Incrédule

Du plaisir de ne pas être cru

Le 10 janvier 2019 - Ecrit par Arnaud Chéritat Voir les commentaires (2)

« Non. Vraiment ? »

La scène. La salle des ordinateurs d’un collège. Quinze collégiens et collégiennes, par groupes de 3 ou 4 devant leurs écrans et claviers.

Les circonstances. Peu de temps avant midi, durant un atelier MATHs.en.JEANS. Un chercheur y aide les jeunes à progresser sur des sujets de recherches, ouverts, qu’il leur a donnés deux mois auparavant.

Le sujet. Discussion sur les polyèdres convexes. Des solides à faces planes.

Un polyèdre

Le dialogue :

UNE COLLÉGIENNE — [...] et on a constaté que le nombre d’arêtes du polyèdre doublait à chaque étape.

LE CHERCHEUR — Est-ce que vous avez une explication ?

— On n’en a pas.

— Je vais vous donner une piste. Dans un polyèdre convexe, si vous comptez le nombre de sommets, d’arêtes et de faces, vous ne pouvez pas obtenir n’importe quelles valeurs. Il y a une relation entre eux, qu’on attribue au mathématicien Euler. Le nombre de sommets, plus le nombre de faces, moins le nombre d’arêtes, ça fait toujours deux.

— Non. Vraiment ? Vous êtes sûr ?

— Oui. Je sais que ça peut paraître surprenant [...]

Ce n’est pas une pièce de théâtre. Le chercheur c’est moi et la scène s’est déroulée récemment. Sur l’expression de l’élève, on pouvait lire son désaccord. Quelle n’a pas été ma surprise devant cette saine réaction d’incrédulité, devant l’implication personnelle que cela traduisait.

Habitué que je suis à des réactions plus mornes, ce « non » m’a beaucoup plu.

Commentaire sur l'article

Une suite ? Et une démonstration très simple ?

le 12 janvier 2019 à 12:23, par Carlo

Cher Dr. Chéritat,

merci pour cette histoire que j’ai lu avec curiosité et participation.
Pourrais-je vous demander la suite de vôtre conversation avec l’élève ?
Encore, connaissez-vous des démonstrations très simples de la relation d’Euler ?
J’en connaisse deux : une que j’étudiai quand j’était au lycée, écrite sur mon livre de géometrie, par Ugo Amaldi et Federigo Enriques. Elle est la démonstration que je propose parfois à mes élèves ( dans un classe Italienne équivalente à une première scientifique ) ; elle est fondée sur l’observation de l’invariance de $f + s - a$ quand on enlève une face à la fois d’un solide eulerien. J’arrive dans ma classe avec une boîte de carton et une paire de ciseaux.
J’ai récemment trouvé une simple démonstration sur le livre « A new look at geometry » par Irving Adler, publié par Dover, mais elle demande une certaine intuition topologique.
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Incrédule

le 12 janvier 2019 à 19:23, par Arnaud Chéritat

La suite de la discussion : avec le temps les détails s’effacent de ma mémoire. Il me semble que je lui ai donné quelques exemples mais aucune démonstration, et nous avons embrayé sur le problème initial (une procédure qui construit un polyèdre convexe à partir d’un autre).

Ce théorème d’Euler est toujours un mystère pour moi. J’en ai vu plusieurs démonstrations, mais je ne le ressens toujours pas comme une vérité intuitive ou inévitable. Pour une première scientifique, je crois avoir vu une preuve utilisant un arbre maximal dans le graphe des arrêtes et un arbre « dual », et qui est peut-être accessible.
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