Je viens de lire un petit article de La Recherche sur la dernière analyse de la taille et du poids de la population française menée par les laboratoires Roche, et il contient une jolie illustration des questions que j’avais essayé de soulever dans les précédents billets sur les moyennes [1] .
Ce qui m’intéresse dans cette étude, ce sont les données suivantes : la taille moyenne de la population française (ou plutôt de l’échantillon sélectionné pour l’étude, mais ne chicanons pas) est d’environ $1,685$ mètre, son poids moyen d’environ $72,0$ kilogrammes, et son IMC (indice de masse corporelle) moyen de $25,3$.
L’IMC est un indicateur servant à mesurer le surpoids ou la maigreur en tenant compte de la taille de l’individu et pas seulement de son poids. Sa définition est la suivante : l’IMC d’un individu est égal à son poids (exprimé en kilogrammes), divisé par le carré de sa taille (exprimé en mètres) $$IMC = \frac{\mathrm{poids}}{\mathrm{taille}^2}.$$
D’abord, une petite remarque : il est assez logique de ne pas diviser par la taille, car si une personne est une fois et demi plus grande qu’une autre, elle a de bonnes chances d’être aussi plus large. Mais on peut penser qu’elle devrait aussi être plus épaisse, de sorte que, pour tenir compte des trois dimensions, on pourrait vouloir diviser par le cube de la taille plutôt que par son carré. J’avoue ne pas savoir exactement d’où provient le choix de l’exposant $2$ dans l’IMC, mais on peut imaginer que les grands soient en général proportionnellement moins épais que les petits.
Revenons à nos moyennes. Si on calcule l’IMC d’un individu de $1,685$ mètre et $72$ kilos, on trouve bien environ $25,3$. Normal, non ? Sauf que l’IMC est tout à fait « non linéaire », c’est-à-dire que l’IMC moyen peut être très différent de celui calculé à partir des tailles et poids moyens. J’aurais envie de dire que ça se voit assez bien sur la formule, mais je risque de n’être pas très convainquant. Prenons plutôt un exemple, le plus simple possible.
Considérons une population fictive à étudier, formée de deux individus (disons : Abel et Bilal). Abel mesure $1$ mètre et pèse $20$ kilos, alors que Bilal mesure $0,5$ mètre et pèse $5$ kilos (ils sont jeunes, comme vous l’aurez deviné).
Ainsi, ils ont tous les deux un IMC de $20$ kilos par mètres carrés donc leur IMC moyen est de $20$. Pourtant, leur taille moyenne est de $0,75$ mètre, leur poids moyen de $12,5$ kilos, et l’IMC qui correspond à ces moyennes est d’environ $22,2$ kilos par mètres carrés, soit plus de $10 \%$ d’écart avec l’IMC moyen.
Mais on peut faire encore plus surprenant. Considérons maintenant une deuxième population, formée de Caïn et David. Caïn mesure $0,88$ mètre et pèse $22$ kilos, alors que David mesure $0,6$ mètres et pèse $4$ kilos. Ainsi, calculatrice en main Caïn a un IMC de $28,4$ environ, et David d’à peu près $11,1$ (je vous rassure, ces exemples sont fictifs !).
On obtient pour cette deuxième population une taille moyenne de $0,74$ mètres, un poids moyen de $13$ kilos et un IMC moyen d’à peu près $19,8$. L’IMC calculé à partir des taille et poids moyens est de $23,7$ environ, donc on voit que l’écart est encore plus grand que dans le premier exemple. Mais le plus amusant n’est pas là : alors que l’IMC est censé mesurer l’embonpoint, notre deuxième population a, par rapport à la première, une taille moyenne plus petite, un poids moyen plus grand, et un IMC moyen plus petit !
Si on veut éviter ce genre de paradoxe, il faut choisir une moyenne différente de la moyenne habituelle (voir ce billet précédent), qui « passe bien » à la multiplication et à la division, qui fera en sorte que l’IMC moyen sera le même que celui calculé à partir des taille et poids moyens. Une telle moyenne existe, c’est la moyenne géométrique.
On peut remarquer que pour exhiber le paradoxe ci-dessus, j’ai dû choisir des tailles et des poids assez invraisemblables. Dans une population réelle, les effets étranges décrits dans ce billets semblent très faibles. Je me demande si on sait d’une certaine manière décrire les distributions de taille et de poids pour lesquelles le choix de la moyenne arithmétique est raisonnable, dans le sens où il ne fait pas apparaître de paradoxe trop flagrant.
