Influence et réception de Bourbaki

Piste verte Le 21 novembre 2016  - Ecrit par  Claude Viterbo Voir les commentaires

« N. Bourbaki ? Une modernité mathématique » est une exposition consacrée à l’entreprise Bourbakiste de refondation des mathématiques qui présente des documents inédits issus des archives Bourbaki : des photos, un film, des manuscrits mais aussi un bureau et un tableau pliant ! C’était à la bibliothèque de mathématiques et informatique de l’École normale supérieure de Paris du 3 juin au 27 juillet 2016 et ce sera à l’École polytechnique- Palaiseau, de février à mai 2017.

Voici le quatrième épisode de cette version inédite du catalogue de l’exposition proposée aux lecteurs d’Image des mathématiques en une suite de dix articles.

Le traité de Bourbaki est écrit à la fois en réaction aux « Traités d’Analyse » datant de la fin du 19ème et tout début du 20ème siècle qui dominaient l’enseignement supérieur des mathématiques (Jordan, Picard, Goursat, Valiron) mais ne tenaient pas compte des progrès mathématiques de la première moitié du 20ème siècle et dont les démonstrations manquaient parfois de rigueur. Bourbaki affiche une volonté universaliste et le souci de l’unité des mathématiques - Bourbaki dit « LA mathématique ». La rigueur, l’importance des concepts comme guide, l’abstraction et la généralité sont des aspects importants de la vision bourbachique des Mathématiques.

De l’ouvrage de Valiron (édition de 1949) et de Bourbaki (1940) sur la théorie des fonctions, on a extrait la définition de limite dans chacun des ouvrages. Saurez-vous reconnaître d’où est tirée chacune ?

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C’est le style de Bourbaki, plus technique et précis, plus général aussi, qui prédominera dans presque tous les articles de recherche mathématique à partir de la seconde moitié du 20ème siècle.
Le souci d’abstraction et de généralité permet d’étendre des idées naturelles d’un domaine des mathématiques, à d’autres qui semblaient hors d’atteinte. C’est ce que fait André Weil, par exemple, en étendant des théorèmes géométriques à des situations relevant de la théorie des nombres.

Certains volumes du traité sont devenus des ouvrages de référence dans certains domaines (Espaces Vectoriels Topologiques, Algèbre, Algèbre et Groupes de Lie), d’autres moins. En dehors du traité, des livres satellites, qui n’ont pas été publiés sous le nom de Bourbaki parce qu’ils n’étaient pas assez « mûrs » pour faire partie du traité en propagent l’esprit. On peut citer le livre de Roger Godement« Théorie des Faisceaux », de Jean-Pierre Serre « Groupes et Algèbre de Lie » ....

Le groupe Bourbaki eut à sa création une réception parfois enthousiaste, parfois réservée voire hostile. Mais il est rapidement devenu célèbre bien au delà des frontières. Parmi les soutiens, notons des « aînés » comme Jacques Hadamard en France, Solomon Bochner ou Oscar Zariski aux Etats-Unis.

Réactions hostiles

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Arnaud Denjoy (1884-1974)

En 1949 Arnaud Denjoy dénonce les « professions de doctrine de M. Dieudonné » et écrit :

« Une école mathématique française jouissant d’une notoriété universelle, se rassemble sous les enseignes [...] d’un chef mythique, N. Bourbaki. Ce personnage [..] ressuscite en lui certaines des antinomies paradoxales qu’il se flatte d’avoir balayées des cerveaux mathématiques […]. L’axiomatisation des théories mathématiques parvenue à une maturité suffisante, tel est le principe de Bourbaki. Axiomatiser, c’est faire le tableau complet des hypothèses nécessaires à l’édification logique déductive de la dite théorie. C’est ensuite, ce niveau une fois atteint, effacer toutes les notions imagées qui soutenaient la pensée du chercheur dans son travail de découverte. Cette rupture avec la source des intuitions originelles, est une nécessité fondamentale pour le bourbakiste […]. Le symbolisme mathématique peut, dans une brève période, rendre aisée une vaste synthèse des théories connues, plus ou moins développées. Mais pour acquérir de nouvelles notions fécondes, il faudra faire éclater ces moules par le recours direct aux réalités, qui ne se laisseront jamais embrasser toutes dans un système clos de formes perpétuellement adéquates. »

Dans la même veine, l’un des mathématiciens les plus admirés par André Weil, Carl Ludwig Siegel, déclare : « Ce n’est pas en répétant “Hom, Hom”, qu’on démontre des théorèmes sérieux » : « Hom » étant une opération mathématique formelle, et une allusion au « Om Om » d’une célèbre mantra (incantation) bouddhiste.

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Carl Ludwig Siegel (1896-1981)

Enfin plus récemment, le grand mathématicien russe, Vladimir I. Arnold, invoque lui l’héritage d’Henri Poincaré contre Bourbaki :

« The French mathematical school was brilliant for several centuries, up to the penetrating works of Leray, H. Cartan, Serre, Thom, and Cerf. The Bourbakists claimed that all the great mathematicians were, using the words of Dirichlet, replacing blind calculations by clear ideas. The Bourbaki manifesto containing these words was translated into Russian as “all clear ideas were
replaced by blind calculations.” The editor of the translation was Kolmogorov. His French was excellent. I was shocked to find such a mistake in the translation and discussed it with Kolmogorov. His answer was : I had not realized that something was wrong in the translation since the translator described the Bourbaki style much better than the Bourbakists did. Unfortunately, Poincaré left no school in France.
 [1]
 »

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Vladimir Arnold (1937-2010)

Mais Bourbaki subit aussi une critique de l’intérieur : Bourbaki était le plus petit dénominateur commun à un ensemble de fortes personnalités mathématiques, mais ne reflétait pas toute leur richesse. Laurent Schwartz ou Pierre Cartier, regrettaient le faible intérêt de Bourbaki envers les probabilités. Et du côté des fondements des mathématiques, de la logique, certains trouvent l’approche de Bourbaki peu pertinente. La « théorie des catégories » due à Eilenberg, dont certains aspects importants sont développés dans le livre de Cartan-Eilenberg « Homological algebra » et qui sera surtout développée par Grothendieck, sont exclues du traité.

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Laurent Schwartz enseignant à l’École polytechnique

Enfin une autre critique, véhiculée par Alexandre Grothendieck, est que le groupe de potaches de l’origine s’est transformé en groupe de mandarins :

« Ce n’est qu’après le « grand tournant » de 1970, le premier réveil devrais-je dire, que je me suis rendu compte que ce microcosme douillet et sympathique [Bourbaki] ne représentait qu’une petite portion du « monde mathématique » (...) Au cours de ces vingt et deux ans, ce microcosme avait lui même changé de visage, dans un monde environnant qui lui aussi changeait. Moi aussi assurément, au fil des ans et sans m’en douter, j’avais changé, comme le monde autour de moi. Je n sais si mes amis et collègues s’apercevaient plus que moi de ce changement, dans le monde environnant, dans leur microcosme à eux, et dans eux-mêmes. Je ne saurais dire non plus quand et comment s’est fait ce changement étrange - c’est venu sans doute insidieusement, à pas de loup : l’homme de notoriété était craint (...). Pendant les quinze ans qui avaient précédé, progessivement et sans m’en douter, j’étais entré dans le rôle du grand patron, dans le monde du Who is Who mathématique. »

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En 1951
A. Grothendieck, Photo prise par Paulo Ribenboim à Pont-à-Mousson

Influence sur l’Enseignement : Bourbaki, influent malgré lui

L’arrivée de Bourbaki modifie en profondeur l’enseignement universitaire, avec l’arrivée d’une nouvelle génération d’enseignants, membres de Bourbaki ou proches du groupe.

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André Lichnerowicz (1915-1998)

Au collège, il y a une volonté politique après la guerre, de former suffisamment d’ingénieurs et de scientifiques, et de donner dès leur plus jeune âge aux élèves une formation mathématique « moderne ». Les « maths modernes » se réclament de Bourbaki, même si le groupe n’y est pas pour grand chose. En 1959 Dieudonné proclame son célèbre « À bas Euclide », préfigurant la disparition d’une partie de la géométrie traditionnelle de l’enseignement du collège, et en 1966, une « Commission ministérielle en charge des programmes », présidée par André Lichnerowicz, est chargée de réformer profondément, et rapidement, l’enseignement des mathématiques. Les événements de 1968 précipitent la mise en place de la réforme, et la géométrie euclidienne est remplacée en 6ème par les ensembles, diagrammes sagittaux, diagrammes de Venn, …. En 4ème, un vecteur devient une « classe d’équivalence de bipoints équipollents ».

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Les réactions ne sont pas toujours favorables, malgré l’enthousiasme de certains enseignants…….

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Gustave Choquet (1915-2006)

Bourbaki ne s’y reconnaît d’ailleurs pas, l’enseignement des mathématiques ressemblant parfois à une caricature de Bourbaki. Dès 1973, Gustave Choquet regrette « une attaque contre la géométrie et le recours à l’intuition ; on a dit aux enseignants qu’ils étaient des minables s’ils étudiaient les triangles, que l’algèbre linéaire remplaçait toute l’ancienne géométrie […]. Le résultat est tel que, sans une saine réaction de la base, [… ] la génération actuelle ne… [sera préparée] ni à la recherche mathématique, ni à l’utilisation des mathématiques dans la technique ou les sciences expérimentales… ».

En 1974, Dieudonné dénonce une « nouvelle scolastique », « forme encore plus agressive et stupide placée sous la bannière du modernisme ».

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Introduction à la théorie des ensembles pour les maternelles
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Influences sur la recherche mathématique

C’est par le Séminaire Bourbaki, que l’influence du groupe sur la recherche est la plus marquée. Ce séminaire, qui prit la suite du Séminaire Julia des années 1930, exposait 3 week-ends par an les résultats « les plus intéressants », dont l’exposé n’était - sauf exception - jamais fait par son auteur.
Les exposés des séminaires Bourbaki restent pour la plupart des textes de référence, mais bien entendu le choix des thèmes indiquait ce que Bourbaki trouvait intéressant… ou pas ! Et il a fallu longtemps pour voir apparaître la théorie des probabilités (exposé de P. Cartier en 62), les statistiques, les interactions avec la physique.

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Jacques-Louis Lions (1928-2001)

Cependant l’influence de Bourbaki se fait sentir même sur des thèmes qu’il délaisse : en mathématiques appliquées (Dieudonné parlait de « mathématiques serviles » !), l’École de Jacques-Louis Lions (lui-même élève de L. Schwartz) est clairement influencée par Bourbaki.

Post-scriptum :

L’exposition « N. Bourbaki ? Une modernité mathématique » a été conçue par David Aubin, Frédéric Brechenmacher, Julie janody, Bertrand Rémy et Claude Viterbo.

C’était à l’École normale supérieure de Paris du 3 juin au 27 juillet 2016 puis à l’École polytechnique- Palaiseau, de février à mai 2017.

Pour en savoir plus, on pourra également consulter le site des Archives Bourbaki ainsi que l’article de Michèle Audin Bourbaki a quatre-vingts ans.

La rédaction d’Images des mathématiques et l’auteur remercie le relecteur Sébastien Martinez pour sa relecture et des commentaires.

Article édité par Frédéric Brechenmacher

Notes

[1Arnold, 1997, interview de S. H. Lui, Notices AMS.

Traduction IdM (les termes entre crochets ont été rajoutés pour essayer de rendre plus clairs les propos de Arnold)
Pendant de nombreux siècles l’école mathématique française a été
brillante, ceci incluant les travaux profonds de [Jean] Leray, H[enri]
Cartan, [Jean-Pierre] Serre, [René] Thom et [Jean] Cerf.
En reprenant les mots de [Peter Gustav Lejeune-]Dirichlet, les
bourbakistes affirmèrent, [dans leur « Histoire des mathématiques »,] que
tous les grands mathématiciens remplacent les calculs obscurs par des
idées claires. Le manifeste de Bourbaki reprenant ces mots fut traduit
en russe par "toutes les idées claires sont remplacées par des calculs
obscurs". Or l’éditeur de cette traduction était Andrei Kolmogorov dont
le français était excellent. Je fus choqué par cette traduction erronée
et en fis part à Kolmogorov. Il répondit : Je n’avais pas réalisé qu’il
y avait une erreur dans la traduction parce que le style de Bourbaki
était ainsi bien mieux décrit par le traducteur que par les bourbakistes
eux-mêmes.
Malheureusement Henri Poincaré ne laissa aucune école mathématique
derrière lui en France.

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Pour citer cet article :

Claude Viterbo — «Influence et réception de Bourbaki» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Crédits image :

img_16329 - Orden pour le mérite für wissenchaften und künste
img_16330 - wikimedia commons
En 1951 - Paulo Ribenboim (correspondance de Grothendieck)
img_14543 - (C) Collections. École polytechnique.

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