Un défi par semaine

Janvier 2014, 5ème défi

Le 31 janvier 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (27)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 5 :

Les deux arcs de cercle sont égaux. En utilisant seulement deux droites, diviser la figure en deux parties d’aires égales.

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Solution du 4ème défi de janvier

Enoncé

La réponse est non.

Un exemple de grille de $3\times 5$ s’obtient si nous plaçons dans la deuxième ligne les nombres dans l’ordre suivant : 5, 3, 1, 4, 2.

Observons qu’il n’est pas possible de remplir une grille de
$3\times 6$. En effet les nombres sur la troisième ligne doivent
être $0, 1, 2, 3, 4$ et $5$, c’est-à-dire, 3 nombres pairs et 3 impairs. De plus, pour avoir un nombre pair sur la troisième ligne, les nombres de la colonne respective doivent être tous les deux pairs ou tous les deux impairs, et pour avoir un nombre impair sur la troisième ligne, les nombres dans la colonne respective doivent être un pair et un impair.

Si on place sur la deuxième ligne les 3 nombres impairs sous 3 nombres impairs, on obtiendra sur la troisième ligne 6 nombres pairs, ce qui n’est pas ce qu’on souhaite.
De façon analogue, si on place sur la deuxième ligne les 3 nombres impairs sous 3 nombres pairs, on obtiendra sur la troisième ligne 6 nombres impairs.
Cependant, si on place sur la deuxième ligne les 3 nombres impairs sous 2 pairs et 1 impair, on obtiendra 4 nombres impairs et 2 nombres pairs, qui ne correspondent pas aux 3 pairs et 3 impairs dont nous avons besoin.
Finalement, si on place les 3 impairs sous 2 impairs et 1 pair, on obtiendra 4 nombres pairs et 2 impairs, ce qu’on ne veut pas non plus. Par conséquent, ce n’est pas possible.

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de janvier, Une chambre hyperbolique par Jos Leys.

L’édition française du calendrier est une publication des Presses Universitaires de Strasbourg et de Googol.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Janvier 2014, 5ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - L’édition française du calendrier est une publication des Presses Universitaires de Strasbourg et de Googol.

Commentaire sur l'article

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  • Janvier, 5ème défi

    le 2 février 2014 à 13:12, par Daniate

    Bonjour

    Vous vous laissez abuser par la figure accompagnant l’énoncé. Elle peut se fabriquer à partir de tout triangle isocèle ABC de sommet A. On trace les médiatrices de [AB] et de [AC]. On appelle C’ et B’ les milieux de [AB] et [AC]. Sur les médiatrices on place D et E tels que C’D = B’E = x, E étant l’image de D dans la rotation de centre A et d’angle l’angle au sommet du triangle ABC. Il suffit alors de tracer l’arc AB de centre D et l’arc AC de centre E. (les 2 arcs sont alors images l’un de l’autre par la rotation précitée, ils sont donc bien superposables). En faisant varier x, on peut obtenir diverses formes dont celle limite, où l’arc AC est tangent à (BC). En augmentant la hauteur du triangle de départ, on fait apparaître la forme que j’appelle griffe du chat.

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