Acabo de leer un pequeño artículo de la revista de difusión científica La Recherche acerca del último análisis de la estatura y peso de la población francesa elaborado por los laboratorios Roche, que contiene una linda ilustración sobre temas que yo había tratado de plantear en notas anteriores sobre los promedios [1] .

Los resultados

Lo que me interesa en este estudio son los datos siguientes : el peso promedio de la población francesa (o más bien de la muestra seleccionada para el estudio, pero no vamos a ponernos exquisitos con esto) es de aproximadamente $72,0$ kilogramos, y su IMC (Índice de Masa Corporal) promedio, de $25,3$.

El Índice de Masa Corporal

El IMC es un indicador que sirve para medir el sobrepeso o la delgadez, tomando en cuenta la estatura del individuo y no solamente su peso. Su definición es la siguiente : el IMC de un individuo es igual a su peso (expresado en kilogramos), dividido por el cuadrado de su estatura (expresada en metros) \[IMC = \frac{\mathrm{peso}}{\mathrm{estatura}^2}.\]

Primero, un pequeño comentario : es bastante lógico no dividir por la estatura, ya que si una persona es una vez y media más grande que otra, tiene buenas posibilidades de ser también más ancha. Sin embargo, se puede pensar que ella también debería ser más gruesa, de manera que -para considerar las tres dimensiones- se podría querer dividir por el cubo de la estatura, más que por su cuadrado. Reconozco que no sé exactamente de dónde proviene la elección del exponente $2$ en el IMC, pero uno puede imaginar que los grandes son, en general, proporcionalmente menos gruesos que los pequeños.

El problema de los promedios

Volvamos a nuestros promedios. Si se calcula el IMC de un individuo de $1,685$ metros y $72$ kilos, se encuentra alrededor de $25,3$. Normal, ¿no ? Salvo que el IMC es absolutamente ’’no lineal’’, es decir, el IMC promedio puede ser muy diferente de aquel calculado a partir de las estaturas y pesos promedio. Me habría gustado decir que eso se ve bastante bien en la fórmula, pero me arriesgo a no ser muy convincente. Tomemos más bien un ejemplo, el más simple posible.

Un ejemplo

Consideremos una población ficticia en estudio, formada por dos individuos (digamos Abel y Bilal). Abel mide $1$ metro y pesa $20$ kilos, mientras que Bilal mide $0,5$ metros y pesa $5$ kilos (son muy jóvenes, como habrá adivinado).

Así, ambos tienen un IMC de $20$ kilos por metro cuadrado, por lo tanto su IMC promedio es de $20$. Sin embargo, sus estaturas promedio son de $0,75$ metros, sus pesos promedio de $12,5$ kilos, y el IMC que corresponde a esos promedios es de alrededor de $22,2$ kilos por metro cuadrado, es decir, más de $10 \%$ de diferencia con el IMC promedio.

¿Una paradoja ?

Hay algo incluso más sorprendente. Consideremos ahora una segunda población, formada por Caín y Abel. Caín mide $0,88$ metros y pesa $22$ kilos, mientras que Abel mide $0,6$ metros y pesa $4$ kilos. De ese modo, calculadora en mano, Caín tiene un IMC de $28,4$ apriximadamente, y Abel cerca de $11,1$ (les repito : ¡son ejemplos ficticios !).

Para esta segunda población se obtiene una estatura promedio de $0,74$ metros, un peso promedio de $13$ kilos y un IMC promedio de cerca de $19,8$. El IMC calculado a partir de las estaturas y pesos promedio es de alrededor de $23,7$, por lo tanto se ve que la diferencia es aún más grande que en el primer ejemplo. Pero lo más divertido no es eso : aunque el IMC se supone que mide la gordura, nuestra segunda población tiene, en relación a la primera, una estatura promedio más pequeña, un peso promedio mayor, y un IMC promedio ¡más pequeño !

Una solución

Si uno quiere evitar este tipo de paradoja, hay que elegir un promedio diferente del promedio habitual (vea esta nota anterior), que ’’funcione bien’’ en la multiplicación y la división, de manera que el IMC promedio sea el mismo que aquel calculado a partir de las estaturas y pesos promedio. Dicho promedio existe : es el promedio geométrico.

Comentario de conclusión

Se puede decir que para exhibir la paradoja de arriba, tuve que elegir estaturas y pesos bastante inverosímiles. En una población real, los efectos extraños descritos en esta nota parecen muy débiles. Me pregunto si de cierta manera uno sabe describir las distribuciones de estatura y de peso para las cuales la elección del promedio aritmético es razonable, en el sentido que no haga aparecer paradojas de manera demasiado flagrante.