Imposible

Piste verte Le 12 mai 2011  - Ecrit par  Étienne Ghys
Le 7 mai 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
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Imposible no existe -se dice-, pero imposible ¿es matemático ?

Aquí hay algunas palabras que uno puede encontrar en el recodo de los artículos matemáticos de hoy en día :

verdadero, demostrable, probable, casi seguro, calculable, coherente, efectivo, decidible...

Desde hace un poco menos de cien años, los matemáticos han debido acostumbrarse : entre lo verdadero y lo falso, lo posible y lo imposible, hay matices. ¡ Le han dedicado tiempo ! Cada uno sabe bien que en la vida de todos los días no siempre es fácil distinguir lo verdadero de lo falso y que a veces, es simplemente imposible.

Y, sin embargo, las matemáticas son todavía presentadas a menudo como un mundo caricaturesco y frío, donde uno tiene la razón o está equivocado.

El siglo XIX, con su optimismo y sus certezas, dio lugar a un siglo XX lleno de dudas y complejidades. Y esta evolución no se encuentra por supuesto solamente en el campo de las matemáticas. Basta con recordar el ’’principio de incertidumbre’’ en mecánica cuántica, o la relatividad de Einstein, para comprobar que los físicos también han puesto en duda algunas de sus certezas, más o menos en la misma época. Por otra parte, uno encontra muchas situaciones análogas fuera del campo de las ciencias.

La cuadratura del círculo

La cuadratura del círculo es un problema imposible. De hecho, se trata de un problema de geometría del plano que se remonta a la Antigüedad. Se da un círculo y se tiene una regla y un compás.

La cuadratura del círculo

Michael Maier, Atlanta Fugens, 1618, emblema XXI, cuadratura del círculo filosofal

El desafío consiste en construir un cuadrado cuya superficie sea la misma que la del círculo. ¿Por qué esta es una pregunta interesante ? A decir verdad, hoy en día ya no es muy interesante. Pero se puede considerar que lo fue durante un tiempo, cuando el agrimensor podía querer medir la superficie de un terreno circular. Sabemos que esta superficie es $\pi R^2$ donde $R$ designa el radio del círculo y $\pi$ designa esa famosa constante que vale aproximadamente $3,14...$. En otras palabras, la cuadratura del círculo consiste en determinar el valor de $\pi$ con ayuda de una regla y un compás. ¿Para qué, si mi calculadora me dice que $\pi =3,14159265358979...$, y esto satisfará a todos los agrimensores del mundo durante mucho tiempo más ? Eso no impide que este enigma haya acosado a los geómetras durante muchos siglos, hasta que en 1882, el matemático Lindemann mostró que

¡ es imposible !

Es un poco como si ese número $\pi$ no existiera, ya que no se puede construirlo. Pero por supuesto, para construirlo se necesita herramientas, y en ese caso se trata de una regla y un compás. Si se me autoriza a usar otras herramientas, como por ejemplo un computador, yo puedo escribir un pequeño programa que va a mostrar sobre la pantalla los decimales de $\pi$ uno por uno. Puede ser que mi computador se demore mucho hasta encontrar el milésimo decimal, pero terminará por calcularlo. El número $\pi$ no puede construirse con regla y compás, pero (en principio) es calculable con un computador (con una precisión arbitraria).

La incompletitud

A inicios del siglo XX, los programadores dieron una buena lección de modestia a los matemáticos, pero también a los científicos y a los filósofos. Tal como algunos números existen de hecho pero no puede ser construidos, algunos enunciados no pueden ser demostrados ni invalidados. Se trata del teorema de Gödel, que data de 1931.
No se pretende aquí enunciarlo con precisión : para eso se necesitaría largos desarrollos [1].

Kurt Gödel (1906-1978)

De cierta manera, los juristas conocían ese teorema desde hace mucho tiempo.
Simplifiquemos al extremo el problema que se presenta a la justicia.
Se trata de determinar si un acusado es inocente o culpable de un crimen.
Para esto, la audiencia posee un cierto número de herramientas, puestas a su disposición por el Código Penal, por ejemplo.
Dispone también de un cierto número de hechos, testimonios, etc. establecidos durante la investigación.
Y enseguida la máquina judicial trabaja.
A veces puede establecer la inocencia, a veces puede establecer la culpabilidad.
Pero a veces, reconoce que no puede establecer ni la una ni la otra. Las herramientas de las cuales dispone son insuficientes para concluir y se produce la absolución.
¡Hace tiempo que los juristas han comprendido que no siempre pueden llegar a la verdad !

Cuando se razona, uno tiene a su disposición un cierto número de enunciados ’’sólidos’’ sobre los cuales puede basarse : se los llama los axiomas.
Y luego, dispone de algunas reglas de razonamiento : el código penal de los estudiantes de matemáticas. Se trata de establecer si un enunciado es verdadero o falso. A veces se llega a mostrar que es falso. A veces que es verdadero. Y a veces, es imposible llegar a uno o al otro. Insistamos : no es que yo haya fracasado en hacerlo, sino que se puede demostrar que existen enunciados cuya veracidad/falsedad no puede ser demostrada.
Se dice que son indecidibles.

Nuestro método matemático carece de potencia.

Se podría decir que basta con aumentar el número de axiomas y añadir algunas reglas de razonamiento para agregarle potencia a las matemáticas, pero el teorema de Gödel es implacable.
Cualesquiera que sean los axiomas que uno agregue, se topará con una alternativa bien desagradable.
Ya sea que uno agregó demasiados axiomas y nuestra máquina de razonar será tan mala que se volverá contradictoria y permitirá demostrar todo y lo contrario también ; o que quedarán aún enunciados indecidibles.
Por lo tanto, debemos aceptar el hecho de que ciertas verdades nos son inaccesibles.
Linda lección.

¿Verdadero o falso ?

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La Verdad, abstracción personificada
Jules Joseph Lefebvre (1870)

Uno puede entonces preguntarse lo que significan las palabras ’’verdadero’’ y ’’falso’’. Se podría pensar ingenuamente que un enunciado es verdadero si se puede demostrarlo, y falso si se puede demostrar su negación. Pero entonces, el teorema de Gödel nos llevaría a la conclusión de que algunos enunciados no son ni verdaderos ni falsos. Eso no nos parece aceptable. ¡ Es necesario que todos los enunciados sean verdaderos o falsos !

Volvamos a nuestra analogía jurídica. Cuando una audiencia pronuncia una absolución porque no ha podido probar la culpabilidad de un acusado, no se pronuncia sobre esta culpabilidad y sin embargo el acusado es culpable o no lo es.

Ocurre un poco lo mismo en matemáticas. A menudo se considera que los razonamientos matemáticos y los axiomas son un medio para explorar un ’’mundo matemático abstracto’’ (que se llama un modelo) en el cual todos los enunciados son verdaderos o falsos. El teorema de Gödel toma ahora una forma más impresionante : algunos enunciados son verdaderos (en el modelo) y sin embargo no pueden ser demostrados.

El hecho para que un enunciado sea demostrable depende del sistema de axiomas utilizado, mientras que su veracidad depende del modelo matemático elegido, el que uno se propone estudiar.

Luego viene el asunto de la elección del modelo utilizado por los matemáticos.
Se trata ahora de una discusión de naturaleza filosófica. La mayoría de los matemáticos piensa que su trabajo consiste en explorar un mundo matemático que tiene una real ’’existencia’’, casi concreta, y que es común a todos los seres humanos (¿o incluso extraterrestres ?). En otras palabras, muchos matemáticos piensan que existe un modelo privilegiado que ellos visitan, y que cada enunciado matemático es, por lo tanto, verdadero o falso.

Tratemos entonces de preguntar a matemáticos lo que la palabra ’’verdadero’’ significa para ellos y verán que las respuestas raramente son claras. De hecho, son muy pocos los que se han planteado esta pregunta, que sin embargo está en el núcleo de su actividad.

Un ’’ejemplo’’

Durante mucho tiempo, los matemáticos pensaban que ese teorema de Gödel era sólo una elucubración de lógicos y que todos los enunciados de la vida (¡ matemática !) de todos los días son decidibles, en la práctica. Sin embargo, existen ejemplos relativamente concretos de enunciados indecidibles.
Desgraciadamente, son un poco complicados como para que uno pueda explicarlos aquí [2].

Aquí está sin embargo un enunciado ’’que bien podría ser verdadero e indecidible’’. Se dice que dos números primos [3] son gemelos si difieren por 2, como por ejemplo 3 y 5, o 5 y 7, o incluso 881 y 883. Desde hace tiempo uno se pregunta si existe una infinidad de números primos gemelos [4].

El enunciado ’’existe una infinidad de número primos gemelos’’ describe una propiedad de los naturales. Decir que es verdadero o falso depende de la elección de un modelo para los naturales, pero ahí todavía la mayoría de los matemáticos piensan que el conjunto de los naturales ’’existe’’, es decir que ellos privilegian un modelo particular. El enunciado por lo tanto es verdadero o falso, incluso si yo soy incapaz de decir algo más.

Es posible que un día un matemático encontrará una demostración, o una demostración de su negación, pero también es posible que este enunciado sea indecidible y falso, o incluso indecidible y verdadero.

Calculable

Supongamos que usted deseara cubrir su cocina con baldosas del siguiente tipo.

Son simplemente cuadrados con sus lados coloreados. Usted se impone una regla : no se permite colocar un cuadrado al lado de otro salvo si los lados adyacentes tienen el mismo color [5]. Como hablamos de matemáticas, no dudaremos en suponer que nuestra cocina es infinita :-) pero me imagino al menos que hay solo un número finito de colores (digamos azul, rojo, verde y negro, por ejemplo) y que los tipos de teselados que me propongo utilizar me han sido dados a priori (6 en el ejemplo de arriba).

¿Cómo determinar si es posible ? Uno querría programar un computador para que responda a la pregunta. Pondría como datos en el programa el número de tipos de cuadrados que uno tiene, los colores de los lados, y apretaría la tecla ’’Enter’’. El programa calcularía y respondería ’’Sí, es posible, sus cuadrados coloreados pueden en efecto teselar su cocina infinita’’, o ’’No, es imposible’’.

Bueno, tal programa no existe. Es un teorema de Robert Berger, que data de 1966 y que se basa en un resultado fundamental de Turing de 1936.

Alan Turing (1912-1954)

Dicho de otra forma, algunos problemas no pueden ser resueltos por un computador, por potente que sea. Es otra forma de indecidibilidad.

Complicado

La llegada de los computadores nos ha hecho tomar conciencia de otro hecho, cuyo alcance científico y filosófico es considerable.
Algunos hechos son verdaderos y demostrables, pero sus demostraciones son tan largas que todo ocurre como si no existieran.
Tomemos de nuevo el ejemplo de mi computador al cual le pido calcular los decimales del número $\pi$.
Supongamos que yo busco el mil millonésimo decimal, por ejemplo.
Si lo hago mal y mi computador es ingenuo, está claro que mi computador va a comenzar un cálculo desmesuradamente largo ¡ y el tiempo necesario será muy probablemente superior a la edad del universo !
¿ Para qué semejante cálculo ?
Cuál es el sentido de la frase ’’puedo calcular el mil millonésimo decimal de $\pi$’’ si tengo que esperar tamaña duración, algo que evidentemente no puedo admitir.
¿ Tal vez lo manejé mal ?
¿ Puede ser que, al darle instrucciones diferentes al mismo computador, podría encontrar el mil millonésimo decimal en un cuarto de hora ?

Pero ahí de nuevo, los lógicos nos forzaron a la modestia.
Existen enunciados no muy complicados que son demostrables pero que uno no puede demostrarlo en un tiempo razonable.
Las longitudes de las pruebas son inconmensurablemente más largas que las longitudes de los enunciados que se procura demostrar.
Es posible demostrarlos pero es imposible hacerlo en un tiempo útil.
Por lo tanto están fuera del alcance de nuestro entendimiento.

Probable

El ADN de un sospechoso encontrado en el lugar del crimen, ¿ es una prueba de culpabilidad ?
Estrictamente hablando, no es imposible que dos personas distintas tengan exactamente el mismo ADN, pero es muy, muy, muy poco probable [6].
Si dos personas lanzan mil veces consecutivas una moneda, ¿ cuál es la probabilidad de que realicen exactamente la misma secuencia de caras y sellos ?
Una probabilidad sobre

10
715
086
071
862
673
209
484
250
490
600
018
105
614
048
117
055
336
074
437
503
883
703
510
511
249
361
224
931
983
788
156
958
581
275
946
729
175
531
468
251
871
452
856
923
140
435
984
577
574
698
574
803
934
567
774
824
230
985
421
074
605
062
371
141
877
954
182
153
046
474
983
581
941
267
398
767
559
165
543
946
077
062
914
571
196
477
686
542
167
660
429
831
652
624
386
837
205
668
069
376

Tanto como decir que es ’’imposible’’.

La teoría de las probabilidades ha tomado un formidable vuelo durante el siglo XX.
Ahí de nuevo, se trata de repensar lo posible y lo imposible, y esta nueva herramienta tiene una increíble potencia.
A este respecto vea el artículo de François Sauvageot.

Entonces, en efecto, las matemáticas de hoy en día no son más las de lo verdadero o lo falso, y proponen enfoques bastante más sutiles : verdadero, demostrable, probable, calculable, coherente, efectivo, decidible, etc.

Post-scriptum :

La redacción de Images des Maths, así como el autor, agradecen por su atenta relectura a los relectores cuyo seudónimo es el siguiente : Xavier Buff, levangileselonsaintmatheux y Jérôme Germoni.

Article original édité par François Sauvageot

Notes

[1Espero que Paisajes Matemáticos dedique luego un artículo a este teorema fundamental. A la espera, está disponible este artículo, pero es un poco difícil.

[2El lector interesado puede leer este artículo.

[3Recordemos que un número entero superior o igual a 2 se llama primo si no puede escribirse como el producto de dos enteros más pequeños. Por ejemplo, 5 es primo pero 6 no lo es, ya que es igual a 2 por 3. ¿Sabría usted determinar si 8999737 es primo ?, ¿ cuánto tiempo le tomaría saberlo ?, ¿ cuánto tiempo le tomaría a su computador ?

[4Vea este artículo de Wikipedia.

[5No se permite darlos vuelta ni girarlos : solo se les puede trasladar.

[6Olvidémonos del caso de los gemelos.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Imposible » — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

La Vérité, abstraction personnifiée - http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Truth.jpg
La quadrature du cercle - http://fr.wikipedia.org/wiki/Quadrature_du_cercle
Kurt Gödel (1906-1978) - http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/Biographies/Godel.html
Alan Turing (1912-1954) - http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Mathematicians/Turing.html

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