Enoncé

La réponse est non.

Un exemple de grille de $3\times 5$ s’obtient si nous plaçons dans la deuxième ligne les nombres dans l’ordre suivant : 5, 3, 1, 4, 2.

Observons qu’il n’est pas possible de remplir une grille de
$3\times 6$. En effet les nombres sur la troisième ligne doivent
être $0, 1, 2, 3, 4$ et $5$, c’est-à-dire, 3 nombres pairs et 3 impairs. De plus, pour avoir un nombre pair sur la troisième ligne, les nombres de la colonne respective doivent être tous les deux pairs ou tous les deux impairs, et pour avoir un nombre impair sur la troisième ligne, les nombres dans la colonne respective doivent être un pair et un impair.

Si on place sur la deuxième ligne les 3 nombres impairs sous 3 nombres impairs, on obtiendra sur la troisième ligne 6 nombres pairs, ce qui n’est pas ce qu’on souhaite.
De façon analogue, si on place sur la deuxième ligne les 3 nombres impairs sous 3 nombres pairs, on obtiendra sur la troisième ligne 6 nombres impairs.
Cependant, si on place sur la deuxième ligne les 3 nombres impairs sous 2 pairs et 1 impair, on obtiendra 4 nombres impairs et 2 nombres pairs, qui ne correspondent pas aux 3 pairs et 3 impairs dont nous avons besoin.
Finalement, si on place les 3 impairs sous 2 impairs et 1 pair, on obtiendra 4 nombres pairs et 2 impairs, ce qu’on ne veut pas non plus. Par conséquent, ce n’est pas possible.