Invitation à une dégustation

8 mai 2013  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires (2)

De temps en temps, chaque enseignant repère certains élèves ou étudiants ayant une inclination spéciale pour les maths. Comment faire pour développer leur goût pour cette science ? L’une des méthodes est de leur recommander des lectures supplémentaires, surprenantes et instructives.

J’ai découvert récemment un recueil de vingt courts essais mathématiques qui me semblent parfaitement indiqués pour ces jeunes personnes, vers la fin du lycée et le début de l’université. Il s’agit de « Essays on numbers and figures » de Victor Prasolov [1]. On y apprend des théorèmes concernant les nombres, les polynômes ou les figures de la géométrie plane dont les preuves, jamais bien longues, sont à chaque fois surprenantes d’ingéniosité.

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Voici par exemple le théorème suivant découvert par Fermat, qui est le sujet de l’un des essais les plus courts du livre :

Tout nombre premier de la forme $4k + 1$ s’écrit comme somme de $2$ carrés de nombres entiers.

La preuve présentée par Prasolov est due à Don Zagier, et a été énoncée par ce dernier en une seule phrase [2] :

« L’involution sur l’ensemble fini
$S = \{ (x,y,z) \in (\mathbb{N^*})^3 : x^2 + 4yz = p \}$ définie
par
\[(x,y,z) \to \left\{ \begin{array}{ll} (x + 2z, z, y - x - z) & \mbox{ si } x < y - z \\ ( 2 y - x, y, x - y + z) & \mbox{ si } y-z < x < 2y \\ (x - 2y, x - y + z, y) & \mbox{ si } x > 2y \end{array} \right. \]
a exactement un point fixe, donc $| S |$ est impair et l’involution définie par
$(x,y,z) \to (x, z, y)$ a aussi un point fixe. » [3]

Comment cela prouve-t-il le théorème ? Pourquoi une involution sur un ensemble fini de cardinal impair a-t-elle nécessairement un point fixe ?
À chaque fois la réponse apparaît en un éclair de compréhension, cela semble
tellement simple ! Il faut en revanche quelques petits calculs, peut-être moins satisfaisants gustativement, pour voir que les formules précédentes définissent bien une involution de l’ensemble $S$.

Ce que je trouve le plus agréable en bouche, est de contempler le principe de la preuve : au lieu d’aborder frontalement l’équation initiale, en étudier une autre ayant un ensemble de solutions qui n’est point amorphe, car il est muni d’une symétrie bilatère, décrite par l’involution, telle que le lieu de ses points fixes corresponde aux solutions de l’équation initiale. C’est, dans un autre contexte, la même stratégie qui est à l’œuvre lorsque l’on étudie des équations réelles à l’aide des nombres complexes, les solutions réelles formant alors le lieu des points fixes de l’involution de conjugaison [4]. Il y a ainsi un fin plaisir gourmet à ressentir, au contact d’un mets, des allusions à d’autres mets.

Comment peut-on arriver à une telle preuve, éclatante de simplicité et d’ingéniosité ? Zagier explique qu’elle lui a été inspirée par une preuve de Heath-Brown, inspirée à son tour par une preuve de Liouville. De telles fines preuves ne sortent donc pas du seul génie de leur auteur, celui-ci les distille de l’alambic des siècles ! Et il ne faut pas se leurrer, même les plus grands maîtres n’arrivent que rarement à une telle élégance.

Il est par contre nécessaire de faire goûter de telles preuves aux jeunes, car je pense qu’on ne peut rêver de faire un jour de la recherche en maths si on n’espère pas en trouver soi-même de comparables. Heureusement, apprécier de telles preuves est plus facile que les trouver. Le livre de Prasolov en regorge, à consommer sans modération !

Notes

[1Publié initialement en russe en 1997, une traduction anglaise est parue en 2000 à l’American Mathematical Society.

[3Ici $| S |$ désigne le cardinal de l’ensemble fini $S$ et une involution de $S$ est une fonction $f : S \to S$ qui, appliquée deux fois de suite, envoie tout élément de l’ensemble sur lui-même.

[4Zagier indique brièvement dans son article une autre analogie, pour lecteurs plus avertis : « ... le principe de base que nous avons utilisé : “Les cardinaux d’un ensemble fini et de son lieu de points fixes sous une involution ont la même parité” est un analogue combinatoire et un cas particulier du résultat topologique correspondant : “La caractéristique d’Euler d’un espace topologique et de son lieu des points fixes sous n’importe quelle involution continue ont la même parité”. ».

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Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «Invitation à une dégustation» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Crédits image :

Image à la une - La photo du logo représente un détail de la peinture « Les sens de l’ouïe, du toucher et du goût » de Jan Brueghel l’Ancien (1568-1625), exposée au Musée du Prado. Elle provient de Wikimedia Commons.

Commentaire sur l'article

  • Invitation à une dégustation

    le 10 mai 2013 à 18:36, par ROUX

    Et, sérieusement, qui, dans la communauté mathématique en langue française, prendra la décision de traduire ce livre en français puis l’éditer ?
    Je suis prof’ dans un lycée : aujourd’hui, je fais comment ?

    Répondre à ce message
  • Invitation à une dégustation

    le 10 mai 2013 à 19:42, par denise

    Bonjour,

    Ne pourrait-on imaginer un « mélange » de la sublime preuve de Don Zagier (même si inspirée de Heath-Brown, elle-même inspirée de Liouville) et de la triviale façon que j’ai présentée derrière le lien ci-dessous de trouver les décomposants de Goldbach d’un nombre pair qui s’avèrent être les valeurs qui annulent un certain produit de sinus

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,817579,817579

    le-dit « mélange » permettant, plutôt que de démontrer que « Tout nombre premier de la forme 4k+1 s’écrit comme somme de 2 carrés de nombres entiers. » de démontrer que « Tout nombre pair (sauf 2) s’écrit comme somme de 2 nombres premiers. » ?

    L’involution devrait envoyer un nombre sur son complémentaire...

    Cordialement.

    Répondre à ce message

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