Janvier 2014, 2ème défi

Le 10 janvier 2014 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 2 :

Ecrire les entiers de 1 à 2014 dans une liste. Ensuite, remplacer chacun de ces nombres par la somme de ses chiffres. Effectuer ces substitutions jusqu’à avoir 2014 nombres à un seul chiffre. Entre le nombre 1 et le nombre 2, lequel apparaît le plus de fois dans la liste finale ?

Solution du 1er défi de janvier

Enoncé

La solution est 36.

Il y a 8 nombres qui satisfont la condition et qui commencent par 1 : de 12 à 19. Il y en a 7 qui commencent par 2 : de 23 à 29. Il y en a 6 qui commencent par 3 : de 34 à 39. Il y en a 5 qui commencent par 4 : de 45 à 49. Il y en a 4 qui commencent par 5 : de 56 à 59. Il y en a 3 qui commencent par 6 : de 67 à 69. Il y en a 2 qui commencent par 7 : 78 et 79. Finalement il n’y en a qu’un qui commence par 8 : le 89. Par conséquent, il y a au total $8+7+6+5+4+3+2+1=36$ nombres qui satisfont la condition.

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de janvier, Une chambre hyperbolique par Jos Leys.

L’édition française du calendrier est une publication des Presses Universitaires de Strasbourg et de Googol.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous les droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

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Janvier, 2ème défi

le 10 janvier 2014 à 21:41, par Massy Soedirman

Les substitutions d’un nombre aboutiront à 1 si le nombre de départ est congru à 1 modulo 9, de même pour 2.
Or, 2014=223x9+7.

Ceci prouve que le nombre 1 et le nombre 2 sont obtenus tous les 224 fois.

Les nombres 8 et 9 eux, ne sont obtenus que 223 fois.
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