en sont pas moins très similaires après application d’une transformation. Des points caractéristiques peuvent être mis en correspondance à travers une transformation simple.

D’autre part, les problèmes soulevés par la comparaison quantitative
de formes et plus généralement par les espaces de formes ne cessent de
stimuler l’imagination et les efforts des mathématiciens. Les premiers
outils effectif sont venus avec des méthodes relativement simples mais
efficaces venant de la théorie des splines et proposées par
Bookstein [Boo91]: dans la comparaison de deux formes (A) et (B), on
sélectionne des points caractéristiques $(M_i)_{1\leq i\leq n}$ sur
(A) et $(M'_i)_{1\leq i\leq n}$ sur (B) puis l’on cherche une
transformation permettant de faire coïncider les $M_i$ avec les
$M'_i$ en déformant le support de (A) modélisé comme un matériau
élastique. En termes mathématiques, il s’agit de résoudre le problème
sous contraintes:
\[\begin{equation} \left\{ \begin{array}\\ \inf \ |v|_V\\ \text{satisfaisant}\\ M_i+v(M_i)=M'_i, \text{ pour tout } i \end{array} \right. \label{equation_1}\end{equation}\]

où $v$ est un champ continu de déplacements et $|v|_V$ une
norme hilbertienne donnant le «coût» du champ de déplacement $v$, le
plus souvent la racine carrée d’une énergie de déformation
inspirée des modèles d’élasticité linéarisée. Ceci peut être fait en
résolvant un simple système linéaire.

Espace de formes

Les problèmes mathématiques posés par le codage et la comparaison de
formes, la modélisation de la variabilité par des modèles aléatoires
appropriés, s’avèrent être tous d’une très grande richesse et demande
un véritable travail de conceptualisation pour pouvoir être abordés
correctement [Mum03]. Par exemple, la question d’une forme de
référence ou
d’une forme moyenne entre deux formes oblige à envisager les espaces
de formes comme des variétés riemanniennes mais encore faut-il savoir
quelles sont les métriques naturelles (cf fig 2 ci-dessous) et comment
tenir compte simultanément des variations géométriques et photométriques. La
construction de modèles aléatoires cohérents et les techniques
d’estimation adaptées sont des problèmes peut-être encore plus
redoutables.

Figure 2.

Qu’est-ce qu’une image moyenne entre A et B ? La moyenne arithmétique des intensités donne la réponse D. Une approche riemannienne des espaces de formes donne la réponse C. L’image C est issu d’un calcul d’un point milieu pour une certaine métrique dite des métamorphoses [TY05]

Beaucoup d’équipes de mathématiciens et d’informaticiens travaillent sur ces problèmes,
plus ou moins proches des
applications.

Actions de groupes

Pour illustrer plus concrètement les difficultés que
l’on peut rencontrer,
et les nouveaux objets que l’on est amené à manipuler, prenons un
exemple sur lequel nous avons pas mal travaillé:
les méthodes linéaires de types splines ont connues et connaissent
toujours un très grand succès mais rencontrent des problèmes lorsque
les déformations deviennent importantes car les transformations générées ne
sont plus inversibles (figure 3). Il devient alors
impossible d’apparier de façon bijective les points de (A) et (B) et
donc de passer d’une forme à l’autre.

Figure 3 A gauche, l’interpolation par splines «à la Bookstein». La
forme (A) correspond à la courbe bleue et la forme (B) à la courbe
rouge. Les points caractéristiques sont signalés par des petits
cercles. Pour visualiser la transformation, on affiche en vert
l’image par la transformation estimée d’une grille régulière. On
note des zones de repliements avec perte d’inversibilité de
$x+v(x)$ (ces zones apparaissent beaucoup plus foncées sur l’image
de gauche). A droite, même problématique, mais on affiche la solution
géodésique dans le groupe de difféomorphismes associé (voir plus
bas). Les repliements sont éliminés et l’inversibilité préservée.

Pour résoudre ce problème technique de non inversibilité, il faut
revenir aux idées de D’arcy Thompson: le cœur de son approche est
de comparer les formes en considérant les transformations agissant sur
quelques modèles simples. Les transformations ont naturellement une
structure de groupe agissant (ou sens mathématique) sur les formes ou
une représentation de celles-ci (par des points caractéristiques par
exemple ou une image en niveau de gris). Cette vision des formes
définie dans un langage moderne par des actions de groupes sur des
éléments primitifs ou des générateurs est au cœur de la théorie de la
reconnaissance des formes de Ulf Grenander [Gre93]. Les besoins de la
comparaison de formes anatomiques demandent de considérer des groupes de
difféomorphismes c’est-à-dire des groupes de transformations
régulières et inversibles. Plus encore, il faut être capable de
«facturer» la taille d’un difféomorphisme à la manière de $|v|_V$ qui
donne le coût de la transformation $x\to x+v(x)$. L’enjeu est alors
de construire des structures riemanniennes sur des groupes de
difféomorphismes, et de pouvoir travailler numériquement avec,
pour mesurer des distances entre difféomorphismes (et en déduire
des distances entre formes) ou pour construire des géodésiques
dans ces groupes reliant deux d’entre eux.

En reprenant la théorie des splines, si $v$ est un «petit» champ de
déplacement, $\psi(x)=x+v(x)$ est un difféomorphisme proche de
l’identité (autrement dit, les champs de vecteurs définissent
l’algèbre de Lie). En composant suffisamment de petits
difféomorphismes, $\psi_i(x)=x+v_i(x)$, on construit par composition
$\phi_n=\psi_n\circ\cdots\psi_1$ qui peut être loin de l’identité pour
un coût $\sum |v_i|_V$. Cette idée est mathématiquement plus naturelle
après passage à la limite pour laquelle la longueur d’une «courbe»
indexée par $t\in [0,1]$ de
difféomorphismes définie par l’équation d’évolution
\[\begin{equation} \left\{ \begin{array}\\ \frac{\partial \phi}{\partial t}(t,x)=v(t,\phi(t,x)),\ t\in[0,1]\\ \\ \phi(0,x)=x \end{array} \right. \label{equation_2} \end{equation}\]
a pour longueur $\int_0^1 |v(t,.)|_Vdt$. Les difféomorphismes sont
donc définis à partir de flots de champs de vecteurs et $v(t,x)$ est la
vitesse d’un point se trouvant en $x$ à l’instant $t$ tandis que
$\phi(t,x)$ donne la position au temps $t$ d’une particule en $x$ au
temps $0$. L’ancienne métrique des splines $|\ |_V$ est réutilisée
pour mesurer des coûts instantanés.
Le problème de la construction d’une transformation
inversible entre deux formes (A) et (B) à partir de points
caractéristiques se traduit maintenant comme le problème
\[\begin{equation} \left\{ \begin{array}\\ \inf \int_0^1|v(t,.)|_V\\ \text{satisfaisant}\\ \phi(1,M_i)=M'_i\ \end{array} \right. \label{equation_3}\end{equation}\]

$\quad$
Cette fois, la solution sera un difféomorphisme tout en respectant les
contraintes comme on peut le voir figure 3. De
nombreuses interprétations géométriques sont possibles: La courbe de
difféomorphismes $\phi(t,.)$ obtenue en résolvant $\ref{equation_3}$ est une
géodésique particulière entre l’identité et $x\mapsto \phi(1,x)$ pour la
métrique riemannienne associée au choix initial de $|\ |_V$. On est
alors conceptuellement très proche du cadre géométrique d’Arnold pour
Euler incompressible puisqu’il s’agit ici aussi d’étudier les
géodésiques sur le groupe des difféomorphismes pour une métrique
invariante à droite. Dans le cas d’Arnold, la métrique de départ sur les
champs de vecteurs est $|v|_V=||v||_2$ (métrique
$L^2$) avec la contrainte supplémentaire d’incompressibilité
($\text{div}(v)=0$). Dans les cas utiles pour l’analyse des formes, la
condition d’incompressibilité n’est pas naturelle et les métriques
intéressantes doivent être plus «rigides» que la métrique $L^2$ (et
même $H^1$ qui conduit à l’équation de Camassa-Holm) et surtout
dépendent des objets d’intérêt. Cette rigidité qui évite
l’apparition de solutions singulières rend sans doute les modèles
plus simples, mais la nécessité de considérer une grande variété de
métriques et de construire explicitement des géodésiques
particulières solutions de nouveaux problèmes variationnels
ouvrent de nombreux champs d’exploration à côté du cadre
habituel de la mécanique des fluides [HRTY04]

La problématiques précédente correspond à l’action des
difféomorphismes sur des $n$-uplets de points caractéristiques, mais
l’extension à d’autres actions sont possibles comme celles sur les
images: $(\phi,I)\to I\circ \phi^{-1}$, ou sur des sous-variétés de
$\mathbb{R}^3$ grâce à la représentation des surfaces par mesures ou
mieux encore par courants sur lesquels il existe une action
géométrique naturelle Gla05

Figure 4.

Application des techniques d’appariement géodésique pour la comparaison de surfaces corticales (ici le planum temporale qui est une structure bilatérale impliquée dans le langage et l’audition chez l’homme). De telles surfaces 3D sont appariées par une transformation inversible 3D de l’espace. La forme (A) est en haut à gauche, la forme (B) (en rouge) en bas à droite. La séquence représente des étapes intermédiaires dans le processus de transformation.

Références

F.L. Bookstein. Morphometric Tools for Landmark Data. Cambridge University Press, 1991.

J. Glaunes. Transport par difféomorphismes de points, de mesures et de courants pour la comparaison de formes et l’anatomie numérique.
PhD thesis, Université Paris 13, 2005.

U. Grenander. General Pattern Theory. Oxford Science Publications, 1993.

D. D. Holm, J. T. Ratnanather, A. Trouvé, and L. Younes.
Soliton dynamics in computational anatomy.
Neuroimage, 23:170—178, 2004.

D. Mumford. The shape of objects in two and three dimensions: Mathematics meets computer vision, (2003) AMS Josiah Willard Gibbs Lecture.

D’Arcy Thompson.
On growth and Form. Cambridge University Press, 1942. Première édition 1917.

A. Trouvé and L. Younes.
Metamorphoses through lie group action.
Foundations of Computational Mathematics, 5(2):173—198, 2005.